《工業(yè)機器人技術基礎 》課件-第二章 工業(yè)機器人的數(shù)學基礎

工業(yè)機器人技術基礎智能制造學院第二章工業(yè)機器人的數(shù)學基礎主講人：劉紅梅智能制造學院目錄CONTENTS2.1坐標及其關系2.2坐標系變換2.3工業(yè)機器人運動學2.4工業(yè)機器人動力學

2.1坐標系及其關系01PART

ONE2.1.1矩陣的基礎知識1矩陣的定義矩陣是一個按照長方陣列排列的二維數(shù)組，矩陣的元素可以是任意實數(shù)或復數(shù)。由m×n個標量Aij排列成的m行、n列的二維數(shù)組稱為m行n列的矩陣，簡稱m×n階矩陣，通常用大寫加粗的斜體字母表示，如矩陣A。記作：Aij表示矩陣A的的第i行、第j列元素；m稱為矩陣A的行階或行數(shù)，n稱為矩陣A的列階或列數(shù)。2.1.1矩陣的基礎知識2矩陣的轉(zhuǎn)置設一個矩陣A，矩陣的轉(zhuǎn)置是指將矩陣A的行和列互換得到新的矩陣，即將A中的第i行轉(zhuǎn)換成第j列，得到的新矩陣稱為原矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT。矩陣的轉(zhuǎn)置滿足運算律： (AT)T=A

2.1.1矩陣的基礎知識2矩陣的轉(zhuǎn)置

解：

2.1.1矩陣的基礎知識3常用的矩陣類型l零矩陣

若一個矩陣內(nèi)的所有元素都為零，稱該矩陣稱為零矩陣，記作O。l方陣

若一個矩陣的行階與列階相等，即i=j=n，稱該矩陣為n階方陣。l對稱矩陣

對于n階方陣A，若其元素滿足

，即A=AT，稱方陣A為對稱矩陣。l反對稱矩陣

對于n階方陣A，若其元素滿足

，即A=-AT，稱方陣A為對稱矩陣。對于反對稱矩陣，有

，即反對稱矩陣對角線上的元素全為0。2.1.1矩陣的基礎知識3常用的矩陣類型l對角陣

對于n階方陣A，除對角元素（至少有一個元素為非零）外，其余所有元素均為零，則稱方陣A稱為對角陣，n階對角陣記作：對于n階對角陣，若其對角元素均為1，則稱該n階對角陣為n階單位陣，記作In或I。n階對角矩陣的對角元素和稱為該矩陣的跡，記作：2.1.1矩陣的基礎知識3常用的矩陣類型例題2-3完成以下題目：①寫出一個2×3階零矩陣；②寫出一個4階方陣；

③寫出一個3階對稱矩陣和一個3階反對稱矩陣；

④寫出一個3階對角陣，并求該對角陣的跡。解：

2.1.1矩陣的基礎知識3常用的矩陣類型例題2-3完成以下題目：①寫出一個2×3階零矩陣；

②寫出一個4階方陣；

③寫出一個3階對稱矩陣和一個3階反對稱矩陣；

④寫出一個3階對角陣，并求該對角陣的跡。解：

trA=A11+A22+A33=1+3+5=92.1.1矩陣的基礎知識4分塊陣將矩陣的定義推廣，矩陣A中的元素可以是數(shù)字或者其他數(shù)學對象（表達式、符號等）。若矩陣A中元素不是標量Aij而是矩陣Aij，即第i行（i=1，2，3，...，m）各矩陣元素

的行階相等；第j列（j=1，2，3，...，n）各矩陣元素

的列階相等，稱矩陣元素Aij為矩陣A的分塊陣。2.1.2矩陣的基本運算1矩陣的相等若存在兩個同型的矩陣A和B，且A和B中所有下標相同的元素相等，即滿足則稱矩陣A和B相等，記作：

