《理論力學(xué)》第二章力系的簡化習(xí)題集解

第二章力系的簡化習(xí)題解

［習(xí)題2-1］一鋼結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)，在沿0A,0B,0C的方向上受到三個(gè)力的作用，已知百=\kN,

F2=\A\kN,居=2ZN,試求這三個(gè)力的合力.

解：

幾二0%=7kN\

尸2'=-L41cos45°=-l(AN)J,=1.41sin45°=1伏Mr2\135*'F.

=2kNF3v=0。90。

G=t4=0T+2=l伏N)Z|

r-0

%=￡G=T+I+()=

/=0。

FR="R：+RR；=1作用點(diǎn)在0點(diǎn)，方向水平向右?

［習(xí)題2-2］計(jì)算圖中已知片，E,尸3三個(gè)力分別在.%y,z軸上的投影并求合力.已知

4=2kN,F2=\kN,F、=3kN.

解：

F「2kN%=0粒=0

3

。

F2X=f；sin45cos0=1x0.707ix-=0A24(kN)

F2v=F2sin45°sin<9=1x0.7071x-=0.567(^

5

y

F2:=F2sin45°=1X0.707=0.707(kN)

&'=°F_3kN

Fxi=2+0.424+0=2.424(kN)

Fvi=0+0.567+0=0.567(kN)

F".=0+0.707+3=3.707GUV)

合力的大小：

222

FR="J+FR：+FR；=A/2.424+0.567+3.707=4.465(AN)

方■向余弦：

s二2.424

==0.4429

-4.465

=0.567

>s=0.1270

一4.465

F3.707

cosyR:=0.8302

77-4.465

作用點(diǎn):在三力的匯交點(diǎn)A.

［習(xí)題2-3］已知2屈N,F2=2?,F、=1N4五N,工=7N,求五個(gè)力合成

的結(jié)果（提示:不必開根號(hào)，可使計(jì)算簡化）.

解：

"=。/=。F-2瓜N

"0&,=2?Va=0

F”=7Nq=0&=。

1

=F；cos45()cos60(,=4>/2x^-x-=2(7V)y

乎曰=-

F4y=-FAcos45°sin60°=-4&xx26(N)

F4:二尼sin450=4d2x節(jié)=4(N)

F5X=F5sinycos^=7xx-=3(N)

V42+32+(2V6)25

F”-Fcsin/sin=7x.x—=4(N)

j4、32+(2府5

9J7

工.=&cosy=7x/7--------=26(力)

―742+32+(276)2

小=iX=0+0-l+2+3=4(N)

i=0

5

F.、=0+26+()-26++4=4(N)

1=0

5

FR:=Z%=-2?+0+0+4+2?=4(N)

i=0

合力的把_____________

FR="R；+FR；+Fj=V42+42+42=473=6.93(N)

方向余弦：

FR、46

cosa=—=——=——

FR4G3

cosZ=^=4=-

，463

a=B=y=arccos-^-=54°448

作用點(diǎn)：在三力的匯交點(diǎn)A.

［習(xí)題2-4］沿正六面體的三棱邊作用著三個(gè)力，在平面OABC內(nèi)作用一個(gè)力偶.已知

1二20N,F2=3O7V,B=50N,何=IN?利.求力偶與三個(gè)力合成的結(jié)果.

解：

題2-4圖

把K，F(xiàn)2,F3向。1平移,得到:

主矢量：FR=F,-F,-F2=50-20-30-0

M,(片)=-F,x0.2=一20x0.2=T(N?m)

%S)=0

M=S)=0

M[(尸2)=-尸2x0.2=-30x0.2=-6(TV?in)

MV(F2)=F2X0.15=30X0.15=4.5(N"Z)

M:(F2)=O

"(居)=0

M、(居)=一居X0.15=-50X0.15=-7.5(N?m)

M二（工）=0

M的方向由E指向D.

2知"=Mq(6)+MOi(A)=2.5+6.25=8.25(N-m)

7(X)

M,=Msin0=lx?==O.8(O.〃7)

V2OO2+15O2

150

M、=-Mcos6=-lx/.==-0.6(N-rn)

72002+1502

DC

ZMI=2MU.=1+0+0=1

ZMv=￡MVj=-2-2.263+0=-4.263(^-m)

￡M二二工"=，=°+2263-2=0.263(N?"2)

1=1

主矩：

Mo=J(ZM、)2+(ZM、.)2+(ZMJ2=J/+(_4.263)2+0.2632=4.387(N?〃1)

方向余弦：

yi

cos。==-----=0.2280

Mo4.387

"4.263

3S0===()9717

%4.387

XM.0263

COS/=白—=士%=0.0599

M)4.387

［習(xí)題2-6］試求圖諸力合戊的結(jié)果.

