初升高數(shù)學(xué)最值專題PA+kPB型之阿氏圓問題 【教師版】

阿氏圓

課中講解

模型來源

“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿

足PA：PB=k(k^l),則滿足條件的所有的點(diǎn)P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓.這個(gè)

軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”.

模型建立

如圖1所示，的半徑為R,點(diǎn)A、B都在。0外，P為。0上一動(dòng)點(diǎn),

2

已知R=-OB,

5

2

連接PA、PB,則當(dāng)“PA+^PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定?

2

解決辦法：如圖2,在線段0B上截取0C使0C=§R,則可說明^BPO

22

與APCO相似，貝1J有二PB二PC。故本題求“PA+=PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為

“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)

共線時(shí)，“PA+PC”值最小。

技巧總結(jié)

計(jì)算PA+k?PB的最小值時(shí)，利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似三角

形

問題：在圓上找一點(diǎn)P使得%+攵?心的值最小，解決步驟具體如下：

1.如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP,0B

OP

2.計(jì)算出這兩條線段的長度比==%

0B

3.在OB上取一點(diǎn)C,便得變=4，即構(gòu)造△POMsZ\BOP,則二=%,

OPPB

PC=k-PB

4.貝ij++之AC,當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)可得最小值

例1.已知NA0B=90°,0B=4,0A=6,(DC半徑為2,P為圓上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求AP+’BP的最小值為

2

⑵求京八利的最小值為---------

第（1）問解題基本步驟：構(gòu)造△OPCs/XOBP,貝1」2PC=O匕P=oc"=攵（相似

BPOBOP

比）

①分別連接圓心。與系數(shù)不為1的線段BP的兩端點(diǎn)，即OP,0B;

②計(jì)算嘉的值’則仁嘉號(hào)半徑）

圓心到定點(diǎn)的距離

nr

③計(jì)算0C的長度，由缶=上得:OC=-OP（相彳以比X半徑）

2

④連接AC,當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，AP+-BP=AP+PC>AC

2

⑤計(jì)算AC的長度即為最小值.

例2.菱形A8CD邊長為4,ZABC=60。，點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為4）上一動(dòng)點(diǎn),

連接即、BF,并將ABE/沿BF翻折得△8￡尸，連接￡C,取￡。的中點(diǎn)為點(diǎn)G,連接

DG,則2OG+■!■￡（;最小值為質(zhì).

2一一

AD

【分析】過點(diǎn)DA作OH_LBC交8C的延長線于”，取8C的中點(diǎn)連接GM,在

MC上截取MQ,使得MQ=g,連接GQ,DG.利用相似三角形的性質(zhì)證明

2

GQ=gcG=；CE,求出QD的長即可解決問題.

【解答】解：過點(diǎn)作?！╛L8C交的延長線于”，取8。的中點(diǎn)〃，連接GM,在

MC上截取M。，使得MQ=,，連接GQ,DG.

2

?.AE=EB=2,由翻折的性質(zhì)可知，BE=BE=2,

?;CG=GE,CM=MB,.\GM=-BF=1,

2

\BM=MC=2,MQ=-t:.MG?=MQ.MC,...些=把

2MQMG

/GMQ=NGMC,/.bGMQ^ACMG,..—=—=-,

CGCM2

:.GQ=；GC=*E,

?.?四邊形ABC。是菱形，.?.AB//CD,AB=CD=4f

ZDCH=ZABC=60°f

?.DH工CH,.?.C”=Scos600=2,DH=辰11=2場(chǎng),

37

\QH=QC+CH=-+2=-,

22

二.QD=4DH?+QH?=J(2j5)2+g)2=率，

?「2DG+-CE,=2(DG+-CE,)=2(DG+GQ)..2DQ=>/97,

24

2OG+，C￡的最小值為質(zhì).

2

故答案為質(zhì).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線

段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化

的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

例3.(1)如圖1,己知正方形ABC的邊長為4,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PD+-PC的最小值和PD--PC的最大值.

22

(2)如圖2,已知正方形ABCD的邊長為9,圓B的半徑為6,點(diǎn)P是圓B上

?2

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么尸O+-PC的最小值為：尸。-一尸。的最大值為

3-------31

(3)如圖3,已知菱形ABCD的邊長為4,NB=60°,圓B的半徑為2.點(diǎn)P

是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).那么如+5。的最小值為--------：9Tpe的最

大值為

【解答】解：(1)如圖3中，在5c上取一點(diǎn)G,使得3G=4.

