2024-2025學(xué)年上學(xué)期成都高二數(shù)學(xué)期末典型卷1

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年上學(xué)期成都高二數(shù)學(xué)期末典型卷1一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023秋?遼寧期末）直線l：ax+（a﹣1）y+1＝0，若直線l的一個法向量為，則a＝（）A．2 B．﹣1 C． D．2．（5分）下列命題中，真命題的個數(shù)是（）①“x＜2”是“x＜1”的充分不必要條件；②““是“a＞b”的充要條件；③“四邊形的四條邊相等”是“四邊形為正方形”的必要不充分條件；④“x＝y(tǒng)”是“”的既不充分也不必要條件．A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）（2021春?眉山期末）某班有學(xué)生48人，現(xiàn)將所有學(xué)生按1，2，3，…，48隨機(jī)編號，若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為6的樣本，抽得編號為6，x，22，30，y，46，則x+y＝（）A．52 B．50 C．62 D．544．（5分）直線2x﹣y﹣1＝0與圓x2+y2﹣2y＝0的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法判定5．（5分）（2022秋?華安縣校級期中）若正項數(shù)列{an}滿足a1＝1，，則（）A．4n﹣1 B． C．2n﹣1 D．6．（5分）（2022秋?金水區(qū)校級月考）已知動圓C過定點P（0，1），且被x軸截得的弦長為2，則圓心C的軌跡方程為（）A．y2＝4x B．x2＝4y C．y2＝2x D．x2＝2y7．（5分）（2012秋?武昌區(qū)期末）復(fù)數(shù)（i）3（i為虛數(shù)單位）的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i8．（5分）（2012?荊州區(qū)校級模擬）的值為（）A． B． C．2 D．4二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）（多選）9．（5分）（2023秋?南山區(qū)校級月考）已知全集U＝A∪B，集合A＝{1，3，4}，集合，則（）A．U中的元素個數(shù)為5 B．{1}∈U C．?UA?B D．集合A的非空真子集有6個（多選）10．（5分）（2021秋?邢臺期末）已知曲線C的方程為ax2+ay2﹣2x﹣2y＝0（a∈R），則（）A．曲線C可能是直線 B．當(dāng)a＝1時，直線3x+y＝0與曲線C相切 C．曲線C經(jīng)過定點 D．當(dāng)a＝1時，直線x+2y＝0與曲線C相交（多選）11．（5分）（2023春?讓胡路區(qū)校級期末）一個質(zhì)地均勻的正四面體4個表面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，拋擲該正四面體兩次，記事件M為“第一次向下的數(shù)字為3或4”，事件N為“兩次向下的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則下列說法正確的是（）A．事件M發(fā)生的概率為 B．事件M與事件N互斥 C．事件M與事件N相互獨(dú)立 D．事件M+N發(fā)生的概率為（多選）12．（5分）（2024秋?三元區(qū)校級月考）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱BC的中點，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1上的動點，且A1F∥平面AD1E，則（）A．點F到直線AD1的距離為定值 B．線段A1F的長度最小值為 C．二面角F﹣AD1﹣E的余弦值為 D．直線D1B1與平面AD1F所成角的余弦值為三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023秋?江北區(qū)校級月考）函數(shù)的定義域為．14．（5分）（2023?斗門區(qū)校級開學(xué)）已知a，b，c為△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊，其中的面積為，且，則線段CD的長為．15．（5分）（2024?日照開學(xué)）已知扇形AOB的半徑為10，以O(shè)為原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知A（10，0），B（8，6），則弧AB的中點C的坐標(biāo)為．16．（5分）（2021秋?漣水縣校級月考）已知橢圓C：1的焦點為F1，F(xiàn)2，如果橢圓C上存在一點P，使得0，且△PF1F2的面積等于6，則實數(shù)b的值為，橢圓離心率e的取值范圍為．四．解答題（共5小題，滿分70分，每小題14分）17．（14分）（2016秋?莊河市校級月考）已知拋物線C的方程x2＝2py，M（2，1）為拋物線C上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點．（Ⅰ）求|MF|；（Ⅱ）設(shè)直線l2：y＝kx+m與拋物線C有唯一公共點P，且與直線l1：y＝﹣1相交于點Q，試問，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N？若存在，求出點N的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．18．（12分）（2024秋?懷柔區(qū)校級月考）已知{an}是等比數(shù)列，滿足a2＝﹣6，a5＝﹣162，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，且{2bn+an}是公差為2的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（2）求數(shù)列{bn}的前n項和．19．（16分）（2022秋?順義區(qū)期末）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝3，AD＝AA1＝2，點E在AB上，且AE＝1．（Ⅰ）求直線A1E與直線BC1所成角的余弦值；（Ⅱ）求直線BC1與平面A1EC所成角的正弦值；（Ⅲ）求點A到平面A1EC的距離．20．（12分）已知圓C1：x2+y2+2x＝0，圓C2：x2+y2﹣4x+2my+2m2＝0．（1）求m的取值范圍并求出半徑最大時圓C2的方程；（2）討論圓C1和圓C2的位置關(guān)系，并說明理由．21．（16分）（2022秋?涪城區(qū)校級期中）已知雙曲線的漸近線方程為，且經(jīng)過點．（1）求雙曲線C的方程；（2）直線l：y＝x﹣3與雙曲線C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，求△AOB的面積．

2024-2025學(xué)年上學(xué)期成都高二數(shù)學(xué)期末典型卷1參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023秋?遼寧期末）直線l：ax+（a﹣1）y+1＝0，若直線l的一個法向量為，則a＝（）A．2 B．﹣1 C． D．【考點】平面中直線的方向向量和法向量．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】若直線l的一個法向量為，則直線的斜率，由此結(jié)合直線方程算出答案．【解答】解：∵直線l的一個法向量為，∴直線l的斜率．∵直線l的方程為ax+（a﹣1）y+1＝0，∴直線l的斜率，解得a＝﹣1．故選：B．【點評】本題主要考查直線的基本量與基本形式等知識，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）下列命題中，真命題的個數(shù)是（）①“x＜2”是“x＜1”的充分不必要條件；②““是“a＞b”的充要條件；③“四邊形的四條邊相等”是“四邊形為正方形”的必要不充分條件；④“x＝y(tǒng)”是“”的既不充分也不必要條件．A．0 B．1 C．2 D．3【考點】既不充分也不必要條件的判斷．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；簡易邏輯；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)充分必要條件的定義逐一對選項進(jìn)行判斷即可．【解答】解：“x＜1”可以推出“x＜2”，反之不成立，所以“x＜2”是“x＜1”的必要不充分條件，故①錯誤；由可推出a＞b，反之不成立，如a，b是負(fù)數(shù)，故②錯誤；“四邊形的四條邊相等”推不出“四邊形為正方形”，也有可能是菱形，反之可以推出，所以“四邊形的四條邊相等”是“四邊形為正方形”的必要不充分條件，故③正確；由x＝y(tǒng)＝0推不出，反之可以推出，所以“x＝y(tǒng)”是“”的必要不充分條件，故④錯誤；故選：B．