(寒假)人教版數學八年級寒假講義10 平行四邊形的判定+隨堂檢測（原卷版）

第頁10平行四邊形的判定知識點一知識點一平行四邊形的判定◆1、平行四邊形的判定方法類別判定方法圖形幾何語言邊兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.∴AB∥CD，AD∥BC，∵四邊形ABCD是平行四邊形.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.∵AB=CD，AD=CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.∵AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.角兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四邊形ABCD是平行四邊形.對角線對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.∵AO=CO，DO=BO，∴四邊形ABCD是平行四邊形.◆2、平行四邊形有5種判定方法，在判定一個四邊形是平行四邊形時，應選擇哪一種方法需要根據具體情況而定，當幾種方法都能判定時，應選擇較簡單的方法.◆3、平行四邊形的聯系與區(qū)別區(qū)別：由平行四邊形這一條件得到邊、角、對角線的關系是性質.由邊、角、對角線的關系得到平行四邊形是判定.聯系：平行四邊形的性質題設和結論正好與判定的題設和結論相反，它們構成互逆的關系.知識點二三角形的中位線知識點二三角形的中位線◆1、定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.幾何語言：在△ABC中，∵D、E分別是邊AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線.◆2、性質定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半.幾何語言：∵D、E分別是邊AB、AC的中點，∴DE∥BC，且DE=12BC◆3、一個三角形有三條中位線，如圖DE,DF,EF都是△ABC的中位線，中位線是一條線段.◆4、三角形的三條中位線把原三角形分成四個全等的小三角形，三個面積相等的平行四邊形；四個全等小三角形的周長都是原三角形周長的一半.◆5、三角形的中線與中位線相同點：都是與中點有關的線段.不同點：中位線是連接三角形兩邊中點的線段.中線是連接一個頂點和它的對邊中點的線段.題型一題型一利用定義進行平行四邊形的判定【例題1】如圖，E是四邊形ABCD的邊BC延長線上的一點，且AB∥CD，則下列條件中不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D解題技巧提煉當已知條件中涉及或易得出四邊形的對邊分別平行時，應考慮使用平行四邊形的定義這種判定方法.【變式1-1】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，要使四邊形ABCD成為平行四邊形，則應增加的條件是（）A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180°【變式1-2】如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF與GH交于點O，則圖中平行四邊形的個數是．【變式1-3】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是邊BC上一點，且DE＝DC．求證：四邊形ABED是平行四邊形．【變式1-4】已知：如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點D在BC邊上，EF∥BC交AC于點F，連結BE．求證：四邊形BEFC為平行四邊形．題型二利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進行判定題型二利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進行判定【例題2】如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．解題技巧提煉已知一組對邊平行，可通過證明這組對邊相等來證明平行四邊形，“一組對邊平行且相等”與“一組對邊平行，另一組對邊相等”不同，前者指的是同一組對邊，后者指的不是同一組對邊，不能用來判定平行四邊形.【變式2-1】如圖，四邊形ABCD的對角線交于點O，已知AB＝CD，添加列其中一個條件，能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AD∥BC B．∠ABD＝∠BDC C．OB＝OD D．AC⊥BD【變式2-2】如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，延長BC至點F，使CF=12BC，連接DE、CD、EF【變式2-3】如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于點O，以OD，CD為鄰邊作平行四邊形DOEC，OE交BC于點F，連接BE．求證：四邊形ABEO是平行四邊形．【變式2-4】如圖，點B，E，C，F在一條直線上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）連接AD，求證：四邊形ACFD是平行四邊形．題型三利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形進行判定題型三利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形進行判定定【例題3】如圖，在△ABC中，點F是BC的中點，點E是線段AB的延長線上的一動點，連接EF，過點C作CD∥AB，與線段EF的延長線交于點D，連接CE、BD．求證：四邊形DBEC是平行四邊形．解題技巧提煉當出現的已知要證明的四邊形有一組對邊相等，可選擇證另一組對邊相等，利用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”來判定.