A=B2.1.2矩陣的基本運算2矩陣的加法設兩個同型的矩陣A和B，A和B相加的和為一個同型的新矩陣C，記作：C=A+B同型矩陣的加法滿足以下運算律：A+O=A

B+A=A+BA+B+C=

(A+B)+C=A+(B

+C)(A+B)T=AT+BT2.1.2矩陣的基本運算3矩陣的減法設兩個同型的矩陣A和B，A減B的差為一個同型的新矩陣C，記作：C=A-B2.1.2矩陣的基本運算

①矩陣A加B的和；②A減B的差；③（A+B）T解：①設矩陣C是A加B的和，即C=A+B，則矩陣C中的元素滿足②設矩陣D是A減B的差，即D=A-B，則矩陣D中的元素滿足2.1.2矩陣的基本運算

①矩陣A加B的和；②A減B的差；③（A+B）T解：③由第①問可知，C=A+B，所以（A+B）T＝CT或者，分別求出再根據(jù)公式（A+B）T＝AT+BT，計算出2.1.2矩陣的基本運算4矩陣的數(shù)乘矩陣的數(shù)乘是指一個矩陣的每個元素都乘以一個標量（常數(shù)）k。一個標量k與一個矩陣A的乘積是一個與A同型的新矩陣C，記作2.1.2矩陣的基本運算5矩陣的乘法設一個m×s階矩陣A=(Ams)，一個s×n階矩陣B=(Bsn)，則A與B的乘積是一個m×n階的矩C=(Cms)，記作：當且僅當左矩陣（第一個矩陣）的列階等于右矩陣（第二個矩陣）的行階時，兩個矩陣才能相乘。矩陣乘法遵循以下運算律：2.1.2矩陣的基本運算5矩陣的乘法

①AB；②(AB)T。①設矩陣C是A與B的乘積，即C=AB，則矩陣C中的元素滿足解：2.1.2矩陣的基本運算5矩陣的乘法①AB；②(AB)T。②由第①問已知，C=AB，則解：或者，分別計算出再根據(jù)公式

，計算出

2.1.2矩陣的基本運算5矩陣的乘法

解：（1）設矩陣C

是

A與B的乘積，即C=AB，則矩陣C中的元素滿足2.1.2矩陣的基本運算5矩陣的乘法解：（2）設矩陣D

是B與A的乘積，即D=BA，則矩陣D中的元素滿足顯然，C≠D，即AB≠BA

，交換律不適用于矩陣乘法。

2.1.2矩陣的基本運算6方陣與行列式由n階方陣A的元素按原相對位置不變所構(gòu)成的行列式稱為方陣A的行列式，記作|A|或detA。7矩陣的逆矩陣在矩陣運算中，單位陣I相當于數(shù)乘中的1。如果存在一個矩陣B，使得AB＝BA＝I，則稱矩陣A是可逆的，矩陣B稱為矩陣A的逆矩陣或逆陣，記作A-1。，2.1.3坐標系基礎知識1坐標系的定義工業(yè)機器人設計過程中為了描述質(zhì)點的位置、速度和方向，需要選擇合適的坐標系。在參照系中，按規(guī)定方法選取的有次序的一組數(shù)據(jù)，這就叫做“坐標”。在某一問題中規(guī)定坐標的方法，就是該問題所用的坐標系，常用的有直角坐標系、極坐標系、柱面坐標系和球面坐標系等。2坐標系的分類（a）平面直角坐標系