解：

主矢量：

FK=5+2-7=0

豎

Mr(5N)=()M(5^)=-5x0.1=-0.5M：(5N)=0

向v

勺

力

巨M,(7/V)=-7x0.1=-0.7%,(7N)=7x0.1=0.7%(7N)=0

產(chǎn)

生M,(2/V)=2x0.1=0.2%(2N)=0M：(2N)=0

ii頂心=oM"=0.2

底Me=0.4

面Mx2=0%2=0

斜%3=-3sin60°x0.1=-0.26M=3cos60°x0.1=0.15

面%3=。r3

-0.760.20.75

主矩:

Mo=J(Z%)2+(ZM、)2+(Z%/=J(一0.76)2+0.22+0.752=1.086(^?

方向余弦：

-0.76-OM

cosa=----=------=-0.6996

Mo1.086

0.2

=0.1842

1.086

X%=0.75

cos/==0.6906

M)-1.086

［習(xí)題2-7］柱子上作有著6，%,三個(gè)鉛直力,已知片二80kN,F2=60ZN,

a二50AN,三力位置如圖所示.圖中長度單位為〃〃〃，求將該力系向。點(diǎn)簡化的結(jié)果.

豎;Wv(F,)=80x0.25=20M,")=0M；S)=0

生

向

的

力M(^)=-60X0.15=-9X(

矩XMV(F2)=600.17=10.216)=0

產(chǎn)

(居)=

M,-50x0.15=-7.5MV(^)=-50X0.17=-8.5%（用）=0

3.51.70

主矩:

222

Mo=+(>0、.)2+(ZL)2=A/3.5+1.74-0=3.891(N?m)

方向余弦：

35

cos。==0.8995

Mo3.891

yM17

cos/3=^■^=-^-=0.4369

3.891

cos/=Jo

%)3.891

［習(xí)題2-8］求圖示平行力系合成的結(jié)果（小方格邊長為100〃〃〃）

解:

主矢量

AM,3kN)=0M、.(3AM=3XO.45=L35

B也(9〃N)=-9X0.2=-1.8MJ9AAQ=9x0.4=3.6

CM,(12k/V)=12x0.5=6M、(12ZA0=—12x0.6=—7.2

M0N)=7x0.6=4.2

DMV(7Z~)=-7x0.3=-2.1

Z8.4-4.35

主矩：__________________________________

Mo=J（ZM、）2+（ZMV）2=J8.42+（-4.35）2=9.46CZN.刈

方向余弦：

yM84

cosa=/二」=—=0.8879

9.46

cos/?==0.4598

M（）9.46

［習(xí)題2-9］平板OABDH乍用空間平行力系如圖所示，問應(yīng)等于多少才能使該力系合力作用

線通過板中心C.

解：

主矢量：

FR=-7-8-5-6-4=-30伏M

由合力矩定理可列出如下方程：

—4），—5x8—8x8=-30x4

4y+40+64=120

y=4（=）

4x4-5x6+6x6=30x3

x=6（7w）

［習(xí)題2-10］一力系由四個(gè)力組成。已知Fi=60N,用=物t？凰=500N,F4=200N,試

將該力系向A點(diǎn)簡化（圖中長度單位為mm）。

解:

方向余弦：

YFX300八…/

coscr=——--------=0.4696

FR638.877

cosp=-=-^-

FR

忌M"⑼

M*(居)=-60x0.2=-12M,，S)=0M.(E)=0

M(F)=400sin30°x0.2

t2A//F2)=O也（尼）=0

-400cos30°x0.4=-98.564

M式鳥）=6

%(居)=500x0.3x黑=120%（瑪）=0

M,（乙）二0M(乙)=0%（巴）=0

z-110.5641200

主矩大小：M。=)(-110.564)2+12()2+02=]62.83l(Nm)

方向余弦:

fMx-110.564

cosa=-0.6790

“0162.831

cos/?=

M)品T0.7370

IM=

cos/=品二°

［習(xí)題2T1］一力系由三力組成，各力大小、作

用線位置和方向見圖。已知將該力系向A簡化所

得的主矩最小，試求主知之值及簡化中心A的

坐標(biāo)（圖中力的單位為N,長度單位為mm）。

解：

Mo=-30x0.2；+40x0.21-30x0.2%

=-6；+8j-6k

—>TT

r=-xi-yj

=407-30；-30^

MA=MO+"FR

=-6；+8j-6k

T-ijk_

rxFR=-x-y0=-30yi-30xj+(30x+40v)k

40-30-30

MA=(-6+30y)；+(8-30x)7+(-6+30x+40y)k

222

MA=7(30y-6)+(8-30x)+(30x+40,y-6)

=71800.r2++2400.vv+2500y2-840x-84O.y+72

[習(xí)題2-12]x軸與y軸斜交成Q角，如圖所示.設(shè)一力系在平面內(nèi)，對(duì)》軸和4軸上的A,B

兩點(diǎn)有滔=°，淞=0,且=°，工心工①已知。A=〃，求B點(diǎn)在X軸上的

位置.