??PB_6_3BC_9-3

?———9??——，

BG42PB62

?.里=弛，?:/PBG=/PBC,

BGPB

:?△PBGs^CBP,

?PG=BG_=_2:.PG=2PC,

**PCPB3

圖3

:?PD+2PC=DP+PG,

3

■:DP+PSDG,

???當(dāng)。、G、P共線時(shí)，po+2pc的值最小，最小值為DG=d52n=

V106.

YPD-2LPC=PD-PSDG,

3

當(dāng)點(diǎn)P在DG的延長線上時(shí)，尸。-工尸。的值最大，最大值為。G=

2

V106.

故答案為的面，V106

（2）如圖4中，在上取一點(diǎn)G,使得BG=1,作。/_LBC于尸.

??PB—2—2BC—4—2

?而一1_，麗___________D

APB=BC>7ZPB/

BGPB//；

//

?PG=BG_=1/Z^7X></

PCPB2'I

.??PG=LPC,\）

2圖4

.??PD+Lpc=DP+PG,

2

；DP+P金DG,???當(dāng)D、G、P共線時(shí)，PO+LPC的值最小，最小值為

2

DG,

在RtZkC。尸中，ZDCF=60°,CD=4,

：.DF=CD*sin60°=273，CF=2,

在RSGO廠中，^=7（2V3）2+（5）2=V37

?:PD-^PC=PD-PSDG,

2

當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)在0G的延長線上時(shí)，尸。-工PC的值最大（如圖2中），最大值

2

為Z）G=V37.___

故答案為倔，V37-

過關(guān)檢測(cè)

1.如圖，點(diǎn)C坐標(biāo)為(2,5),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(7,0),0c的半徑為加，點(diǎn)B在。C

上一動(dòng)點(diǎn)，R的最小值為.

OB+—AB

5

y

［答案］:5.

2.如圖，在Rt^ABC中，Z1.如圖，在RTZ\ABC中，NB=90°,

AB=CB=2,以點(diǎn)B為圓心作圓與AC相切，圓C的半徑為應(yīng)，點(diǎn)P為圓B上

的一動(dòng)點(diǎn)，求”+苧所的最小值.

［答案］:V5.

3.如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為。O,P是00上一動(dòng)點(diǎn)，則行

［答案］:2斯.

4.如圖，等邊△ABC的邊長為6,內(nèi)切圓記為。0,P是。。上一動(dòng)點(diǎn),

則2PB+PC的最小值為.

例4.(2018?七中育才校二診)己知：如圖1,拋物線y=E+for+c與4軸文于

8(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。為頂點(diǎn).

(1)求拋物線解析式及點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)若直線/過點(diǎn)O,P為直線/上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、尸為頂點(diǎn)所作的直角三角形

有.且只有三個(gè)時(shí)，求直線/的解析式；

(3)如圖2,足為。8的中點(diǎn)，將線段OE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE'旋轉(zhuǎn)角為

a(00<a<90°),連接E8、E'C當(dāng)E8+，EC取得最小值時(shí)，求直線8E與拋物線的交

2

【分析】(1)由拋物線的交點(diǎn)式可知拋物線的解析式為y=(x+lXx-3),通過整理可得

到拋物線的解析式，然后利用配方法可得到拋物線的定點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)A、8分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線/總是有交點(diǎn)的，即2個(gè)點(diǎn)。.以

45為直徑的0G如果與直線/相交，那么就有2個(gè)點(diǎn)Q；如果圓與直線/相切，就只有1個(gè)

點(diǎn)Q了，以為直徑作0G,作。。與OG相切，則過。作QEJ_G。，先求得

點(diǎn)Q的坐標(biāo)，于是可求得,的解析式，由圖形的對(duì)稱性可知點(diǎn)Q的坐標(biāo)還可以是(1+百，-1),

然后可求得另一種情況；

(3)取M使OM=?，連接ME,接下來，證明△OA/ES^OEC,從而可得到

4

ME=LcE,故此當(dāng)M、E、B在一條直線上時(shí)，有最小值，最后，依據(jù)勾股

22

定理求得MB的長度即可.

【解答】解：［D???拋物線y=f+bx+c與x軸交于5(3,0)兩點(diǎn),

y=(x+l)(x-3)=x2-2x-3.

y=x2-2x-3=(x-1)2-4,，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4).

(2)過點(diǎn)A、8分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線/總是有交點(diǎn)的，即2個(gè)點(diǎn)Q.

以45為直徑的0G如果與直線/相交，那么就有2個(gè)點(diǎn)Q：如果圓與直線/相切，就只

有1個(gè)點(diǎn)。了.

