初升高數(shù)學(xué)最值專題代數(shù)【學(xué)生版】

代數(shù)最值

目標(biāo)層級(jí)圖

課中講解

一.函數(shù)最值

內(nèi)容講解

題型特征：（1）線段最值（2）代數(shù)式最值（3）面積最值

解題策略：（1）設(shè)元

（2）建方程表示出線段及面積的代數(shù)式（勾股，鉛錘法等）

（3）通過(guò)配方，基本不等式性質(zhì)求出最值

題型一數(shù)轉(zhuǎn)形

例L問(wèn)題情境：

在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-4,T）、1）,如果要求A、8兩點(diǎn)之間的距離，可以構(gòu)造

如圖1所示的直角三角形，則A、6兩點(diǎn)之間的距離為.

探究1：求代數(shù)式V71i+J（x-3）2+4的最小值.

探究2：求代數(shù)式“X-2y+1+J（x-+9的最小值.

探究3：代數(shù)式〃+25+Jx2-4x+5的最小值為

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過(guò)關(guān)檢測(cè)

1.求代數(shù)式，/+代+,（10x）2-4的最小值

2.如圖，C為線段8。上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)8、。作ED工BD,連接AC、EC.已

知AB=5,DE=\,BD=S,設(shè)8=x.

（I）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)；

（2）請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最小，求出這個(gè)最小值；

（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，構(gòu)圖求出代數(shù)式值歷+J（15-萬(wàn)、25的最小值.

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3.背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力.千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之

若萼，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者.向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的

證法.

小試牛刀：把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長(zhǎng)分別為a、b.c.顯然，

/DAB=NB=90。，AC1OE.請(qǐng)用a、/?、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、AEBC

的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：

S梯形AM。=一耳〃(?十刀一，

S^EBC=---------?

S四邊形AECO=---'

則它們滿足的關(guān)系式為—經(jīng)化簡(jiǎn)，可得到勾股定理.

知識(shí)運(yùn)用：

(1)如圖2,鐵路上A、3兩點(diǎn)(看作直線上的兩點(diǎn))相距40千米，C、。為兩個(gè)村莊(看

作兩個(gè)點(diǎn))，AD±ABtBC1AB,垂足分別為A、B,AO=25千米，BC=16千米,

則兩個(gè)村莊的距離為一千米(直接填空)；

(2)在(1)的背景下，若45=40千米，4)=24千米，BC=16千米，要在上建造一

個(gè)供應(yīng)站P,使得PC二陽(yáng)，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖2中作出尸點(diǎn)的位置并求出AP的距離.

知識(shí)遷移：借助上面的思考過(guò)程與幾何模型，求代數(shù)式V7有+廊二F而的最小值

(0<x<16)

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題型二反比例函數(shù)中的最值問(wèn)題

例1.如圖，直線y=2x+6與反比例函數(shù)y=幺(?？>0)的圖象交于點(diǎn)A(l,機(jī))，與彳軸交于點(diǎn)

B,平行于x軸的直線y=〃(0<〃<6)交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)“，交AB于點(diǎn)、N,連接

BM.

(1)求川的值和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)觀察圖象，直接寫出當(dāng)冗〉0時(shí)，不等式2x+6-Av。的解集；

X

(3)當(dāng)〃為何值時(shí)，腦V的面積最大？最大值是多少？

過(guò)關(guān)檢測(cè)

1.如圖，函數(shù)y=A/+b的圖象與函數(shù)%=%(x>0)的圖象交于A、3兩點(diǎn)，已知

x

8(2,1)

(1)求川的值及X、%的函數(shù)表達(dá)式；

(2)不等式為>y的解集是或1>2_；

(3)設(shè)點(diǎn)。是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸。lx軸于點(diǎn)O，E是y軸上一點(diǎn)，求

△PED的面積S的取值范圍.

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2.如圖，直線），=2x+6與反比例函數(shù)y=K（z>o）的圖象交于點(diǎn)A（1M，與x軸交于點(diǎn)3,

X

平行于x軸的直線y=〃（0<〃<6）交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)反，交AB于點(diǎn)、N,連接

BM.

（1）求小的值和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）觀察圖象，直接寫出當(dāng)X>0時(shí)不等式2x+6-&V0的解集;

X

（3）直線）』〃沿y軸方向平移，當(dāng)〃為何值時(shí)，的面積最大？最大值是多少？

，個(gè)y=2x+6

3.已知一次函數(shù)），=用”+力與反比例函數(shù)y=幺的圖象交于第一象限內(nèi)的p（L8）,Q4,m）

x2

兩點(diǎn)，與x軸交于A點(diǎn).

