專題【解析幾何】阿基米德三角形極點極線結(jié)構(gòu)及非對稱韋達定理與斜率和斜率積有關(guān)的定點定值含答案及解析

拋物線阿基米德三角形1.知識要點：如圖，假設拋物線方程為，過拋物線準線上一點向拋物線引兩條切線，切點分別記為，其坐標為.則以點和兩切點圍成的三角形中，有如下的常見結(jié)論:結(jié)論1.直線過拋物線的焦點.證明：參見下面的例1.結(jié)論2.直線的方程為.證明：參見下面的例1.也可由極點與極線得到.進一步，設：，則.則，顯然由于過焦點，代入可得.我們得到了拋物線焦點弦兩端點坐標之間的基本關(guān)系.上述結(jié)論的逆向也成立，即：結(jié)論3.過的直線與拋物線交于兩點，以分別為切點做兩條切線，則這兩條切線的交點的軌跡即為拋物線的準線.證明：過點的切線方程為，過點的切線方程為，兩式相除可得：.這就證明了該結(jié)論.結(jié)論4..證明：由結(jié)論3，，.那么.結(jié)論5..證明：,則.由拋物線焦點弦的性質(zhì)可知，代入上式即可得，故.結(jié)論6.直線的中點為，則平行于拋物線的對稱軸.證明：由結(jié)論3的證明可知，過點的切線的交點在拋物線準線上.且的坐標為，顯然平行于拋物線的對稱軸.（2019年全國三卷）已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.(1)證明：設,,則．又因為，所以.故，整理得.設，同理得.,都滿足直線方程.于是直線過點，而兩個不同的點確定一條直線，所以直線方程為.即，當時等式恒成立．所以直線恒過定點.（2）由（1）得直線的方程為.由，可得，于是.設分別為點到直線的距離，則.因此，四邊形ADBE的面積.設M為線段AB的中點，則，由于，而，與向量平行，所以，解得或.當時，；當時因此，四邊形的面積為或.

極點極線結(jié)構(gòu)及非對稱韋達定理1.基礎(chǔ)知識:極點極線橢圓極點和極線的定義與作圖：已知橢圓（a＞b＞0），則稱點和直線為橢圓的一對極點和極線.極點和極線是成對出現(xiàn)的.從定義我們共同思考和討論幾個問題并寫下你的思考:（1）若點在橢圓上，則其對應的極線是什么?（2）橢圓的兩個焦點對應的極線分別是什么?（3）過橢圓外（上、內(nèi)）任意一點，如何作出相應的極線？如圖，若點在曲線外，過點作兩條割線依次交曲線于且與交于，延長交于點,則直線即為點所對應的極線.假設橢圓方程為（1）焦點與準線：點與直線；（2）點與直線2.非對稱韋達定理在一元二次方程中，若，設它的兩個根分別為，則有根與系數(shù)關(guān)系：，，借此我們往往能夠利用韋達定理來快速處理、、之類的“對稱結(jié)構(gòu)”，但有時，我們會遇到涉及的不同系數(shù)的代數(shù)式的應算，比如求、之類的結(jié)構(gòu)，就相對較難地轉(zhuǎn)化到應用韋達定理來處理了.特別是在圓錐曲線問題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去x或y，也得到一個一元二次方程，我們就會面臨著同樣的困難，可采用反過來應用韋達定理，會有較好的作用.3.典例（2020一卷）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.解析：由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）證明：設，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點的坐標為.同理可得：點的坐標為當時，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過定點．當時，直線：，直線過點．故直線CD過定點．4.練習：（2010江蘇）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F.設過點T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、，其中m>0,.（1）設動點P滿足,求點P的軌跡；（2）設，求點T的坐標；（3）設,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關(guān)）解：（1）設點P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得化簡得。故所求點P的軌跡為直線（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB方程為：，即聯(lián)立方程組，解得：，所以點T的坐標為（3）點T的坐標為直線MTA方程為：，即，直線NTB方程為：，即分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：、（方法1）當時，直線MN方程為：令，解得：。此時必過點D（1，0）；當時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）。所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）。（方法2）若，則由及，得，此時直線MN的方程為，過點D（1，0）若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點。因此，直線MN必過軸上的點（1，0）.與斜率和，斜率積有關(guān)的定點定值1.基本結(jié)論：設為橢圓上的定點，是橢圓上一條動弦，直線的斜率分別為；若，則有，若，則直線過定點，若，則有，若，則直線過定點.典例分析（2017一卷）已知橢圓，四點中恰有三點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設直線不經(jīng)過點且與相交于兩點，若直線的斜率之和為，證明：直線過定點.解析：（1）由于，兩點關(guān)于y軸對稱，故由題設知C經(jīng)過，兩點.又由知，C不經(jīng)過點P1，所以點P2在C上.因此，解得.故C的方程為.（2）設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設l：x=t，由題設知，且，可得A，B