【點評】本題考查充分必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）（2021春?眉山期末）某班有學(xué)生48人，現(xiàn)將所有學(xué)生按1，2，3，…，48隨機(jī)編號，若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為6的樣本，抽得編號為6，x，22，30，y，46，則x+y＝（）A．52 B．50 C．62 D．54【考點】系統(tǒng)抽樣方法．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】先求出抽樣間隔，由此能求出x，y，進(jìn)而能求出x+y的值．【解答】解：采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為6的樣本，則抽樣間隔為：8，∴x＝6+8＝14，y＝30+8＝38，∴x+y＝14+38＝52．故選：A．【點評】本題考查兩數(shù)和的求法，考查系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．（5分）直線2x﹣y﹣1＝0與圓x2+y2﹣2y＝0的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法判定【考點】根據(jù)圓心到直線距離與圓的半徑求解直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系即可求解．【解答】解：x2+y2﹣2y＝0可化為x2+（y﹣1）2＝1的圓心為（0，1），半徑r＝1，∴圓心到直線的距離為1，∴直線2x﹣y﹣1＝0與圓x2+y2﹣2y＝0的位置關(guān)系為相交．故選：B．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．5．（5分）（2022秋?華安縣校級期中）若正項數(shù)列{an}滿足a1＝1，，則（）A．4n﹣1 B． C．2n﹣1 D．【考點】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】由遞推公式推出數(shù)列{an}的通項公式，得到數(shù)列的通項公式，根據(jù)等比數(shù)列求和公式可得所求．【解答】解：由，得（an+1﹣2an）（an+1+3an）＝0，又{an}是正項數(shù)列，所以an+1﹣2an＝0，即，則數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，即有．，，，可得數(shù)列是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以．故選：B．【點評】本題考查等比數(shù)列的定義和通項公式、求和公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．6．（5分）（2022秋?金水區(qū)校級月考）已知動圓C過定點P（0，1），且被x軸截得的弦長為2，則圓心C的軌跡方程為（）A．y2＝4x B．x2＝4y C．y2＝2x D．x2＝2y【考點】軌跡方程．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)直線和圓的關(guān)系以及勾股定理得到關(guān)于x，y的方程，整理即可．【解答】解：設(shè)圓心C（x，y），動圓C過定點P（0，1），且被x軸截得的弦長為2，則y2+1＝x2+（y﹣1）2，整理得：x2＝2y；故選：D．【點評】本題考查了曲線的軌跡方程問題，考查直線和圓的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．7．（5分）（2012秋?武昌區(qū)期末）復(fù)數(shù)（i）3（i為虛數(shù)單位）的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【考點】復(fù)數(shù)的乘法及乘方運(yùn)算．【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【答案】A【分析】由條件利用個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則、虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)、平方差公式，計算求得結(jié)果．【解答】解：復(fù)數(shù)（i）3＝（i）?（i）2＝（i）?（i）＝（i）?（i）1，故選：A．【點評】本題主要考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則的應(yīng)用，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）（2012?荊州區(qū)校級模擬）的值為（）A． B． C．2 D．4【考點】兩角和與差的三角函數(shù)；三角函數(shù)的積化和差公式；三角函數(shù)的和差化積公式．【專題】三角函數(shù)的求值．【答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式、和差化積公式、二倍角公式，把要求的式子化為，從而得出結(jié)論．【解答】解：2，故選：C．【點評】本題主要考查誘導(dǎo)公式、和差化積公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）（多選）9．（5分）（2023秋?南山區(qū)校級月考）已知全集U＝A∪B，集合A＝{1，3，4}，集合，則（）A．U中的元素個數(shù)為5 B．{1}∈U C．?UA?B D．集合A的非空真子集有6個【考點】元素與集合關(guān)系的判斷；判斷兩個集合的包含關(guān)系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】用列舉法表示集合B，再逐項求解判斷即得．【解答】解：顯然，而A＝{1，3，4}，因此U＝{1，2，3，4，8}，A正確；而{1}?U，B錯誤；?UA＝{2，8}，則?UA?B，C正確；集合A的非空真子集有23﹣2＝6個，D正確．故選：ACD．【點評】本題主要考查補(bǔ)集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）（2021秋?邢臺期末）已知曲線C的方程為ax2+ay2﹣2x﹣2y＝0（a∈R），則（）A．曲線C可能是直線 B．當(dāng)a＝1時，直線3x+y＝0與曲線C相切 C．曲線C經(jīng)過定點 D．當(dāng)a＝1時，直線x+2y＝0與曲線C相交【考點】曲線與方程．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】利用a的值，判斷選項是正誤即可．【解答】解：當(dāng)a＝0時，曲線為：﹣2x﹣2y＝0，是直線方程，所以A正確；當(dāng)a＝1時，曲線C的方程為x2+y2﹣2x﹣2y＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，表示圓，圓的圓心（1，1），半徑為，圓心到直線3x+y＝0的距離：，所以B不正確；圓心到直線x+2y＝0的距離：，直線x+2y＝0與曲線C相交，所以D正確；曲線C的方程為ax2+ay2﹣2x﹣2y＝0恒過（0，0）點，所以C正確；故選：ACD．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，曲線與方程的應(yīng)用，是中檔題．（多選）11．（5分）（2023春?讓胡路區(qū)校級期末）一個質(zhì)地均勻的正四面體4個表面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，拋擲該正四面體兩次，記事件M為“第一次向下的數(shù)字為3或4”，事件N為“兩次向下的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則下列說法正確的是（）A．事件M發(fā)生的概率為 B．事件M與事件N互斥 C．事件M與事件N相互獨(dú)立 D．事件M+N發(fā)生的概率為【考點】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；互斥事件與對立事件；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合互斥事件的定義，以及相互獨(dú)立事件的概率公式，即可依次求解．【解答】解：由題意可得，P（M），故A正確，當(dāng)兩次拋擲的點數(shù)為（3，1）時，事件M與事件N同時發(fā)生，故事件M與事件N不互斥，故B錯誤，P（MN），P（M），P（N），P（MN）＝P（M）?P（N），故事件M與事件N相互獨(dú)立，故C正確，P（M+N）＝P（M）+P（N）﹣P（MN），故D錯誤．故選：AC．【點評】本題主要考查互斥事件的定義，以及相互獨(dú)立事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（5分）（2024秋?