新教材2025版高中數(shù)學(xué)第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)6.2.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值學(xué)生用書新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、微小值以及給定閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值；體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最大(小)值的關(guān)系．新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)學(xué)問點(diǎn)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值假設(shè)函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)在[a，b]肯定能夠取得________與________，若函數(shù)在[a，b]內(nèi)是可導(dǎo)的，則該函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)取得．基礎(chǔ)自測(cè)1．下列結(jié)論正確的是()A．若f(x)在[a，b]上有極大值，則極大值肯定是[a，b]上的最大值B．若f(x)在[a，b]上有微小值，則微小值肯定是[a，b]上的最小值C．若f(x)在[a，b]上有極大值，則微小值肯定是在x＝a和x＝b處取得D．若f(x)在[a，b]上連續(xù)，則f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值2．函數(shù)y＝x－sinx，x∈[π2A.π－1B．π2C．πD．π＋13．函數(shù)f(x)＝x3－3x(|x|＜1)()A．有最值，但無極值B．有最值，也有極值C．既無最值，也無極值D．無最值，但有極值4．函數(shù)f(x)＝(x＋1)ex的最小值是________．課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性求函數(shù)的最值【思索探究】如圖為y＝f(x)，x∈[a，b]的圖象．1．視察[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象，試找出它的極大值、微小值．[提示]f(x1)，f(x3)為函數(shù)的極大值，f(x2)，f(x4)為函數(shù)的微小值．2．結(jié)合圖象推斷，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分別為多少？[提示]存在．f(x)的最小值為f(a)，f(x)的最大值為(f(x_(3)))．3．函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值肯定是其極值嗎？[提示]不肯定．也可能是區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值．例1求下列各函數(shù)的最值：(1)f(x)＝lnx－x,x∈(0，e]；(2)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]；

(3)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]；(4)f(x)＝12x＋sinx，x,方法歸納求函數(shù)最值的四個(gè)步驟第一步，求函數(shù)的定義域；其次步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0；第三步，列出關(guān)于x，f(x)，f′(x)的改變表；第四步，求極值、端點(diǎn)值，確定最值．跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2，3]；(2)f(x)＝12x＋cosx，x(3)f(x)＝x-求含參數(shù)的函數(shù)的最值例2已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2－a2x.求函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上的最小值．狀元隨筆不能求出參數(shù)值的問題，則要對(duì)參數(shù)進(jìn)行探討方法歸納含參數(shù)的函數(shù)最值問題的兩類狀況(1)能依據(jù)條件求出參數(shù)，從而化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題．(2)對(duì)于不能求出參數(shù)值的問題，則要對(duì)參數(shù)進(jìn)行探討，其實(shí)質(zhì)是探討導(dǎo)函數(shù)大于0、等于0、小于0三種狀況．若導(dǎo)函數(shù)恒不等于0，則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點(diǎn)處取得；若導(dǎo)函數(shù)可能等于0，則求出極值點(diǎn)后求極值，再與端點(diǎn)值比較后確定最值．跟蹤訓(xùn)練2已知a∈R，函數(shù)f(x)＝x2(13x－a)，求f(x由最值求參數(shù)的值或范圍例3已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值為3，最小值為－29，求a，b的值．方法歸納已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)，探究最值點(diǎn)，依據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知函數(shù)h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在區(qū)間[k，2]上的最大值是28，求k的取值范圍．(2)已知f(x)＝ax－lnx，a∈R.①當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；②是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．與最值有關(guān)的恒成立問題例4已知2xlnx≥－x2＋ax－3對(duì)一切x∈(0，＋∞)恒成立，則a的取值范圍為________．方法歸納1．分別參數(shù)法求解不等式恒成立問題的步驟2．構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)的最值，若參數(shù)影響單調(diào)性，需對(duì)參數(shù)探討，利用最值解決恒成立問題，即f(x)≥0恒成立?f(x)min≥0，f(x)≤0恒成立?f(x)max≤0.跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)＝ex(ex－a)－a2x.(1)探討f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范圍．第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點(diǎn)]學(xué)問點(diǎn)最大值最小值[基礎(chǔ)自測(cè)]1．解析：函數(shù)f(x)在[a，b]上的極值不肯定是最值，最值也不肯定是極值，極值肯定不會(huì)在端點(diǎn)處取得，而在[a，b]上肯定存在最大值和最小值．答案：D2．解析：y′＝1－cosx，當(dāng)x∈[π2，π]時(shí)，y則函數(shù)在區(qū)間[π2所以y的最大值為ymax＝π－sinπ＝π.答案：C3．解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減，無最大值和最小值，也無極值．答案：C4．解析：f(x)＝(x＋1)ex?f′(x)＝(x＋2)ex，當(dāng)x>－2時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x<－2時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，因此當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為f(－2)＝(－2＋1)e－2＝－1e答案：－1課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】(1)f′(x)＝1x－1，令f′(x)＝0，得x當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(1，e)時(shí)，f′(x)<0，∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有極大值，也是最大值，最大值為f(1)＝－1.無微小值．【解析】(2)f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.當(dāng)x改變時(shí)，f′(x)及f(x)的改變狀況如表：∴當(dāng)x＝－3時(shí)，f(x)取最小值－60；當(dāng)x＝－1或x＝1時(shí)，f(x)取最大值4.【解析】f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∴f′(x)在[－1，1]內(nèi)恒大于0，∴f(x)在[－1，1]上為增函數(shù)．