【變式3-1】下面給出的是四邊形ABCD中，AB，BC，CD，DA的長度之比，其中能滿足四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．2：3：4：5 B．3：3：4：4 C．4：3：3：4 D．4：3：4：3【變式3-2】如圖，已知四邊形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分別為C、A，AD＝BC．（1）求證：Rt△ACD≌Rt△CAB．（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【變式3-3】如圖，以平行四邊形ABCD的邊AB、CD為邊，作等邊△ABE和等邊△CDF，連接DE，BF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．題型四利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形進行判定題型四利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形進行判定定【例題4】一個四邊形的四個內角的度數依次為88°，92°，88°，92°，我們判定其為平行四邊形的依據是（）A．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 B．兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 D．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形解題技巧提煉當已知條件出現在要證明的四邊形的角上時，可選擇“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”的判定方法來證明.【變式4-1】下面給出的四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度數之比，其中能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件是（）A．3：4：3：4 B．3：3：4：4 C．2：3：4：5 D．3：4：4：3【變式4-2】如圖，在四邊形ABCD中，連接AC，已知∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【變式4-3】如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠D，EF交CD于點G，交AD于點E，交BC的延長線于點F，∠DEF＝∠CFG．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．題型五利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形進行判定題型五利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形進行判定定【例題5】如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB＝90°，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，（1）求證；四邊形ABCD為平行四邊形；（2）求四邊形ABCD的面積．解題技巧提煉當要證明的四邊形的對角線交于一點，且易得出其對角線互相平分時，應選擇用“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”的判定方法來證明.【變式5-1】已知：如圖，四邊形ABCD中，AO＝OC，要使四邊形ABCD為平行四邊形，需添加一個條件是：．（只需填一個你認為正確的條件即可）【變式5-2】已知：如圖，在四邊形ABCD中，E是邊BC的中點，連接DE并延長，交AB的延長線于點F，且AB＝BF，∠F＝∠CDE．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【變式5-3】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中點，直線AE交DC的延長線于點F．試判斷四邊形ABFC的形狀，并證明你的結論．【變式5-4】如圖，AB，CD相交于點O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分別是OC，OD中點．（1）求證：OD＝OC．（2）求證：四邊形AFBE平行四邊形．題型六應用中位線定理求線段的長度題型六應用中位線定理求線段的長度定【例題6】如圖，在?ABCD中，AD＝10，點E、F分別是BD、CD的中點，則EF等于（）A．3 B．4 C．5 D．6解題技巧提煉運用中位線定理求線段長的方法：當題目有中點，特別是一個三角形中出現兩邊中點時，?？紤]用三角形的中位線來解決，先證出它是三角形的中位線，在利用中位線構造線段之間的關系，并由此建立待求線段與已知線段的聯系，從而求出線段長.【變式6-1】如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BC＝16，F是線段DE上一點，連接AF、CF，DE＝4DF．若∠AFC＝90°，則AC的長度是．【變式6-2】如圖，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分別是其角平分線和中線，過點C作CG⊥AD于F，交AB于G，連接EF，則線段EF的長為（）A．12 B．1 C．72【變式6-3】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．若DE是△ABC的中位線，延長DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點F，則線段DF的長為（）A．7 B．8 C．9 D．10【變式6-4】如圖，D是△ABC內一點，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，則四邊形EFGH的周長為（）A．12 B．14 C．24 D．21【變式6-5】如圖，在四邊形ABCD中，點E、F分別是邊AB、AD的中點，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度數．