山東省德州市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含解析

高三數(shù)學(xué)試題2024.11主考學(xué)校：慶云一中本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第I卷12頁(yè)，第Ⅱ卷34頁(yè)，共150分，測(cè)試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測(cè)試卷上.第I卷選擇題（共58分）一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求得集合，利用交集的意義求解即可.【詳解】由，得，解得，所以由，所以，所以，所以.故選：D.2.以下有關(guān)不等式的性質(zhì)，描述正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，，，，則，【答案】B【解析】【分析】舉反例可說(shuō)明選項(xiàng)A、D錯(cuò)誤；利用不等式的性質(zhì)得選項(xiàng)B正確；利用作差法可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤.詳解】A.當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.B.由得，故，選項(xiàng)B正確.C.，由得，，所以，故，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.D.令，滿(mǎn)足，，，，結(jié)論不正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.3.已知向量，，若與平行，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的坐標(biāo)表示以及平行關(guān)系，列方程即可得.【詳解】由，可得，若若與平行可知，解得.故選：A4.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A.180 B.200 C.220 D.240【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列定義可求得，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由，可得；解得，因此.故選：C5.已知：，：，若是的充分不必要條件，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先解分式不等式，根據(jù)充分不必要條件的定義結(jié)合集合間的基本關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由可得，解之得或，設(shè)：，對(duì)應(yīng)，：，其解集對(duì)應(yīng)，則是的充分不必要條件等價(jià)于A是B的真子集，所以.故選：A6.已知關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，知道內(nèi)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減且函數(shù)值一定為正，建立不等式組，求得的取值范圍.【詳解】令，則，∵，∴在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在單調(diào)遞減，∴，則，∴故選：D7.已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得，根據(jù)，可得，計(jì)算即可.【詳解】由，可得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：C.8.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“的圖象有三個(gè)交點(diǎn)”，然后作出的圖象，根據(jù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)以及與相切分析出的臨界值，則的范圍可求.【詳解】因?yàn)間x=fx所以的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出的圖象，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，代入坐標(biāo)可得，解得；當(dāng)與的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)榇藭r(shí)，所以，所以切線(xiàn)方程為，即，所以，可得；結(jié)合圖象可知，若的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則，故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解函數(shù)零點(diǎn)的數(shù)目問(wèn)題，采用數(shù)形結(jié)合思想能高效解答問(wèn)題，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化能使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的問(wèn)題，常見(jiàn)的圖象應(yīng)用的命題角度有：（1）確定方程根的個(gè)數(shù)；（2）求參數(shù)范圍；（3）求不等式解集；（4）研究函數(shù)性質(zhì).二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列結(jié)論正確的是（）A.B.，C.若，，D.的值域?yàn)椤敬鸢浮緽C【解析】【分析】根據(jù)基本不等式的三個(gè)要求“一正，二定，三相等”來(lái)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)?，故不滿(mǎn)足“一正”，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以B選擇正確；C選項(xiàng)：，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，但無(wú)解，所以，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)B.是的極小值點(diǎn)C.是的對(duì)稱(chēng)中心D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】【分析】求得函數(shù)的零點(diǎn)可判斷A；求得導(dǎo)函數(shù)，求得的根，可得極小值點(diǎn)，從而可判斷B；求得的對(duì)稱(chēng)軸，可得的對(duì)稱(chēng)中心判斷C；利用函數(shù)在上單調(diào)遞增可判斷D.【詳解】由，解得或，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故A正確；由，得，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是的極小值點(diǎn)，故B正確；由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，此時(shí)的對(duì)稱(chēng)中心是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)，所以是的對(duì)稱(chēng)中心，故C不正確；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，若，可得，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，其前項(xiàng)和滿(mǎn)足，則（）A. B.為遞減數(shù)列C.為等比數(shù)列 D.存在大于的項(xiàng)【答案】ABD【解析】【分析】令，可得出的值，令，可得出關(guān)于的方程，可解出的值，可判斷A選項(xiàng)；由遞推關(guān)系結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，推導(dǎo)出，求出的值，可判斷C選項(xiàng)；利用反證法可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由題意可得，因?yàn)?，所以，，?dāng)時(shí)，由可得，整理可得，因?yàn)椋獾?，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，因?yàn)椋?，所以，?shù)列為遞減數(shù)列，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若數(shù)列為等比數(shù)列，則，因?yàn)?，，，則，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，不合乎題意，所以，數(shù)列不是等比數(shù)列，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，假設(shè)對(duì)任意的，，則，此時(shí)，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，D對(duì).故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題在推斷選項(xiàng)CD的正誤時(shí)，利用正面推理較為復(fù)雜時(shí)，可采用反證法來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)．第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，為中點(diǎn)，為邊上任意一點(diǎn)，則______.【答案】3【解析】【分析】由已知可得，從而利用可求值.【詳解】因?yàn)槿切问钦切?，為中點(diǎn)，所以，所以，又正三角形的邊長(zhǎng)為2，所以，所以.故答案為：.13.設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則______.【答案】【解析】【分析】利用降冪公式化簡(jiǎn)可得，由已知可求得，再利用同角的三角函數(shù)的平方關(guān)系可求.【詳解】，由，所以，所以，因?yàn)?