2025版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題四 立體幾何 第5講 球的切接問題原卷版

2/2第5講球的切接問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 2【考點一】空間幾何體的外接球 2【考點二】空間幾何體的內(nèi)切球 4【專題精練】 6考情分析：空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是高中數(shù)學(xué)的重點、難點，也是高考命題的熱點，一般是通過對幾何體的割補或?qū)ふ規(guī)缀误w外接球的球心求解外接球問題，利用等體積法求內(nèi)切球半徑等，一般出現(xiàn)在壓軸小題位置．真題自測真題自測一、單選題1．（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2021·天津·高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（

）A． B． C． D．4．（2021·全國·高考真題）北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%考點突破考點突破【考點一】空間幾何體的外接球一、單選題1．（2020·全國·高考真題）已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧·一模）已知正四棱錐各頂點都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長為4，體積為，則該球表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·河南信陽·一模）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m，則（

）

A．該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為 B．該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為C．該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為 D．該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為4．（2024·遼寧·三模）如圖，在棱長為2的正方體中，點分別為的中點，為面的中心，則以下命題正確的是（

）A．平面截正方體所得的截面面積為B．四面體的外接球的表面積為C．四面體的體積為D．若點為的中點，則存在平面內(nèi)一點，使直線與所成角的余弦值為三、填空題5．（2023·湖北·模擬預(yù)測）已知正三棱錐的各頂點都在表面積為球面上，正三棱錐體積最大時該正三棱錐的高為.6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知空間四面體滿足，則該四面體外接球體積的最小值為．規(guī)律方法：求解空間幾何體的外接球問題的策略(1)定球心：球心到接點的距離相等且為半徑．(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系)，達到空間問題平面化的目的．(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解．【考點二】空間幾何體的內(nèi)切球一、單選題1．（2024·云南大理·模擬預(yù)測）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個面都是正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）．如圖所示，正八面體的棱長為，此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北·二模）已知圓錐PO的頂點為P，其三條母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長為6，則圓錐PO的內(nèi)切球表面職與圓錐側(cè)面積之和為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東湛江·一模）在直三棱柱中，，，，分別為和的中點，為棱上的一點，且，則下列選項中正確的有（

）A．三棱柱存在內(nèi)切球B．直線被三棱柱的外接球截得的線段長為C．點在棱上的位置唯一確定D．四面體的外接球的表面積為4．（2024·廣東茂名·一模）如圖，已知圓錐頂點為，其軸截面是邊長為2的為等邊三角形，球內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面均相切），是球與圓錐母線的交點，是底面圓弧上的動點，則（

）A．球的體積為B．三棱錐體積的最大值為C．的最大值為3D．若為中點，則平面截球的截面面積為三、填空題5．（2024·湖南株洲·一模）若半徑為R的球O是圓柱的內(nèi)切球，則該球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差為.6．（2024·廣西·二模）在三棱錐中，，，△PAC，的面積分別3，4，12，13，且∠APB=∠BPC=∠APC，則其內(nèi)切球的表面積為．規(guī)律方法：空間幾何題的內(nèi)切球問題，一是找球心，球心到切點的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·安徽安慶·三模）已知圓錐的軸截面是等邊三角形，則其外接球與內(nèi)切球的表面積之比為（

）A． B． C． D．2．（2024·山西太原·二模）已知圓錐的頂點為P，底面圓的直徑，，則該圓錐內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽池州·二模）已知圓錐的底面半徑為3，其內(nèi)切球表面積為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．4．（2024·天津和平·二模）如圖，一塊邊長為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下去，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，則這個正四棱錐的內(nèi)切球（球與正四棱錐各面均有且只有一個公共點）的體積為（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若某圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球表面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．6．（2024·青?！ざ＃┤鐖D，已知在四棱錐中，底面四邊形為等腰梯形，，，底面積為，且，則四棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．7．（2024·西藏·模擬預(yù)測）已知圓錐的軸截面是一個正三角形，其中是圓錐頂點，AB是底面直徑．若C是底面圓O上一點，P是母線SC上一點，，，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．8．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2，面積為的扇形，則該圓錐的外接球的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·新疆烏魯木齊·一模）某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由棱長為40cm的正方體截去八個一樣的四面體得到的，則（

）A．該幾何體的頂點數(shù)為12B．該幾何體的棱數(shù)為24C．該幾何體的表面積為D．該幾何體外接球的表面積是原正方體內(nèi)切球、外接球表面積的等差中項10．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）如圖，正方體的棱長為4，點是其側(cè)面上的一個動點（含邊界），點是線段上的動點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點，使得二面角大小為B．存在點，使得平面與平面平行C．當(dāng)為棱的中點且時，則點的軌跡長度為D．當(dāng)為的中點時，四棱錐外接球的表面積為11．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱中，分別是棱上的動點，，，則下列說法正確的是（

）

A．直三棱柱的體積為B．直三棱柱外接球的表面積為C．若分別是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為D．取得最小值時，三、填空題12．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）《論球與圓柱》是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的得意杰作，據(jù)傳說在他的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖為一個圓柱與球的組合體，其中球與圓柱的側(cè)面和上?下底面均相切，為底面圓