（預(yù)習(xí)）人教A版數(shù)學(xué)高一寒假提升學(xué)與練+隨堂檢測07 基本立體圖形（教師版）

第頁專題07基本立體圖形思維導(dǎo)圖核心考點聚焦考點一：簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征考點二：幾何體中的基本計算考點三：簡單幾何體的組合體考點四：簡單幾何體的表面展開與折疊問題知識點一：棱柱的結(jié)構(gòu)特征1、定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．在棱柱中，兩個相互平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．側(cè)面與底的公共頂點叫做棱柱的頂點．棱柱中不在同一平面上的兩個頂點的連線叫做棱柱的對角線．過不相鄰的兩條側(cè)棱所形成的面叫做棱柱的對角面．2、棱柱的分類：底面是三角形、四邊形、五邊形、……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……3、棱柱的表示方法：①用表示底面的各頂點的字母表示棱柱，如下圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分別表示為、、；②用棱柱的對角線表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱或棱柱等；五棱柱可表示為棱柱、棱柱等；六棱柱可表示為棱柱、棱柱、棱柱等．4、棱柱的性質(zhì)：棱柱的側(cè)棱相互平行．知識點詮釋：有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體不一定是棱柱．如下圖所示的幾何體滿足“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形”這一條件，但它不是棱柱．判定一個幾何體是否是棱柱時，除了看它是否滿足：“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形”這兩個條件外，還要看其余平行四邊形中“每兩個相鄰的四邊形的公共邊都互相平行”即“側(cè)棱互相平行”這一條件，不具備這一條件的幾何體不是棱柱．知識點二：棱錐的結(jié)構(gòu)特征1、定義：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐．這個多邊形面叫做棱錐的底面．有公共頂點的各個三角形叫做棱錐的側(cè)面．各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點．相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；2、棱錐的分類：按底面多邊形的邊數(shù)，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……；SSSDDCCBBAAECBAS3、棱錐的表示方法：用表示頂點和底面的字母表示，如四棱錐．知識點詮釋：棱錐有兩個本質(zhì)特征：（1）有一個面是多邊形；（2）其余各面是有一個公共頂點的三角形，二者缺一不可．知識點三：圓柱的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸．垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的底面．平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面．無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓柱的母線．2、圓柱的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓柱知識點詮釋：（1）用一個平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個與底面全等的圓面．（2）經(jīng)過圓柱的軸的截面是一個矩形，其兩條鄰邊分別是圓柱的母線和底面直徑，經(jīng)過圓柱的軸的截面通常叫做軸截面．（3）圓柱的任何一條母線都平行于圓柱的軸．知識點四：圓錐的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸．垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的底面．不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面．無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母線．2、圓錐的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓錐．知識點詮釋：（1）用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面是一個比底面小的圓面．（2）經(jīng)過圓錐的軸的截面是一個等腰三角形，其底邊是圓錐底面的直徑，兩腰是圓錐側(cè)面的兩條母線．（3）圓錐底面圓周上任意一點與圓錐頂點的連線都是圓錐側(cè)面的母線．