題型24 5類圓錐曲線大題綜合解題技巧(標準方程、軌跡方程、定點、定值、最值及范圍)(原卷版)

高中數(shù)學精編資源2/2題型245類圓錐曲線大題綜合解題技巧（標準方程、軌跡方程、定點、定值、最值及范圍）技法技法01求圓錐曲線的標準方程技法02求圓錐曲線的軌跡方程技法03圓錐曲線中的定點問題技法04圓錐曲線中的定值問題技法05圓錐曲線中的最值及范圍問題技法01求圓錐曲線的標準方程求圓錐曲線的標準方程常常在解答題第一問考查，需要大家掌握圓錐曲線的幾何性質(zhì)及其標準方程的相關(guān)計算，難度中等偏下，需重點練習求圓錐曲線的標準方程常常在解答題第一問考查，需要大家掌握圓錐曲線的幾何性質(zhì)及其標準方程的相關(guān)計算，難度中等偏下，需重點練習.知識遷移橢圓的標準方程焦點在軸上：，焦點在軸上：雙曲線的標準方程焦點在軸上：，焦點在軸上：拋物線的標準方程焦點位置軸正半軸軸負半軸軸正半軸軸負半軸標準方程例1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.（1）設雙曲線方程為，由焦點坐標可知，則由可得，，所以雙曲線方程為.1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設拋物線的焦點為F，點，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，．(1)求C的方程；(2)設直線與C的另一個交點分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當取得最大值時，求直線AB的方程．2．（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）已知橢圓的焦點是橢圓的頂點，橢圓的焦點也是的頂點．(1)求的方程；(2)若，，三點均在上，且，直線，，的斜率均存在，證明：直線過定點（用，表示）．3．（2024·江西贛州·南康中學校聯(lián)考一模）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，且，的一條漸近線與直線：垂直.(1)求的標準方程；(2)點為上一動點，直線，分別交于不同的兩點，（均異于點），且，，問：是否為定值？若為定值，求出該定值，請說明理由.4．（2024·江西南昌·南昌二中校聯(lián)考模擬預測）在平面直角坐標系中，已知拋物線和點.點在上，且.(1)求的方程；(2)若過點作兩條直線與，與相交于，兩點，與相交于，兩點，線段和中點的連線的斜率為，直線，，，的斜率分別為，，，，證明：，且為定值.技法02求圓錐曲線的軌跡方程軌跡方程的相關(guān)計算軌跡方程的相關(guān)計算是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結(jié)合公式運算，需強化訓練復習.知識遷移求軌跡方程的5種常用方法

1直接法:直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直接法。

2定義法:如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。

3相關(guān)點法:用動點M的坐標x，y表示相關(guān)點P的坐標x0、y0，然后代入點P的坐標x0、y0所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點法。（用未知表示已知，帶入已知求未知)

4參數(shù)法:當動點坐標x、y之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找x、y例2-1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．設,則，兩邊同平方化簡得，故.例2-2．（重慶·高考真題）如圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：（Ⅰ）求點P的軌跡方程;（Ⅱ）設d為點P到直線l：的距離，若,求的值.由雙曲線的定義知點軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線，因此半焦距，實半軸長，從而虛半軸長，雙曲線方程為．例2-3．（上?！じ呖颊骖}）點與圓上任一點連線的中點的軌跡方程是A．B．C．D．設圓上任一點為，中點為，根據(jù)中點坐標公式得，，因為在圓上，所以，即，化為，故選A.1．（全國·統(tǒng)考高考真題）在平面內(nèi)，A，B是兩個定點，C是動點，若，則點C的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線2．（江蘇·高考真題）已知兩點M(－2，0)，N(2，0)，點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足,則動點P(x，y)的軌跡方程為()A． B． C． D．3．（2022·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知點，，點到的距離比到的距離大2，點的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與交于兩點，與點關(guān)于原點對稱，求直線與斜率的比值.4．（2023·遼寧·遼寧實驗中學?？寄M預測）已知一動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，該動圓的圓心的軌跡為曲線.(1)求的標準方程；(2)直線與交于，兩點，點在線段上，點在線段的延長線上，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：注：如果選擇不同的組合分別解答，按第一個解答計分.①；②；③是直線與直線的交點.5．（陜西·高考真題）如圖，設P是圓上的動點，點D是P在x軸上投影，M為上一點，且.(1)當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；(2)求過點且斜率為的直線被C所截線段的長度.6．（全國·高考真題）在平面直角坐標系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段長為2,在y軸上截得線段長為2.(1)求圓心P的軌跡方程;(2)若P點到直線y=x的距離為,求圓P的方程.技法03圓錐曲線中的定點問題圓錐曲線的定點問題及其相關(guān)計算圓錐曲線的定點問題及其相關(guān)計算是新高考卷的常考內(nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結(jié)合公式運算，需強化訓練復習.例3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率是，點在上．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因為，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點是定點.

