重點突圍：專題08 矩形、菱形、正方形中動點及最值問題（解析版）-人教八下期中綜合復(fù)習(xí)

八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末綜合復(fù)習(xí)專題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版）專題08矩形、菱形、正方形中動點及最值問題【典型例題】1．（2021·北京·八年級期中）如圖，在四邊形中，，，，，，點從點出發(fā)，以的速度向點運動；點從點同時出發(fā)，以的速度向點運動．規(guī)定其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之停止運動．設(shè)點，運動的時間為ts．（1）邊的長度為________，的取值范圍為________．（2）從運動開始，當(dāng)________時，．（3）在整個運動過程中是否存在值，使得四邊形是菱形．若存在，請求出值；若不存在，請說明理由．【答案】（1），；（2）或；（3）不存在，見解析．【解析】【分析】（1）過點作于，再利用勾股定理，即可得出結(jié)論，用點，的運動速度，即可求出t的范圍；（2）構(gòu)造出直角三角形，表示出，利用勾股定理建立方程求解，即可得出結(jié)論；（3）先利用求出時間，再求出，進(jìn)而得出，判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1，過點作于，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，根據(jù)勾股定理得，，點在上運動，，點在上運動，，，故答案為，；（2）如圖2，過點作于，則四邊形是矩形，，，，，，根據(jù)勾股定理得，，或，故答案為或；（3）不存在，理由：得四邊形是菱形，，，，此時，，而，四邊形不可能是菱形．【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．【專題訓(xùn)練】選擇題1．（2022·全國·八年級）如圖，在長方形ABCD中，AB＝10cm，點E在線段AD上，且AE＝6cm，動點P在線段AB上，從點A出發(fā)以2cm/s的速度向點B運動，同時點Q在線段BC上．以vcm/s的速度由點B向點C運動，當(dāng)△EAP與△PBQ全等時，v的值為（）A．2 B．4 C．4或 D．2或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知當(dāng)△EAP與△PBQ全等時，有兩種情況：①當(dāng)EA=PB時，△APE≌△BQP，②當(dāng)AP=BP時，△AEP≌△BQP，分別按照全等三角形的性質(zhì)及行程問題的基本數(shù)量關(guān)系求解即可．【詳解】解：當(dāng)△EAP與△PBQ全等時，有兩種情況：①當(dāng)EA=PB時，△APE≌△BQP（SAS），∵AB=10cm，AE=6cm，∴BP=AE=6cm，AP=4cm，∴BQ=AP=4cm；∵動點P在線段AB上，從點A出發(fā)以2cm/s的速度向點B運動，∴點P和點Q的運動時間為：4÷2=2s，∴v的值為：4÷2=2cm/s；②當(dāng)AP=BP時，△AEP≌△BQP（SAS），∵AB=10cm，AE=6cm，∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6cm，∵5÷2=2.5s，∴2.5v=6，∴v=．故選：D．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，注意數(shù)形結(jié)合和分類討論并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．2．（2021·上?！ぐ四昙壠谥校┤鐖D，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點P是AD邊上的一個動點，過點P分別作PEAC于點E，PFBD于點F．若AB=6，BC=8，則PE+PF的值為（

）A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4【答案】C【解析】【分析】首先連接OP．由矩形ABCD的兩邊AB=6，BC=8，可求得OA=OD=5，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP求得答案．【詳解】解：連接OP，∵矩形ABCD的兩邊AB=6，BC=8，∴S矩形ABCD=AB?BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC==10，∴S△AOD=S矩形ABCD=12，OA=OD=5，∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA?PE+OD?PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12，∴PE+PF==4.8．故選：C．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．（2021·河南鎮(zhèn)平·八年級期中）如圖，已知菱形ABCD的頂點A的坐標(biāo)為（﹣，0），頂點B的坐標(biāo)為（0，﹣1），若動點P從點A出發(fā)，沿A→B→C→D→A→B→…的路徑，在菱形的邊上以每秒2個單位長度的速度移動，則第2021秒時，點P的坐標(biāo)為（）A．（﹣，0） B．（0，1） C．（0，﹣1） D．（，0）【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點A的坐標(biāo)和頂點B的坐標(biāo)可以求出菱形的邊長，進(jìn)而找出運動規(guī)律，從而算出第2021秒時點P的位置．