知識點五：棱臺和圓臺的結(jié)構(gòu)特征１、定義：用一個平行于棱錐（圓錐）底面的平面去截棱錐（圓錐），底面和截面之間的部分叫做棱臺（圓臺）；原棱錐（圓錐）的底面和截面分別叫做棱臺（圓臺）的下底面和上底面；原棱錐（圓錐）的側(cè)面被截去后剩余的曲面叫做棱臺（圓臺）的側(cè)面；原棱錐的側(cè)棱被平面截去后剩余的部分叫做棱臺的側(cè)棱；原圓錐的母線被平面截去后剩余的部分叫做圓臺的母線；棱臺的側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱臺的頂點；圓臺可以看做由直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)而成，因此旋轉(zhuǎn)的軸叫做圓臺的軸．2、棱臺的表示方法：用各頂點表示，如四棱臺；3、圓臺的表示方法：用表示軸的字母表示，如圓臺；知識點詮釋：（1）棱臺必須是由棱錐用平行于底面的平面截得的幾何體．所以，棱臺可還原為棱錐，即延長棱臺的所有側(cè)棱，它們必相交于同一點．（2）棱臺的上、下底面是相似的多邊形，它們的面積之比等于截去的小棱錐的高與原棱錐的高之比的平方．（3）圓臺可以看做由圓錐截得，也可以看做是由直角梯形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)而成．（4）圓臺的上、下底面的面積比等于截去的小圓錐的高與原圓錐的高之比的平方．知識點六：球的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡稱球．半圓的半徑叫做球的半徑．半圓的圓心叫做球心．半圓的直徑叫做球的直徑．2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O．知識點詮釋：（1）用一個平面去截一個球，截面是一個圓面．如果截面經(jīng)過球心，則截面圓的半徑等于球的半徑；如果截面不經(jīng)過球心，則截面圓的半徑小于球的半徑．（2）若半徑為的球的一個截面圓半徑為，球心與截面圓的圓心的距離為，則有．知識點七：特殊的棱柱、棱錐、棱臺特殊的棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱稱為斜棱柱；垂直于底面的棱柱稱為直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做長方體；棱長都相等的長方體叫做正方體；特殊的棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形，那么這樣的棱錐稱為正棱錐；側(cè)棱長等于底面邊長的正三棱錐又稱為正四面體；特殊的棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺；知識點八：簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征1、組合體的基本形式：①由簡單幾何體拼接而成的簡單組合體；②由簡單幾何體截去或挖去一部分而成的幾何體；2、常見的組合體有三種：①多面體與多面體的組合；②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合；③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合．①多面體與多面體的組合體由兩個或兩個以上的多面體組成的幾何體稱為多面體與多面體的組合體．如下圖（1）是一個四棱柱與一個三棱柱的組合體；如圖（2）是一個四棱柱與一個四棱錐的組合體；如圖（3）是一個三棱柱與一個三棱臺的組合體．②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體由一個多面體與一個旋轉(zhuǎn)體組合而成的幾何體稱為多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體如圖（1）是一個三棱柱與一個圓柱組合而成的；如圖（2）是一個圓錐與一個四棱柱組合而成的；而圖（3）是一個球與一個三棱錐組合而成的．③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體由兩個或兩個以上的旋轉(zhuǎn)體組合而成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體．如圖（1）是由一個球體和一個圓柱體組合而成的；如圖（2）是由一個圓臺和兩個圓柱組合而成的；如圖（3）是由一個圓臺、一個圓柱和一個圓錐組合而成的．幾何體中的計算問題幾何體的有關(guān)計算中要注意下列方法與技巧：（1）在正棱錐中，要掌握正棱錐的高、側(cè)面、等腰三角形中的斜高及高與側(cè)棱所構(gòu)成的兩個直角三角形，有關(guān)證明及運算往往與兩者相關(guān)．（2）正四棱臺中要掌握其對角面與側(cè)面兩個等腰梯形中關(guān)于上、下底及梯形高的計算，有關(guān)問題往往要轉(zhuǎn)化到這兩個等腰梯形中．另外要能夠?qū)⒄睦馀_、正三棱臺中的高與其斜高、側(cè)棱在合適的平面圖形中聯(lián)系起來．（3）研究圓柱、圓錐、圓臺等問題的主要方法是研究它們的軸截面，這是因為在軸截面中，易找到所需有關(guān)元素之間的位置、數(shù)量關(guān)系．（4）圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開是把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題處理的重要手段之一．（5）圓臺問題有時需要還原為圓錐問題來解決．（6）關(guān)于球的問題中的計算，常作球的一個大圓，化“球”為“圓”，應(yīng)用平面幾何的有關(guān)知識解決；關(guān)于球與多面體的切接問題，要恰當?shù)剡x取截面，化“空間”為平面．考點剖析考點一：簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1．下列描述中，不是棱錐幾何結(jié)構(gòu)特征的是（

