第1講 有理數(shù)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)（教師版）-初中數(shù)學(xué)6年級(jí)自招班

有理數(shù)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)第一講有理數(shù)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)第一講基本要求（1）有理數(shù)的分類，并準(zhǔn)確判斷一個(gè)數(shù)是哪一類有理數(shù)；（2）了解正數(shù)負(fù)數(shù)的實(shí)際意義、相反數(shù)、倒數(shù)、負(fù)倒數(shù)、絕對(duì)值的概念；（3）能熟練進(jìn)行有理數(shù)的加、減、乘、除及其混合運(yùn)算；正確性和速度——兩手都要抓，兩手都要硬?、诺呢?fù)倒數(shù)是；的相反數(shù)是.⑵年元旦上海和北京的夜間氣溫分別是和，兩者相差.⑴；⑵⑴.⑵.⑴⑵有理數(shù)的認(rèn)識(shí)有理數(shù)：正數(shù)與負(fù)數(shù)正數(shù)：大于的數(shù)叫做正數(shù)，如、、．正數(shù)前面的“”可以省略，與表示是同一個(gè)正數(shù)．負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上負(fù)號(hào)“”的數(shù)叫做負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)小于．如、、．【注意】①數(shù)既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)．②一個(gè)數(shù)前面的“”，“”號(hào)叫做它的符號(hào)．③用正、負(fù)數(shù)表示相反意義的量：比如用正數(shù)表示向南，那么向北可以用負(fù)數(shù)表示為．有理數(shù)的定義整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)（）,一切有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)形式.有理數(shù)的分類【注意】①正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)；②負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)；③正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)；④負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù)．小數(shù)與有理數(shù)數(shù)軸定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線．【注意】①原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度稱為數(shù)軸的三要素，三者缺一不可．②單位長(zhǎng)度和長(zhǎng)度單位是兩個(gè)不同的概念，前者指所取度量單位的長(zhǎng)度，后者指所取度量單位的名稱，即單位長(zhǎng)度是一條人為規(guī)定的代表“”的線段，這條線段可長(zhǎng)可短，按實(shí)際情況來規(guī)定，同一數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度一旦確定，則不能再改變．有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系：一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來；注意：數(shù)軸上的點(diǎn)不都代表有理數(shù)，如；一般地，數(shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù)．?dāng)?shù)軸畫法的常見錯(cuò)誤舉例：錯(cuò)例原因無原點(diǎn)沒有正方向單位長(zhǎng)度不統(tǒng)一沒有單位長(zhǎng)度相反數(shù)定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)．特別地，的相反數(shù)仍是．注意點(diǎn)：相反數(shù)必須成對(duì)出現(xiàn)，不能單獨(dú)存在．例如：與互為相反數(shù)，而與雖然符號(hào)不同，但它們不互為相反數(shù)．實(shí)數(shù)的相反數(shù)是，零的相反數(shù)是零；數(shù)軸上表示相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；如果與互為相反數(shù)，那么，，；如果與互為相反數(shù)，且都不為零，那么．絕對(duì)值絕對(duì)值的意義代數(shù)意義：一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；的絕對(duì)值是．幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．?dāng)?shù)的絕對(duì)值記作．求字母的絕對(duì)值：①②③絕對(duì)值的非負(fù)性任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值不是正數(shù)就是，即絕對(duì)值的結(jié)果都是非負(fù)的，記作【注意】①去絕對(duì)值也是一種運(yùn)算，運(yùn)算符號(hào)是“”，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，就是根據(jù)性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)．