【詳解】解：∵菱形ABCD的頂點A的坐標(biāo)為（﹣，0），頂點B的坐標(biāo)為(0，﹣1)，∴OA=，OB=1，∴在Rt△ADO中，AB=，即菱形的邊長為2，∴P點走一圈所用的時間為4秒，∵2021=505×4+1，∴第2021秒時，點P在B點的位置，∴∴點P的坐標(biāo)為(0，-1)；故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，點的坐標(biāo)規(guī)律，涉及了勾股定理，點的坐標(biāo)變化等，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．4．（2022·廣東高州·九年級期末）如圖，平行四邊形ABCD的邊BC上有一動點E，連接DE，以DE為邊作矩形DEGF且邊FG過點A．在點E從點B移動到點C的過程中，矩形DEGF的面積（）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．一直變大 D．保持不變【答案】D【解析】【分析】連接AE，根據(jù)，推出，由此得到答案．【詳解】解：連接AE，∵，∴，故選：D．．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正確連接輔助線AE是解題的關(guān)鍵．5．（2021·廣東·深圳市東升學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖①，在菱形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿折線B→C→D→B運動．設(shè)點P經(jīng)過的路程為x，△ABP的面積為y．把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖②所示，則圖②中的b等于（

）A．8 B．3 C．6 D．12【答案】B【解析】【分析】連接AC交BD于O，根據(jù)圖②求出菱形的邊長為4，對角線BD為6，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出BO，再利用勾股定理列式求出CO，然后求出AC的長，再根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半求出菱形的面積，b為點P在CD上時△ABP的面積，等于菱形的面積的一半，從而得解．【詳解】解：如圖，連接AC交BD于O，由圖②可知，BC＝CD＝4，BD＝14－8＝6，∴BO＝BD＝×6＝3，在Rt△BOC中，CO＝，AC＝2CO＝2，所以，菱形的面積＝AC?BD＝×2×6＝6，當(dāng)點P在CD上運動時，△ABP的面積不變，為b，所以，b＝×6＝3．故選：B．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，主要利用了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，菱形的面積等于對角線乘積的一半，根據(jù)圖形得到菱形的邊長與對角線BD的長是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2021·廣東南?！ぞ拍昙夒A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點，則AM的最小值是______________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，AM=EF，利用三個直角的四邊形是矩形，得到EF=AP，得AM=AP，當(dāng)AP最小時，AM有最小值，根據(jù)垂線段最短，計算AP的長即可．【詳解】∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴BC==5，∴BC邊上的高h(yuǎn)=，∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四邊形AEPF是矩形，∴AP=EF，∵∠BAC=90°，M為EF的中點，∴AM=EF，∴AM=AP，∴當(dāng)AP最小時，AM有最小值，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)AP為BC上的高時即AP=h時最短，∴AP的最小值為，∴AM的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短原理，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2021·重慶大足·九年級期末）如圖，長方形ABCD中，，，E為BC上一點，且，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，將EF繞著點E順時針旋轉(zhuǎn)30°到EG的位置，連接FG和CG，則CG的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意將線段BE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段ET，連接GT，過E作，垂足為J，進(jìn)而結(jié)合全等三角形判定可得當(dāng)CG⊥TG時，CG的值最小，依據(jù)矩形的性質(zhì)和含30°的直角三角形進(jìn)行分析計算即可得出答案.