三元區(qū)校級月考）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱BC的中點，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1上的動點，且A1F∥平面AD1E，則（）A．點F到直線AD1的距離為定值 B．線段A1F的長度最小值為 C．二面角F﹣AD1﹣E的余弦值為 D．直線D1B1與平面AD1F所成角的余弦值為【考點】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角；點、線、面間的距離計算；空間向量法求解直線與平面所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】對于A，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得其正誤；對于B，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理，可得其正誤；對于C，求得平面的法向量，利用二面角的向量公式，可得其正誤；對于D，根據(jù)線面角正弦值的向量公式，利用同角三角函數(shù)的平方式，可得答案．【解答】解：由題意，分別取BB1，B1C1，CC1的中點為M，N，P，連接D1P，PE，A1N，MN，A1M，以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：易知EP∥AD1，由E∈平面AED1，則P∈平面AED1，因為A1N∥AE，A1N?平面AED1，AE?平面AED1，所以A1N∥平面AED1，同理可得MN∥平面AED1，因為A1N，MN?平面A1MN，A1N∩MN＝N，所以平面AED1∥平面A1MN，當(dāng)F∈MN時，A1F?平面A1MN，則A1F∥平面AED1，對于A，由平行線的傳遞性知：MN∥AD1，故所求距離為定值，故A正確；對于B，在△B1MN中，設(shè)其高度為h，則MN?h＝B1N?B1M，解得，在△A1MN中，易知A1N＝A1M，F(xiàn)為MN的中點時，A1F取得最小值，，故B正確；對于C，由F∈MN，則二面角F﹣AD1﹣E與二面角N﹣AD1﹣E的大小相同，由圖可知：N（1，2，2），A（2，0，0），D1（0，0，2），E（1，2，0），則，，，，設(shè)平面NAD1的法向量，則，令x1＝2，則y1＝﹣1，z1＝2，所以平面NAD1的一個法向量（2，﹣1，2），設(shè)平面AED1的法向量，則，令x2＝2，則y2＝1，z1＝2，所以平面AED1的一個法向量，設(shè)二面角N﹣AD1﹣E的大小為θ，則，故C正確；對于D，由F∈MN，則平面FAD1與平面NAD1為同一平面，由C可知平面NAD1的一個法向量（2，﹣1，2），由圖可知B1＝（2，2，2），則，所以直線D1B1與平面AD1F所成角的正弦值為：，則余弦值為，故D錯誤．故選：ABC．【點評】本題考查立體幾何綜合問題，屬于中檔題．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023秋?江北區(qū)校級月考）函數(shù)的定義域為．【考點】復(fù)合函數(shù)的定義域．【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】．【分析】利用對數(shù)復(fù)合函數(shù)與根式函數(shù)的定義域，結(jié)合正弦不等式與二次不等式的解法即可得解【解答】解：因為，所以，對于2sinx﹣1＞0，即，解得，對于﹣x2+x+2≥0，即x2﹣x﹣2≤0，解得﹣1≤x≤2，綜上，，即函數(shù)的定義域為．故答案為：．【點評】本題主要考查了函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）（2023?斗門區(qū)校級開學(xué)）已知a，b，c為△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊，其中的面積為，且，則線段CD的長為．【考點】解三角形；平面向量的數(shù)乘與線性運(yùn)算；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】．【分析】根據(jù)三角形的面積公式列方程，解得b＝4，根據(jù)推導(dǎo)出，兩邊平方，利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)算出向量的模，可得答案．【解答】解：根據(jù)題意得，解得b＝4，因為，所以2（），整理得，所以，可得||，即線段CD的長為．故答案為：．【點評】本題主要考查三角形的面積公式、平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算性質(zhì)等知識，屬于中檔題．15．（5分）（2024?日照開學(xué)）已知扇形AOB的半徑為10，以O(shè)為原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知A（10，0），B（8，6），則弧AB的中點C的坐標(biāo)為．【考點】二倍角的三角函數(shù)的逆用；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運(yùn)算求解．【答案】．【分析】設(shè)∠AOC＝α，則，求出，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到，，求出答案．【解答】解：令∠AOC＝α，則∠AOB＝2α，，解得，即，又sin2α+cos2α＝1，又，解得，，，即．故答案為：．【點評】本題主要考查了同角基本關(guān)系及二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．16．（5分）（2021秋?漣水縣校級月考）已知橢圓C：1的焦點為F1，F(xiàn)2，如果橢圓C上存在一點P，使得0，且△PF1F2的面積等于6，則實數(shù)b的值為，橢圓離心率e的取值范圍為[2，+∞）．【考點】橢圓的幾何特征．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】；[2，+∞）．【分析】根據(jù)橢圓的定義及題意列方程，轉(zhuǎn)化求解b；再由向量等式得1，即x2+y2＝c2，結(jié)合點P在橢圓上可得x2（c2﹣b2），即c2≥b2，可得a2＝b2+c2≥2b2，然后求解a的范圍．【解答】解：由橢圓的定義可知：|PF1|+|PF2|＝2a，又0，△PF1F2的面積等于6，∴|PF1|?|PF2|＝6，即|PF1|?|PF2|＝12，由（|PF1|+|PF2|）2＝4a2，|PF1|2+|PF2|2＝4c2，可得4c2﹣4a2＝﹣24，∴b．由1，得x2+y2＝c2，①而橢圓C：1，②由①②得x2（c2﹣b2），∴c2≥b2，從而a2＝b2+c2≥2b2＝12，故（舍去），或a≥2，∴a的取值范圍為[2，+∞）．故答案為：；[2，+∞）．【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓中焦點三角形的解法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．四．解答題（共5小題，滿分70分，每小題14分）17．（14分）（2016秋?莊河市校級月考）已知拋物線C的方程x2＝2py，M（2，1）為拋物線C上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點．（Ⅰ）求|MF|；（Ⅱ）設(shè)直線l2：y＝kx+m與拋物線C有唯一公共點P，且與直線l1：y＝﹣1相交于點Q，試問，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N？若存在，求出點N的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【考點】直線與拋物線的綜合．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；演繹法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（I）求得p＝2，根據(jù)拋物線的定義，即可得到所求|MF|；（II）假設(shè)存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，由直線l2：y＝kx+m與拋物線C有唯一公共點P知，直線l2與拋物線C相切，利用導(dǎo)數(shù)求出直線l2的方程，進(jìn)而求出Q點坐標(biāo)，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，利用0，求出N點坐標(biāo)．