（b）空間直角坐標系

（c）右手坐標系

①直角坐標系2.1.3坐標系基礎知識2坐標系的分類②柱面坐標系柱面坐標系（圓柱坐標系，CylindricalCoordinateSystem，Cyl）是將點的直角坐標在XOY面上的投影轉(zhuǎn)換成極坐標的形式，也可以理解為二維極坐標系往Z軸的延伸。2.1.3坐標系基礎知識2坐標系的分類③球面坐標系（a）球面坐標系（b）球面坐標機器人假設P(x,y,z)為空間內(nèi)一點，則點Р也可三個有次序的數(shù)(r,θ,φ)來確定，其中r為原點O與點Р間的距離；θ為有向線段OP與Z軸正向的夾角；φ為從Z軸看，自X軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到OM所轉(zhuǎn)過的角，這里M為點P在平面XOY上的投影。這三個數(shù)r,θ,φ稱為點Р的球面坐標，記作P(r,θ,φ)。。2.1.4機器人常用坐標系在工業(yè)機器人領域，按照工業(yè)機器人的應用情況，也常用大地坐標系、基坐標系、關節(jié)坐標系、工具坐標系、工件坐標系等來描述機器人的位姿。1.大地坐標系大地坐標系（也可稱為參考坐標系、世界坐標系）是以大地為參考的直角坐標系，其位置和方向是固定的，在機器人各關節(jié)運動過程中保持不變，對其他坐標系起參考定位的作用。在這種坐標系下，無論機器人手臂所處位置如何，X軸的正向運動始終沿著X軸的正向；Y軸的正向運動始終沿著Y軸的正向；Z軸的正向運動始終沿著Z軸的正向。大地坐標系有助于定義機器人相對于其他物體的運動以及運動路徑等。2.1.4機器人常用坐標系2.基坐標系基坐標系是以機器人安裝底座為基準，用來描述機器人本體運動的直角坐標系。如圖所示，若面對機器人，前后為X軸、左右為Y軸、上下為Z軸，坐標系遵守右手準則。當工業(yè)機器人倒掛在橫梁上，側(cè)掛在墻壁上時，用于描述工業(yè)機器人的位置、和姿勢的參考坐標系。2.1.4機器人常用坐標系3.關節(jié)坐標系關節(jié)坐標系是工業(yè)機器人中用于描述機器人各個獨立關節(jié)的運動狀態(tài)，每一個關節(jié)具有一個自由度，其主要用途是描述該坐標系基于機器人的關節(jié)角度，即每個關節(jié)的旋轉(zhuǎn)角度。值得注意的是，關節(jié)坐標系沒有固定的坐標軸，而是以機器人每個關節(jié)的角度為參考，確定機器人的位置和姿態(tài)。通過控制關節(jié)的旋轉(zhuǎn)，工業(yè)機器人可以實現(xiàn)各種運動路徑。如圖所示，假設希望將機器人的末端運動到某一個特定的位置，可以逐個關節(jié)地進行單獨運動，從而使末端抵達目標地點。在這種情況下，各關節(jié)單獨受控，從而每次只有一個關節(jié)運動。由于所有關節(jié)的類型（移動型、旋轉(zhuǎn)型、球型）各異，機器人末端的動作也因此而有所區(qū)別。2.1.4機器人常用坐標系4.工具坐標系工具坐標系是固定在工具（法蘭、裝在法蘭上的工具）上的坐標系，相對于機械手法蘭中心不變，坐標系原點的是機械手運動中心點。工具坐標系定義工業(yè)機器人末端執(zhí)行工具的中心點和工具的姿態(tài)，工具坐標系必須事先由用戶進行設定。機器人TCP（ToolCenterPoint）是指機器人安裝的工具坐標點。工具坐標系沒有定義時，工具坐標系采用默認的工具坐標系，默認工具坐標系是工業(yè)機器人末端法蘭坐標系，工具坐標系如圖2-8所示。每個工具都應該有對應的工具坐標系，使用不同的工具應該切換到相應的工具坐標系下，否則在工具坐標系手動操作工業(yè)機器人時，工業(yè)機器人的軌跡將難以預測。2.1.4機器人常用坐標系5.工件坐標系