如圖所示：以AB為直徑作QG,作QD與0G相切，則QG_LQZ),過。作QE_LGO.

vA(-l,O),3(3,0),「.AB=4.:.QG=2.

又?.?DG=4,/.sinZGZ)C=1.sinNGQE=；,.?.GE=1,

:.QE=ylQG2-GE2=yf3..??點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1一石，-1).

k+b=-4

設(shè)/的解析式為y=+則,f-?解得：k=73,b=-4+\/3?

(\-s/3)k+b=-\

直線I的解析式為y=-y/3x+G-4.

由圖形的對(duì)稱性可知：當(dāng)直線/經(jīng)過點(diǎn)(1+75,-1)時(shí)，直線/與OG相切，則

k+b=-4

l>解得：k=邪,b=-4-\/3,

(\+y/3)k+b=-\

.??直線/的解析式為y=x/5x-4-B

綜上所述，直線/的解析式為丁=-瓜+6一4或)，=居-4一檔.

4

(3)如圖所示：取M使OM=二，連接ME.

4

.OE二OC

=oaoM，

MF'OF'11

,,

又???NMOE=4EOC,:.XOMESROEC,：.—=rfL=l.；.ME=-CE.

CE1OC22

E,B+-E,C=BE,+ME,,

2

.,.當(dāng)M、E'、4在一條直線上時(shí)，￡B+」EC有最小值，

2

?/直線BE1的解析式為y=%-1，

直線8￡馬拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,

416

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定知性質(zhì)、銳角三角

函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是確定出取得最小值的條件.

2

過關(guān)檢測(cè)

1.如圖，直線/:y=-3x+3與x軸、y軸分別相交于A、8兩點(diǎn)，拋物線

y=ax2-2ax+a+4（。＜0）經(jīng)過點(diǎn)B,交x軸正半軸于點(diǎn)C.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM,設(shè)點(diǎn)

M的橫坐標(biāo)為胴，A4BM的面積為S,求S與切的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值及

此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）將點(diǎn)A繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)4,連接ar、小v,在旋轉(zhuǎn)過程中，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)8出

發(fā),沿線段&T以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到A,再沿線段ArC以每秒1個(gè)單位長度的

速度運(yùn)動(dòng)到。后停止，求點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少是多少?

【分析】(1)根據(jù)題意可以求得點(diǎn)8的坐標(biāo)，從而可以求得拋物線的解析式；

(2)根據(jù)題意可以求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后根據(jù)題意和圖形可以用含W的代數(shù)式表示出S,

然后將其化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答本題；

(3)根據(jù)題意作出點(diǎn)”，然后利用三角形相似和勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短即可求得/

的最小值.

【解答】解：⑴將x=0代入y=-3x+3,得y=3,.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3),

,拋物線丁二北一2ar+a+4(a<0)經(jīng)過點(diǎn)8,「.3=。+4,得。=一1,

???拋物線的解析式為：丁=-丁+21+3；

(2)將y=0代入)，=-f+2x+3,得％=T,占=3,.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,0),

?.?點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，點(diǎn)A7的橫坐標(biāo)為m,

0vv3,點(diǎn)M的坐標(biāo)為+2m+3),

將丁=0代入)，=-3X+3,得x=l,.,.點(diǎn)A的坐標(biāo)(1,0),

的面積為S,

°°°°c3x叫以(一〉+2川+3)1x3

,?°—。四邊形。AM8一-^ABOM十^XOAM~^AAOB~~~十，

/1/省但C府一5m1,525

化徇，得5=--------=一一（zw一一）2+一，

2228

，當(dāng)m=|時(shí)，S取得最大值，此時(shí)S=個(gè)，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（|,（）,

即S與m的函數(shù)表達(dá)式是S=一些二網(wǎng),S的最大值是—，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)是

2824

（3）如右圖所示，取點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（0,-），連接HA，、OV,

ZHOA!=ZAOB,-=-,—=1,..AO/M's△3出，

OA!3083

，里=3,即絲=A，H,

A〃3

?/A,H+A,C..HC=

嫡

/.[??;-----,

3

即點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少是姬秒.

3

【點(diǎn)評(píng)】這是一道二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)的最值、最短路徑、三角形相似，待

定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，

作出合適的輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解答.