【解答】解：（I）由題可知2p＝4，即p＝2，由拋物線的定義可知|MF|＝1+1＝2…（4分）（II）由拋物線C關(guān)于y軸對稱可知，若存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，則點N必在y軸上，設(shè)N（0，n），又設(shè)點P（x0，），由直線l2：y＝kx+m與拋物線C有唯一公共點P知，直線l與拋物線C相切，由yx2得y′x，可得直線l2的斜率為x0，可得直線l的方程為yx0（x﹣x0），令y＝﹣1得xx0，可得Q點的坐標(biāo)為（x0，﹣1），即有（x0，n），（x0，﹣1﹣n），由點N在以PQ為直徑的圓上，可得（1+n）（n）＝（1﹣n）?n2+n﹣2＝0，（*）要使方程（*）對x0恒成立，必須有，解得n＝1，則在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點N，使得以PQ為直徑的圓恒過點N，其坐標(biāo)為（0，1）．…（12分）【點評】本題考查了拋物線的定義及直線與拋物線的位置關(guān)系，這類題目考查比較靈活，解決問題時注意幾何關(guān)系向代數(shù)關(guān)系（即坐標(biāo)關(guān)系）的轉(zhuǎn)化．18．（12分）（2024秋?懷柔區(qū)校級月考）已知{an}是等比數(shù)列，滿足a2＝﹣6，a5＝﹣162，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，且{2bn+an}是公差為2的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（2）求數(shù)列{bn}的前n項和．【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【專題】函數(shù)思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】（1）；．（2）．【分析】（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，推導(dǎo)出等比數(shù)列通項公式列出方程組，推導(dǎo)出a1＝﹣2，q＝3，由此能求出數(shù)列{an}的通項公式；令cn＝2bn+an，能求出數(shù)列{bn}的通項公式．（2）由數(shù)列{bn}的通項公式，利用分組求和法能求出數(shù)列{bn}的前n項和．【解答】解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則，解得a1＝﹣2，q＝3．∴；令cn＝2bn+an，則c1＝2b1+a1＝2，∴cn＝2+（n﹣1）×2＝2n，則；（2）∵，∴數(shù)列{bn}的前n項和：Sn＝（1+2+3+…+n）+（30+3+32+...+3n﹣1）．【點評】本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，考查分組求和，是中檔題．19．（16分）（2022秋?順義區(qū)期末）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝3，AD＝AA1＝2，點E在AB上，且AE＝1．（Ⅰ）求直線A1E與直線BC1所成角的余弦值；（Ⅱ）求直線BC1與平面A1EC所成角的正弦值；（Ⅲ）求點A到平面A1EC的距離．【考點】點、線、面間的距離計算；異面直線及其所成的角；直線與平面所成的角．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；運(yùn)算求解．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）以D為原點，DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出，，利用空間向量的數(shù)量積求解直線A1E與BC1所成角的余弦值即可；（Ⅱ）求出平面A1EC的法向量，利用平面法向量與直線方向向量的夾角即可求解線面角．（Ⅲ）利用向量法可求點A到平面A1EC的距離．【解答】解：（Ⅰ）以D為原點，DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1（2，0，2），C（0，3，0），B（2，3，0），C1（0，3，2），E（2，1，0），所以（0，1，﹣2），（﹣2，0，2），所以cos，，故直線A1E與直線BC1所成角的余弦值為．（Ⅱ）因為（﹣2，2，0），（0，1，﹣2），設(shè)平面A1EC的法向量為（x，y，z），則，令y＝2，則x＝2，z＝1，于是（2，2，1），設(shè)BC1與平面A1EC所成角為θ，則sinθ＝|cos，|＝||，所以BC1與平面A1EC所成角的正弦值為．（Ⅲ）又A（2，0，0），∴（0，﹣1，0），∴點A到平面A1EC的距離d．【點評】本題主要考查直線與直線所成的角，考查直線與平面所成的角，考查點到面和距離的求法，屬中檔題．20．（12分）已知圓C1：x2+y2+2x＝0，圓C2：x2+y2﹣4x+2my+2m2＝0．（1）求m的取值范圍并求出半徑最大時圓C2的方程；（2）討論圓C1和圓C2的位置關(guān)系，并說明理由．【考點】圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】（1）﹣2＜m＜2；（x﹣2）2+y2＝4；（2）當(dāng)m＝0時，圓C1和圓C2外切；當(dāng)﹣2＜m＜2且m≠0時，圓C1和圓C2外離．【分析】（1）圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求m的取值范圍及半徑最大時圓C2的方程；（2）注意到圓心距等于等于3，圓C2的半徑最大為2，圓C1的半徑為1，即可求解．【解答】解：（1）圓C2：x2+y2﹣4x+2my+2m2＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣2）2+（y+m）2＝4﹣m2，所以4﹣m2＞0，解得﹣2＜m＜2；m＝0時，圓C2的半徑最大，方程為（x﹣2）2+y2＝4；（2）圓C1：x2+y2+2x＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+y2＝1，圓心坐標(biāo)為C1（﹣1，0），半徑為1，所以|C1C2|3．當(dāng)m＝0時，圓C1和圓C2外切；當(dāng)﹣2＜m＜2且m≠0時，圓C1和圓C2外離．【點評】本題考查圓的方程，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．21．（16分）（2022秋?涪城區(qū)校級期中）已知雙曲線的漸近線方程為，且經(jīng)過點．（1）求雙曲線C的方程；（2）直線l：y＝x﹣3與雙曲線C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，求△AOB的面積．【考點】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的幾何特征．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)漸近線方程和點代入方程得到方程組，解得答案；（2）聯(lián)立方程消去y得到二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，計算，再計算點到直線的距離得到面積．【解答】解：（1）根據(jù)題意，，解得，故雙曲線的方程為：；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，消去y得：x2+12x﹣22＝0，∴，則．又點O到直線y＝x﹣3的距離，∴．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查直線與雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

考點卡片1．元素與集合關(guān)系的判斷【知識點的認(rèn)識】1、元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個集合中的元素，必須是確定的．即一個集合一旦確定，某一個元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對于一個給定的集合，他的任何兩個元素都是不同的．這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素．（3）無序性：集合于其中元素的排列順序無關(guān)．這個特性通常被用來判斷兩個集合的關(guān)系．【命題方向】題型一：驗證元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實數(shù)a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因為3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時，a＝1，…（5分）此時A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時，a＝1（舍去）或，…（10分）由，得，成立…（12分）故（14分）點評：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計算能力．【解題方法點撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．2．