②任何一個(gè)有理數(shù)都是由兩部分組成：符號(hào)和它的絕對(duì)值，如：的符號(hào)是負(fù)號(hào)，絕對(duì)值是．倒數(shù)倒數(shù)：乘積為的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．互為倒數(shù)，則；反之亦然．負(fù)倒數(shù)：乘積為的兩個(gè)數(shù)互為負(fù)倒數(shù)．若互為負(fù)倒數(shù)，則．反之亦然．【注意】①倒數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)數(shù)不能稱為倒數(shù)；②互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)乘積為；零沒有倒數(shù)；③如果與互為倒數(shù)，那么，，；④如果與互為負(fù)倒數(shù)，那么，，；⑤求一個(gè)非零有理數(shù)的倒數(shù)，把它的分子和分母顛倒位置即可．★☆☆☆☆在下表適當(dāng)?shù)目崭窭锎蛏稀啊獭碧?hào)．整數(shù)分?jǐn)?shù)正數(shù)負(fù)數(shù)有理數(shù)非正數(shù)非負(fù)整數(shù)非正分?jǐn)?shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正數(shù)負(fù)數(shù)有理數(shù)非正數(shù)非負(fù)整數(shù)非正分?jǐn)?shù)√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√★★☆☆☆⑴將，，，，，，這七個(gè)數(shù)，按照從小到大的順序排列為.⑵三個(gè)有理數(shù)、、在數(shù)軸上的位置如圖所示，則（）A.B.C.D.⑶已知，試比較，，，，，的大小，按照從大到小的順序排列為.⑴⑵⑶★★☆☆☆⑴下列說法中錯(cuò)誤的是（）A.互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等B.有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示C.任何一個(gè)有理數(shù)都有相反數(shù)D.一切小數(shù)都是有理數(shù)⑵下列說法中，正確的序號(hào)是（）①一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；②倒數(shù)等于本身的數(shù)是和；③若一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，則這個(gè)數(shù)一定是正數(shù)；④零的絕對(duì)值和相反數(shù)都是它本身；⑤兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值較大的負(fù)數(shù)反而小A.①②④B.①③④C.①③⑤D.①④⑤⑶下列說法中，正確的有（）句①一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù)，就是分?jǐn)?shù)；②一個(gè)有理數(shù)不是正的，就是負(fù)的；③一個(gè)整數(shù)不是正的，就是負(fù)的；④一個(gè)分?jǐn)?shù)不是正的，就是負(fù)的；⑤沒有最大的非正數(shù)，也沒有最小的非負(fù)數(shù)；A.B.C.D.⑷和是滿足的有理數(shù)，下面四句話中，正確的有（）句①的相反數(shù)是；②的相反數(shù)是的相反數(shù)與的相反數(shù)的差；③的相反數(shù)是的相反數(shù)和的相反數(shù)的乘積；④的倒數(shù)是的倒數(shù)和的倒數(shù)的乘積A.B.C.D.⑸若三個(gè)數(shù)互不相等，則在，，中，正數(shù)一定有（）A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)⑴⑵⑶⑷⑸★★★☆☆⑴的相反數(shù)是.⑵已知的倒數(shù)是，則的負(fù)倒數(shù)為.⑶若，則；若，則.⑷已知，則的值是.⑴⑵⑶；⑷★★★☆☆⑴數(shù)軸上有,,三點(diǎn)，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是，點(diǎn)到點(diǎn)的距離是，則點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是.⑵數(shù)軸上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，則的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為.（用表示）⑶如圖所示，數(shù)軸上三個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，，，相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離相等，且滿足，則.⑴點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是或，所以點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是或或或；⑵；⑶.★★★☆☆三個(gè)互不相等的有理數(shù)，既可以表示為，，的形式，也可以表示為，，的形式，求的值.易知，則，即，此時(shí)兩組數(shù)為和，所以，，得.有理數(shù)的四則運(yùn)算有理數(shù)的加法有理數(shù)加法法則：同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加．絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．一個(gè)數(shù)同相加，仍得這個(gè)數(shù)．有理數(shù)加法的運(yùn)算步驟：法則是運(yùn)算的依據(jù)，根據(jù)有理數(shù)加法的運(yùn)算法則，可以得到加法的運(yùn)算步驟：①確定和的符號(hào)；②求和的絕對(duì)值，即確定是兩個(gè)加數(shù)的絕對(duì)值的和或差．有理數(shù)加法的運(yùn)算律：加法交換律：兩個(gè)加數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變，即.加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變．即.有理數(shù)加法的運(yùn)算技巧：①分?jǐn)?shù)與小數(shù)均有時(shí)，應(yīng)先化為統(tǒng)一形式；②帶分?jǐn)?shù)可分為整數(shù)與分?jǐn)?shù)兩部分參與運(yùn)算；③多個(gè)數(shù)相加時(shí)，若有互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，可先結(jié)合相加得零；④若有可以湊整的數(shù)，即相加得整數(shù)時(shí)，可先結(jié)合相加；⑤若有同分母的分?jǐn)?shù)或易通分的分?jǐn)?shù)，應(yīng)先結(jié)合在一起；⑥符號(hào)相同的數(shù)可以先結(jié)合在一起．有理數(shù)的減法有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即有理數(shù)減法的運(yùn)算步驟：①把減號(hào)變?yōu)榧犹?hào)（改變運(yùn)算符號(hào)）②把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)（改變性質(zhì)符號(hào)）③把減法轉(zhuǎn)化為加法，按照加法運(yùn)算的步驟進(jìn)行運(yùn)算．有理數(shù)加減混合運(yùn)算的步驟：①把算式中的減法轉(zhuǎn)化為加法；②省略加號(hào)與括號(hào)；③利用運(yùn)算律及技巧簡(jiǎn)便計(jì)算，求出結(jié)果．【注意】根據(jù)有理數(shù)減法法則，減去一個(gè)數(shù)等于加上它的相反數(shù)，因此加減混合運(yùn)算可以依據(jù)上述法則轉(zhuǎn)變?yōu)橹挥屑臃ǖ倪\(yùn)算，即為求幾個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)和的和，這個(gè)和稱為代數(shù)和．為了書寫簡(jiǎn)便，可以把加號(hào)與每個(gè)加數(shù)外的括號(hào)均省略，寫成省略加號(hào)和的形式．例如：，它的含義是正，負(fù)，正，正，負(fù)的和．有理數(shù)的乘法有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；任何數(shù)同相乘，都得．有理數(shù)乘法的運(yùn)算步驟：先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值，有括號(hào)的先算括號(hào)里的數(shù).有理數(shù)乘法運(yùn)算律：乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等，即．乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等，即．乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加，即．有理數(shù)乘法法則的推廣：幾個(gè)不等于的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積為正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積為負(fù)數(shù)．幾個(gè)數(shù)相乘，如果有一個(gè)因數(shù)為，則積為．在進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，若有帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化為假分?jǐn)?shù)，便于約分；若有小數(shù)及分?jǐn)?shù)，一般先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，或湊整計(jì)算；利用乘法分配律及其逆用，也可簡(jiǎn)化計(jì)算．“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用一：口訣“奇負(fù)偶正”在多處知識(shí)點(diǎn)中均提到過，它具體的應(yīng)用有如下幾點(diǎn)：①多重負(fù)號(hào)的化簡(jiǎn)，這里奇偶指的是“－”的個(gè)數(shù)，例如：；．②有理數(shù)乘法，當(dāng)多個(gè)非零因數(shù)相乘時(shí)，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號(hào)，例如：，而．有理數(shù)的除法有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)：（）；兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除；除以任何一個(gè)不等于的數(shù)，都等于．有理數(shù)除法的運(yùn)算步驟：首先確定商的符號(hào)，然后再求出商的絕對(duì)值．