1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．2．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預測）已知拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為.(1)求拋物線的方程；(2)過點任意作互相垂直的兩條直線，分別交曲線于點A，B和M，N.設線段，的中點分別為P，Q，求證：直線恒過一個定點.3．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為，圓與軸正半軸交于點，圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為.(1)求橢圓的方程；(2)設橢圓上兩點滿足直線與在軸上的截距之比為，試判斷直線是否過定點，并說明理由.技法04圓錐曲線中的定值問題圓錐曲線的定值問題及其相關(guān)計算圓錐曲線的定值問題及其相關(guān)計算是新高考卷的常考內(nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結(jié)合公式運算，需強化訓練復習.例4．（2024上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，已知拋物線和點.點在上，且.(1)求的方程；(2)若過點作兩條直線與，與相交于，兩點，與相交于，兩點，線段和中點的連線的斜率為，直線，，，的斜率分別為，，，，證明：，且為定值.【詳解】（1）設點，則，因為，，所以，，所以點，代入方程中，得，所以的方程為.（2）設點，，，，則直線的斜率，同理得直線的斜率，直線的斜率，直線的斜率，所以，，從而得.由消去得，所以，由，得或.設和的中點分別為，，則，，同理，，所以，即，所以得.1．（2024·全國·模擬預測）設雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線交雙曲線于兩點，且．(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)當時，在軸上求一點，使得為定值．2．（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）已知是橢圓的右焦點，點在不過原點的直線上，交于，兩點.當與互補時，，.(1)求的方程；(2)證明：為定值.3．（2023下·江蘇南京·高二金陵中學?？计谀┮阎p曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.技法05圓錐曲線中的最值及范圍問題圓錐曲線的最值、范圍問題及其相關(guān)計算圓錐曲線的最值、范圍問題及其相關(guān)計算是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結(jié)合公式運算，需強化訓練復習.例5．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓左頂點，長軸長為4，焦距為，直線交橢圓于兩點，直線的斜率之和為．(1)證明：直線恒過定點；(2)若在射線上的點滿足，求直線斜率的取值范圍（1）方法一：由題知得所以橢圓方程為．設，．因為，所以直線斜率存在．設方程：．聯(lián)立得．，且．所以由．化簡整理，得．所以，所以或（舍去）．因為直線不經(jīng)過．所以直線方程：，所以直線過定點．方法二：得所以橢圓方程為．將坐標原點平移至，則平移后橢圓方程，平移后直線，由，得，所以，即．因為，所以，即．由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，得，即，恒過點，從而原直線恒過定．（2）設，由得，由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，得，所以，同理．由，，則，則，則，即，①，所以，將①以及代入化簡，得．因為，所以，所以．

1．（2023上·河南南陽·高二南陽中學校考階段練習）已知直線與拋物線交于兩點，且．(1)求；(2)設F為C的焦點，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．2．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓．設A，B是橢圓上異于的兩點，且點在線段上，直線分別交直線于C，D兩點．(1)求點P到橢圓上點的距離的最大值；(2)求的最小值．3．（2021·河南信陽·高三信陽高中?？茧A段練習）已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為．（1）求；（2）若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值．4．（2022·浙江·高三專題練習）已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.5．（2024·湖北·校聯(lián)考模擬預測）在平面直角坐標系中，動點M到點的距離比到點的距離大2，記點M的軌跡為曲線H.(1)若過點B的直線交曲線H于不同的兩點，求該直線斜率的取值范圍；(2)若點D為曲線H上的一個動點，過點D與曲線H相切的直線與曲線交于P，Q兩點，求面積的最小值.6．（2024·全國·武鋼三中校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為、，為坐標原點，在橢圓上僅存在個點，使得為直角三角形，且面積的最大值為.(1)求橢圓的標