判斷兩個集合的包含關(guān)系【知識點的認(rèn)識】如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；【解題方法點撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關(guān)系．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，則（）A．A＞BB．B∈AC．A?BD．B?A解：由題意可得，B?A．故選：D．3．既不充分也不必要條件的判斷【知識點的認(rèn)識】既不充分也不必要條件是指條件P和條件Q之間沒有任何充分或必要的關(guān)系．即P成立與否對Q成立與否沒有影響．用符號表示為P?Q且Q?P．這種條件在數(shù)學(xué)中表示兩個條件之間是獨(dú)立的，沒有任何相互關(guān)系．例如，直線平行和直線垂直的關(guān)系．【解題方法點撥】要判斷兩個條件是否既不充分也不必要，可以分別驗證P?Q和Q?P．找到P成立但Q不成立，以及Q成立但P不成立的反例．通過舉反例，可以證明兩個條件之間的獨(dú)立性．邏輯推理和具體實例是驗證這種條件的有效方法．【命題方向】既不充分也不必要條件的命題方向包括幾何圖形的獨(dú)立性質(zhì)、代數(shù)條件等．例如，兩個不相交的直線的平行和垂直關(guān)系在幾何題中常見．4．復(fù)合函數(shù)的定義域【知識點的認(rèn)識】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍．求解函數(shù)定義域的常規(guī)方法：①分母不等于零；②根式（開偶次方）被開方式≥0；③對數(shù)的真數(shù)大于零，以及對數(shù)底數(shù)大于零且不等于1；④指數(shù)為零時，底數(shù)不為零．⑤實際問題中函數(shù)的定義域；【解題方法點撥】求函數(shù)定義域，一般歸結(jié)為解不等式組或混合組．（1）當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合．（2）當(dāng)函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還要有實際意義（如長度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）．（3）若一函數(shù)解析式是由幾個函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的，則函數(shù)定義域應(yīng)是同時使這幾個函數(shù)有意義的不等式組的解集．若函數(shù)定義域為空集，則函數(shù)不存在．【命題方向】涉及求復(fù)合函數(shù)的定義域，考查學(xué)生對函數(shù)嵌套關(guān)系及其定義域的理解和計算能力．函數(shù)的定義域為_____．解：由題意得，即，解得x＞2或x≤1，所以函數(shù)的定義域為（﹣∞，1]∪（2，+∞），故答案為：（﹣∞，1]∪（2，+∞）．5．同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系【知識點的認(rèn)識】1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數(shù)關(guān)系：tanα．2．誘導(dǎo)公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sinα．公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α．【解題方法點撥】誘導(dǎo)公式記憶口訣：對于角“±α”（k∈Z）的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時，函數(shù)名不變”．“符號看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時，原函數(shù)值的符號”．6．兩角和與差的三角函數(shù)【知識點的認(rèn)識】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．7．二倍角的三角函數(shù)的逆用【知識點的認(rèn)識】二倍角的正弦其實屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α．對于這個公式要求是能夠正確的運(yùn)用其求值化簡即可．【解題方法點撥】﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α﹣將具有二倍角公式展開模式的表達(dá)式，改寫成二倍角并求解．【命題方向】常見題型包括利用二倍角公式求解表達(dá)式，結(jié)合具體角度進(jìn)行計算．求下列各式的值：（1）sinsin；（2）cos215°﹣cos275°；（3）2cos21；（4）．解：（1）sinsinsincossin．（2）cos215°﹣cos275°＝cos215°﹣sin215°＝cos30°．（3）2cos21＝coscos．（4）?tan60°．8．三角函數(shù)的積化和差公式【知識點的認(rèn)識】三角函數(shù)的積化和差公式：（1）sinαsinβ[cos（α﹣β）﹣cos（α+β）]cosαcosβ[cos（α﹣β）+cos（α+β）]（2）sinαcosβ[sin（α+β）+sin（α﹣β）]cosαsinβ[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]（3）tanαtanβtanαcotβ．9．三角函數(shù)的和差化積公式【知識點的認(rèn)識】三角函數(shù)的和差化積公式：（1）sinα+sinβ＝2sincossinα﹣sinβ＝2cossin（2）cosα+cosβ＝2coscoscosα﹣cosβ＝﹣2sinsin（3）cosα+sinαsin（α）cos（）cosα﹣sinαcos（α）sin（α）10．?dāng)?shù)列遞推式【知識點的認(rèn)識】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an﹣1（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項和Sn與通項an的關(guān)系式：an．在數(shù)列{an}中，前n項和Sn與通項公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個重點，要認(rèn)真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當(dāng)n＝1時，a1＝S1）；若a1適合由an的表達(dá)式，則an不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個式子．（2）一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時，常需運(yùn)用關(guān)系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解．【解題方法點撥】數(shù)列的通項的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解．（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．（6）已知遞推關(guān)系求an，有時也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．②形如an的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項．（7）求通項公式，也可以由數(shù)列的前幾項進(jìn)行歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．11．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合【知識點的認(rèn)識】1、等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項，特別地，當(dāng)s+t＝2p時，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項開始起，每一項是與它相鄰兩項的等差中項，也是與它等距離的前后兩項的等差中項，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項不一定選a1）．2、等比數(shù)列的性質(zhì)．（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動數(shù)列．12．平面向量的數(shù)乘與線性運(yùn)算【知識點的認(rèn)識】（1）實數(shù)與向量的積是一個向量，記作λ，它的大小為|λ|＝|λ|||，其方向與λ的正負(fù)有關(guān)．若|λ|≠0，當(dāng)λ＞0時，λ的方向與的方向相同，當(dāng)λ＜0時，λ的方向與的方向相反．