）A．三棱錐有4個面是三角形 B．棱錐的側(cè)面都是三角形C．棱錐都有兩個互相平行的多邊形面 D．棱錐的側(cè)棱交于一點.【答案】C【解析】A中，根據(jù)棱錐的幾何結(jié)構(gòu)，可得三棱錐有4個面是三角形

，所以A正確；B中，根據(jù)棱錐的定義，可得棱錐的側(cè)面都是三角形，所以B正確；C中，根據(jù)棱錐的定義，可得棱錐都沒有兩個互相平行的多邊形面，所以C錯誤；D中，根據(jù)棱錐的定義，可得棱錐的側(cè)棱交于一點，所以D正確.故選：C.例2．下列關(guān)于幾何體特征的判斷正確的是（

）A．一個斜棱柱的側(cè)面不可能是矩形B．底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐C．有一個面是邊形的棱錐一定是棱錐D．平行六面體的三組對面中，必有一組是全等的矩形【答案】C【解析】對于A中，斜棱柱的側(cè)面中，可以有的側(cè)面是矩形，所以A不正確；對于B中，根據(jù)正棱錐的定義，底面是正多邊形且頂點在底面的射影為底面多邊形的中心的棱錐是正棱錐，所以B不正確；對于C中，根據(jù)棱錐的分類，可得有一個面是邊形的棱錐一定是棱錐，所以C正確；對于D中，平行六面體的三組對面中，必有一組是全等的平行四邊形，所以D錯誤.故選：C.例3．下列命題正確的是（

）A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱B．有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱D．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體是棱臺【答案】C【解析】對于A，有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體不一定是棱柱，可能是棱臺或組合圖形，故A錯誤；對于B，有一個面是多邊形，其余各面是有公共頂點的三角形的幾何體才是棱錐，故B錯誤；對于C，根據(jù)棱柱的定義，有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱，故C正確；對于D，用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體才是棱臺，故D錯誤.故選：C.變式1．下列命題中正確的是（

）A．兩個底面平行且相似，其余各面是梯形的多面體是棱臺B．三棱柱的側(cè)面為三角形C．棱臺的各側(cè)棱延長后不一定交于一點D．棱錐的側(cè)面和底面可以都是三角形【答案】D【解析】棱臺的側(cè)面梯形的腰（即棱臺的側(cè)棱）的延長線都相交于一點，C錯誤；而選項A中側(cè)面梯形的腰不一定交于一點，A錯誤；棱柱的各側(cè)面都是平行四邊形，B錯誤；棱錐的側(cè)面都是三角形，底面可以是三角形，如三棱錐，D正確.故選：D變式2．下列幾何體中，棱數(shù)最多的是（