工件坐標系是以工件為基準的直角坐標系，可以用來描述TCP運動的坐標系，它定義工件相對于大地坐標（或其他坐標）的位置。

如圖所示，工業(yè)機器人在工件A標定的工件坐標系A完成作業(yè)任務，更換不同位置的工件B后，只要重新標定工件坐標系B，所以作業(yè)程序和作業(yè)在新坐標系下隨之更新。2.1.4機器人常用坐標系在工作臺的平面上，定義三個點，就可以建立一個用戶框架。如圖2-10所示，X1點確定工件坐標系的原點，X1、X2確定工件坐標系X軸正方向；Y1點確定工件坐標系Y軸正方向。用戶框架相當于為工件所在的工作臺定義一個坐標系，因此工件坐標系有時也稱為用戶坐標系。6.用戶坐標系

用戶坐標系是用戶對每個作業(yè)空間進行自定義的直角坐標系，它用于位置寄存器的示教和執(zhí)行、位置補償指令的執(zhí)行等。在沒有定義的時候，將由大地坐標系來替代用戶坐標系。2.1.5位姿描述1空間中點的描述

a、b和c是點P在直角坐標系中的三個坐標分量；i、j和k是直角坐標三個坐標軸上的單位坐標向量。2.1.5位姿描述2空間有向線段的表示有向線段可以用其起始點和終止點的坐標來表示。如果一個向量起始于點A，終止于點B，Ax、Ay和Az是點A在直角坐標系中的三個坐標分量，Bx、By和Bz是點B在直角坐標系中的三個坐標分量，那么該向量可以表示為如果一個向量起始于原點，則有2.1.5位姿描述3位置描述已知固定坐標系{A}（OXYZ），在剛體上固連一個運動坐標系{B}（O′X′Y′Z′），則{B}系原點O′在{A}系中的位置可以通過3×1的列向量APB

來表示：dx、dy和dz是點O′在坐標系{A}中沿X、Y和Z軸的三個坐標分量。APB被稱為位置向量。2.1.5位姿描述4姿態(tài)描述為了表示運動坐標系{B}在參考坐標系{A}中的姿態(tài)，可以將{B}系的原點移動到{A}系的原點，即兩個坐標系原點重合，但{B}系的姿態(tài)保持不變，如圖所示。記i、j和k為{A}系中的三個單位向量，a、b和c為{B}系中的三個單位方向矢量，由空間矢量表示方法可知：

{B}系在{A}系中的姿態(tài)可以表示為：

02PART

TWO

2.2坐標系變換2.2.1平移坐標變換1平移坐標變換方程

平移坐標變換是指一坐標系在空間以不變的姿態(tài)運動。如圖所示，設固定坐標系{A}（OXYZ），運動坐標系{B}（O′X′Y′Z′），{A}系和{B}系具有相同的姿態(tài)，但{A}系和{B}系的原點不重合，用位置向量APB

來描述{B}系（原點O′）相對于{A}系的位置，稱APB為{B}系相對{A}系的平移向量。如果點P在{B}系中的位置向量為BP，那么點P在{A}系中的位置向量AP可由向量相加得出，即上式稱為坐標平移變換方程。2.2.1平移坐標變換1平移坐標變換方程

解：由題目可知，{B}系沿{A}系的Z軸正方向移動4個單位，沿{A}系的Y軸正方向移動6個單位，確定平移向量由

，可知2.2.1平移坐標變換2平移齊次坐標變換若將BP用向量表示，若將其用矩陣的乘法來表示，則平移三維空間的點需要使用4×4的矩陣。一般而言，用一個n+1維的向量表示一個n維向量的方法稱為齊次坐標表示法。2.2.1平移坐標變換2平移齊次坐標變換平移變換方程可以用矩陣寫成齊次變換的形式：上式稱為平移齊次坐標變換，