當(dāng)λ＝0時，λ與平行．對于非零向量a、b，當(dāng)λ≠0時，有∥?λ（2）向量數(shù)乘運(yùn)算的法則①1；（﹣1）；②（λμ）λ（μ）μ（λ）；③（λ+μ）λμ；④λ（）＝λλ．一般地，λμ叫做，的一個線性組合（其中，λ、μ均為系數(shù)）．如果λμ，則稱可以用，線性表示．13．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【知識點的認(rèn)識】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：（1）||cosθ；（2）?0；（判定兩向量垂直的充要條件）（3）當(dāng)，方向相同時，||||；當(dāng)，方向相反時，||||；特別地：||2或||（用于計算向量的模）（4）cosθ（用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）（5）||≤||||2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：；（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?λ（）?（）；（3）分配律：（）??（）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（±）22±2?2．②（）（）22．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運(yùn)算法則和數(shù)的運(yùn)算法則有些是相同的，有些不一樣．【解題方法點撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?”；③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?”；⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是①②．解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“”，即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?”，即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，即③錯誤；∵||≠|(zhì)|?||，∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；即④錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?”，即⑤錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴”不能類比得到，即⑥錯誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類比得到．【命題方向】本知識點應(yīng)該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個?？键c，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．14．解三角形【知識點的認(rèn)識】1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．7．關(guān)于三角形面積問題①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）④S△ABC；⑤S△ABC，（s（a+b+c））；⑥S△ABC＝r?s，（r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）在解三角形時，常用定理及公式如下表：名稱公式變形內(nèi)角和定理A+B+C＝π，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosAcosBcosC正弦定理2RR為△ABC的外接圓半徑a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA，sinB，sinC射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面積公式①S△ahabhbchc②S△absinCacsinBbcsinA③S△④S△，（s（a+b+c））；⑤S△（a+b+c）r（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）sinAsinB＝sinC15．復(fù)數(shù)的乘法及乘方運(yùn)算【知識點的認(rèn)識】﹣乘法：復(fù)數(shù)z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的乘積是（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+b1a2）i．﹣乘方：復(fù)數(shù)的乘方可通過乘法運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行，或利用極坐標(biāo)表示．【解題方法點撥】﹣直接計算：使用復(fù)數(shù)的分量進(jìn)行乘法運(yùn)算．﹣極坐標(biāo)形式：利用極坐標(biāo)形式進(jìn)行復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算，簡化計算過程．【命題方向】﹣復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算：考查復(fù)數(shù)乘法及其性質(zhì)．﹣復(fù)數(shù)的乘方：如何使用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算解決問題，如冪運(yùn)算和多項式根．（3i﹣2）（i+4）﹣i＝_____．解：依題意，（3i﹣2）（i+4）﹣i＝3i2+12i﹣2i﹣8﹣i＝﹣11+9i．16．異面直線及其所成的角【知識點的認(rèn)識】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當(dāng)θ＝90°時，稱兩條異面直線互相垂直．2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：17．直線與平面所成的角【知識點的認(rèn)識】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，）；直線和平面所成的角的范圍為[0，]．2、一條直線和一個平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣作出斜線與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問題．在求直線和平面所成的角時，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想．3、斜線和平面所成角的最小性：斜線和平面所成的角是用兩條相交直線所成的銳角來定義的，其中一條直線就是斜線本身，另一條直線是斜線在平面上的射影．在平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線有無數(shù)條，它們和斜線都組成相交的兩條直線，為什么選中射影和斜線這兩條相交直線，用它們所成的銳角來定義斜線和平面所成的角呢？原因是斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中，它是最小的角．對于已知的斜線來說這個角是唯一確定的，它的大小反映了斜線關(guān)于平面的“傾斜程度”．根據(jù)線面所成的角的定義，有結(jié)論：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角．用空間向量直線與平面所成角的求法：（1）傳統(tǒng)求法：可通過已知條件，在斜線上取一點作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過解直角三角形求得．（2）向量求法：設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為θ，與的夾角為φ，則有sinθ＝|cosφ|．18．空間向量法求解直線與平面所成的角【知識點的認(rèn)識】直線與平面所成角的求法：向量求法：設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為θ，與的夾角為φ，則有sinθ＝|cosφ|．【解題方法點撥】﹣點積和模：計算向量的數(shù)量積和模，求得角度的余弦值，然后使用反余弦函數(shù)計算角度．【命題方向】﹣向量法計算：考查如何使用空間向量法計算直線與平面之間的夾角．19．空間向量法求解二面角及兩平面的夾角【知識點的認(rèn)識】1、二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．