題2-12)留

解:設(shè)。8=〃

—>

MA=MR+rxFiK

—>—>—>—>

|M/=|M/+"x心|

0=0+|rxFiA|

22

Irx|=r-F氐sin(r,Fix)=^(b-acosa)+(0-tzsina)?6丫sin，=0

2-13一平面力系（在。冷，平面內(nèi)）中的各力在X軸上投影之代數(shù)和等于零，對(duì)、B兩點(diǎn)的主矩

分別為=12N-m,=15N-m,、AAMBMAB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2,3）、（4,8）,試求

該力系的合力（坐標(biāo)值的單位為m）。

?AU.8)

題2—13附圖

［習(xí)題2—14］某廠房排架的柱子，承受吊車傳來的力R，=250kN,屋頂傳來的力&=30kN,

試將該兩力向底面中心0簡化。圖中長度單位是mm。

解：

主矢量：FR=Fp+F。=250+30=280(&N)(I),作用在0點(diǎn).

主矩：=FPxO.15-7^x0.15=(250-30)x0.15=33(kNni)

(左側(cè)受拉)

［習(xí)題2—15］已知擋土墻自重W=400kN,土壓力F=320kN,水壓力E=176kN,求這些力

向底面中心0簡化的結(jié)果；如能簡化為一合力，試求出合力作用線的位置圖中長度單位為m。

解.

(1)求主矢量

FR、=FP-FCOS400=176-320cos40°=-69.134(/:AO

FRy=-W-Fsin40°=TOO—320sin40°=-605.692(2/V)

FK="J+FR；=J(-69.IM)〉+(-605.692)2=的625切)

心與水平面之間的夾角：

a=arctan為=arctan±獨(dú)衛(wèi)=83°29I8

FR、—69.134

(2)求主矩

=400x0.8-176x2+320cos40°x3sin6O°-320sin40°x(3-3cos60°)=296.321(AM〃z)

(3)把主矢量與主矩合成一個(gè)力

296.321

=0.486(〃?)

609.625

d0.486

x------=—————=0.0555(〃。

tana605.692

69.134

［習(xí)題2—16］某橋墩頂部受到兩邊橋梁傳來的鉛直力E=1940kN,F2=800kN及制動(dòng)力FT=

193kNo橋墩自重W=52S0kN,風(fēng)力FP=140kN。各力作用線位置如圖所示。求將這些力

向基底截面中心。簡化的結(jié)果：如能簡化為一合力，試求出合力作用線的位置。

解：

(1)求主矢量

-F-F=-140-193=-333(攵M

FRX=Pr

FRy=-W-F,-F2=-5280-194()-8(X)=-802()(kN)

FK==J(_333)2+匚&^。)?=8026.9\(kN)

FR與水平面之間的夾角：

a=arctan^^=arctan—=8703721

FR、—333

(2)求主矩

M()=140x10.7+193x21.25-800x0.4+194()x0.4=6055.25(kN-in)

(3)把主矢量與主矩合成一個(gè)力

_6055.25

=0.754(〃。

-8026.91

d0.754

"F=硒二°°3M)

333

［習(xí)題2—17］圖示一平面力系,已知件=200N,F2=100N,M=3(X)N?mo欲使力系的合力

通過。點(diǎn)，問水平力之值應(yīng)為若干？

解：

FRv=F-F1cos<9=F-200x|=F-120

4

FRy=-F2-F}sin0=-100-200x-=-260(kN)

5

主矢量：

與二J(b-120)2+(-260)2

Mo(F,)=12Ox2+16Ox2=560(AN-m)題2-17圖

M)(K)=-100x2=-2C0(AN-M

MQ(F)=—1.5F

主矩：

=560-200-1.5F-300=60-1.5F

要使合力通過O點(diǎn)，必使：

Mo=60-1.5/=0,即/=40內(nèi)7

［習(xí)題2—18］在剛架的、A3兩點(diǎn)分別作用巴