【詳解】解：如圖，將線段BE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段ET，連接GT，過E作，垂足為J，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°，∵∠BET=∠FEG=30°，∴∠BEF=∠TEG，在△EBF和△TEG中，，∴△EBF≌△ETG（SAS），∴∠B=∠ETG=90°，∴點G的在射線TG上運動，∴當(dāng)CG⊥TG時，CG的值最小，∵∠EJG=∠ETG=∠JGT=90°，∴四邊形ETGJ是矩形，∴∠JET=90°,GJ=TE=BE=2，∵∠BET=30°，∴∠JEC=180°-∠JET-∠BET=60°，∵，∴,∴CG=CJ+GJ=.∴CG的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．8．（2021·四川瀘縣·八年級期末）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動點，連接AE，EF，G，H分別為AE，EF的中點，連接GH．若，，則GH的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】連接AF，利用三角形中位線定理，可知GH=AF，求出AF的最小值即可解決問題．【詳解】連接AF，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，AB=BC=2∵G，H分別為AE，EF的中點，∴GH是△AEF的中位線，GH=AF，當(dāng)AF⊥BC時，AF最小，GH得到最小值，則∠AFB=90°，∵∠B=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=AB=×2=，∴GH=即GH的最小值為故答案為：【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．9．（2021·遼寧·沈陽市第四十三中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD，邊長為7，點E在邊BC上，，點F是AB邊上一動點，連接EF，以EF為邊向右作等邊，連接CG，線段CG的最小值是___________．【答案】【解析】【分析】把△EBF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△EHG，如圖，延長HG交CD于M，過C點作CQ⊥HM，過E點作EP⊥CQ，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BEH＝60°，EB＝EH＝2，∠EHG＝∠EBF＝90°，易得四邊形HEPQ為矩形，則PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，接著計算出CP，從而得到CQ的長，然后利用垂線段最短得到CG的最小值．【詳解】解：∵△EFG為等邊三角形，∴EF＝EG，把△EBF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△EHG，如圖，延長HG交CD于M，過C點作CQ⊥HM，過E點作EP⊥CQ，∴∠BEH＝60°，EB＝EH＝2，∠EHG＝∠EBF＝90°，即G點在過H點且垂直于EH的線段HM上，易得四邊形HEPQ為矩形，∴PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，∵∠CEP＝90°?∠BEH＝30°，∴CP＝CE＝＝，∴CQ＝CP＋PQ＝＋2＝．∴CG的最小值為．故答案為．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，比較綜合．10．（2021·河南·平頂山市第十三中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，點P是對角線AC上的一個動點（不與A，C兩點重合），過點P作EF⊥AC分別交AD，AB于點E，F(xiàn)，將△AEF沿EF折疊，點A落在點A′處，當(dāng)△A′BC是等腰三角形時，AP的長為_______．【答案】或##或【解析】【分析】分兩種情形①CA'=CB，②A'C=A'B，分別求解即可解決問題．【詳解】解：在菱形ABCD中，連接DB交AC于點O，則AC=2AO∵∠BAD=60°，∴∠BAC=30°，∵AB=2，∴∴∴AC=，①當(dāng)CA'=BC=2時，AA'=AC-CA'=，∵將△AEF沿EF折疊，點A落在點A'處，∴AP=AA'=．②當(dāng)A'C=A'B時，∵∠BAC=∠ACB=30°，∴∠A'CB=∠A'BC=30°，∵∠ABC=120°，∴∠ABA'=90°，∵∴，即∴∴∴AA'=，∴AP=AA'=．故答案為：或．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、翻折變換、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論，不能漏解．三、解答題11．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB＝4．BD＝5．點P是線段AO上一動點（不與A，O重合）．點E與點P在AD所在直線的兩側(cè)．AE⊥AB．AE＝BD．點F在AD邊上，DF＝AP．連接PE，BF．(1)補全圖形，求PE：BF的值；(2)連接BP，點P在何處時BP+BF取得最小值？并求出這個最小值．【答案】(1)圖見解析，PE：BF＝1(2)點P在BE與OA的交點處時，【解析】【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可，利用全等三角形的性質(zhì)證明PE=BF，可得結(jié)論．（2）當(dāng)點P在BE與OA的交點處時，BP+BF的值最小，最小值BE=．