沈陽沈北新區(qū)2023年八年級下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

6/23沈陽市沈北新區(qū)2023年八年級下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一、選擇題（每題2分，共20分）1．下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義（在平面內(nèi)，把一個圖形繞某點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形重合，那么這個圖形稱為中心對稱圖形）逐項判斷即可得．解：選項A、B、D都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，選項C能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，故選：C．【點評】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．2．如果不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集為x＞1，則a必須滿足的條件是（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＞3 C．a(chǎn)≠3 D．a(chǎn)＜3【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)不等號方向改變了，說明兩邊同時乘或除了一個負數(shù)，由此求出a的范圍即可．解：因為不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集為x＞1，所以a﹣3＜0，所以a＜3，故選：D．【點評】本題考查不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知不等式兩邊同時乘以或除以一個負數(shù)不等號要改變方向是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊的中點，下列結(jié)論不一定正確的是（）A．AD⊥BC B．∠B＝∠C C．AD平分∠BAC D．AB＝BC【分析】由AB＝AC知△ABC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進行判斷即可．解：在△ABC中，AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形，所以∠B＝∠C，因為D為BC邊的中點，所以AD⊥BC，AD平分∠BAC，故選項A、B、C正確，AB＝BC不一定成立，故選：D．【點評】此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．2月份的研學(xué)活動，對于初二的全體同學(xué)是難得且有意義的，我校租用55座和53座兩種型號的客車接送同學(xué)們，若租用55座客車x輛，租用53座客車y輛，則不等式“55x+53y≥990”表示的實際意義是（）A．兩種客車總的載客量不少于990人 B．兩種客車總的載客量不超過990人 C．兩種客車總的載客量不足990人 D．兩種客車總的載客量恰好等于990人【分析】主要依據(jù)不等式的定義：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號表示不相等關(guān)系的式子是不等式來判斷．解：不等式“55x+53y≥990”表示的實際意義是租用x輛55座的客車和y輛53座的客車總的載客量不少于990人．故選：A．【點評】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．解答此類題關(guān)鍵是要識別常見不等號：＞、＜、≤、≥、≠．5．下列等式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（）A． B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2） C．4m3n＝4m3?n D．m2+5m＝m（m+5）【分析】根據(jù)因式分解的定義判斷即可．解：A．，該等式的右邊不是幾個整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；B．x2﹣2x+1≠x（x﹣2），故本選項不符合題意；C．4m3n＝4m3?n，該等式的左邊不是多項式，不屬于因式分解，故本選項不符合題意；D．m2+5m＝m（m+5），從左邊到右邊的變形屬于因式分解，故本選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了因式分解的定義和因式分解的方法，能熟記因式分解的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解．6．如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)80°，得到△ADE，若點D在線段BC的延長線上，則∠B的大小是（）A．45° B．50° C．60° D．100°【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝AD，∠BAD＝80°，由等腰三角形的性質(zhì)可求解．解：因為將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)80°，得到△ADE，所以AB＝AD，∠BAD＝80°，所以∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝50°，故選：B．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．7．已知點M（m+2，m）在第四象限，則m的取值范圍是（）A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞0 D．﹣2＜m＜0【分析】根據(jù)第四象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特點，得到關(guān)于m的不等式，求解可得答案．解：因為點M（m+2，m）在第四象限，所以，解不等式組，可得：﹣2＜m＜0．故選：D．【點評】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題關(guān)鍵是理解并掌握各個象限內(nèi)點的坐標(biāo)特點，列出關(guān)于m的不等式．8．小明同學(xué)只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（）A．在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上 B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等 C．三角形的三條高交于一點 D．三角形三邊的垂直平分線交于一點【分析】由題意可知，點P到射線OB，OA的距離相等，則點P在∠BOA的平分線上，即可得出答案．解：由題意可知，點P到射線OB的距離是直尺的寬度，點P到射線OA的距離也是直尺的寬度，所以點P到射線OB，OA的距離相等，所以點P在∠BOA的平分線上（在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上）．故選：A．【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)，理解題意，掌握角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上是解答本題的關(guān)鍵．