新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章平面解析幾何初步測評選擇性

第2章測評一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.直線2x+3y+1=0的斜率和它在y軸上的截距分別為()A.2,1 B.23C.32,12 D.22.已知直線l經(jīng)過點(3,1),且直線l的一個法向量是(1,1),則l的方程是()A.y=x+4 B.y=x2 C.y=x+2 D.y=x+23.若圓C1:x2+y22x4y4=0,圓C2:x2+y26x10y2=0,則圓C1,C2的公切線條數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.44.已知圓的一條直徑的端點分別是A(1,0),B(3,4),則該圓的方程為()A.(x+1)2+(y2)2=8B.(x1)2+(y+2)2=8C.(x+1)2+(y2)2=32D.(x1)2+(y+2)2=325.經(jīng)過兩條直線2x+y+2=0和3x+4y2=0的交點,且垂直于直線3x2y+4=0的直線方程為 ()A.2x+3y2=0 B.2x+3y+3=0C.3x+2y2=0 D.3x+2y+3=06.經(jīng)過點A(1,2)可作圓x2+y2+mx2y+4=0的兩條切線,則實數(shù)m的取值范圍是()A.(∞,23)∪(23,+∞) B.(5,23)∪(23,+∞)C.(∞,22)∪(22,+∞) D.(5,22)∪(22,+∞)7.已知圓C1與圓C2:(x+2)2+(y1)2=4關(guān)于直線y=x對稱,則圓C1的方程為()A.(x+1)2+(y2)2=4 B.(x1)2+(y2)2=4C.(x+1)2+(y+2)2=4 D.(x1)2+(y+2)2=48.阿波羅尼斯證明過這樣一個命題:平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)k(k>0,k≠1)的點的軌跡是圓,后人將該圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點A,B間的距離為2,動點P滿足|PA||PB|=2,當(dāng)P,A,A.22 B.2 C.223 D二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.若l1與l2為兩條不重合的直線,它們的傾斜角分別是α1,α2,下列命題是真命題的為()A.若l1∥l2,則兩條直線的斜率相等B.若兩條直線的斜率相等,則l1∥l2C.若l1∥l2,則α1=α2D.若α1=α2,則l1∥l210.已知直線l的一個方向向量為u=36,12,且直線l經(jīng)過點(1,2),則下列結(jié)論中正確的是 (A.直線l的傾斜角等于150°B.直線l在x軸上的截距等于2C.直線l與直線3x3y+2=0垂直D.直線l與直線3x+y+2=0平行11.已知直線l1:xy1=0,動直線l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),則下列結(jié)論正確的是()A.存在k,使得直線l2的傾斜角為90°B.對任意的k,直線l1與l2都有公共點C.對任意的k,直線l1與l2都不重合D.對任意的k,直線l1與l2都不垂直12.已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y22x4y+1=0,則下列說法正確的是()A.x2+y2的最大值為2+5B.(x+2)2+(y+1)2的最大值為22+122C.x+y的最大值為3+22D.4x3y的最大值為8三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.我國古代名著《墨經(jīng)》中給出了圓的定義為“一中同長也”.已知O為坐標(biāo)原點,P(1,3),若☉O,☉P的“長”分別為1,r(r>0),且兩圓相切,則r=.

14.已知直線l:mxy=1,若直線l與直線xmy1=0平行,則實數(shù)m的值為.動直線l被圓C:x2+y2+2x24=0截得弦長的最小值為.

15.一個圓過圓C:x2+y22x=0與直線l:x+2y3=0的交點,且圓心在y軸上,則這個圓的方程為.

16.已知P(3,2),M為圓x2+(y2)2=4上的動點,則線段MP長度的取值范圍是.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知直線l1:ax+2y+6=0和l2:x+(a1)y+a21=0(a≠1),試求a為何值時,(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.18.(12分)已知圓C:x2+y2+2x4y4=0.(1)在下列兩個條件中任選一個作答.①已知不過原點的直線l與圓C相切,且在x軸,y軸上的截距相等,求直線l的方程;②從圓外一點P(2,1)向圓引切線,求切線方程.(注:如果選擇兩個條件分別解答,按第一個解答計分)(2)若圓C2:x2+y2=4與圓C相交于D,E兩點,求線段DE的長.19.(12分)已知△ABC的頂點A(4,2),AB邊上的中線CM所在直線方程為xy3=0,AC邊上的高BH所在直線方程為x+2y2=0.求:(1)頂點C的坐標(biāo);(2)點B到直線AC的距離.20.(12分)已知A(0,3),O為坐標(biāo)原點,直線l:y=2x4,設(shè)圓C的半徑為1,圓心在直線l上.(1)若圓心C也在直線y=x1上,過點A作圓C的切線,求切線方程;(2)若圓C上存在點M,使|MA|=2|MO|,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.21.(12分)已知圓C經(jīng)過(2,4),(1,3)兩點,圓心C在直線xy+1=0上,過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C相交于M,N兩點.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若OM·ON=12(O為坐標(biāo)原點),求直線l22.(12分)已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是(6,8),端點A在圓x2+y2=16上運動,M是線段AB的中點,且直線l過定點(1,0).(1)求點M的軌跡方程;(2)記(1)中求得的圖形的圓心為C,若直線l與圓C交于P,Q兩點,求△CPQ面積的最大值,并求此時直線l的方程.