(1)圖形如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠DAO＝∠BAO，∴∠AOD＝90°，∵EA⊥AB，∴∠EAP+∠BAO＝90°，∵∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠EAP＝∠BDF，∵AE＝DB，AP＝DF，∴△EAP≌△BDF（SAS），∴PE＝BF，∴PE：BF＝1．(2)∵PE＝BF，∴BP+BF＝BP+PE≥BE，∴當(dāng)點P在BE與OA的交點處時，BP+BF的值最小，最小值BE．【點睛】本題考查軸對稱最短問題，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．12．（2021·遼寧法庫·九年級期中）如圖1，正方形ABCD的邊長為a，E為邊CD上一動點（點E與點C、D不重合），連接AE交對角線BD于點P，過點P作PF⊥AE交BC于點F．（1）求證：PA＝PF；（2）如圖2，過點F作FQ⊥BD于Q，在點E的運動過程中，PQ的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出PQ的長；若變化，請說明變化規(guī)律．（3）請寫出線段AB、BF、BP之間滿足的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由．【答案】（1）見解析；（2）PQ的長不變，見解析；（3）AB+BF＝PB【解析】【分析】（1）連接PC，由正方形的性質(zhì)得到，，然后依據(jù)全等三角形的判定定理證明，由全等三角形的性質(zhì)可知，，接下來利用四邊形的內(nèi)角和為360°可證明，于是得到，故此可證明；（2）連接AC交BD于點O，依據(jù)正方形的性質(zhì)可知為等腰直角三角形，于是可求得AO的長，接下來，證明，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到；（3）過點P作，，垂足分別為M，N，首先證明為等腰直角三角形于是得到，由角平分線的性質(zhì)可得到，然后再依據(jù)直角三角形全等的證明方法證明可得到，，于是將可轉(zhuǎn)化為的長．【詳解】解：（1）證明：連接PC，如圖所示：∵ABCD為正方形，∴，，在和中，，∴，∴，，∵，∴．∵，∴．∴．∴，∴；（2）PQ的長不變．理由：連接AC交BD于點O，如圖所示：∵，∴．∵，∴．∴．又∵四邊形ABCD為正方形，∴，．在和中，，∴．∴；（3）如圖所示：過點P作，，垂足分別為M，N．∵四邊形ABCD為正方形，∴．∵，∴，∴．∵BD平分，，，∴．在和中，，∴．∴．∵，∴．∴．【點睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形，等腰三角形的性質(zhì)等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，綜合運用這些性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．13．（2022·廣東南沙·八年級期末）在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點P、Q為BC邊上的兩個動點（點P位于點Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點重合），PQ＝2(1)如圖①，若點E為CD邊上的中點，當(dāng)Q移動到BC邊上的中點時，求證：AP＝QE；(2)如圖②，若點E為CD邊上的中點，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求BP的長；(3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個動點（M、N均不與頂點重合），當(dāng)BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積．【答案】(1)見解析(2)4(3)4【解析】【分析】（1）由“SAS”可證△ABP≌△QCE，可得AP=QE；（2）要使四邊形APQE的周長最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．為此，先在BC邊上確定點P、Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2，作F點關(guān)于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，則此時AP+EQ=EG最小，然后過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點，那么先證明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的長度；（3）要使四邊形PQNM的周長最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作點P關(guān)于AD的對稱點F，作點Q關(guān)于CD的對稱點H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時四邊形PQNM的周長最小，由面積和差關(guān)系可求解．