，又，所以，所?故答案為：.14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，為偶函?shù)，且，則______，______.【答案】①.1②.2026【解析】【分析】通過(guò)條件可得是周期為4的函數(shù)，由為偶函數(shù)得，通過(guò)給賦值可計(jì)算出，利用函數(shù)的周期性可得結(jié)果.【詳解】由得，，，∴，故是周期為的函數(shù).∵為偶函數(shù)，∴，∴，令，得，令，得.在中，令，得，∴.令，得，故，令，得，故.由函數(shù)的周期性得，.故答案為：1；2026.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：①若，則函數(shù)的周期；②若，則函數(shù)的周期；③若，則函數(shù)的周期；④若，則函數(shù)的周期；⑤若，則函數(shù)的周期.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.已知中的三個(gè)角的對(duì)邊分別為，且滿(mǎn)足.（1）求；（2）若的角平分線(xiàn)交于，，求面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，化簡(jiǎn)后求解即可；（2）根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)，得，再利用基本不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得，又因?yàn)椋?，即，又，所以；【小?wèn)2詳解】，即，化簡(jiǎn)得，所以，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以，所以面積的最小值為.16.某企業(yè)計(jì)劃引入新的生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)某設(shè)備，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，銷(xiāo)售量（單位：臺(tái)）與每臺(tái)設(shè)備的利潤(rùn)（單位：元，）滿(mǎn)足：（a，b為常數(shù)）.當(dāng)每臺(tái)設(shè)備的利潤(rùn)為36元時(shí)，銷(xiāo)售量為360臺(tái)；當(dāng)每臺(tái)設(shè)備的利潤(rùn)為100元時(shí)，銷(xiāo)售量為200臺(tái).（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)為多少時(shí)，總利潤(rùn)（單位：元）取得最大值，并求出該最大值.【答案】（1）（2）當(dāng)為100元時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值為20000元.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組，求出的值即可得到函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式得出利潤(rùn)的表達(dá)式，分段討論出各段的最大值，比較后得到最大值.【小問(wèn)1詳解】由題意知，得故.【小問(wèn)2詳解】設(shè)總利潤(rùn)，由（1）得當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最大值10000當(dāng)時(shí)，，，令，得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有最大值20000.當(dāng)時(shí)，.答：當(dāng)為100元時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值為20000元.17.在數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，且（且）.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，其前項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用的關(guān)系得，結(jié)合累乘法可得通項(xiàng)；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出，由錯(cuò)位相減法得，再分離參數(shù)，根據(jù)基本不等式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，代入，整理得，所以，以上個(gè)式子相乘得，.當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以.【小問(wèn)2詳解】.所以，①，②①②得，，所以.由得：，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的取值范圍是.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)存在正零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）單增區(qū)間是，無(wú)單減區(qū)間；（3）.【解析】【分析】（1）求得切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)函數(shù)求出切點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)的值得到切線(xiàn)斜率，寫(xiě)出切線(xiàn)方程；（2）代入?yún)?shù)后求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)求得單調(diào)區(qū)間；（3）令導(dǎo)函數(shù)為新的函數(shù)再求導(dǎo)，根據(jù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，利用函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)的定義即可得到的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題知，，于是，所以切線(xiàn)的斜率，于是切線(xiàn)方程為，即【小問(wèn)2詳解】由已知可得的定義域?yàn)椋?，因此?dāng)時(shí)，，從而，所以的單增區(qū)間是，無(wú)單減區(qū)間；【小問(wèn)3詳解】由（2）知，，令，，當(dāng)時(shí)，.①當(dāng)時(shí)，可知，在內(nèi)單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，所以不存在正零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，又，，所以存在滿(mǎn)足，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.令，則當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，從而當(dāng)時(shí)，，即，所以，又因?yàn)?，所以，因此，，使得即此時(shí)存在正零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，，從而為減函數(shù).又，所以當(dāng)時(shí)，.故時(shí)，恒成立，又，故當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)不存在正零點(diǎn)；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有正零點(diǎn)，由函數(shù)零點(diǎn)的定義需要找到兩個(gè)正數(shù)的函數(shù)值符號(hào)相反.本題在分析過(guò)程中因?yàn)閰?shù)的值會(huì)影響導(dǎo)函數(shù)的值，所以對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，得到函數(shù)的單調(diào)性后再研究函數(shù)值.19.已知數(shù)列，從中選取第項(xiàng)、第項(xiàng)、…第項(xiàng)，順次排列構(gòu)成數(shù)列，其中，，則稱(chēng)新數(shù)列為的長(zhǎng)度為m的子列.規(guī)定：數(shù)列的任意一項(xiàng)都是的長(zhǎng)度為1的子列.（1）寫(xiě)出2，8，4，7，5，6，9三個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列；（2）若數(shù)列滿(mǎn)足，，其子列長(zhǎng)度，且的每一子列的所有項(xiàng)的和都不相同，求的最大值；（3）若數(shù)列為等差數(shù)列，公差為d，，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為q，當(dāng)為何值時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列.【答案】（1）2，4，7，9；2，4，5，6；2，4，5，9；（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列單調(diào)性以及子列長(zhǎng)度的定義即可寫(xiě)出相應(yīng)的遞增子列；（2）依題意的取值盡量最小即可滿(mǎn)足題意，由通項(xiàng)公式對(duì)它們的取值從小到大進(jìn)行驗(yàn)證即可得出結(jié)果；（3）利用等差數(shù)列定義以及等比數(shù)列性質(zhì)，由前三項(xiàng)構(gòu)造等量關(guān)系即可得出當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意可知，從所有數(shù)字中任意取4個(gè)并按照從小到大的順序排列即可得出符合題意的遞增子列；可取2，4，7，9；2，4，5，6；2，4，5，9；2，4，6，9；2，5，6，9；4，5，6，9中任意三個(gè)；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)度，且的每一子列的所有項(xiàng)的和都不相同，由可知，為使值最大，所以盡量使的取值最小即可，