故當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)min＝－12；當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)max＝2.即f(x)的最小值為－12，最大值為2.(4)f′(x)＝eq\f(1,2)＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0，2π]，解得x＝eq\f(2π,3)或x＝eq\f(4π,3)，計(jì)算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f(eq\f(2π,3))＝eq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),2)，f(eq\f(4π,3))＝eq\f(2π,3)－eq\f(\r(3),2).所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有最小值f(0)＝0；當(dāng)x＝2π時(shí)，f(x)有最大值f(2π)＝π.跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)因?yàn)閒(x)＝2x3－12x，x∈[－2，3]，所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2.因?yàn)閒(－2)＝8，f(3)＝18，f(2)＝－82，f(－2)＝82，所以當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得最小值－82；當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)取得最大值18.(2)f′(x)＝eq\f(1,2)－sinx，x∈[0，2π]，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(π,6)或x＝eq\f(5π,6).因?yàn)閒(0)＝1，f(2π)＝π＋1，f(eq\f(π,6))＝eq\f(π,12)＋eq\f(\r(3),2)，f(eq\f(5π,6))＝eq\f(5π,12)－eq\f(\r(3),2).所以當(dāng)x＝2π時(shí)，f(x)有最大值f(2π)＝π＋1，當(dāng)x＝eq\f(5π,6)時(shí)，f(x)有最小值f(eq\f(5π,6))＝eq\f(5π,12)－eq\f(\r(3),2).(3)函數(shù)f(x)＝eq\f(x－1,ex)的定義域?yàn)镽.f′(x)＝eq\f(1·ex－ex（x－1）,（ex）2)＝eq\f(2－x,ex)，當(dāng)f′(x)＝0時(shí)，x＝2，當(dāng)x改變時(shí)，f′(x)，f(x)的改變狀況如表所示．∴f(x)在(－∞，2)上是增函數(shù)，在(2，＋∞)上是減函數(shù)，∴f(x)無最小值，且當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)max＝f(2)＝eq\f(1,e2).例2【解析】f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，令f′(x)＝0，得x1＝－a3，x2＝a①當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在[0，a)上是減函數(shù)，在[a，＋∞)上是增函數(shù)．所以f(x)min＝f(a)＝－a3.②當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(x)min＝f(0)＝0.③當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在[0，－a3在[－a3所以f(x)min＝f(－a3)＝527a綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的最小值為－a3；當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)的最小值為0；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的最小值為527a3跟蹤訓(xùn)練2解析：f(x)＝13x3－ax2，則f′(x)＝x2－2ax令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝2a.令g(a)＝f(x)max，①當(dāng)2a≤0，即a≤0時(shí)，f′(x)≥0恒成立，f(x)在[0，2]上是增函數(shù)，從而g(a)＝f(x)max＝f(2)＝83－4a②當(dāng)2a≥2，即a≥1時(shí)，f(x)在[0，2]上是減函數(shù)，從而g(a)＝f(x)max＝f(0)＝0.③當(dāng)0<2a<2，即0<a<1時(shí)，f(x)在[0，2a]上是減函數(shù)，在(2a，2]上是增函數(shù)，從而g(a)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)－4a，0＜a≤\f(2,3)，,0，\f(2,3)＜a＜1，))綜上所述，f(x)max＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)－4a，a≤\f(2,3)，,0，a＞\f(2,3)．))例3【解析】由題設(shè)知a≠0，否則f(x)＝b為常數(shù)函數(shù)，與題設(shè)沖突．求導(dǎo)得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).①當(dāng)a>0，且當(dāng)x改變時(shí)，f′(x)，f(x)的改變狀況如表：由表可知，當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得極大值b，也就是函數(shù)在[－1，2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.②當(dāng)a<0時(shí)，同理可得，當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得微小值b，也就是函數(shù)在[－1，2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.綜上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)∵h(yuǎn)(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，當(dāng)x改變時(shí)，h′(x)，h(x)的改變狀況如表：∴當(dāng)x＝－3時(shí)，h(x)取極大值28；當(dāng)x＝1時(shí)，h(x)取微小值－4.而h(2)＝3<h(－3)＝28，∴假如h(x)在區(qū)間[k，2]上的最大值為28，則k≤－3.∴k的取值范圍為(－∞，－3].(2)①當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x－lnx，f′(x)＝1－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x)，∴所求切線的斜率為f′(2)＝eq\f(1,2)，切點(diǎn)為(2，2－ln2)，∴所求切線的方程為y－(2－ln2)＝eq\f(1,2)(x－2)，即x－2y＋2－2ln2＝0.②假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)＝ax－lnx在區(qū)間(0，e]上的最小值是3，f′(x)＝a－eq\f(1,x)＝eq\f(ax－1,x).ⅰ.當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0，e]上是減函數(shù)，故f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，解得a＝eq\f(4,e)(舍去)，所以此時(shí)不存在符合題意的實(shí)數(shù)a；ⅱ.當(dāng)0<eq\f(1,a)<e，即a>eq\f(1,e)時(shí)，f(x)在(0，eq\f(1,a))上是減函數(shù)，在(eq\f(1,a)，e]上是增函數(shù)，故f(x)min＝f(eq\f(1,a))＝1＋lna＝3，解得a＝e2，滿意條件；ⅲ.當(dāng)eq\f(1,a)≥e，即0<a≤eq\f(1,e)時(shí)，f(x)在(0，e]上是減函數(shù)，故f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，解得a＝eq\f(4,e)(舍去)，所以此時(shí)不存在符合題意的實(shí)數(shù)a.綜上，存在實(shí)數(shù)a＝e2，使f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值是3.例4【解析】由2xlnx≥－x2＋ax－3(x>0)，得a≤2lnx＋x＋eq\f(3,x)(x>0).設(shè)h(x)＝2lnx＋eq\f(3,x)＋x(x>0).則h′(x)＝eq\f(（x＋3）（x－1）,x2)，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，