）A．五棱錐 B．三棱臺C．三棱柱 D．四棱錐【答案】A【解析】因為五棱錐有10條棱，三棱臺有9條棱，三棱柱有9條棱，四棱錐有8條棱，所以這些幾何體中棱數(shù)最多的是五棱錐，故選：A考點二：幾何體中的基本計算例4．長方體的同一頂點處的相鄰三個面的面積分別為12，6，8，則長方體的體對角線長為．【答案】【解析】設(shè)長方體從頂點B出發(fā)的三條棱長分別為，且，，，則，，，所以長方體中線段的長等于.故答案為：例5．圓柱的母線長為5，底面半徑為2，稱過圓柱的軸的任意平面與圓柱形成的平面為軸截面，則該圓柱軸截面面積為.【答案】20【解析】軸截面為矩形，兩邊長分別為5和4，故軸截面的面積為.故答案為：20例6．用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得的兩個幾何體分別為一個小圓錐和一個圓臺，若小圓錐的底面面積與原圓錐的底面面積之比為1：4，圓臺的母線長為9cm，則原來的圓錐的母線長為.【答案】18cm【解析】設(shè)軸截面如圖所示，由已知得圓與圓的面積比為，所以半徑比，進而得，所以是的中點，且，故,故答案為：18cm變式3．長、寬、高分別為3、4，5的兩個相同的長方體，把它們某兩個全等的面重合在一起，組成大長方體，則大長方體對角線最長為.【答案】【解析】當大長方體的長、寬、高分別為、、時，體對角線為.當大長方體的長、寬、高分別為、、時，體對角線為.當大長方體的長、寬、高分別為、、時，體對角線為.因為，所以大長方體對角線最長為.故答案為：考點三：簡單幾何體的組合體例7．已知，ABCD為等腰梯形，兩底邊為AB，CD且，梯形ABCD繞AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是由、、的幾何體構(gòu)成的組合體.【答案】圓錐圓柱圓錐【解析】如圖所示：作于，于，繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐；矩形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱；繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐；故答案為：圓錐；圓柱；圓錐；例8．如圖所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的組合體，現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個組合體，則截面圖形可能是．【答案】①⑤【解析】一個圓柱挖去一個圓錐后，剩下的幾何體被一個豎直的平面所截后，圓柱的輪廓是矩形去掉上側(cè)一條邊，而圓錐的輪廓是三角形除去一條邊或拋物線的一部分，且三角形頂點必在矩形下側(cè)底邊中點上、拋物線頂點不可能在矩形下側(cè)底邊上．故答案為：①⑤例9．如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是.①該幾何體是由兩個同底的四棱錐組成的幾何體；②該幾何體有12條棱、6個頂點；③該幾何體有8個面，并且各面均為三角形；④該幾何體有9個面，其中一個面是四邊形，其余均為三角形．【答案】④【解析】平面ABCD可將該幾何體分割成兩個四棱錐，因此該幾何體是這兩個四棱錐的組合體，因而四邊形ABCD是它的一個截面，而不是一個面.故答案為：④.考點四：簡單幾何體的表面展開與折疊問題例10．如圖，直三棱柱中，，，為線段上的一個動點，則的最小值是.

【答案】【解析】將圖中的和放置于同一平面內(nèi)，如圖所示，則.因為直三棱柱中，，，所以中，.同理，在中，,所以所以在圖中，,所以,即.所以的最小值是.故答案為：.例11．如圖正三棱柱的底面邊長為，高為2，一只螞蟻要從頂點沿三棱柱的表面爬到頂點，若側(cè)面緊貼墻面（不能通行），則爬行的最短路程是．

【答案】【解析】正三棱柱的側(cè)面部分展開圖如圖所示，圖1，連接與交于點，則爬行的最短路程時沿著爬行，此時，圖2，連接，過作AB的垂線交于點，則，則，所以，∵，∴爬行的最短路程是.故答案為：.例12．已知正方體的棱長為，一螞蟻沿著正方體的表面從點爬到點的最短距離是．【答案】【解析】如圖所示，將正方體的側(cè)面與展開，則最短距離為，故答案為：.變式4．正三棱錐中，，過點A作一截面與側(cè)棱分別交于點，，則截面周長的最小值為．【答案】【解析】將三棱錐的側(cè)面沿,,剪開，得到如圖所示的五邊形，連接，分別交,于,，再將展開圖圍成三棱錐的側(cè)面，得到，即為周長最小的截面三角形，由此可得截面周長的最小值等于線段的長.正三棱錐中，，所以，又，所以等腰中，，即截面周長的最小值為.故答案為：.變式5．如圖，已知圓柱的高為h，底面半徑為，軸截面為矩形，在母線上有一點，且，在母線上取一點，使，則圓柱側(cè)面上P、Q兩點的最短距離為．

【答案】【解析】如圖，把圓柱的半個側(cè)面展開，是一個下長為，寬為的矩形，，，過作，為垂足，所以，即可把放在一個直角邊為和的直角三角形中，根據(jù)勾股定理可得：.故答案為：.變式6．圓錐的母線，高為，點是的中點，一質(zhì)點自點出發(fā)，沿側(cè)面繞行一周到達點的最短路程為．【答案】【解析】將圓錐的側(cè)面展開，連接，則的長即為質(zhì)點繞行的最短路程，由題設(shè)易知：圓錐底面半徑為2；在中，，，弧長，；利用余弦定理得：，；質(zhì)點自點出發(fā)，沿側(cè)面繞行一周到達點的最短路程為.故答案為：.過關(guān)檢測一、單選題1．下列說法正確的有（