★★☆☆☆⑴下列說法正確的是（）A.兩個(gè)有理數(shù)的和一定大于任何一個(gè)加數(shù)B.兩個(gè)有理數(shù)的和一定大于其中的一個(gè)加數(shù)C.兩個(gè)有理數(shù)的和一定大于這兩個(gè)數(shù)的差D.較小的有理數(shù)減去較大的有理數(shù)的差一定是負(fù)數(shù)⑵個(gè)不全相等的有理數(shù)之和為，那么一定有結(jié)論（）A.至少有一個(gè)是零B.至少有個(gè)正數(shù)C.至少有一個(gè)負(fù)數(shù)D.至多有個(gè)負(fù)數(shù)⑶若，則下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（）A.一定是正數(shù)B.可能是負(fù)數(shù)C.一定是正數(shù)D.一定是正數(shù)⑴⑵⑶★★★☆☆計(jì)算：⑴⑵⑶⑴原式⑵原式⑶原式★★★☆☆⑴已知、互為倒數(shù)，、互為相反數(shù)，為最大的負(fù)整數(shù)，為絕對(duì)值最小的數(shù)，則的值是.⑵已知且、互為相反數(shù)，、互為負(fù)倒數(shù)，的絕對(duì)值為，則代數(shù)式的值是.⑴由題意得，，，，則原式.⑵由題意得，，，，則原式或.★★★☆☆如果個(gè)不同的正整數(shù)滿足，那么的值是多少？.★★★★☆數(shù)軸上標(biāo)有個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的都是整數(shù)（它們稱為整點(diǎn)），它們對(duì)應(yīng)的整數(shù)分別是，為了確保從這些整點(diǎn)中可以取出個(gè)，其中任何個(gè)點(diǎn)之間的距離不等于，問的最小值是多少？的最小值是將數(shù)軸上的個(gè)點(diǎn)，自左端開始，連續(xù)個(gè)點(diǎn)為一組，每組僅取右邊個(gè)點(diǎn)，這樣就可以確保所取出的點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)之間的距離不等于．從多少組中才能取出個(gè)點(diǎn)？，即從組可以取出個(gè)點(diǎn)，另外，再?gòu)牡诮M中取出個(gè)點(diǎn)，就得到個(gè)點(diǎn)．所以，．即數(shù)軸上至少有個(gè)點(diǎn)，就能夠確保從中取出個(gè)，其中任意兩點(diǎn)之的距離不等于，，．當(dāng)時(shí)，可以??；；；；；；和，共個(gè)，其中任何兩個(gè)數(shù)所代表的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都不等于．在整數(shù)之間填入符號(hào)和號(hào)，那么在所有可能的代數(shù)和中，最小的非負(fù)數(shù)是多少？由于整數(shù)的符號(hào)不影響其奇偶性，因此也不影響代數(shù)和的奇偶性，我們首先可以利用：，得知所有可能的代數(shù)和均為奇數(shù)，再考慮到非負(fù)數(shù)這一條件，我們期望這一最小值為．接下來我們的目標(biāo)無非是填入符號(hào)“＋”和“－”湊出來，考慮到共有個(gè)數(shù)，我們需要利用周期性.注意到，，因此容易湊出所要的結(jié)果來：．但是題目中要求在數(shù)與數(shù)之間填入符號(hào)“＋”和“－”號(hào)，所以可以對(duì)算式的前項(xiàng)做處理，修改為：在下列數(shù)中，哪些是整數(shù)？哪些是正數(shù)？哪些是非負(fù)整數(shù)？哪些是有理數(shù)？，，，，，，，，，，整數(shù)：，，，正數(shù)：，，，，，非負(fù)整數(shù)：，，有理數(shù)：，，，，，，，，⑴學(xué)而思校車上原來有人，經(jīng)過個(gè)站點(diǎn)時(shí)上下車情況如下（上車為正，下車為負(fù)）：，，，，最后有人，橫線上應(yīng)填的數(shù)字是．⑵學(xué)而思老師進(jìn)行吃大米飯比賽，以碗為標(biāo)準(zhǔn)，超過次數(shù)用正數(shù)表示，不足的用負(fù)數(shù)表示，其中名老師的成績(jī)?nèi)缦卤恚簭埧】↑S孔孔王陽陽羅小小周虎虎吳瘋瘋方捷捷邢飛飛問：這名老師吃掉米飯的平均值是碗．⑴；⑵.⑴的相反數(shù)的倒數(shù)是，的相反數(shù)是.⑵已知，則.⑶已知的負(fù)倒數(shù)是最大的負(fù)整數(shù)，則.⑷已知的絕對(duì)值和倒數(shù)都等于本身，若，則.⑴相反數(shù)為，再求倒數(shù)為；的相反數(shù)是.⑵由非負(fù)性可得，，所以.⑶最大的負(fù)整數(shù)為，的負(fù)倒數(shù)為，則，得.⑷絕對(duì)值和倒數(shù)都等于本身的數(shù)是，所以，得.⑴已知、都為有理數(shù)，且，，，則、、、的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.⑵有理數(shù)、在數(shù)軸上如圖所示，則（）A.B.C.D.⑶數(shù)軸上有，兩點(diǎn)，如果點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，且，兩點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)的倒數(shù)為.⑷如圖，如果數(shù)到原點(diǎn)的距離是數(shù)到原點(diǎn)的距離的倍，則數(shù)軸的原點(diǎn)是,,,四點(diǎn)中的點(diǎn).⑴將，，，四個(gè)數(shù)表示在數(shù)軸上如下所示：所以，答案選.⑵為負(fù)數(shù)，又，所以且均為正數(shù)，所以，選.⑶點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為