為平移齊次坐標變換矩陣，Trans代表平移變換。2.2.1平移坐標變換

解：由{B}系沿{A}系的Y軸正方向移動5個單位，沿{A}系的Z軸正方向移動5個單位，可知平移齊次變換矩陣由公式可知，

2.2.2旋轉(zhuǎn)坐標變換2旋轉(zhuǎn)坐標變換方程

上式稱為坐標旋轉(zhuǎn)變換方程。2.2.2旋轉(zhuǎn)坐標變換2旋轉(zhuǎn)坐標變換方程若運動坐標系{B}繞Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)了θ角，則此時，旋轉(zhuǎn)矩陣為2.2.2旋轉(zhuǎn)坐標變換2旋轉(zhuǎn)坐標變換方程同理，若{B}系繞{A}系的Y軸逆時針旋轉(zhuǎn)了θ角，旋轉(zhuǎn)矩陣若{B}系繞{A}系的X軸逆時針旋轉(zhuǎn)了θ角，旋轉(zhuǎn)矩陣2.2.2旋轉(zhuǎn)坐標變換2旋轉(zhuǎn)齊次坐標變換

此時，旋轉(zhuǎn)矩陣可以寫為以下形式2.2.2旋轉(zhuǎn)坐標變換

解：由題目可知，因此，（a）初始位置（b）變換前沿Z軸俯視（c）變換后沿Z軸俯視2.2.2旋轉(zhuǎn)坐標變換

解：由{B}系繞{A}系的X軸逆時針旋轉(zhuǎn)30°，故旋轉(zhuǎn)矩陣然后，由

，可知2.2.3復合坐標變換3復合坐標變換方程

2.2.3復合坐標變換3復合坐標變換方程如圖，設定過渡坐標系{C}，使{C}系坐標原點和{B}系的坐標原點重合，{C}系的姿態(tài)與{A}系相同。按照坐標旋轉(zhuǎn)方程，可知點P在{C}系的描述：再由坐標平移方程，可知：2.2.3復合坐標變換例題2-14

已知運動坐標系{B}的初始位置與固定坐標系{A}重合，先將{B}系繞{A}系的X軸逆時針旋轉(zhuǎn)30°，再將{B}系沿{A}系的X軸正方向平移10個單位，沿{A}系的Y軸正方向平移5個單位。求以下問題：

解：①已知{B}系繞{A}系的X軸逆時針旋轉(zhuǎn)30°，因此旋轉(zhuǎn)矩陣②由{B}系沿{A}系的X軸正方向平移10個單位，沿{A}系的Y軸正方向平移5個單位，可知平移向量2.2.3復合坐標變換3復合齊次坐標變換

即，上式稱為復合齊次坐標變換。2.2.3復合坐標變換為了探究如何使用矩陣處理復合坐標變換，假定運動坐標系{B}相對于固定坐標系{A}依次進行了下面四個變換：1）沿{A}系的Z軸平移dz。2）繞{A}系的X軸旋轉(zhuǎn)α角。3）分別沿{A}系的X、Y軸平移dx和dy4）繞{A}系的Y軸旋轉(zhuǎn)β角。對于{B}系中的任意一點P，可以根據(jù)公式，可以寫出每步變換后的點P在{A}系中的位置向量：因此，最終點點P在{A}系中的位置向量：可見，每次變換后，對于{B}系中的任意一點在{A}系的坐標都是通過用相應的變換矩陣左乘點P的坐標得到的。2.2.3復合坐標變換

1）繞{A}系的X軸軸逆時針旋轉(zhuǎn)90°；2）沿{A}系的X、Y、Z軸正方向分別平移1、0、0個單位；3）繞{A}系的Z軸逆時針旋轉(zhuǎn)90°。解：由題意可知，即，所以2.2.3復合坐標變換2.2.3復合坐標變換

1）繞{A}系的Z軸軸逆時針旋轉(zhuǎn)90°；2）沿{A}系的X、Y、Z軸正方向分別平移1、0、0個單位；3）繞{A}系的X軸逆時針旋轉(zhuǎn)90°。解：由題意可知，即，所以2.2.3復合坐標變換2.2.4相對運動坐標系變換1）沿{B}系的Z軸平移dz。2）繞{B}系的X軸旋轉(zhuǎn)α角。3）分別沿{B}系的X、Y軸平移dx和dy4）繞{B}系的Y軸旋轉(zhuǎn)β角。經(jīng)過前面的討論，當運動坐標系繞固定坐標系變換時，左乘變換矩陣；若運動坐標系繞運動坐標系變換時，則右乘變換矩陣。假定運動坐標系{B}依次進行了下面四個變換：對于{B}系中的任意一點P，有：2.2.5坐標系逆變換以