）A．有兩個面互相平行，其余各面均是平行四邊形的多面體是棱柱B．用任意一個平面去截球得到的截面一定是一個圓面C．側(cè)面是全等的矩形的五棱柱一定是正五棱柱D．過圓錐頂點的所有截面中，軸截面面積最大【答案】B【解析】如下圖的多面體，有兩個面互相平行，其余各面均是平行四邊形的，但它不是棱柱，A錯；用任意一個平面去截球得到的截面一定是一個圓面，B正確；側(cè)面是全等的矩形的五棱柱的底面不一定是正五邊形，C錯；過圓錐頂點的所有截面中，設(shè)兩條母線的平角為，母線長為，則截面面積為，當軸截面等腰三角形的頂角大于，截面中兩條母線夾角為的截面面積最大，D錯．故選：B．2．一個正棱錐被平行于底面的平面所截，若截得的截面面積與底面面積的比為1∶2，則此正棱錐的高被分成的兩段之比為（）A．1∶ B．1∶4 C．1∶（+1） D．1∶（﹣1）【答案】D【解析】設(shè)截后棱錐的高為h，原棱錐的高為H，由于截面與底面相似，一個正棱錐被平行于底面的平面所截，若截得的截面面積與底面面積的比為1∶2，，則此正棱錐的高被分成的兩段之比：.故選：D3．下列說法正確的是（

）A．多面體至少有5個面B．有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．六棱柱有6條側(cè)棱，6個側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形【答案】D【解析】對于A，一個多面體至少有4個面，如三棱錐有4個面，故A錯誤；對于B，因為不能保證各側(cè)棱的延長線交于一點，故B錯誤；對于C，反例如下圖，上、下底面是全等的菱形，各側(cè)面是全等的正方形，它不是正方體；故C錯誤；對于D，根據(jù)棱柱的定義，知選項D正確.故選：D4．下列命題正確的是（）A．用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺B．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形C．圓錐的頂點、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點這三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形D．一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺【答案】C【解析】只有在平面平行于圓錐底面時，才能將圓錐截為一個圓錐和一個圓臺，當平面不平行于圓錐底面時，得到的幾何體并非圓錐和圓臺，所以A錯；棱柱的側(cè)棱都相等且平行，且側(cè)面是平行四邊形，但其底面多邊形各邊不一定相等，則側(cè)面并不一定全等，所以B錯；圓錐的頂點、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點這三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形，所以C對；直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體，如圖所示，所以D錯.故選：C.5．如圖，正三棱錐中，，側(cè)棱長為，一只蟲子從A點出發(fā)，繞三棱錐的三個側(cè)面爬行一周后，又回到A點，則蟲子爬行的最短距離是（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】將正三棱錐沿剪開，得到側(cè)面展開圖，如圖所示，因為，即，由的周長為，要使的周長的最小，則共線，即，又由正三棱錐側(cè)棱長為，是等邊三角形，所以，即蟲子爬行的最短距離是.故選：B.6．某同學(xué)為表達對“新冠疫情”抗疫一線醫(yī)護人員的感激之情，親手為他們制作了一份禮物，用正方體紙盒包裝，并在正方體六個面上分別寫了“致敬最美逆行”六個字，該正方體紙盒水平放置的六個面分別用“前面?后面?上面?下面?左面?右面”表示.如圖是該正方體的展開圖.若圖中“行”在正方體的左面，那么在正方體右面的字是（

