西安市新城區(qū)2023年八年級(jí)下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案

14/18西安市新城區(qū)2023年八年級(jí)下學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題與參考答案一．選擇題共10小題，滿分30分，每小題3分。1．（3分）下列感冒膠囊的標(biāo)識(shí)圖中，屬于中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；B、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；C、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；D、該圖形是中心對(duì)稱圖形，本選項(xiàng)符合題意．故選：D．2．（3分）如果a＜b，那么下列各式中正確的是（）A．﹣2a＜﹣2b B．a(chǎn)+2＞b+2 C．2a+3＜2b+3 D．2a＞2b【解答】解：A．a(chǎn)＜b，則﹣2a＞﹣2b，故A選項(xiàng)不符合題意；B．a(chǎn)＜b，則a+2＜b+2，故B選項(xiàng)不符合題意；C．因?yàn)閍＜b，所以2a＜2b，所以2a+3＜2b+3，故C選項(xiàng)符合題意；D．a(chǎn)＜b，則2a＜2b，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．3．（3分）判斷下列各式從左到右的變形，其中不是因式分解的是（）A．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．x2+3x＝x（x+3） D．a(chǎn)3b2+a2b＝a2b（ab+1）【解答】解：A．等式從左邊到右邊的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；B．等式從左邊到右邊的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；C．等式從左邊到右邊的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；D．等式從左邊到右邊的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．4．（3分）要使分式有意義，x的取值范圍是（）A．x≠1 B．x＞1 C．x≠﹣1 D．x＞﹣1【解答】解：要使分式有意義，則x+1≠0，解得：x≠﹣1．故選：C．5．（3分）若m＞n，則下列不等式中不成立的是（）A．m+1＞n+1 B．2m﹣1＞2n﹣1 C．3m＜3n D．﹣m＜﹣n【解答】解：A、因?yàn)閙＞n，所以m+1＞n+1，故A不符合題意；B、因?yàn)閙＞n，所以2m＞2n，所以2m﹣1＞2n﹣1，故B不符合題意；C、因?yàn)閙＞n，所以3m＞3n，故C符合題意；D、因?yàn)閙＞n，所以﹣m＜﹣n，故D不符合題意．故選：C．6．（3分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將M（5，2）先向下平移2個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位，則移動(dòng)后的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（2，0） B．（3，5） C．（8，4） D．（2，3）【解答】解：平移后的坐標(biāo)為（5﹣3，2﹣2），即坐標(biāo)為（2，0），故選：A．7．（3分）如圖，長與寬分別為a、b的長方形，它的周長為14，面積為10，則a3b+2a2b2+ab3的值為（）A．2560 B．490 C．70 D．49【解答】解：因?yàn)殚L與寬分別為a、b的長方形，它的周長為14，面積為10，所以ab＝10，a+b＝7，所以a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝10×72＝490．故選：B．8．（3分）“方勝”是中國古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個(gè)全等正方形相疊組成，寓意是同心吉祥．如圖，將邊長為2cm的正方形ABCD沿對(duì)角線BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一個(gè)“方勝”圖案，則重疊部分的小正方形邊長為（）A．1cm B．2cm C． D．【解答】解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，因?yàn)锳B＝AD＝2cm，∠A＝90°，所以BD＝AB＝2（cm），由平移變換的性質(zhì)可知BB′＝1cm，所以DB′＝BD﹣BB﹣1）cm，所以小正方形的邊長＝DB′＝×（2﹣1）＝（2﹣）cm，故選：C．9．（3分）關(guān)于x的不等式﹣1＜x≤a有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．3≤a＜4 B．3＜a≤4 C．2≤a＜3 D．2＜a≤3【解答】解：因?yàn)椴坏仁僵?＜x≤a有3個(gè)整數(shù)解，所以這3個(gè)整數(shù)解為0，1、2，則2≤a＜3，故選：C．10．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點(diǎn)O，AE交BC于E，BF交AC于F，過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，下列三個(gè)結(jié)論：①∠AOB＝90°+∠C；②當(dāng)∠C＝60°時(shí)，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，則S△ABC＝ab．