(1)解：證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∵點E是CD的中點，點Q是BC的中點，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；(2)如圖②，在AD上截取線段AF=PQ=2，作F點關(guān)于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，設(shè)BP=x，則CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得x=4，∴BP=4；(3)如圖③，作點P關(guān)于AD的對稱點F，作點Q關(guān)于CD的對稱點H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時四邊形PQNM的周長最小，連接FP交AD于T，∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，∴PF=8，PH=8，∴PF=PH，又∵∠FPH=90°，∴∠F=∠H=45°，∵PF⊥AD，CD⊥QH，∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，∴四邊形PQNM的面積=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱求最短距離，直角三角形的性質(zhì)；通過構(gòu)造平行四邊形和軸對稱找到點P和點Q位置是解題的關(guān)鍵．14．（2021·廣西北海·九年級期中）如圖1，在□ABCD中，AB＝14，AD＝8，∠DAB＝60°，對角線AC，BD交于點O．一動點P在邊AB上由A向B運動（不與A，B重合），連接PO并延長，交CD于點Q．（1）求證：OP＝OQ；（2）過點D作DE⊥AB于點E，畫出圖形并求出線段DE的長度；（3）當(dāng)AP＝9時，求線段OP的長度；（4）連接AQ，PC，如圖2，隨著點P的運動，四邊形APCQ可能是菱形嗎？如果可能，請求出此時線段AP的長度；如果不可能，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）圖見解析，；（3）；（4）有可能，AP=【解析】【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OD=OB，，∴∠QDO=∠PBO，∠DQO=∠BPO，∴△QDO≌△PBO（AAS），∴OP=OQ；（2）如圖（2）：過D作DE⊥AB，垂足為E，∵∠DAB=60°，∠DEA=90°，∴∠ADE=30°，∴AE=AD=4，∴；（3）∵BE=AB-AE=14-4=10，PE=AP-AE=9-4=5，PB=AB-AP=5，∴PE=PB，∵OB=OD，∴OP為△DBE的中位線∴OP=DE=；（4）有可能，理由如下：如圖（3）：過C作CF⊥AB交AB延長線于F，∵平行四邊形ABCD，∴BC//AD，BC=AD，∴∠CBF=∠DAB=60°，∴BF=BC=4，∴CF=，∵OP=OQ，OA=OC，∴四邊形APCQ為平行四邊形當(dāng)四邊形APCQ為菱形時，則需AP=CP，∵PF=AB+BF-AP=18-AP，∴在Rt△PCF中，PC2=FC2+PF2∴AP2=()2+(18-AP)2，解得AP=．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．15．（2021·廣東·廣州市番禺區(qū)實驗中學(xué)八年級期中）已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝2AB，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．（1）如圖1，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；（2）如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周，即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中，①已知點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒．當(dāng)A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值；②若點P、Q的速度分別為v1、v2（cm/s），點P、Q的運動路程分別為a、b（單位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，試探究a與b滿足的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）證明見解析，AF＝5；（2）①t＝秒；②【解析】【分析】（1）先證明△AOE≌△COF得到OE＝OF，然后根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形作出判定，根據(jù)勾股定理即可求AF的長；（2）①分情況討論可知，P點在BF上，Q點在ED上時，才能構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可；②由①的結(jié)論用v1、v2表示出A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時所需的時間，計算即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE．∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．∵在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE為菱形．設(shè)菱形的邊長AF＝CF＝xcm，則BF＝（8﹣x）cm，在Rt△ABF中，AB＝4cm，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴AF＝5；（2）①解：根據(jù)題意得，P點AF上時，Q點CD上，此時A，C，P，Q四點不可能構(gòu)成平行四邊形，同理P點AB上時，Q點DE或CE上，也不能構(gòu)成平行四邊形．