）

A．最 B．美 C．逆 D．敬【答案】A【解析】把正方體的表面展開圖再折成正方體，如圖，“行”在正方體的左面，那么在正方體右面的字是“最”．故選：A．7．已知圓錐的底面半徑為2，側(cè)面展開圖為圓心角為的扇形，則該圓錐的高為（

）A．6 B． C．4 D．3【答案】B【解析】設(shè)圓錐的母線長為，圓錐的底面半徑，側(cè)面展開圖的圓心角為，，可得母線長，圓錐的高．故選：B8．某景區(qū)為提升游客觀賞體驗，搭建一批圓錐形屋頂?shù)男∥荩ㄈ鐖D1）．現(xiàn)測量其中一個屋頂，得到圓錐的底面直徑長為，母線長為（如圖2）．若是母線的一個三等分點（靠近點S），從點A到點繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，則燈光帶的最小長度為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】將圓錐側(cè)面沿母線展開，其側(cè)面展開圖為如圖所示的扇形，則的長度即為燈光帶的最小長度，，，在中，，，，解得：，即燈光帶的最小長度為.故選：C.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．棱臺的側(cè)面都是等腰梯形B．棱柱的側(cè)棱長都相等，但側(cè)棱不一定都垂直于底面C．底面半徑為r，母線長為2r的圓錐的軸截面為等邊三角形D．以三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐【答案】BC【解析】A.棱臺的側(cè)棱延長后交于一點，但側(cè)面不一定是等腰梯形，如一條側(cè)棱垂直于底面，那么會有兩個側(cè)面為直角梯形，故錯誤；B.棱柱的側(cè)棱長都相等，但側(cè)棱不一定都垂直于底面，故正確；C.底面半徑為r，母線長為2r的圓錐的軸截面為等邊三角形，故正確；D.當以直角三角形的直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐，以直角三角形的斜邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是兩個同底的圓錐，故錯誤；故選：BC10．長方體的棱長，則從點沿長方體表面到達點的距離可以為（

）

A． B． C． D．【答案】ABC【解析】從點沿長方體表面到達有三種展開方式，若以為軸展開，則；以為軸展開，則，以為軸展開，．故選：ABC．11．下列命題中不正確的是（

）A．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面B．正四棱錐的側(cè)面都是正三角形C．用一個平面去截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺D．平行六面體的每個面都是平行四邊形【答案】BC【解析】對于A，圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，故選項A正確；對于B，正四棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故選項B錯誤；對于C，用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面與底面之間的部分是圓臺，而不是用一個平面去截圓錐，故選項C錯誤，對于D，平行六面體的每個面都是平行四邊形，故選項D正確，故選：BC.12．在直三棱柱中，，點P在線段上，則的（

）A．最小值為 B．最小值為C．最大值為 D．最大值為【答案】BD【解析】如圖展開，其中是斜邊為的等腰直角三角形，是斜邊為6的等腰直角三角形．當三點共線時，取得最小值．當P位于C點位置時，取得最大值．故選：BD.三、填空題13．若一個圓錐的底面圓半徑為2，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則圓錐的母線長是.【答案】6【解析】設(shè)圓錐的母線長為l，根據(jù)題意得，解得，即圓錐的母線長為6.故答案為：6.14．一個幾何體由7個面圍成，其中兩個面是互相平行且全等的五邊形，其他各面都是全等的矩形，則這個幾何體是.【答案】正五棱柱【解析】如圖所示：由題意一個幾何體由7個面圍成，其中兩個面是互相平行且全等的五邊形，故此幾何體是五棱柱，又其他各面都是全等的矩形，故五棱柱的上下底面邊長相等且側(cè)棱與底面垂直，根據(jù)正棱柱的定義可知該幾何體是正五棱柱.故答案為：正五棱柱.15．已知圓臺的上底半徑為2cm，下底半徑為4cm，圓臺的高為cm，則側(cè)面展開圖所在扇形的圓心角為．【答案】【解析】把該圓臺補成圓錐，圓錐的軸截面如下圖所示：過作，為垂足，所以圓臺的母線，因為上底半徑長為下底半徑的一半，所以圓錐的母線長為，所以側(cè)面展開圖所在扇形的圓心角為，故答案為：16．建筑學(xué)上，建筑師利用各種彎曲空間可以建造出很多外型美觀的建筑物?？坍嬁臻g的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.在幾何學(xué)中可用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，大小用弧度制表示），多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為.則正方體的總曲率為；正四棱錐的總曲率為.【答案】【解析】正方體在每個頂點處有3個面角，每個面角的大小是，所以在各頂點處的曲率為，故其總曲率為；正四棱錐有5個頂點，5個面，其中4個三角形，1個四邊形，所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個為三角形，1個為四邊形組成，所以面角和為，故總曲率為．故答案為：；.四、解答題17．如圖所示，長方體.