其中正確的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①③【解答】解：因?yàn)椤螧AC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，所以∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，所以∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正確；因?yàn)椤螩＝60°，所以∠BAC+∠ABC＝120°，因?yàn)锳E，BF分別是∠BAC與ABC的平分線，所以∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，所以∠AOB＝120°，所以∠AOF＝60°，所以∠BOE＝60°，如圖，在AB上取一點(diǎn)H，使BH＝BE，因?yàn)锽F是∠ABC的角平分線，所以∠HBO＝∠EBO，在△HBO和△EBO中，，所以△HBO≌△EBO（SAS），所以∠BOH＝∠BOE＝60°，所以∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，所以∠AOH＝∠AOF，在△HAO和△FAO中，，所以△HAO≌△FAO（ASA），所以AF＝AH，所以AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正確；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，因?yàn)椤螧AC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，所以點(diǎn)O在∠C的平分線上，所以O(shè)H＝OM＝OD＝a，因?yàn)锳B+AC+BC＝2b，所以S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）?a＝ab，③正確．故選：C．二．填空題共5小題，滿分15分，每小題3分。11．（3分）（+2）×（﹣2）＝1．【解答】解：因?yàn)?÷（﹣2）＝＝＝+2，所以（+2）×（﹣2）＝1．故答案為：（+2）．12．（3分）已知a＝，則代數(shù)式a2﹣1的值為1．【解答】解：當(dāng)a＝時(shí)，a2﹣1＝（）2﹣1＝1．故本題答案為：1．13．（3分）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為1．【解答】解：去分母，得：m+7（x﹣3）＝4﹣x，由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程，可得：m+7×（3﹣3）＝4﹣3，解得：m＝1．故答案為：1．14．（3分）平行四邊形ABCD中，∠A＝50°，AB＝30cm，則∠B＝130°，DC＝30cm．【解答】解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AD∥BC，DC＝AB＝30cm，所以∠A+∠B＝180°，因?yàn)椤螦＝50°，所以∠B＝130°．故答案為130°，30．15．（3分）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，H是CD的中點(diǎn)，連接GH，則GH的最小值為．【解答】解：連接CG并延長與AD的延長線交于點(diǎn)K，過點(diǎn)H作HT⊥CK于T，如圖1所示：因?yàn)樗倪呅蜛BCD和四邊形DEFG均為正方形，所以AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝60°，∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，所以∠ADE+∠EDC＝90°，∠CDG+∠EDC＝90°，所以∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，所以△ADE≌△CDG（SAS），所以AE＝CG，∠DAC＝∠DCG＝45°，所以當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)K重合，即當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G在線段CK上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)“垂線段最短”可知：當(dāng)HG⊥CK時(shí)，HG為最短，即當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)T重合時(shí)，HG為最小，最小值為線段HT的長．因?yàn)椤螪AC＝45°，HT⊥CK，所以△CHT為等腰直角三角形，即HT＝CT，因?yàn)锳B＝4，點(diǎn)H為CD的中點(diǎn)，所以HC＝2，由勾股定理得：HT2+CT2＝HC2，所以2HT2＝4，所以HT＝．所以GH的最小值為．三．解答題共8小題，滿分75分。16．（6分）解分式方程：（1）；（2）．【解答】解：（1），方程兩邊都乘以x（x+1），得2（x+1）＝3x，解得x＝2，當(dāng)x＝2時(shí)，x（x+1）≠0，所以原分式方程的解是x＝2；（2），方程可化為，方程兩邊都乘以（x+1）（x﹣1），得（x+1）2﹣（x+1）（x﹣1）＝5x，解得x＝，當(dāng)x＝時(shí)，（x+1）（x﹣1）≠0，所以原分式方程的解是x＝．17．（6分）先化簡，再求值：，其中．【解答】解：原式＝＝，當(dāng)，原式＝．18．（10分）如圖，方格紙中每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位的正方形，Rt△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）．（1）先將Rt△ABC向左平移5個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到Rt△A1B1C1，試著在圖中畫出圖形Rt△A1B1C1，并寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo)；（2）將Rt△A1B1C1繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△A2B2C2，試著在圖中畫出Rt△A2B2C2，并計(jì)算C1C2的長．【解答】（1）解：Rt△A1B1C1如圖所示，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（﹣4，0）；（2）Rt△A2B2C2如圖所示，C1C2＝．