（預習）人教A版數(shù)學高一寒假提升學與練+隨堂檢測02 平面向量的運算 （原卷版）

第頁專題03平面向量的運算思維導圖核心考點聚焦考點一、向量的加法運算考點二、向量的減法運算考點三、與向量的模有關(guān)的問題考點四、向量的數(shù)乘運算考點五、共線向量與三點共線問題考點六、平面向量數(shù)量積的運算考點七、平面向量模的問題考點八、向量垂直（或夾角）問題知識點一：向量加法的三角形法則與平行四邊形法則1、向量加法的概念及三角形法則已知向量，在平面內(nèi)任取一點A，作，再作向量，則向量叫做與的和，記作，即．如圖本定義給出的向量加法的幾何作圖方法叫做向量加法的三角形法則．2、向量加法的平行四邊形法則已知兩個不共線向量，作，則三點不共線，以為鄰邊作平行四邊形，則對角線．這個法則叫做兩個向量求和的平行四邊形法則．求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．對于零向量與任一向量，我們規(guī)定．知識點詮釋：兩個向量的和是一個向量，可用平行四邊形或三角形法則進行運算，但要注意向量的起點與終點．知識點二：向量求和的多邊形法則及加法運算律1、向量求和的多邊形法則的概念已知個向量，依次把這個向量首尾相連，以第一個向量的起點為起點，第個向量的終點為終點的向量叫做這個向量的和向量．這個法則叫做向量求和的多邊形法則．特別地，當與重合，即一個圖形為封閉圖形時，有2、向量加法的運算律（1）交換律：；（2）結(jié)合律：知識點三：向量的減法1、向量的減法（1）如果，則向量叫做與的差，記作，求兩個向量差的運算，叫做向量的減法．此定義是向量加法的逆運算給出的．相反向量：與向量方向相反且等長的向量叫做的相反向量．（2）向量加上的相反向量，叫做與的差，即．求兩個向量差的運算，叫做向量的減法，此定義是利用相反向量給出的，其實質(zhì)就是把向量減法化為向量加法．知識點詮釋：（1）兩種方法給出的定義其實質(zhì)是一樣的．（2）對于相反向量有；若，互為相反向量，則．（3）兩個向量的差仍是一個向量．2、向量減法的作圖方法（1）已知向量，，作，則=，即向量等于終點向量（）減去起點向量（）．利用此方法作圖時，把兩個向量的始點放在一起，則這兩個向量的差是以減向量的終點為始點的，被減向量的終點為終點的向量．（2）利用相反向量作圖，通過向量加法的平行四邊形法則作出．作，則，如圖．由圖可知，一個向量減去另一個向量等于加上這個向量的相反向量．知識點四：數(shù)乘向量1、向量數(shù)乘的定義實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作：（1）；（2）①當時，的方向與的方向相同；②當時．的方向與的方向相反；③當時，．2、向量數(shù)乘的幾何意義由實數(shù)與向量積的定義知，實數(shù)與向量的積的幾何意義是：可以由同向或反向伸縮得到．當時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上伸長為原來的倍得到；當時，表示向量的有向線段在原方向（）或反方向（）上縮短為原來的倍得到；當時，=；當時，=-，與互為相反向量；當時，=．實數(shù)與向量的積得幾何意義也是求作向量的作法．3、向量數(shù)乘的運算律設(shè)為實數(shù)結(jié)合律：；分配律：，知識點五：向量共線的條件1、向量共線的條件（1）當向量時，與任一向量共線．（2）當向量時，對于向量．如果有一個實數(shù)，使，那么由實數(shù)與向量的積的定義知與共線．反之，已知向量與（）共線且向量的長度是向量的長度的倍，即，那么當與同向時，；當與反向時，．2、向量共線的判定定理是一個非零向量，若存在一個實數(shù)，使，則向量與非零向量共線．3、向量共線的性質(zhì)定理若向量與非零向量共線，則存在一個實數(shù)，使．知識點詮釋：（1）兩個向量定理中向量均為非零向量，即兩定理均不包括與共線的情況；（2）是必要條件，否則，時，雖然與共線但不存在使；（3）有且只有一個實數(shù)，使．（4）是判定兩個向量共線的重要依據(jù)，其本質(zhì)是位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的高度統(tǒng)一．知識點六：平面向量的數(shù)量積1、平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有．并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0．2、如圖（1），設(shè)是兩個非零向量，，作如下變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．如圖（2），在平面內(nèi)任取一點O，作．過點M作直線ON的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量．知識點詮釋：1、兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由的符號所決定．（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成；今后要學到兩個向量的外積，而是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分．符號“·”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替．（3）在實數(shù)中，若，且，則；但是在數(shù)量積中，若，且，不能推出．因為其中有可能為0．2、投影也是一個數(shù)量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當=0時投影為；當=180時投影為．3、投影向量是一個向量，當對于任意的，都有．知識點七：向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)與為兩個非零向量，是與同向的單位向量．1、2、3、當與同向時，；當與反向時，．特別的或4、5、知識點八：向量數(shù)量積的運算律1、交換律：2、數(shù)乘結(jié)合律：3、分配律：知識點詮釋：1、已知實數(shù)、、，則．但是；2、在實數(shù)中，有，但是顯然，這是因為左端是與共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線．1、向量的三角形不等式由向量的三角形法則，可以得到（1）當不共線時，；（2）當同向且共線時，同向，則；（3）當反向且共線時，若，則同向，；若，則同向，．2、平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積表示的長度與在方向上的投影的乘積，這是的幾何意義．圖所示分別是兩向量夾角為銳角、鈍角、直角時向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意義是，向量在向量方向上的投影是向量的數(shù)量，即．事實上，當為銳角時，由于，所以；當為鈍角時，由于，所以；當時，由于，所以，此時與重合；當時，由于，所以；當時，由于，所以．考點剖析考點一：向量的加法運算例1．如圖，已知向量、，用向量加法的平行四邊形法則作出向量．(1)