為例，若我們已知的是AP和變換矩陣，根據(jù)2.1.2節(jié)逆矩陣的相關知識，可以通過左乘變換矩陣的逆矩陣來求解BP

。具體步驟如下：為

的逆矩陣，則同理，最終可得

03PART

THREE

2.3工業(yè)機器人運動學2.3.1工業(yè)機器人運動學概述1自由度的計算如果機器人只做直線運動或回轉(zhuǎn)運動，所需的自由度為1；如需要進行平面直線運動（水平面或垂直），或進行直線運動和1個方向的擺動運動，所需的自由度為2；如需要進行空間直線運動，或需要進行平面直線運動和1個方向的擺動運動，所需要的自由度為3。如圖2-19所示，如要求機器人能夠在三維空間內(nèi)進行自由運動，則機器人必須能實現(xiàn)X、Y、Z三個三個方向的直線運動和圍繞X、Y、Z軸的旋轉(zhuǎn)運動，即需要有6個自由度。這也就意味著，如果機器人能具備上述6個自由度，執(zhí)行器就可以在三維空間上任意改變姿態(tài)，實現(xiàn)對執(zhí)行器位置的完全控制。在一些場合工業(yè)機器人具有比完成任務所需自由度更多的自由度，也就是說，其關節(jié)數(shù)目比所需的自由度多，這種機器人我們稱之為冗余度機器人。與傳統(tǒng)機器人相比，冗余自由度機器人可以通過組合不同的關節(jié)運動來獲得更好的自由度。2.3.1工業(yè)機器人運動學概述高精度操作：由于冗余自由度機器人的自由度更多，因此其運動可以更加靈活自如，可以輕松完成高精度的操作任務。復雜環(huán)境下的運動：在環(huán)境復雜的情況下，傳統(tǒng)機器人的自由度可能不足以完成任務，而冗余自由度機器人可以通過調(diào)整自身的關節(jié)組合來適應環(huán)境。輕松完成難以實現(xiàn)的動作：由于具有更多的自由度，冗余自由度機器人可以完成傳統(tǒng)機器人難以實現(xiàn)的復雜動作和任務。冗余度機器人的特點是可以通過動態(tài)調(diào)整自身的運動軌跡來適應不同的環(huán)境和任務需求。相比傳統(tǒng)的機器人，它具有以下優(yōu)勢：增加工業(yè)機器人的自由度，可以使工業(yè)機器人具有一定的冗余度使工業(yè)機器人更加靈活地適應不同任務和工作環(huán)境，但同時也增加了工業(yè)機器人的控制系統(tǒng)復雜程度和后期維護成本，同時也增加了工業(yè)機器人的購置成本，所以在選購工業(yè)機器人時，根據(jù)具體使用場合及成本等因素進行綜合考慮選購設備。2.3.1工業(yè)機器人運動學概述2工業(yè)機器人運動學基本問題機器人運動學是從幾何角度研究機器人位置、速度和加速度隨時間變化的科學，不涉及機器人的物理性質(zhì)和所受的力，包括正問題和逆問題兩類。1）運動學正問題（直接問題）：給定特定機器人，已知桿件幾何參數(shù)和關節(jié)向量，求機器人末端執(zhí)行器在參考坐標系中的相對位置和姿態(tài)。2）運動學逆問題（解臂形問題）：已知機器人桿件的幾何參數(shù)，給定了機器人末端執(zhí)行器相對參考坐標系的期望位置和姿態(tài)，求機器人各關節(jié)角向量，即機器人各關節(jié)要如何運動才能達到這個預期的位姿？如能達到，那么機器人有幾種不同形態(tài)可滿足同樣的條件？2.3.1工業(yè)機器人運動學概述3工業(yè)機器人正逆運動學分析2）在機器人末端執(zhí)行器抵達指定位置后，對其姿態(tài)進行調(diào)整，以適應或滿足期望的姿態(tài)，這涉及姿態(tài)的正逆運動學方程的求解。要確定機器人末端執(zhí)行器在空間的位姿，需要在末端執(zhí)行器上固定一個坐標系。要確定機器人運動后的位姿，主要分為以下兩個步驟：1）在固定坐標系中，將機器人末端執(zhí)行器移動至預定位置，此過程涉及位置的正逆運動學方程的求解。2.3.4多關節(jié)機器人正逆運動學方程ABB機器人手動操縱模式有三種運動模式，分別是軸運動、線性運動和重定位運動。以6軸機器人為例，每個軸由1個獨立的伺服電機驅(qū)動，每次手動操縱1個關節(jié)軸的運動，稱為單軸運動。2.3.4多關節(jié)機器人正逆運動學方程機器人線性運動是指安裝在機器人第六軸法蘭盤上的工具在空間沿著設定的坐標系的X、Y、Z方向作直線運動。在使能鍵按下后，操縱桿上下擺動可以操縱機器人向參考坐標系的X方向運動，操縱桿左右擺動可以操縱機器人向Y方向運動，操縱桿旋轉(zhuǎn)可以操縱機器人向Z方向運動。

