2025屆云南省開遠市第二中學(xué)高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆云南省開遠市第二中學(xué)高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．有一圓柱狀有蓋鐵皮桶（鐵皮厚度忽略不計），底面直徑為cm，高度為cm，現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球，在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝（）（附：）A．個 B．個 C．個 D．個2．已知平面向量滿足與的夾角為，且，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．3．已知直線過圓的圓心，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．44．設(shè)集合，，則（）A． B．C． D．5．復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C．2 D．6．在棱長均相等的正三棱柱中，為的中點，在上，且，則下述結(jié)論：①；②；③平面平面：④異面直線與所成角為其中正確命題的個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．47．為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國統(tǒng)計學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖所示.勞倫茨曲線為直線時，表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時，表示收入完全不平等.記區(qū)域為不平等區(qū)域，表示其面積，為的面積，將稱為基尼系數(shù).對于下列說法：①越小，則國民分配越公平；②設(shè)勞倫茨曲線對應(yīng)的函數(shù)為，則對，均有；③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則；④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則.其中正確的是：A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④8．等比數(shù)列若則（）A．±6 B．6 C．-6 D．9．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的概率為A． B． C． D．10．胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個側(cè)面都是相同的等腰三角形．研究發(fā)現(xiàn)，該金字塔底面周長除以倍的塔高，恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率．設(shè)胡夫金字塔的高為，假如對胡夫金字塔進行亮化，沿其側(cè)棱和底邊布設(shè)單條燈帶，則需要燈帶的總長度約為A． B．C． D．11．已知實數(shù)，則的大小關(guān)系是()A． B． C． D．12．等差數(shù)列中，已知，且，則數(shù)列的前項和中最小的是（）A．或 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．給出下列等式：，，，…請從中歸納出第個等式：______.14．已知數(shù)列的前項和為，且成等差數(shù)列，，數(shù)列的前項和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為______________.15．將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料，則甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一個組的概率為__________.16．工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在四棱錐中，底面是平行四邊形，底面．（1）證明：；（2）求二面角的正弦值．18．（12分）已知函數(shù)（，），且對任意，都有.（Ⅰ）用含的表達式表示；（Ⅱ）若存在兩個極值點，，且，求出的取值范圍，并證明；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，判斷零點的個數(shù)，并說明理由.19．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為：.（1）求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于，兩點，與曲線交于，兩點，求取得最大值時直線的直角坐標方程.20．（12分）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求；（2）若的面積為，，求的周長.21．（12分）如圖，在中，，，點在線段上.（1）若，求的長；（2）若，，求的面積.22．（10分）已知關(guān)于的不等式解集為（）.（1）求正數(shù)的值；（2）設(shè)，且，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

計算球心連線形成的正四面體相對棱的距離為cm，得到最上層球面上的點距離桶底最遠為cm，得到不等式，計算得到答案.【詳解】由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切，且相鄰四個球兩兩相切，這樣，相鄰的四個球的球心連線構(gòu)成棱長為cm的正面體，易求正四面體相對棱的距離為cm，每裝兩個球稱為“一層”，這樣裝層球，則最上層球面上的點距離桶底最遠為cm，若想要蓋上蓋子，則需要滿足，解得，所以最多可以裝層球，即最多可以裝個球．故選：【點睛】本題考查了圓柱和球的綜合問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.2、D【解析】

由已知可得，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律，建立方程，求解即可.【詳解】依題意得由，得即，解得.故選:.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，向量垂直的應(yīng)用，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

圓心坐標為，代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開計算即可得到所求最小值．【詳解】圓的圓心為，由題意可得，即，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)且即時取等號，故選：．【點睛】本題考查最值的求法，注意運用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時考查直線與圓的關(guān)系，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解析】

解出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為，又，所以.故選：A.【點睛】本題考查交集的計算，同時也考查了一元二次不等式的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，化簡出，即可得出虛部.【詳解】解：=，故虛部為-2.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的概念.6、B【解析】

設(shè)出棱長，通過直線與直線的垂直判斷直線與直線的平行，推出①的正誤；判斷是的中點推出②正的誤；利用直線與平面垂直推出平面與平面垂直推出③正的誤；建立空間直角坐標系求出異面直線與所成角判斷④的正誤．【詳解】解：不妨設(shè)棱長為：2，對于①連結(jié)，則，即與不垂直，又，①不正確；對于②，連結(jié)，，在中，，而，是的中點，所以，②正確；對于③由②可知，在中，，連結(jié)，易知，而在中，，，即，又，面，平面平面，③正確；以為坐標原點，平面上過點垂直于的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系；，，，，，；，；異面直線與所成角為，，故．④不正確．故選：．【點睛】本題考查命題的真假的判斷，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，直線與平面垂直，直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．7、A【解析】

對于①，根據(jù)基尼系數(shù)公式，可得基尼系數(shù)越小，不平等區(qū)域的面積越小，國民分配越公平，所以①正確.對于②，根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，由圖得，均有，可得，所以②錯誤.對于③，因為，所以，所以③錯誤.對于④，因為，所以，所以④正確.故選A．8、B【解析】

根據(jù)等比中項性質(zhì)代入可得解，由等比數(shù)列項的性質(zhì)確定值即可.【詳解】由等比數(shù)列中等比中項性質(zhì)可知，，所以，而由等比數(shù)列性質(zhì)可知奇數(shù)項符號相同，所以，故選：B.【點睛】本題考查了等比數(shù)列中等比中項的簡單應(yīng)用，注意項的符號特征，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