棱為AB、面分別為α、β的二面角記作二面角α﹣AB﹣β．有時為了方便，也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點P、Q，將這個二面角記作P﹣AB﹣Q．如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小與點O的位置無關(guān)，也就是說，我們可以根據(jù)需要來選擇棱l上的點O．3、二面角的平面角求法：向量法：用空間向量求平面間夾角的方法：設(shè)平面α和β的法向量分別為和，若兩個平面的夾角為θ，則（1）當(dāng)0，，θ，，此時cosθ＝cos，．（2）當(dāng)，π時，θ＝π，，cosθ＝﹣cos，．【解題方法點撥】﹣數(shù)量積和模：使用向量數(shù)量積和模計算夾角，應(yīng)用反余弦函數(shù)得到結(jié)果．【命題方向】﹣向量法計算：考查如何使用空間向量法計算兩平面之間的夾角．20．點、線、面間的距離計算【知識點的認(rèn)識】21．平面中直線的方向向量和法向量【知識點的認(rèn)識】﹣方向向量：平面中的直線可以由方向向量表示．﹣法向量：平面上的法向量是平面中垂直于直線的向量，若直線方程為Ax+By+C＝0，則法向量為（A，B）．【解題方法點撥】﹣識別向量：確定直線的方向向量和直線的法向量．【命題方向】﹣向量識別：考查如何識別平面中直線的方向向量和直線的法向量．22．根據(jù)圓心到直線距離與圓的半徑求解直線與圓的位置關(guān)系【知識點的認(rèn)識】﹣位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系取決于直線到圓心的距離與圓半徑的比較：﹣相交：距離小于半徑﹣切線：距離等于半徑﹣外離：距離大于半徑【解題方法點撥】﹣確定位置關(guān)系：1．計算圓心到直線的距離．2．比較距離與半徑，確定直線與圓的位置關(guān)系．【命題方向】﹣位置關(guān)系判斷：考查如何根據(jù)直線到圓心的距離與圓半徑的關(guān)系確定直線與圓的位置關(guān)系，涉及距離計算和幾何解釋．23．圓與圓的位置關(guān)系及其判定【知識點的認(rèn)識】圓與圓的位置關(guān)系【解題方法點撥】圓與圓的位置關(guān)系的判定設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，|O1O2|＝d（1）幾何法：利用兩圓的圓心距與兩圓半徑的關(guān)系判斷①外離（4條公切線）：d＞r1+r2②外切（3條公切線）：d＝r1+r2③相交（2條公切線）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2④內(nèi)切（1條公切線）：d＝|r1﹣r2|⑤內(nèi)含（無公切線）：0＜d＜|r1﹣r2|（2）代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，但要注意一個x值可能對應(yīng)兩個y值．24．橢圓的幾何特征【知識點的認(rèn)識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點頂點：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂點．頂點坐標(biāo)（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．25．直線與拋物線的綜合【知識點的認(rèn)識】直線與拋物線的位置判斷：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與拋物線相交?Δ＞0；直線與拋物線相切?Δ＝0；直線與拋物線相離?Δ＜0；【解題方法點撥】研究直線與拋物線的位置關(guān)系，一般是將直線與拋物線的方程聯(lián)立消元，轉(zhuǎn)化為形如一元二次方程的形式，注意討論二次項系數(shù)是否為0．若該方程為二次方程，則依據(jù)根的判別式或根與系數(shù)的關(guān)系求解，同時應(yīng)注意“設(shè)而不求”和“整體代入”方法的應(yīng)用．直線y＝kx+b與拋物線y2＝2px（p＞0）公共點的個數(shù)等價于方程組的解的個數(shù)．（1）若k≠0，則當(dāng)Δ＞0時，直線和拋物線相交，有兩個公共點；當(dāng)Δ＝0時，直線和拋物線相切，有一個公共點；當(dāng)Δ＜0時，直線與拋物線相離，無公共點．（2）若k＝0，則直線y＝b與y2＝2px（p＞0）相交，有一個公共點；特別地，當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)x＝m，則當(dāng)m＞0時，直線l與拋物線相交，有兩個公共點；當(dāng)m＝0時，直線l與拋物線相切，有一個公共點；當(dāng)m＜0時，直線與拋物線相離，無公共點．【命題方向】掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，深化對基礎(chǔ)知識的理解，重視知識間的內(nèi)在聯(lián)系，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的意識和能力．對相對固定的題型，比如弦長問題、面積問題等，要以課本為例，理解通性通法，熟練步驟．對拋物線與直線的綜合研究，涉及到定點、定值等相關(guān)結(jié)論，往往是高考考試的熱點．26．雙曲線的幾何特征【知識點的認(rèn)識】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）圖形性質(zhì)焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關(guān)于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e（e＞1）準(zhǔn)線x＝±y＝±漸近線±0±027．直線與雙曲線的綜合【知識點的認(rèn)識】直線與雙曲線的位置判斷：將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與雙曲線相交?Δ＞0；直線與雙曲線相切?Δ＝0；直線與雙曲線相離?Δ＜0；直線與雙曲線的位置關(guān)系只有三種，不可能出現(xiàn)有多個解，因為直線與雙曲線的交點個數(shù)最多有2個．值得注意的是，當(dāng)直線方程和雙曲線方程聯(lián)立后，如果得到一元一次方程，說明此時直線與雙曲線的漸近線平行，那么直線與雙曲線相交，且只有一個交點．【解題方法點撥】（1）直線與雙曲線只有一個公共點有兩種情況：①直線平行漸近線；②直線與雙曲線相切．（2）弦長的求法設(shè)直線與雙曲線的交點坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|（k為直線斜率）注意：利用公式計算直線被雙曲線截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式．【命題方向】雙曲線知識通常與圓、橢圓、拋物線或數(shù)列、向量及不等式、三角函數(shù)相聯(lián)系，綜合考查數(shù)學(xué)知識及應(yīng)用是高考的重點，應(yīng)用中應(yīng)注意對知識的綜合及分析能力，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)中涉及很多基本量，如“a，b，c，e“．樹立基本量思想對于確定雙曲線方程和認(rèn)識其幾何性質(zhì)有很大幫助．28．曲線與方程【知識點的認(rèn)識】在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程f（x，y）＝0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：①曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解；②以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點．那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．求解曲線方程關(guān)鍵是要找到各變量的等量關(guān)系．【解題方法點撥】例：：定義點M到曲線C上每一點的距離的最小值稱為點M到曲線C的距離．那么平面內(nèi)到定圓A的距離與它到定點B的距離相等的點的軌跡不可能是（）A：直線B：圓C：橢圓D：雙曲線一支．解：對定點B分類討論：①若點B在圓A內(nèi)（不與圓心A重合），如圖所示：設(shè)點P是圓A上的任意一點，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點M，連接BM，則|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由橢圓的定義可知：點M的軌跡是以點A、B為焦點的橢圓．②若點B在圓A外，如圖2所示：設(shè)點P是圓A上的任意一點，連接PB，作線段PB的垂直平分線l交AP于點M，連接BM，則|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由雙曲線的定義可知：點M的軌跡是以點A、B為焦點的雙曲線的一支．