2025年中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 題型五-幾何探究題

第1講Unit1—Unit3(含StarterUnits)七年級(jí)上冊(cè)2025年中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)題型五幾何探究題[2024煙臺(tái)中考改編]在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為直線BC上任意一點(diǎn),連接AD,將線段AD繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)[1]90°得線段ED,連接BE.【嘗試發(fā)現(xiàn)】(1)如圖(1),當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),線段BE與CD的數(shù)量關(guān)系為

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1題型五幾何探究題圖(1)

[2024煙臺(tái)中考改編]在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為直線BC上任意一點(diǎn),連接AD,將線段AD繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)[2]90°得線段ED,連接BE.【類比探究】(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),先在圖(2)中補(bǔ)全圖形[2],再探究線段BE與CD的數(shù)量關(guān)系并證明.(3)若AC=BC=1,CD=2,求sin∠ECD的值.1題型五幾何探究題圖(2)【大招點(diǎn)撥】識(shí)別題干信息:【發(fā)現(xiàn)】+【探究】+【拓展】①找特征:根據(jù)[1]和[2],判斷該題的特征是“旋轉(zhuǎn)+操作”.②找模型:旋轉(zhuǎn)找全等模型,解答(1)和(2)的關(guān)鍵是作輔助線:過點(diǎn)E作EM⊥CB于點(diǎn)M,構(gòu)造“一線三垂直”全等模型③找結(jié)構(gòu):本題中的“不變結(jié)構(gòu)”是等腰直角三角形ABC和線段AD繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°.④類比解決:結(jié)合(1)和(2)的解題思路,在解答(3)時(shí),利用到的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想.【自主解答】1題型五幾何探究題(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),先在圖(2)中補(bǔ)全圖形[2],再探究線段BE與CD的數(shù)量關(guān)系并證明.1題型五幾何探究題圖(1)

[2024煙臺(tái)中考改編]在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為直線BC上任意一點(diǎn),連接AD,將線段AD繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)[1]90°得線段ED,連接BE.【聯(lián)系拓展】(3)若AC=BC=1,CD=2,求sin∠ECD的值.1題型五幾何探究題

圖(2)(3)若AC=BC=1,CD=2,求sin∠ECD的值.1題型五幾何探究題圖(3)

[2024遵義二模改編]如圖(1),在正方形ABCD中,點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),將正方形沿DE折疊,點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)F處,連接AF并延長(zhǎng),交BC于點(diǎn)G.(1)判斷AE與BG的數(shù)量關(guān)系為

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2圖(1)

圖(2)AE=BG(2)【應(yīng)用】如圖(1),延長(zhǎng)DF交BC于點(diǎn)H.①證明:∠HFG=∠FGH;2圖(1)

(2)①證明:∵AD∥BC,∴∠DAF=∠AGH.由折疊可知,DA=DF,∴∠DAF=∠AFD,∴∠AFD=∠AGH.∵∠AFD=∠HFG,∴∠AGH=∠HFG.(2)【應(yīng)用】如圖(1),延長(zhǎng)DF交BC于點(diǎn)H.②若HB=3a,HF=5a,AE=8,求BE的長(zhǎng)度.2圖(1)

②由①知,∠FGH=∠HFG,則HG=FH=5a,∵BH=3a,∴BG=BH+HF=8a.由折疊可得,AF⊥DE,∴∠BAG+∠AED=90°.∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=∠ABG=90°,∴∠AED+∠ADE=90°,∴∠BAG=∠ADE,∴△ADE≌△BAG,(2)【應(yīng)用】如圖(1),延長(zhǎng)DF交BC于點(diǎn)H.②若HB=3a,HF=5a,AE=8,求BE的長(zhǎng)度.2圖(1)

2圖(1)

圖(2)

圖(1)

圖(2)[2024貴州25題12分]

綜合與探究:如圖,∠AOB=90°,點(diǎn)P在∠AOB的平分線上,PA⊥OA于點(diǎn)A.(1)【操作判斷】如圖(1),過點(diǎn)P作PC⊥OB于點(diǎn)C,根據(jù)題意在圖(1)中畫出PC,圖中∠APC的度數(shù)為

度.

(2)【問題探究】如圖(2),點(diǎn)M在線段AO上,連接PM,過點(diǎn)P作PN⊥PM交射線OB于點(diǎn)N.求證:OM+ON=2PA.圖(1)

圖(2)

圖(1)

圖(2)解:(1)如圖(1),PC即為所求.(2分)

得分點(diǎn)1:作圖正確,得2分圖(1)

圖(2)90(4分)

得分點(diǎn)2:正確寫出∠APC的度數(shù),得2分

(2)證明:如圖(2),過點(diǎn)P作PC⊥OB于點(diǎn)C.由題意知,四邊形OAPC是矩形,∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上,PA⊥OA,PC⊥OB,∴PA=PC,(5分) 得分點(diǎn)3:根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PA=PC,得1分∴矩形OAPC是正方形,(6分)

得分點(diǎn)4:正確判定四邊形OAPC是正方形,得1分∴OA=AP=PC=OC,∠APC=90°.∵PN⊥PM,∴∠APM=∠CPN=90°-∠MPC.∵∠MAP=∠NCP=90°,∴△APM≌△CPN(ASA),(7分)

得分點(diǎn)5:正確證明△APM≌△CPN,得1分∴AM=CN,∴OM+ON=OM+OC+CN=OM+AM+OC=OA+OC=2PA,∴OM+ON=2PA.(8分)

得分點(diǎn)6:通過等量代換得出正確結(jié)論,得1分(3)第1步:考慮“點(diǎn)M在線段AO上”這一種情況,并作輔助線①當(dāng)點(diǎn)M在線段AO上時(shí),如圖(3),延長(zhǎng)NM,PA交于點(diǎn)G.圖(3)第2步:利用線段關(guān)系找全等三角形由(2)知,OM+ON=2AP,設(shè)OM=x,則ON=3x,OA=AP=2x.∴AM=AO-OM=x=OM.∵∠MON=∠MAG=90°,∠OMN=∠AMG,∴△MON≌△MAG(ASA),

第5步:類比第2步,找全等三角形由(2)知,四邊形OAPC是正方形,∴OA=AP=PC=OC,∠APC=90°,PC∥AO.∵PN⊥PM,∴∠APM=∠CPN=90°-∠MPC.∵∠A=∠PCN