2.3.4多關節(jié)機器人正逆運動學方程機器人的重定位運動是指機器人第六軸法蘭盤上的工具TCP點在空間中繞著工具坐標系旋轉(zhuǎn)的運動，也可以理解為機器人繞著工具TCP點作姿態(tài)調(diào)整的運動。04PART

FOUR

2.4工業(yè)機器人動力學工業(yè)機器人動力學分析機器人操作的動態(tài)數(shù)學模型有兩種基本的方法，即牛頓-歐拉法和拉格朗日法。牛頓-歐拉法需要從運動學出發(fā)求得加速度，并消去各內(nèi)作用力；拉格朗日法是基于能量平衡，只需要速度而不必求內(nèi)作用力。機器人是一種主動機械裝置，原則上它的每個自由度都具有獨立動力。機械臂是一種多變量的、非線性的自動控制系統(tǒng)，也是一個復雜的動力學耦合系統(tǒng)。機器人的動力學是從速度、加速度和受力上來分析機器人的運動特性，也有兩個基本問題：①動力學正問題：對一給定的機器人操作機，已知各關節(jié)的作用力或力矩，求各關節(jié)的位移、速度和加速度，求得機器人手腕的運動軌跡，稱為動力學正問題。②動力學逆問題：對一給定的機器人操作機，已知機器人手腕的運動軌跡，即各關節(jié)的位移、速度和加速度，求各關節(jié)所需要的驅(qū)動力或力矩，稱為動力學逆問題。本章小結(jié)本章主要學習了矩陣的基本概念及運算、坐標系的定義及其變換，工業(yè)機器人的正逆運動學方程，并介紹了工業(yè)機器人常用的動力學方程。首先，本章講述了矩陣的基本概念，包括矩陣的定義、常見矩陣類型、逆矩陣等，并介紹矩陣的基本運算，如加法、減法、乘法等；在此基礎上介紹了不同類型的坐標系，包括直角坐標系、柱面坐標系、球面坐標系等。接著，本章講述了坐標系的變換，包括坐標平移變換、坐標旋轉(zhuǎn)變換、坐標復合變換以及坐標逆變換等，為后續(xù)工業(yè)機器人運動學方程的推導奠定了基礎。然后，本章介紹了工業(yè)機器人的正逆運動學方程。正運動學方程用于求解機器人末端執(zhí)行器在給定關節(jié)角度下的位置和姿態(tài)，而逆運動學方程則用于根據(jù)目標位置和姿態(tài)計算關節(jié)角度。最后，本章介紹了兩種常用的工業(yè)機器人的動力學方程。思考練習題：

思考練習題：

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