學(xué)習(xí)任務(wù)

1.閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有符合奇=2伏>0且2=1）的點(diǎn)P會(huì)組成一個(gè)圓.這個(gè)

結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

【問題】如圖1,在平面直角坐標(biāo)中，在x軸，），軸上分別有點(diǎn)C（利0）,0（0,〃），點(diǎn)

np

夕是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且OP=r,設(shè)士土=2,求PC+">D的最小值.

OD

圖1圖2

阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：

第一步：如圖1,在8上取點(diǎn)使得QW:O/>=OP:OD=Z；

第二步：證明"”=PM；第三步：連接CM,此時(shí)CM即為所求的最小值.

下面是該題的解答過程（部分）：

解：在8上取點(diǎn)M,使得。?=QP:OD=R,

又/POD=ZMOP,.-.AP9M-ADOP.

任務(wù)：

（1）將以上解答過程補(bǔ)充完整.

（2）如圖2,在RtAABC中，NAC8=90°,4c=4,BC=3,D為AA8C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，

滿足CD=2,利用（1）中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出4力+2A0的最小值.

3

【解答】解（1）在8上取點(diǎn)M,使得OM:OP=OP:OD=3

又，.,4POD=5OP,s.^OM-MX）P.:.MP:PD=k,:.MP=kPD,

:.PC+kPD=PC+MP,當(dāng)+取最小值時(shí)，PC+M尸有最小值，即C,P,M

三點(diǎn)共線時(shí)有最小值,

22

利用勾股定理得CM=y]0C+0M=+(52=J加+42r2.

CD9O4

(2)?.?AC=加=4,—在。上取一點(diǎn)M,使得CM=±8=-，

BC333

圖2

AQ+1BD的最小值為『+（々J=殍.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想

思考問題，屬于中考常考題型.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（2,0）,8（0,2）,C（4,0）,D（3,2）,P是4

AOB外部第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且/BPA=135°,則2尸。+PC的最小值是多

少？

［答案］4收

3.如圖，RtAABC,ZACB=90°fAC=BC=2f以。為頂點(diǎn)的正方形。。所

（C、D、E、尸四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列）可以繞點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且CQ

=花，連接AF,BD

（1）求證：

（2）當(dāng)正方形COEF有頂點(diǎn)在線段48上時(shí)，直接寫出5Q+返A(chǔ)O的

2

值；

（3）直接寫出正方形CQE”旋轉(zhuǎn)過程中，BQ+返A(chǔ)D的最小值.

【解答】(1)證明：如圖1中，

?.?四邊形CDEF是正方形，

：.CF=CD,ZDCF=ZACB=90°,

???ZACF=/DCB,

*：AC=CBt

:?叢FCAQADCB(SAS).

圖i

(2)解：①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)O,E在48邊上時(shí),

a

：AC=BC=2fNACB=90°,

???AB=2正，

VCD1AB,

:?AD=BD=&,

???8。+與1。=亞+1.

②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E,尸在邊AB上時(shí).

BD=CF=y[2fAD=JBD2+AB2=S^，

???3。+返4。=亞+第,

2

(3)如圖4中.取AC的中點(diǎn)M.連接OM,

■:CD=?CM=1,CA=2,

:.B=CM?CA,

，型=里VZDCM=ZACD,

CACD

???△OCMS/XACO,

.DM=CD=V2

**ADACT，

:?DM=?AD,

2

:.BD+返A(chǔ)D=BD+DM,

2

圖4

???當(dāng)8,D,M共線時(shí)，80+返的值最小，

________2

最小值=7CB2+CM2=E

4.如圖，拋物線＞=-/+瓜+。與直線.交于A(_4,-4),8(0,4)兩點(diǎn)，直線

AC:y=—：x—6交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)E是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作￡F_Lx軸交AC

于點(diǎn)尸，交拋物線于點(diǎn)G.

(1)求拋物線y=-f+bx+c的表達(dá)式；

(2)連接G8,EO,當(dāng)四邊形GEO3是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(3)①在y軸上存在一點(diǎn)“，連接HF,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A,E,

產(chǎn)，〃為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E,"的坐標(biāo)；

②在①的前提下，以點(diǎn)E為圓心，E”長為半徑作圓，點(diǎn)"為OE上一動(dòng)點(diǎn)，求

【解答】解：(1)???點(diǎn)A(T,T),3(0,4)在拋物線丁=x2\bx\c±,

b=-2o

,,拋物線的解析式為y=-d-2x+4；

c=4

(2)設(shè)直線AB的解析式為y="+〃過點(diǎn)A,B,

,=4,...「=2,.直線他的解析式為),=2X+4,

[-4k+M=-4[〃=4

設(shè)E(m,2m+4)>-2m+4),

■.?四邊形G反用是平行四邊形，，反；=。8=4,

/.-m2-2m+4-2/n-4=4,:.m=-2

.G(-2,4).