③若定點B與圓心A重合，如圖3所示：設(shè)點P是圓A上的任意一點，取線段AP的中點M，則點M滿足條件，因此點M的軌跡是以點A為圓心，以為半徑的圓．④若點B在圓A上，則滿足條件的點是一個點B．綜上可知：可以看到滿足條件的點M的軌跡可以是：橢圓、雙曲線的一支，圓，一個點，而不可能是一條直線．故選A．這是一個非常好的題，一個題把幾個很重要的曲線都包含了，我認(rèn)為這個題值得每一個學(xué)生去好好研究一下．這個題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系，而這個等量關(guān)系是靠自己去建立的，其中還要注意到圓半徑是相等的和中垂線到兩端點的距離相等這個特點，最后還需結(jié)合曲線的第二定義等來判斷，是個非常有價值的題．【命題方向】這個考點非常重要，但也比較難，我們在學(xué)習(xí)這個考點的時候，先要認(rèn)真掌握各曲線的定義，特別是橢圓、拋物線、雙曲線的第二定義，然后學(xué)會去找等量關(guān)系，最后建系求解即可．29．軌跡方程【知識點的認(rèn)識】1．曲線的方程和方程的曲線在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系以后，坐標(biāo)平面內(nèi)的動點都可以用有序?qū)崝?shù)對（x，y）表示，這就是動點的坐標(biāo)．當(dāng)點按某種規(guī)律運(yùn)動形成曲線時，動點坐標(biāo)（x，y）中的變量x、y存在著某種制約關(guān)系，這種制約關(guān)系反映到代數(shù)中，就是含有變量x、y的方程．一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看做適合某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程f（x，y）＝0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點．那么這個方程就叫做曲線的方程，這條曲線就叫做方程的曲線．2．求曲線方程的一般步驟（直接法）（1）建系設(shè)點：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用（x，y）表示曲線上任一點M的坐標(biāo)；（2）列式：寫出適合條件p的點M的集合{M|p（M）}；（3）代入：用坐標(biāo)表示出條件p（M），列出方程f（x，y）＝0；（4）化簡：化方程f（x，y）＝0為最簡形式；（5）證明：證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是在曲線上的點【解題方法點撥】（1）直接法：根據(jù)題目條件，直譯為關(guān)于動點的幾何關(guān)系，再利用解析幾何有關(guān)公式（如兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、夾角公式等）進(jìn)行整理、化簡．這種求軌跡方程的過程不需要特殊的技巧．（2）定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可用定義直接探求．關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化為某一基本軌跡的定義條件．（3）相關(guān)點法：用所求動點P的坐標(biāo)（x，y）表示已知動點M的坐標(biāo)（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再將x0，y0代入M滿足的條件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分點問題、對稱問題可用相關(guān)點法求解，相關(guān)點法的一般步驟是：設(shè)點→轉(zhuǎn)換→代入→化簡．（4）待定系數(shù)法（5）參數(shù)法（6）交軌法．30．互斥事件與對立事件【知識點的認(rèn)識】1．互斥事件（1）定義：一次試驗中，事件A和事件B不能同時發(fā)生，則這兩個不能同時發(fā)生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一個隨機(jī)試驗中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，則有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個發(fā)生）的概率等于這n個事件分別發(fā)生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．對立事件（1）定義：一次試驗中，兩個事件中必有一個發(fā)生的互斥事件叫做對立事件，事件A的對立事件記做．注：①兩個對立事件必是互斥事件，但兩個互斥事件不一定是對立事件；②在一次試驗中，事件A與只發(fā)生其中之一，并且必然發(fā)生其中之一．（2）對立事件的概率公式：P（）＝1﹣P（A）3．互斥事件與對立事件的區(qū)別和聯(lián)系互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生．因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要但不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分但不必要條件．【命題方向】1．考查對知識點概念的掌握例1：從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．“至少有一個紅球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“都是黑球”C．“至少有一個黑球”與“至少有1個紅球”D．“恰有1個黑球”與“恰有2個黑球”分析：列舉每個事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可解答：對于A：事件：“至少有一個紅球”與事件：“都是黑球”，這兩個事件是對立事件，∴A不正確對于B：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發(fā)生，如：一個紅球一個黑球，∴B不正確對于C：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有1個紅球”可以同時發(fā)生，如：一個紅球一個黑球，∴C不正確對于D：事件：“恰有一個黑球”與“恰有2個黑球”不能同時發(fā)生，∴這兩個事件是互斥事件，又由從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，得到所有事件為“恰有1個黑球”與“恰有2個黑球”以及“恰有2個紅球”三種情況，故這兩個事件是不是對立事件，∴D正確故選D點評：本題考查互斥事件與對立事件．首先要求理解互斥事件和對立事件的定義，理解互斥事件與對立事件的聯(lián)系與區(qū)別．同時要能夠準(zhǔn)確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡單題．例2：下列說法正確的是（）A．互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個發(fā)生的概率大D．事件A，B同時發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個發(fā)生的概率?。治觯焊鶕?jù)對立事件和互斥事件的概率，得到對立事件一定是互斥事件，兩個事件是互斥事件不一定是對立事件，這兩者之間的關(guān)系是一個包含關(guān)系．解答：根據(jù)對立事件和互斥事件的概念，得到對立事件一定是互斥事件，兩個事件是互斥事件不一定是對立事件，故選B．點評：本題考查互斥事件與對立事件之間的關(guān)系，這是一個概念辨析問題，這種題目不用運(yùn)算，只要理解兩個事件之間的關(guān)系就可以選出正確答案．2．互斥事件概率公式的應(yīng)用例：甲乙兩人下棋比賽，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸?shù)母怕适欠治觯河洝皟扇讼鲁珊推濉睘槭录嗀，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，且，，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求．解答：甲乙兩人下棋比賽，記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，則，，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）故答案為：點評：本題主要考查互斥事件的關(guān)系，不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率計算中的應(yīng)用．3．對立事件概率公式的應(yīng)用例：若事件A與B是互為對立事件，且P（A）＝0.4，則P（B）＝（