題型七應用中位線定理推理證明題型七應用中位線定理推理證明定【例題7】如圖，四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.解題技巧提煉當題中出現有三角形的中點時，聯想到三角形中位線定理，應用定理證明兩直線的位置關系或線段之間的關系.有時需要添加輔助線構造.【變式7-1】已知，如圖△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，E為AD的中點，CE延長線交AB于點F．求證：AF=12【變式7-2】如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對角線，E、F分別為AD、BC的中點，G、H分別為BD、AC的中點．請你判斷EF與GH的關系，并證明你的結論．【變式7-3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB上一點，連接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于點E．（1）求證：AE垂直平分CD；（2）若AC＝6，BC＝8，點F為BC的中點，連接EF，求EF的長．題型八平行四邊形性質與判定的綜合運用題型八平行四邊形性質與判定的綜合運用【例題8】如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F是對角線BD上不同的兩點，連接AE，CE，AF，CF．下列條件中，不能得出四邊形AECF一定是平行四邊形的為（）A．BE＝DF B．AE＝CF C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF解題技巧提煉平行四邊形對應邊相等，對應角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或對角的位置上，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的；凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應直接運用平行四邊形的性質和判定去解決問題．【變式8-1】如圖，在四邊形ABCD中，點E，F分別在邊AD，BC上，線段EF與對角線AC交于點O且互相平分，若AD＝BC＝10，AB＝6，則四邊形ABCD的周長是（）A．26 B．32 C．34 D．36【變式8-2】如圖，△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，DE∥BC交AB于點E，EF∥AC交BC于點F．求證：BE＝CF．【變式8-3】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD交于點O，且AO＝OC．（1）求證：①△AOE≌△COF；②四邊形ABCD為平行四邊形；（2）過點O作EF⊥BD，交AD于點E，交BC于點F，連接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度數．題型九平行四邊形的判定與動點運動問題題型九平行四邊形的判定與動點運動問題定【例題9】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝18cm，BC＝15cm，點P在AD邊上以每秒2cm的速度從點A向點D運動，點Q在BC邊上，以每秒1cm的速度從點C向點B運動，當一點到達終點停止運動時，另一點也停止運動，則運動時間為秒時，直線PQ在四邊形ABCD內部截出一個平行四邊形．解題技巧提煉運用數形結合的思想，化動為靜，根據題意結合平行四邊形的性質、判定列出方程，進行相關的計算或證明，解決有關平行四邊形中的動點問題.【變式9-1】如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，點P在AD邊上以每秒1cm的速度從點A向點D運動，點Q以每秒3cm的速度從點D出發(fā)，沿DC，CB向B運動，兩個點同時出發(fā)，在運動秒時，以P，D，Q，B四點組成的四邊形是平行四邊形．【變式9-2】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，動點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點P以1cm/s的速度由A向D運動，點Q以3cm/s的速度由C向B運動，其中一動點到達終點時，另一動點隨之停止運動，設運動時間為t秒．（1）AP＝，BQ＝，（分別用含有t的式子表示）；（2）當四邊形PQCD的面積是四邊形ABQP面積的2倍時，求出t的值．（3）當點P、Q與四邊形ABCD的任意兩個頂點所形成的四邊形是平行四邊形時，直接寫出t的值．10平行四邊形的判定隨堂檢測1.下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：22.如圖，四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是（）A．AB＝DC，AD＝BC B．∠DAB＝∠DCB，∠ABC＝∠ADC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥CD，AD＝BC3.下列條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（）A．兩組對邊分別平行 B．一組對邊平行，另一組對邊相等 C．兩組對邊分別相等 D．一組對邊平行且相等4.以不共線的三點A、B、C為頂點的平行四邊形共有（）個．A．1 B．2 C．3 D．無數5.下面是八年級（1）班某學習小組討論的問題：如圖所示，在四邊形ABCD中，點E，F分別在邊BC，AD上，添加一些條件，使四邊形AECF是平行四邊形，并加以證明．條件分別是：①BE＝DF；②∠B＝∠D；③∠BAE＝∠DCF；④四邊形ABCD是平行四邊形．其中所添加的條件符合題目要求的是（）A．④ B．①② C．①④ D．①②③6.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，對角線AC與BD交于點O，AF⊥BD于點F．CE⊥BD于點E．連接AE，CF．若DE＝BF，則下列結論：①CF＝AE；②OE＝OF；③四邊形ABCD是平行四邊形；④圖中共有四