∴只有當(dāng)P點在BF上，Q點在ED上時，才能構(gòu)成平行四邊形，∴以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，PC＝QA，∵點P的速度為每秒5cm，點Q的速度為每秒4cm，運動時間為t秒，∴PC＝5t，QA＝12﹣4t，∴5t＝12﹣4t，解得：t＝，∴以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t＝秒；②如圖3，由①得，PC＝QA時，以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，設(shè)運動時間為y秒，則yv1＝12﹣yv2，解得，y＝，∴a＝×v1，b＝×v2，∴，如圖4，當(dāng)AP＝CQ時．四邊形APCQ是平行四邊形，則yv2＝12﹣yv1，解得：y＝，同理可得，，如圖5，當(dāng)AP＝CQ時，四邊形APCQ是平行四邊形，則yv1＝12﹣yv2，解得，y＝，∴a＝×v1，b＝×v2，∴．【點睛】本題考查的是菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)和判定，掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理、菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的應(yīng)用．16．（2021·陜西蓮湖·九年級期中）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE，點E的位置隨著點P的位置變化而變化．問題提出（1）如圖1，當(dāng)點E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時，連接CE，BP與CE的數(shù)量關(guān)系是，CE與CB的位置關(guān)系是．（2）如圖2，當(dāng)點E在菱形ABCD外部時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．問題解決（3）如圖3，連湖公園有一塊觀賞園林區(qū)，其形狀是一個邊長為20m的菱形ABCD，其中∠ABC＝60°，對角線BD是一條花間小徑，現(xiàn)計劃在BD延長線上（包括D點）取點P，以AP為邊長修建一個等邊△APE的娛樂區(qū)，放置各類運動娛樂設(shè)施，從娛樂區(qū)頂點E再修一條直直的小路BE，為了讓游客們更輕松愉快地游玩，園區(qū)還計劃在BE中點處設(shè)置一個直飲水點F，求飲水點F到C點的最短距離．【答案】（1）；；（2）結(jié)論成立，證明過程見詳解；（3）m【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得出，再延長交于，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出；（2）結(jié)論仍然成立．證明方法同（1）；（3）根據(jù)題目，為了使到點的距離最短，在固定的情況下，越小，越短，越小，點距離點越小，即邊長越小，即當(dāng)點位于點時，最小．【詳解】（1）如圖1中，結(jié)論：，.理由：連接.∵四邊形是菱形，，∴，都是等邊三角形，，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，，∴，∴，，延長交于，∵，∴，∴，即.故答案為，.（2）結(jié)論仍然成立.理由：如圖2，連接交于，設(shè)交于.∵四邊形是菱形，，∴，都是等邊三角形，，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，（3）根據(jù)題目，為了使到點的距離最短，在固定的情況下，越小，越短，越小，點距離點越小，即邊長越小，即當(dāng)點位于點時，最小,如圖所示：且四邊形為菱形，點位于線段上，，則點A為的中點點與點重合，為等邊三角形點到點的最短距離為m．【點睛】本題考查四邊形綜合題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確添加常用輔助線，尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．17．（2021·遼寧·東北育才雙語學(xué)校八年級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，點P在AD邊上以每秒1cm的速度從點A向點D運動，點Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從點C出發(fā)，在CB之間往返運動，兩個動點同時出發(fā)，當(dāng)點P到達(dá)點D時停止（同時點Q也停止運動），設(shè)運動時間為t秒（t＞0）．（1）用含t的式子表示線段的長度：PD＝cm，（2）當(dāng)5＜t＜10時，運動時間t為時，以P、D、Q、B為頂點的四邊形是平行四邊形．（3）當(dāng)點Q第一次從點C向點B運動時，以A、P、Q、B為頂點的四邊形能否是菱形，若能，請求出運動時間t的值，若不能，請求出在其他條件不變的情況下點Q的速度為多少時，以A、P、Q、B為頂點的四邊形可以是菱形．【答案】（1）（10﹣t）；（2）或8．（3）厘米/秒【解析】【分析】（1）根據(jù)速度與時間表示出路程即可；（2）由四邊形ABCD為平行四邊形可得出PD∥BQ，結(jié)合平行四邊形的判定定理可得出當(dāng)PD＝BQ時以P、D、Q、B四點組成的四邊形為平行四邊形，分類推理，列出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，得出邊長為6cm，求出運動時間和點Q的運動路程即可．