(1)這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？(2)用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，請說明理由.【解析】（1）是棱柱，并且是四棱柱，因為長方體相對的兩個面是互相平行的四邊形(作底面)，其余各面都是矩形(作側(cè)面)，且相鄰側(cè)面的公共邊互相平行，符合棱柱的定義．因為底面是四邊形，所以長方體是四棱柱；（2）截面BCNM上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中和是底面.截面BCNM下方部分也是棱柱，且是四棱柱，其中四邊形和是底面.18．如圖是一個圓錐形物體，其母線長為3cm，一只小蟲子從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處，若該小蟲子爬行的最短路程為，求圓錐底面圓的半徑.

【解析】作出該圓錐的側(cè)面展開圖，如圖所示，易知該小蟲子爬行的最短路程為，，，在中，由余弦定理得，因為為三角形的內(nèi)角，所以，設(shè)圓錐底面圓的半徑為，則，解得.故圓錐底面圓的半徑為1cm.19．將常見的幾個棱柱、棱錐、棱臺的頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）作如下統(tǒng)計：空間圖形頂點數(shù)面數(shù)棱數(shù)三棱錐4三棱柱5三棱臺9四棱錐5四棱柱21四棱臺8五棱錐10五棱柱10五棱臺7……(1)把上表中空缺的數(shù)據(jù)補上；(2)由此表可猜得棱柱、棱錐、棱臺的頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）滿足一個關(guān)系式：_____________，并用石膏晶體和明礬晶體的空間圖形中頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)驗證你猜測的關(guān)系式的正確性．【解析】（1）空間圖形頂點數(shù)面數(shù)棱數(shù)三棱錐446三棱柱659三棱臺659四棱錐558四棱柱8612四棱臺8612五棱錐6610五棱柱10715五棱臺10715……（2）由于，，，，，，……，所以，猜想棱柱、棱錐、棱臺的頂點數(shù)（）、面數(shù)（）、棱數(shù)（）滿足.驗證如下：空間圖形頂點數(shù)面數(shù)棱數(shù)石膏晶體201230明礬晶體12818顯然，頂點數(shù)（）、面數(shù)（）、棱數(shù)（）滿足.基本立體圖形隨堂檢測1.下列命題中，正確的是（

）A．四棱柱是平行六面體B．直平行六面體是長方體C．六個面都是矩形的六面體是長方體D．底面是矩形的四棱柱是長方體【答案】C【解析】對于A，當四棱柱的底面是梯形時，則此四棱柱不是平行六面體，所以A錯誤，對于B，直平行六面體是平行六面體的側(cè)棱與底面垂直，底面可以是一般的平行四邊形，則它不是長方體，所以B錯誤，對于C，根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，六個面都是矩形的六面體是長方體，所以C正確，對于D，當四棱柱的側(cè)棱與底面不垂直時，則不是長方體，所以D錯誤，故選：C2．如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（

）A．是棱臺 B．是圓臺C．不是棱柱 D．是棱錐【答案】D【解析】對A，側(cè)棱延長線不交于一點，不符合棱臺的定義，所以A錯誤；對B，上下兩個面不平行，不符合圓臺的定義，所以B錯誤；對C，將幾何體豎直起來看，符合棱柱的