中學數(shù)學教案導數(shù)在函數(shù)中的應用

導數(shù)在函數(shù)中的應用一.基礎知識1.函數(shù)的導數(shù)與單調性在某個區(qū)間內，若>0，則函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞增；若<0,則函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞減.2.函數(shù)的導數(shù)與極值（1）極大值：如果在附近的左側>0，右側<0，且=0，那么是極大值；（2）極小值：如果在附近的左側<0，右側>0，且=0，那么是極小值；3.函數(shù)的導數(shù)與最值(1)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上有最值的條件：一般地，如果在區(qū)間[a,b]上，函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求函數(shù)在區(qū)間[a,b]上最大值與最小值的步驟：①求函數(shù)在區(qū)間（a,b）內的極值；②將函數(shù)的各個極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值4．利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實際問題中各量之間的關系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關系式y(tǒng)＝f(x)；(2)求函數(shù)的導數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和f′(x)＝0的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值；(4)回歸實際問題作答．注意事項1.直線與曲線有且只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線；反之直線是曲線的切線，但直線不一定與曲線有且只有一個公共點．2.(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上單調遞增的充分條件．(2)對于可導函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件．3.求函數(shù)單調區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導數(shù)f′(x)；(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相應的x的范圍．當f′(x)＞0時，f(x)在相應的區(qū)間上是增函數(shù)；當f′(x)＜0時，f(x)在相應的區(qū)間上是減函數(shù)，還可以列表，寫出函數(shù)的單調區(qū)間．4.(1)注意實際問題中函數(shù)定義域的確定．(2)在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內只有一個極值點，那么只要根據(jù)實際意義判定最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數(shù)值比較．二.題型訓練題型一求曲線切線的方程例1.已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲線f(x)在x＝2處的切線方程；(2)求經過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程．變式1.曲線y＝xex＋1在點(0,1)處的切線方程是()A．x－y＋1＝0B．2x－y＋1＝0C．x－y－1＝0D．x－2y＋2.直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b相切于點A(1,3)，則a－b的值為()A．－4B．－1C．3D題型二.求函數(shù)的單調區(qū)間例2.已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)討論f(x)的單調性，并求f(x)的極大值．練習：1.設函數(shù)f(x)＝x(ex－1)－eq\f(1,2)x2，則函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為________．2.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋bx(a，b∈R)．(1)當a＝1時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(2)若f(1)＝eq\f(1,3)，且函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上不存在極值點，求a的取值范圍．題型三.分類討論求函數(shù)的單調區(qū)間例3.已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋blnx(x>0，實數(shù)a，b為常數(shù))．(1)若a＝1，b＝－1，求函數(shù)f(x)的極值；(2)若a＋b＝－2，討論函數(shù)f(x)的單調性．練習：1.已知函數(shù)f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx＋2a＋2，其中a≤2.(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在(0，2]上有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．2.已知a∈R，函數(shù)（1）求的單調區(qū)間（2）證明：當0≤≤1時，+＞0.3.設函數(shù)(Ⅰ)求的單調區(qū)間(Ⅱ)若a=1，k為整數(shù)，且當x>0時，，求k的最大值小結：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性關注四點(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，大多數(shù)情況下歸結為對含有參數(shù)的不等式的解集的討論．(2)在能夠通過因式分解求出不等式對應方程的根時，依據(jù)根的大小進行分類討論．(3)在不能通過因式分解求出根時，根據(jù)不等式對應方程的判別式進行分類討論．(4)討論函數(shù)的單調性是在函數(shù)的定義域內進行的，千萬不要忽視了定義域的限制．題型四.單調性的逆用例4.已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若x＝3是f(x)的極值點，求f(x)的單調區(qū)間．練習：1.已知函數(shù)f(x)＝(x＋a)2－7blnx＋1，其中a，b是常數(shù)且a≠0.(1)若b＝1時，f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調遞增，求a的取值范圍；(2)當b＝eq\f(4,7)a2時，討論f(x)的單調性．2.若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函數(shù)，則a的取值范圍是()A．[－1,0]B．[－1，＋∞)C．[0,3] D．[3，＋∞)3.函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋ax－5在區(qū)間[－1,2]上不單調，則實數(shù)a的范圍是________．4.已知函數(shù)f（x）=的圖像在點P（0,f(0)）處的切線方程為y=3x-2(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值；(Ⅱ)設g（x）=f(x)+是[]上的增函數(shù)，求實數(shù)m的最大。5.已知函數(shù)（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，求在上的最大值和最小值.題型五.求函數(shù)的極值、最值例5.已知函數(shù)在處取得極值為（1）求、的值；（2）若有極大值28，求在上的最大值．練習：1.關于x的方程x3－3x2－a＝0有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是________．2.已知是實數(shù)，1和是函數(shù)的兩個極值點．（1）求和的值；（2）設函數(shù)的導函數(shù)，求的極值點；（3）設，其中，求函數(shù)的零點個數(shù)．3.已知函數(shù)f(x)＝x－1＋eq\f(a,ex)(a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))．(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸，求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值；(3)當a＝1時，若直線l：y＝kx－1與曲線y＝f(x)沒有公共點，求k的最大值．4.已知函數(shù)f(x)＝ax－eq\f(2,x)－3lnx，其中a為常數(shù)．(1)當函數(shù)f(x)的圖象在點(eq\f(2,3)，f(eq\f(2,3)))處的切線的斜率為1時，求函數(shù)f(x)在[eq\f(3,2)，3]上的最小值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上既有極大值又有極小值，求a的取值范圍．題型六.導數(shù)與方程例6.設a為實數(shù)，函數(shù)（1）求極值（2）求與x軸只有一個交點時a的取值范圍變式：若與x軸有2個交點時a的取值范圍？練習：1.設函數(shù)（Ⅰ）求的單調區(qū)間和極值；（Ⅱ）若關于的方程有3個不同實根，求實數(shù)a的取值范圍.（Ⅲ）已知當恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.2.已知函數(shù)上為增函數(shù).（1）求k的取值范圍；（2）若函數(shù)的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍.題型七.利用導數(shù)證明不等式例7.設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R(1)求f(x)的單調區(qū)間與極值；(2)求證：當a＞ln2－