第2章測評1.D將2x+3y+1=0化為斜截式,得y=23x13,所以直線的斜率為23,在y軸上的截距為2.A由直線l的一個法向量為(1,1)可知直線l的斜率為1.因為直線l經(jīng)過點(3,1),且直線l的斜率為1,所以根據(jù)直線的點斜式可得直線l的方程是y1=(x3),整理得y=x+4,故選A.3.B依題意,圓C1:(x1)2+(y2)2=9,圓心為C1(1,2),半徑為r1=3,圓C2:(x3)2+(y5)2=36,圓心為C2(3,5),半徑為r2=6.因為|C1C2|=4+9=13,且r2r1<13<r1+r2,所以圓C1,C2相交,則圓C1,C2故選B.4.B由題意可知,線段AB的中點為(1,2),即該圓的圓心為(1,2).又圓的半徑為r=12|AB|=12(-1-3)2+(0+4)2=22,故圓的方程為(5.A聯(lián)立方程組3x+4y-2=0,因為所求直線垂直于直線3x2y+4=0,所以所求直線的斜率k=23.故所求直線方程為y2=23(x+2),即2x+3y2=0.6.B由x2+y2+mx2y+4=0整理得x+m22+(y1)2=m24∴m243>0,解得m<23或m>2由題意知點A在圓外,∴1+4+m4+4>0,解得m>5.綜上可得,5<m<23或m>23.故選B.7.D設(shè)圓心C2(2,1)關(guān)于直線y=x的對稱點C1的坐標(biāo)為(a,b),則線段C1C2的中點為a-22,b+12,且kC1C2=b-1因為兩圓關(guān)于直線對稱,所以兩圓的半徑相等,即圓C1的半徑為2,所以圓C1的方程為(x1)2+(y+2)2=4.故選D.8.A如圖所示,以經(jīng)過A,B兩點的直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則點A(1,0),B(1,0).設(shè)點P(x,y),因為|PA||整理得x2+y26x+1=0,即(x3)2+y2=8.因為P,A,B三點不共線,所以當(dāng)P點在直線x=3上時,△PAB面積最大,此時三角形的高為22,所以△PAB面積的最大值是12×2×22=22.故選A9.BCD當(dāng)α1=α2=90°時,l1∥l2,但兩條直線斜率不存在,故A錯誤;若兩條直線的斜率相等,且兩直線不重合,可得l1∥l2,故B正確;若l1∥l2,由平行線的性質(zhì),可得α1=α2,故C正確;若α1=α2,由平行線的性質(zhì),可得l1∥l2,故D正確.故選BCD.10.CD因為直線l的一個方向向量為u=36,1所以直線l的斜率為k=12-3設(shè)直線l的傾斜角為α(0≤α<π),則tanα=3,所以α=2π3因為直線l經(jīng)過點(1,2),所以直線l的方程為y+2=3(x1),令y=0,則x=233+1,所以直線l在x軸上的截距為2因為直線3x3y+2=0的斜率為33,直線l的斜率為3,所以3×33=1,所以直線l與直線3x3因為直線3x+y+2=0的斜率為3,直線l的斜率也為3,且兩直線截距不等,所以兩直線平行,故D正確.故選CD.11.ABD當(dāng)k=0時,直線l2斜率不存在,此時l2的傾斜角為90°,故A正確;由x-y-1=0,(k+1)x+ky+k=0,可得當(dāng)k=12時,直線l2:12x12y12=0,即xy1=0,此時直線l1由xy1=0可得直線l1的斜率為1,若直線l2與l1垂直,則直線l2的斜率為-(k+1)k=1,此方程無解,所以對任意的k,直線l1與l212.BCD方程x2+y22x4y+1=0整理可得(x1)2+(y2)2=4,則方程x2+y22x4y+1=0表示的圖形是以點C(1,2)為圓心,2為半徑的圓,如圖所示.