求得基本事件的總數(shù)為，其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,利用古典概型及其概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，現(xiàn)有甲乙丙丁4名學(xué)生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動，基本事件的總數(shù)為，其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為，故選B.【點睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計算問題，其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個數(shù)，利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

設(shè)胡夫金字塔的底面邊長為，由題可得，所以，該金字塔的側(cè)棱長為，所以需要燈帶的總長度約為，故選D．11、B【解析】

根據(jù)，利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】解：∵，∴，，．∴．故選：B．【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解析】

設(shè)公差為，則由題意可得，解得，可得.令

，可得

當(dāng)時，，當(dāng)時，，由此可得數(shù)列前項和中最小的.【詳解】解：等差數(shù)列中，已知，且，設(shè)公差為，

則，解得

，.

令

，可得，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，

故數(shù)列前項和中最小的是.故選：C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

通過已知的三個等式，找出規(guī)律，歸納出第個等式即可．【詳解】解：因為：，，，等式的右邊系數(shù)是2，且角是等比數(shù)列，公比為，則角滿足：第個等式中的角，所以；故答案為：．【點睛】本題主要考查歸納推理，注意已知表達式的特征是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．14、1【解析】

本題先根據(jù)公式初步找到數(shù)列的通項公式，然后根據(jù)等差中項的性質(zhì)可解得的值，即可確定數(shù)列的通項公式，代入數(shù)列的表達式計算出數(shù)列的通項公式，然后運用裂項相消法計算出前項和，再代入不等式進行計算可得最小正整數(shù)的值．【詳解】由題意，當(dāng)時，．當(dāng)時，．則，．，，成等差數(shù)列，，即，解得．．，．．．，．即，，即，，，，即．滿足的最小正整數(shù)的值為1．故答案為：1．【點睛】本題主要考查數(shù)列求通項公式、裂項相消法求前項和，考查了轉(zhuǎn)化思想、方程思想，考查了不等式的計算、邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運算能力．15、【解析】

先求出總的基本事件數(shù)，再求出甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件數(shù)，然后根據(jù)古典概型求解．【詳解】6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料的基本事件總數(shù)共有個，甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件個數(shù)有：個，所以甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為.故答案為：【點睛】本題主要考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.16、60【解析】分析：首先將選定第一個釘，總共有6種方法，假設(shè)選定1號，之后分析第二步，第三步等，按照分類加法計數(shù)原理，可以求得共有10種方法，利用分步乘法計數(shù)原理，求得總共有種方法.詳解：根據(jù)題意，第一個可以從6個釘里任意選一個，共有6種選擇方法，并且是機會相等的，若第一個選1號釘?shù)臅r候，第二個可以選3,4,5號釘，依次選下去，可以得到共有10種方法，所以總共有種方法，故答案是60.點睛：該題考查的是有關(guān)分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，在解題的過程中，需要逐個的將對應(yīng)的過程寫出來，所以利用列舉法將對應(yīng)的結(jié)果列出，而對于第一個選哪個是機會均等的，從而用乘法運算得到結(jié)果.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）利用正弦定理求得，由此得到，結(jié)合證得平面，由此證得.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值，再轉(zhuǎn)化為正弦值.【詳解】（1）在中，由正弦定理可得：，，底面，平面，；（2）以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，，設(shè)平面的法向量為，由可得：，令，則，設(shè)平面的法向量為，由可得:，令，則，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，則，，故二面角的正弦值為.【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查空間向量法求二面角，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18、（1）（2）見解析（3）見解析【解析】試題分析：利用賦值法求出關(guān)系，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，要求函數(shù)有兩個極值點，只需在內(nèi)有兩個實根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點的個數(shù).試題解析：（Ⅰ）根據(jù)題意：令，可得，所以，經(jīng)驗證，可得當(dāng)時，對任意，都有，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，所以，令，要使存在兩個極值點，，則須有有兩個不相等的正數(shù)根，所以或解得或無解，所以的取值范圍，可得，由題意知，令，則．而當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減，所以即時，．（Ⅲ）因為，．令得，．由（Ⅱ）知時，的對稱軸，，，所以.又，可得，此時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以最多只有三個不同的零點．又因為，所以在上遞增，即時，恒成立．根據(jù)（2）可知且，所以，即，所以，使得．由，得，又，，所以恰有三個不同的零點：，1，．綜上所述，恰有三個不同的零點．【點睛】利用賦值法求出關(guān)系，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，要求函數(shù)有兩個極值點，只需在內(nèi)有兩個實根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點的個數(shù)是近年高考壓軸題的熱點.19、（1）曲線，曲線.（2）.【解析】

（1）用和消去參數(shù)即得的極坐標方程；將兩邊同時乘以，然后由解得直角坐標方程.（2）過極點的直線的參數(shù)方程為，代入到和：中，表示出即可求解.【詳解】解：由和，得，化簡得故：將兩邊同時乘以，得因為，所以得的直角坐標方程.（2）設(shè)直線的極坐標方程由，得，由，得故當(dāng)時，取得最大值此時直線的極坐標方程為：，其直角坐標方程為：.【點睛】考查直角坐標方程、極坐標方程、參數(shù)方程的互相轉(zhuǎn)化以及應(yīng)用圓的極坐標方程中的