(2)

例2．化簡下列各式:(1)(2)例3．如圖，已知向量(1)求作(2)設(shè)，為單位向量，試探索的最大值．考點二：向量的減法運算例4．化簡：（1）；

（2）；（3）；

（4）．例5．填空：（1）；

（2）；（3）；

（4）．例6．任給兩個向量和，則下列式子恒成立的有．①

②③

④變式1．化簡：.考點三：與向量的模有關(guān)的問題例7．已知向量，滿足，，則的最大值為．例8．若向量滿足，則的最小值為，的最大值為．例9．已知非零向量滿足，且，則.變式2．已知向量，，的模分別為3，4，5，則的最大值為，最小值為．變式3．已知非零向量，滿足，則.考點四：向量的數(shù)乘運算例10．求下列未知向.(1)；(2)；(3).變式4．計算：(1)；(2)．考點五：共線向量與三點共線問題例13．判斷三點是否共線.(1)已知兩個非零向量和不共線，，，.求證：A，B，D三點共線.(2)已知任意兩個非零向量，，求作，，.試判斷A，B，C三點之間的位置關(guān)系，并說明理由.例14．設(shè)，是不共線的兩個非零向量.(1)若，求證：A，B，C三點共線；(2)若與共線，求實數(shù)k的值.例15．如圖，已知點是的重心，若過的重心，且，，，（，），試求的最小值．變式5．已知G是的重心，M是的中點，過點G作一條直線與邊交于點P?與邊交于點Q，設(shè)，求的值.考點六：平面向量數(shù)量積的運算例16．如圖，在底角為的等腰梯形中，，，分別為，的中點．設(shè)(1)用，表示，；(2)若，求．例17．已知向量，，與的夾角為.(1)求；(2)求.例18．已知，，且，則向量在向量上的投影數(shù)量為.考點七：平面向量模的問題例19．向量，滿足，，，則.例20．已知向量與向量滿足：，，且與的夾角為，則．例21．已知向量，滿足，，，則．變式6．已知向量的夾角為，，則.考點八：向量垂直（或夾角）問題例22．已知向量與的夾角為，且，．向量與共線，(1)求實數(shù)的值；(2)求向量與的夾角．例23．已知平面向量與滿足，向量是與向量同向的單位向量，向量在向量上的投影向量為.(1)若與垂直，求的大??；(2)若與的夾角為，求向量與夾角的余弦值.變式7．已知向量，滿足，，且．(1)若，求實數(shù)k的值；(2)求與的夾角．過關(guān)檢測一、單選題1．對于任意空間向量，，，下列說法正確的是（

）A．若且，則 B．C．若，且，則 D．2．設(shè)非零向量，滿足，則（

）A． B． C． D．3．在邊長為2的等邊中，的值是（

）A．4 B． C．2 D．4．在平面四邊形中，下列表達式化簡結(jié)果與相等的是（

）A． B．C． D．5．已知向量與的夾角為，，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．已知平面內(nèi)四個不同的點滿足，則（

）A． B． C．2 D．37．已知平面向量，滿足，且，，則（

）A． B． C． D．18．已知平面向量，且與的夾角為，則（

）A．12 B．16 C． D．二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．對任意向量，都有B．若且，則C．對任意向量，都有D．對任意向量，都有10．若向量滿足，，則（

）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量為11．下列說法正確的有（

）A．B．λ、μ為非零實數(shù)，若，則與共線C．若，則D．若平面內(nèi)有四個點A、B、C、D，則必有12．如圖在中，AD?BE?CF分別是邊BC?CA?AB上的中線，且相交于點G，則下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．三、填空題13．化簡：.14．已知向量、滿足，，與的夾角為，若，則.15．已知平面向量滿足，則實數(shù)的值為．16．已知向量，滿足，，則．四、解答題17．已知，，當，滿足下列條件時，分別求的值．(1)；(2)；(3)與的夾角為．18．判斷下列各小題中的向量，是否共線：(1)，；(2)，（其中兩個非零向量和不共線）；(3)，.19．已知，，與的夾角為，計算下列各式：(1)；(2)．20．如圖，點E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，，，與所成角是.(1)若，求實數(shù)x，y的值；(2)求線段EF的長度.21．如圖，在中，是的中點，點在上，且與交于點，設(shè).

(1)求的值；(2)當時，求的值.平面向量的運算隨堂檢測1.化簡等于（

）A． B． C． D．2.已知在邊長為2的等邊中，向量，滿足，，則（

）A．2 B． C． D．33．，，向量與向量的夾角為，則向量在向量方向上的投影等于（

）A． B． C．1 D．4．如圖，等腰梯形ABCD中，，點E為線段CD中點，點F為線段BC的中點，則（

）A．B．C．D．5．（多選）邊