代數(shù)式x2+y2表示圓C上的點P(x,y)到原點O的距離的平方,當(dāng)點P為直線OC與圓C的交點,且C在線段OP上時,|OP|取得最大值,即|OP|max=|OC|+2=2+5,所以(x2+y2)max=(2+5)2=9由于代數(shù)式(x+2)2+(y+1)2表示圓C上的點Q(x,y)到點A(2,1)的距離的平方,當(dāng)點Q為直線AC與圓C的交點,且點C在線段AQ上時,|AQ|取得最大值,即|AQ|max=|AC|+2=(-2-1)2+(-所以[(x+2)2+(y+1)2]max=(32+2)2=設(shè)x+y=k,則直線x+yk=0與圓C有公共點,所以圓心到直線的距離|1+2解得322≤k≤3+22,所以x+y的最大值為3+22,故C正確;設(shè)4x3y=t,則直線4x3yt=0與圓C有公共點,所以|4-6-t|42故選BCD.13.1或3由題意,O為坐標(biāo)原點,P(1,3).根據(jù)圓的定義可知,☉O的圓心為O(0,0),半徑為1,☉P的圓心為P(1,3),半徑為r.因為兩圓相切,則有|PO|=r+1或|PO|=|r1|.因為|PO|=(-1)2+(3)2=2,則有解得r=1或3.14.1223由題意得m×(m)(1)×1=0,所以m=±1.當(dāng)m=1時,兩直線重合,舍去,故m=1.因為圓C的方程x2+y2+2x24=0可化為(x+1)2+y2=25,即圓C的圓心為C(1,0),半徑為5.由于直線l:mxy1=0過定點P(0,1),所以過點P且與PC垂直的弦的弦長最短,|PC|=(-1則最短弦長為2×52-(2)15.x2+(y+2)2=10由x解得x所以圓C與直線l的交點為A95,35,B因為直線AB的斜率為12,線段AB的中點為75,所以線段AB的垂直平分線的斜率為2,則可得y45=2x75,即y=2x2.又因為圓心在y軸,所以圓心為(0,2),半徑為圓心到交點B的距離(0-1)2+(-2-1)16.[3,8]因為圓x2+(y2)2=4的圓心坐標(biāo)為C(0,2),半徑r=2.又P(3,2),所以|PC|=(3-0)2+(-2-2)2=5.因為M17.解(1)若l1∥l2,則a(a-1)-1(2)若l1⊥l2,則a+2(a1)=0,解得a=2318.解(1)①將圓C的方程化為(x+1)2+(y2)2=9,∴圓心C的坐標(biāo)為(1,2),半徑為3.∵直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不為零,故直線l的斜率為1.設(shè)直線l的方程為y=x+b,∵直線l與圓(x+1)2+(y2)2=9相切,∴|-1+2-b|2=故所求直線l的方程為y=x+1±32.②將圓C的方程化為(x+1)2+(y2)2=9,∴圓心C的坐標(biāo)為(1,2),半徑為3.當(dāng)過點P的直線斜率不存在時,直線方程為x=2,此時圓心C到直線的距離為3,所以直線x=2是圓C的切線.當(dāng)過點P的直線斜率存在時,設(shè)切線方程為y1=k(x2),即kxy+12k=0.由題意可知|-k-2+1-2∴切線方程為43xy+12×43整理得4x3y5=0.綜上所述,切線方程為4x3y5=0或x=2.(2)聯(lián)立兩圓方程得x①②得2x4y=0,則DE所在直線的方程為x2y=0.則圓心C到直線DE的距離為d=|-1∴線段DE的長為232-(519.解(1)設(shè)C(m,n),由于AB邊上的中線CM所在直線方程為xy3=0,AC邊上的高BH所在直線方程為x+2y2=0.則m-n-3=0,n(2)設(shè)B(a,b),則a解得a則可得B點坐標(biāo)為103,23.由(1)可得直線AC的方程為y-20-2=故點B到直線AC的距離d=2×20.解(1)由題得圓心在直線l:y=2x4和直線y=x1上,則可得y=2x-4,y設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y3=k(x0),即kxy+3=0,由直線kxy+3=0與圓C相切,可得|3k-2+3|k2+1=1,解得k=0或k=34,故所求切線方程為(2)根據(jù)圓心C在直線l:y=2x4上,可設(shè)圓心C為(a,2a4),則圓的方程為(xa)2+(