(3)①如圖1,

由(2)知，直線AB的解析式為y=2x+4,.?.設(shè)E(a,2a+4),

,,直線=-gx-6,F(a,-^a-6),

設(shè)”(0,p)，

?.?以點(diǎn)4,E,F,”為頂點(diǎn)的四邊形是矩形,

直線的解析式為y=2X+4,直線AC:y=-^x-6,

:.AB±AC,所為對(duì)角線，戶與A”互相平分，

.-.a=-2,P=-\,"(-2,0).W(0,-l)；

②如圖2,

由①知，次一2,0),”(0,-1),A(-4,-4),

:.EH=下,AE=28

設(shè)AE交0E1于G,取EG的中點(diǎn)P,:.PE=—

2f

連接PC交0E于M,連接EM,

心

PE\

:.EM=EH=y/5,

~ME~115~2

ME卡1PEME_I

?.ZPEM=ZMEA

AE2石2HE~~AE~2

PMME1

:&EMs^MEA..PM=-AM,

~AM~~AE~22

..-AM+CM的最小值=2。,

2

設(shè)點(diǎn)P(p,2〃+4),

E(-2,0),/.PE2=(p+2)2+(2p+4y=5(p+2)2,

PE=當(dāng)，Kp+zyn?,或〃=-|(由于E(-2,0),所以舍去),

P(--,-1),

2

C(0,-6),二PC=J(-j)2+(-l+6)2=苧，

即：—AM+CM='5.

22

【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的

性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，極值的確定，

解(1)的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，解(2)的關(guān)鍵是利用平行四邊形的對(duì)邊相

等建立方程求解，解(3)①的關(guān)鍵是利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程求解，解

(3)②的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，是一道中等難度的題目.

5.如圖1,拋物線y=o^+(a+3)x+3(。工0)與工軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交于點(diǎn)8,

在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(m,0)(0<w<4),過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線仞于點(diǎn)汽，交拋物線

于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)

(1)求。的值和直線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)設(shè)APMN的周長為G，的周長為。2，若邑=色，求機(jī)的值；

C?5

(3)如圖2,在(2)條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE,旋轉(zhuǎn)角為

2

a(00<a<90°),連接EA、EB,求EA+-EB的最小值.

3

【分析】(1)令y=0,求出拋物線與x軸交點(diǎn)，列出方程即可求出。，根據(jù)待定系數(shù)

法可以確定直線45解析式.

(2)由APNMs故NE,推出”=色，列出方程即可解決問題.

AN5

4

(3)在y軸上取一點(diǎn)“使得構(gòu)造相似三角形，可以證明4"就是

E4+—E8的最小值.

3

【解答】解：(1)令y=0,則or2+3+3)x+3=0,.?.(x+l)(ov+3)=0,=或一巳，

a

aq

,拋物線,二?2+m+3)x+3(aH0)與x軸交于點(diǎn)A(4,0)，—=4,:.a=——.

a4

?/A(4,0),8(0,3),

3

設(shè)直線AB解析式為y=辰+匕，則已八，解得"=一鼠

4&+。=0,.

i[b=3

直線AB解析式為y=——x+3.

(2)如圖1中,

A.AB,PE1OA,APMN=ZAEN,?;4PNM=NANE,

.PN6

:."NMSWE,''AN~~5

ANAE5

?.?NE7/OB,/.——=—,:.AN=-(4-fn),

ABOA4

???拋物線解析式為y=-+%+3,

3，o

3933—m~+3mA

PN=——+—7〃+3-(—m+3)=——"I2+3m9-------=-,解得m=2或4,

4444|(4-/n)5

經(jīng)檢驗(yàn)x=4是分式方程的增根，/.m=2.

（3）如圖2中，在），軸上取一點(diǎn)AT使得OAT=g,連接AAT,在A1T上取一點(diǎn)E使得

:。曰=OM'?OB,

3

M'E'OF2

:.叢M'OEs叢EOB,

BE'~~OB~3

.?.”￡=28￡,

3

22

.?.4E+—8E=AE+EAr=AAr,此時(shí)AE+—BE最小(兩點(diǎn)間線段最短，A、“、E

33

共線時(shí)）,

令=刖.

最小值=AAT=4?+

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、最小值問題等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，找到線段W就是EA+2EB的最小值，屬于中考?jí)狠S題.