（1）分別求出這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

（2）直接寫出不等式審+人…&的解集；

X

（3）”為線段尸。上一點(diǎn)，且M/Vlx軸于AL求AWON的面積最大值及對(duì)應(yīng)的“點(diǎn)坐

標(biāo).

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題型三二次函數(shù)中的最值問(wèn)題

例1.(2020?成都)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=cd+屈+c與x軸交于4(-1,0),

8(4,0)兩點(diǎn)，與>軸交于點(diǎn)。(0,-2).

(I)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)如圖1,點(diǎn)D為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接4),BC交于點(diǎn)E,連接87),記她/犯

S

的面積為5-AABE的面積為S2,求金的最大值：

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例2.(2020?成華區(qū)模擬)如圖，拋物線)，=改2+法+c與不軸交于點(diǎn)A(T,0),8(5,0),與

y軸交于點(diǎn)C(O,5)，頂點(diǎn)為。，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E.

(1)求該拋物線的一般式；

(2)若點(diǎn)。為該拋物線上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)。在對(duì)稱軸心化的右側(cè)，求四邊形OEBQ

面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

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例3.將形狀、大小完全相同的兩個(gè)等腰三角形如圖所示放置，點(diǎn)。在48邊上，△。石尸繞

點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，腰D尸和底邊DE分別交ACAS的兩腰C4,CB于M,N兩點(diǎn)，若CA=5,

4B=6，AD:AB=\:3,則MO+---的最小值為_(kāi)__________.

MA?DN

過(guò)關(guān)檢測(cè)

1.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y_Y+伏_1?一左與直線）=依+1交于人，b兩點(diǎn)，點(diǎn)A

在點(diǎn)5的左側(cè).

（1）如圖1,當(dāng)A=1時(shí)，直接寫出A，〃兩點(diǎn)的坐標(biāo);

（2）在（1）的條件下，點(diǎn)尸為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線A3下方，試求出AA3P面

積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

（3）如圖2,拋物線￥=丁+（攵-1）“一依4:>0）與x軸交于點(diǎn)c、。兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)。的左

側(cè)），在直線產(chǎn)質(zhì)+1上是否存在唯一一點(diǎn)。，使得NOQC=90。？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)4的

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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2.（2020"成都模擬）如圖，一次函數(shù)y=：x-2的圖象與“軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)6,

點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-1,0），二次函數(shù),=以2+hx+c（a工0）的圖象經(jīng)過(guò)A,B>￡>三點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖1,已知點(diǎn)G（l,m）在拋物線上，作射線AG，點(diǎn)H為線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)〃作

HE_Ly軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)“作“j,AG于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)“作軸交AG于點(diǎn)尸，交拋物

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3.如圖，一次函數(shù)尸=一］十2的圖象與坐標(biāo)軸交于A、6兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,0)，二

次函數(shù)丁=以2+瓜的圖象經(jīng)過(guò)A、R、。三點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖1,已知點(diǎn)在拋物線上，作射線8/),點(diǎn)。為線段回上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作

QMJ,)，軸于點(diǎn)“，作QN_L8。于點(diǎn)“，過(guò)。作QP〃y軸交拋物線于點(diǎn)P,當(dāng)QM與QN

的積最大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

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學(xué)習(xí)任務(wù)

1.如圖，AD.LAB,BC1AB,且A￡)=2,BC=3,AB=12,尸是線段AB上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，連接PC

(1)設(shè)AP=X,用二次根式表示線段正，PC的長(zhǎng)；

(2)設(shè)y=2。+「。，求當(dāng)點(diǎn)P在線段A8上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y的最小值；

(3)利用(2)的結(jié)論，試求代數(shù)式+J(24-x)2+式的最小值.

2.(2019?鄲都區(qū)模擬)如圖，直線與雙曲線為=2在第一象限內(nèi)交于4、8兩

X

點(diǎn)，已知4LM，8(2,1).

(1)直接寫出不等式為〉y的解集；

(2)求直線的解析式；

(3)設(shè)點(diǎn)尸是線段他上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PQ_Lx軸于點(diǎn)上是》軸上一點(diǎn)，求

APED的面積S的最大值.

AV

II

3.(2020?青白江區(qū)模擬)如圖，拋物線)，