9．不等式組的解集表示在數(shù)軸上，其中正確的是（）A． B． C． D．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．解：解不等式x+1＞2，得：x＞1，解不等式，得：x≤4，則不等式組的解集為1＜x≤4，解集表示在數(shù)軸上為：，故選：B．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找”是解題關(guān)鍵．10．在探索因式分解的公式時，可以借助幾何圖形來解釋某些公式．如圖，從左圖到右圖的變化過程中，解釋的因式分解公式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a(chǎn)2+b2＝（a+b）2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【分析】分別求兩圖形的面積，可得出平方差公式．解：如圖，從左圖到右圖的變化過程中，解釋的因式分解公式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故選：B．【點評】本題考查了平方差公式的幾何背景，利用兩個圖形的面積相等列等式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題每題3分，共18分。11．分解因式：16a﹣a3＝a（4+a）（4﹣a）．【分析】先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解，即可解答．解：16a﹣a3＝a（16﹣a2）＝a（4+a）（4﹣a），故答案為：a（4+a）（4﹣a）．【點評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．12．如圖，長為6，寬為3的矩形ABCD，陰影部分的面積為9．【分析】根據(jù)矩形是中心對稱圖形，可得陰影部分的面積是矩形面積的一半，求出矩形面積即可求解．解：因為O為矩形的對稱中心，則陰影部分的面積是矩形面積的一半，因為矩形面積為6×3＝18，所以陰影部分的面積為9．故答案為：9．【點評】本題考查了矩形是中心對稱．熟練掌握中心對稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．不等式組的解集為0＜x＜3．【分析】分別解兩個不等式得到x＞0和x＜3，然后利用大小小大中間找確定不等式組的解集．解：，解①得x＞0，解②得x＜3，所以不等式組的解集為0＜x＜3．故答案為：0＜x＜3．【點評】本題考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分．14．如圖，在△ABC中，已知AC＝20，AB邊的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，若△BCE的周長為35，則BC的長為15．【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)知，AE＝BE．△BCE的周長＝BC+BE+EC＝BC+AE+EC＝BC+AC．解方程得解．解：因為DE垂直平分AB，所以EA＝EB．△BCE的周長＝BC+BE+EC＝BC+AE+EC＝BC+AC，即BC+20＝35，所以BC＝15．故答案為：15．【點評】此題主要考查了線段垂直平分線性質(zhì)，難度不大．15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P（﹣3，5）與點Q（3，m）關(guān)于原點對稱，則m＝﹣5．【分析】平面直角坐標(biāo)系中任意一點P（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），即求關(guān)于原點的對稱點時，橫、縱坐標(biāo)都變成原數(shù)的相反數(shù)．解：因為P、Q兩點關(guān)于原點對稱，所以橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，所以m＝﹣5．故答案為：﹣5．【點評】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點關(guān)于原點對稱時橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)這一特征，熟練掌握該特征是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在邊長為4的等邊△ABC中，點P為BC邊上任意一點，PE⊥AB于點，PF⊥AC于點F，則PE+PF的長度和為2．【分析】連接AP，作CD⊥AB交AB于點D，由S△ABC＝S△ABP+S△ACP得CD＝PE+PF，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出CD的長即可得到答案．解：如圖所示，連接AP，作CD⊥AB交AB于點D，則S△ABC＝S△ABP+S△ACP，即AB?CD＝AB?PE+AC?PF，因為△ABC為等邊三角形，所以AB＝AC，所以CD＝PE+PF，因為AB＝AC＝BC＝4，CD⊥AB，所以，所以，所以，故答案為：．三、解答題共9小題。17．（16分）把下列多項式分解因式．（1）ab2﹣25a3b2；（2）8x2﹣8xy+2y2；將下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．（3）5x＞4x+6；（4）x﹣2＜﹣1；【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解；（3）（4）利用不等式的性質(zhì)得結(jié)論．解：（1）ab2﹣25a3b2＝ab2（1﹣25a2）＝ab2（1﹣5a）（1+5a）；（2）8x2﹣8xy+2y2＝2（4x2﹣4xy+y2）＝2（2x﹣y）2；（3）5x＞4x+6，所以5x﹣4x＞6，所以x＞6；（4）x﹣2＜﹣1x＜2﹣1，所以x＜1．【點評】本題奧考查了整式的因式分解和不等式，掌握因式分解的提公因式法和公式法、不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．18．解不等式，要求寫出詳細步驟：，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【分析】先去分母，再去括號，然后移項合并同類項，再把解集在數(shù)軸上表示，即可求解．解：，去分母得：3（x﹣2）≤2（7﹣x），去括號得：3x﹣6≤14﹣2x，移項合并同類項得：5x≤20，解得：x≤4．把解集在數(shù)軸上表示出來，如圖：【點評】本題主要考查了解一元一次不等式，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握不等式的解法是解本題的關(guān)鍵．19．解不等式組請按下列步驟完成解答．（1）解不等式①，得x≤1；（2）解不等式②，得x＜4；（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；（4）原不等式組的解集是1≤x＜4．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．解：（1）解不等式①，得x≤1；（2）解不等式②，得：x＜4；（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來如下：（4）原不等式組的解集為：x≤1．故答案為：x≤1，x＜4，x≤1．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．20．如圖，在8×8的方格紙巾有一條直線m和△ABC，請按要求解答．