19．（8分）某市要修建一條長6000米的道路，甲工程隊(duì)修2000米后，因另有其它任務(wù)，調(diào)來乙工程隊(duì)接著修路，乙隊(duì)修完后，甲、乙兩隊(duì)共用40天，乙工程隊(duì)每天修路的長度是甲工程隊(duì)每天修路長度的2倍，求甲隊(duì)每天修路多少米．【解答】解：設(shè)甲隊(duì)每天修路x米，根據(jù)題意，得，解得x＝100．經(jīng)檢驗(yàn)x＝100是原方程的解且符合題意．答：甲隊(duì)每天修路100米．20．（9分）已知一根蠟燭的長為30厘米，點(diǎn)燃后蠟燭每小時(shí)燃燒4厘米，設(shè)蠟燭燃燒的時(shí)間為x（小時(shí)），蠟燭燃燒時(shí)剩下的長度為y（厘米）．（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；（2）求當(dāng)y＝6時(shí)，x的值．【解答】解：（1）y＝30﹣4x，因?yàn)?0﹣4x≥0，所以，所以自變量x的取值范圍是；（2）當(dāng)y＝6時(shí)，30﹣4x＝6，解得x＝6．21．（10分）紅旅渠精神是中華民族”自力更生、艱苦創(chuàng)業(yè)”的民族奮斗精神．某校組織學(xué)生前往紅旗渠開展實(shí)踐活動(dòng)，在此次活動(dòng)中，若每位老師帶隊(duì)30名學(xué)生，則還剩7名學(xué)生沒老師帶隊(duì)：若每位老師帶隊(duì)31名學(xué)生，就有一位老師少帶1名學(xué)生．現(xiàn)有甲、乙兩型客車，它們的載客量和租金如表所示：甲型客車乙型客車截客量（人/輛）3530租金（元/輛）400320學(xué)校計(jì)劃此次游學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的租金總費(fèi)用不超過3000元．（1）參加此次游學(xué)實(shí)踐活動(dòng)的老師和學(xué)生各有多少人？（2）若每位老師各負(fù)責(zé)一輛車的組織工作，則有幾種租車方案？總費(fèi)用最少的方案是哪種？最少費(fèi)用是多少元？【解答】解：（1）設(shè)參加此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的老師有x位，則參加此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的學(xué)生有（30x+7）名，根據(jù)題意得：30x+7＝31x﹣1，解得：x＝8，所以30x+7＝30×8+7＝247（名）．答：參加此次勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)的老師有8位，學(xué)生有247名；（2）設(shè)租用m輛甲型客車，則租用（8﹣m）輛乙型客車，根據(jù)題意得，解得：3≤m≤5.5，又因?yàn)閙為正整數(shù)，所以m可以為3，4，5，所以共有3種租車方案，方案1：租用3輛甲型客車，5輛乙型客車；方案2：租用4輛甲型客車，4輛乙型客車；方案3：租用5輛甲型客車，3輛乙型客車；（3）方案1所需租車總費(fèi)用為400×3+320×5＝2800（元）；方案2所需租車總費(fèi)用為400×4+320×4＝2880（元）；方案3所需租車總費(fèi)用為400×5+320×3＝2960（元）．因?yàn)?800＜2880＜2960，所以學(xué)校租車總費(fèi)用最少是2800元．22．（12分）如圖，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，若BD＝CD，BE＝CF．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）請(qǐng)猜想AB+AC與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【解答】（1）證明：因?yàn)镈E⊥AB，DF⊥AC，所以∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△DBE和Rt△DCF中，，所以Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），所以DE＝DF，因?yàn)镈E⊥AB，DF⊥AC，所以AD平分∠BAC．（2）解：AB+AC＝2AE，證明如下：在Rt△ADE和Rt△ADF中，，所以Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），所以AE＝AF，所以AB+AC＝AB+AF+CF＝AB+AE+BE＝2AE．23．（14分）如圖1，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC和AD于點(diǎn)E和F．（1）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；（2）如圖2，證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；（3）如圖3，在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能有BF＝FD嗎？如果不能，請(qǐng)說明理由；如果能，請(qǐng)先說明理由，再求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．【解答】（1）解：如圖，在?ABCD中，AD∥BC，OA＝OC，所以∠1＝∠2，在△AOF和△COEE中，，所以△AOF≌△COE（ASA），所以AF＝CE，即在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；（2）證明：如圖，由題意，∠AOF＝90°，又因?yàn)锳B⊥AC，所以∠BAO＝90°，∠AOF＝90°，所以∠BAO＝∠AOF，所以BA∥EF，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AD∥BC，即AF∥BE，因?yàn)锽A∥EF，AF∥BE，所以四邊形ABEF是平行四邊形；（3）解：在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF能有BF＝FD．理由：如圖，因?yàn)锳F＝CE，AD∥