【詳解】解：（1）當(dāng)0≤t≤10時，AP＝t，PD＝10﹣t；故答案為：（10﹣t）；（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四點組成的四邊形為平行四邊形，則PD＝BQ．設(shè)運動時間為t．當(dāng)5＜t≤時，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝4t﹣20，BQ＝30﹣4t，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；當(dāng)＜t＜10時，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝4t﹣30，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8．故答案為：或8．（3）當(dāng)0≤t≤時，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝4t，BQ＝10﹣4t；以A、P、Q、B為頂點的四邊形是平行四邊形，則AP＝BQ．t＝10﹣4t，解得，t＝2．此時AP＝2cm，AB＝6cm，以A、P、Q、B為頂點的平行四邊形不是菱形；以A、P、Q、B為頂點的四邊形是菱形，則AP＝BQ＝BA=6cm，CQ＝4cm，∵P在AD邊上以每秒1cm的速度從點A向點D運動，∴t＝6，Q的速度為（厘米/秒），點Q的速度為每秒cm時，以A、P、Q、B為頂點的四邊形可以是菱形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定和一元一次方程的應(yīng)用，用速度和時間表示出線段長，列出關(guān)于t的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．18．（2021·湖南·常德市第五中學(xué)九年級開學(xué)考試）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．（1）如圖1，當(dāng)點D在線段BC上時，證明：BD＝CF；（2）如圖2，當(dāng)點D在線段BC的反向延長線上，且點A、F分別在直線BC的兩側(cè)，其它條件不變時：①猜想CF、BD之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②連接正方形對角線AE、DF，交點為O，連接OC，探究△AOC的形狀，并說明理由．【答案】（1）證明見解析．（2）①相等證明見解析．②△AOC為等腰三角形

證明見解析．【解析】【分析】（1）利用正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)找出全等三角形，再通過全等三角形對應(yīng)邊相等得到證明．（2）①仍然利用正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)找出全等三角形，再通過全等三角形對應(yīng)邊相等，最后得出結(jié)論相等．②通過證明∠CDF+∠CFD=90°得出∠DCF=90°，再由正方形的性質(zhì)得到OD=OF，得到．【詳解】（1）∵四邊形ADEF為正方形∴AF=AD∵△ABC為等腰直角三角形∴AB=AC．∵∠BAD+∠DAC=∠FAC+∠DAC=90°．∴∠BAD=∠FAC，在△ABD和△FAC中．∴△ABD≌△FAC（SAS）．（2）①∵△ABC為等腰直角三角形．∴AB=AC．∵四邊形ADEF為正方形．∴AF=AD．∵∠CAF+∠FAB=∠DAB+∠FAB=90°．∴∠CAF=∠DAB．在△ACF和△ABD中．∴△ACF≌△ABD．∴BD=CF．②由①得△ABD≌△ACF∴∠ADB=∠AFC．∵AD=AF，∠DAF=90°．∴∠ADF+∠AFD=90°．∴∠CDF+∠CFD=∠CDF+∠AFC+∠AFD=∠CDF+∠ADB+∠AFD=∠ADF+∠AFD=90°．∴∠DCF=90°．∵正方形ADEF的對角線交于點O．∴OD=OF．∴．∴．∴OC=OA．∴△AOC是等腰三角形．【點睛】此題重點考查正方形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是找出并證明圖中的全等三角形并給予證明．19．（2021·吉林靖宇·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，CD＝10cm．點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿線段AD向點D運動；同時點Q從點C出發(fā)，以3cm/s的速度沿BC向點B運動．規(guī)定其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之停止運動．設(shè)P、Q運動時間為t秒，回答下列問題：（1）BC＝_______cm．（2）求t為何值時四邊形PQCD是平行四邊形．（3）求t為何值時四邊形PQBA是矩形．（4）是否存在t的值，使得△DQC是等腰三角形．若存在請直接寫出t的值，若不存在，請說明理由．【答案】（1）26；（2）t＝4；（3）t＝5.2；（4）存在，t的值為：4或或【解析】【分析】（1）過D作DH⊥BC于H，在Rt△DHC中，勾股定理求得CH，根據(jù)BC＝BH+CH，即可求得；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，利用PD＝CQ，即可求得；（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用AP＝BQ，即可求得；（4）分類討論①若CD＝DQ，過D作D