（1）將△ABC向右平移4個單位，在圖①中畫出平移后的△A1B1C1；（2）在圖②中畫出△ABC關(guān)于直線m對稱的△A2B2C2；（3）將△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)180°，在圖③中畫出旋轉(zhuǎn)后的△A3B3C3．【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可畫出圖形；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可畫出圖形；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可畫出圖形．解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，△A2B2C2即為所求；（3）如圖，△A3B3C3即為所求．【點評】本題主要考查了作圖﹣平移變換，旋轉(zhuǎn)變換，軸對稱變換，熟練掌握圖形變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．如圖，CE是△ABC的角平分線，EF∥BC交AC于點F，求證：△FEC是等腰三角形．【分析】根據(jù)角平分線的定義可知∠FCE＝∠BCE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可知∠FEC＝∠BCE，等量代換得∠FCE＝∠FEC，根據(jù)等角對等邊可得結(jié)論．【解答】證明：因為CE是△ABC的角平分線，所以∠FCE＝∠BCE，因為EF∥BC，所以∠FEC＝∠BCE，所以∠FCE＝∠FEC，所以FE＝FC，所以△FEC是等腰三角形．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．22．“五一”勞動節(jié)馬上來了，為了抓住“五一”小長假旅游商機，某旅游景點決定購進A，B兩種紀念品，購進A種紀念品10件，B種紀念品4件，共需1200元；購進A種紀念品5件，B種紀念品8件，共需900元．（1）求購進A，B兩種紀念品每件各需多少元？（2）若購買兩種紀念品共200件，并且購買B種紀念品的數(shù)量不大于A種紀念品數(shù)量的3倍．A種紀念品每件獲利30元，B種紀念品每件獲利是進價的八折，請設(shè)計一個方案：怎樣購進A，B兩種紀念品獲利潤最大？最大利潤是多少？【分析】（1）設(shè)購進A種紀念品每件需x元，B種紀念品每件需y元，根據(jù)“購進A種紀念品10件，B種紀念品4件，共需1200元；購進A種紀念品5件，B種紀念品8件，共需900元”，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購進A種紀念品m件，則購進B種紀念品（200﹣m）件，根據(jù)購買B種紀念品的數(shù)量不大于A種紀念品數(shù)量的3倍，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，設(shè)購進的200件紀念品全部售出后獲得的總利潤為w元，利用總利潤＝每件的銷售利潤×銷售數(shù)量（購進數(shù)量），可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．解：（1）設(shè)購進A種紀念品每件需x元，B種紀念品每件需y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：購進A種紀念品每件需100元，B種紀念品每件需50元；（2）設(shè)購進A種紀念品m件，則購進B種紀念品（200﹣m）件，根據(jù)題意得：200﹣m≤3m，解得：m≥50．設(shè)購進的200件紀念品全部售出后獲得的總利潤為w元，則w＝30m+50×0.8（200﹣m），即w＝﹣10m+8000，因為﹣10＜0，所以w隨m的增大而減小，又因為m≥50，且m為正整數(shù)，所以當(dāng)m＝50時，w取得最大值，最大值＝﹣10×50+8000＝7500，此時200﹣m＝200﹣50＝150．所以當(dāng)購進A種紀念品50件，B種紀念品150件時，獲得的總利潤最大，最大總利潤為7500元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．23．如圖，AD是△ABC的高，AB＝5，BC＝7，AC＝4．①設(shè)BD＝x，用x表示AD2；②求BD長；③求△ABC的面積．【分析】①在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理可得AD2＝AB2﹣BD2＝25﹣x2；②BD＝x，則CD＝7﹣x，根據(jù)勾股定理可得AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，解出x即可；③求出AD，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．解：①因為AD是△ABC的高，所以AD⊥BC，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理可得：AD2＝AB2﹣BD2＝25﹣x2；②因為BD＝x，BC＝7，所以CD＝7﹣x，因為AD⊥BC，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即25﹣x2＝32﹣（7﹣x）2，解得x＝3，即BD的長為3；③因為AD2＝25﹣x2，所以AD＝，所以S△ABC＝＝＝14．【點評】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理并靈活運用．在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．24．如圖，已知直線l1：y1＝x+b經(jīng)過點A（﹣5，0），交y軸于點B，直線l2：y2＝﹣2x﹣4與直線l1：y1＝x+b交于點C，交y軸于點D．（1）求b的值；（2）求△BCD的面積；（3）當(dāng)0≤y2＜y1時，則x的取值范圍是﹣3＜x≤﹣2．（直接寫出結(jié)果）【分析】（1）把點A的坐標(biāo)代入直線l1：y1＝x+b，列出方程并解答；（2）利用兩直線相交求得點C的坐標(biāo)，由直線l2、l1求得點B、D的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式解答；（3）結(jié)合圖形直接得到答案．解：（1）把A（﹣5，0）代入y1＝x+b，得﹣5+b＝0解得b＝5．（2）由（1）知，直線l1：y1＝x+5．且B（0，5）．根題意知，．解得，即C（﹣3，2）．又由y2＝﹣2x﹣4知，D（0，﹣4）．所以BD＝9．所以S△BCD＝BD?|xC|＝＝；（3）由（2）知，C（﹣3，2）．當(dāng)y＝0時，﹣2x﹣4＝0，此時x＝﹣2．所以由圖象知，當(dāng)0≤y2＜y1時，則x的取值范圍是﹣3＜x≤﹣2．故答案是：﹣3＜x≤﹣2．【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，準確的確定出直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．25．定義：如果三角形有兩個內(nèi)角的差為60°，那么這樣的三角形叫做“準等邊三角形”．【理解概念】（1）頂角為120°的等腰三角形不是“準等邊三角形”．（填“是”或“不是”）【鞏固新知】（2）已知△ABC是“準等邊三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度數(shù)．【解決問題】（3）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，點D在AC邊上，若△BCD是“準等邊三角形”，求BD的長．【分析】（1）根據(jù)