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河南省百校聯(lián)盟2025屆高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)與在上最多有n個(gè)交點(diǎn),交點(diǎn)分別為(,……,n),則()A.7 B.8 C.9 D.102.高三珠海一模中,經(jīng)抽樣分析,全市理科數(shù)學(xué)成績(jī)X近似服從正態(tài)分布,且.從中隨機(jī)抽取參加此次考試的學(xué)生500名,估計(jì)理科數(shù)學(xué)成績(jī)不低于110分的學(xué)生人數(shù)約為()A.40 B.60 C.80 D.1003.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,且的圖象關(guān)于對(duì)稱,若實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知,則的大小關(guān)系為A. B. C. D.5.已知函數(shù),其中,若恒成立,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.6.在中,是的中點(diǎn),,點(diǎn)在上且滿足,則等于()A. B. C. D.7.小明有3本作業(yè)本,小波有4本作業(yè)本,將這7本作業(yè)本混放在-起,小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作業(yè)本的概率為()A. B. C. D.8.已知集合,集合,若,則()A. B. C. D.9.已知非零向量、,若且,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.10.已知圓錐的高為3,底面半徑為,若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上,則這個(gè)球的體積與圓錐的體積的比值為()A. B. C. D.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為,過焦點(diǎn)的直線與拋物線分別交于、兩點(diǎn),與軸的正半軸交于點(diǎn),與準(zhǔn)線交于點(diǎn),且,則()A. B.2 C. D.312.已知等差數(shù)列的公差不為零,且,,構(gòu)成新的等差數(shù)列,為的前項(xiàng)和,若存在使得,則()A.10 B.11 C.12 D.13二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中的系數(shù)為____.14.已知復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)的實(shí)部為____________.15.若,i為虛數(shù)單位,則正實(shí)數(shù)的值為______.16.如圖,在直四棱柱中,底面是平行四邊形,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),點(diǎn)是棱靠近的三等分點(diǎn),且三棱錐的體積為2,則四棱柱的體積為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)解不等式;(2)若函數(shù),若對(duì)于任意的,都存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知中,內(nèi)角所對(duì)邊分別是其中.(1)若角為銳角,且,求的值;(2)設(shè),求的取值范圍.19.(12分)超級(jí)病菌是一種耐藥性細(xì)菌,產(chǎn)生超級(jí)細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來(lái)越多,但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生,很多致病菌也對(duì)相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性,更可怕的是,抗生素藥物對(duì)它起不到什么作用,病人會(huì)因?yàn)楦腥径鹂膳碌难装Y,高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.某藥物研究所為篩查某種超級(jí)細(xì)菌,需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性,現(xiàn)有n()份血液樣本,每個(gè)樣本取到的可能性均等,有以下兩種檢驗(yàn)方式:(1)逐份檢驗(yàn),則需要檢驗(yàn)n次;(2)混合檢驗(yàn),將其中k(且)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn),若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性,這k份的血液全為陰性,因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了,如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性,為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性,就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn),此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次,假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中,每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的,且每份樣本是陽(yáng)性結(jié)果的概率為p().(1)假設(shè)有5份血液樣本,其中只有2份樣本為陽(yáng)性,若采用逐份檢驗(yàn)方式,求恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率;(2)現(xiàn)取其中k(且)份血液樣本,記采用逐份檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為,采用混合檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.(i)試運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí),若,試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式;(ii)若,采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少,求k的最大值.參考數(shù)據(jù):,,,,20.(12分)如圖,在四棱錐中,側(cè)棱底面,,,,是棱的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若,點(diǎn)是線段上一點(diǎn),且,求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)的極值;(2)當(dāng)時(shí),求證:.22.(10分)已知橢圓:(),四點(diǎn),,,中恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為.是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn),求的正切的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)直線過定點(diǎn),采用數(shù)形結(jié)合,可得最多交點(diǎn)個(gè)數(shù),然后利用對(duì)稱性,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:直線過定點(diǎn)且在是關(guān)于對(duì)稱如圖通過圖像可知:直線與最多有9個(gè)交點(diǎn)同時(shí)點(diǎn)左、右邊各四個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合,難點(diǎn)在于正確畫出圖像,同時(shí)掌握基礎(chǔ)函數(shù)的性質(zhì),屬難題.2、D【解析】

由正態(tài)分布的性質(zhì),根據(jù)題意,得到,求出概率,再由題中數(shù)據(jù),即可求出結(jié)果.【詳解】由題意,成績(jī)X近似服從正態(tài)分布,則正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性,求得,所以該市某校有500人中,估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績(jī)不低于110分的人數(shù)為人,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的圖象和性質(zhì),考查學(xué)生分析問題的能力,難度容易.3、C【解析】

根據(jù)題意,由函數(shù)的圖象變換分析可得函數(shù)為偶函數(shù),又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,分析可得,解可得的取值范圍,即可得答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象,由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,即函數(shù)為偶函數(shù),由,得,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,得,解得.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式,注意分析函數(shù)的奇偶性,屬于中等題.4、D【解析】

分析:由題意結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì),對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解:由題意可知:,即,,即,,即,綜上可得:.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛:對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較,我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,但很多時(shí)候,因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同,不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.這就必須掌握一些特殊方法.在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí),若底數(shù)不同,則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù),然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較,利用圖象法求解,既快捷,又準(zhǔn)確.5、A【解析】

,從而可得,,再解不等式即可.【詳解】由已知,,所以,,由,解得,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,涉及到恒成立問題,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.6、B【解析】

由M是BC的中點(diǎn),知AM是BC邊上的中線,又由點(diǎn)P在AM上且滿足可得:P是三角形ABC的重心,根據(jù)重心的性質(zhì),即可求解.【詳解】解:∵M(jìn)是BC的中點(diǎn),知AM是BC邊上的中線,又由點(diǎn)P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴故選B.【點(diǎn)睛】判斷P點(diǎn)是否是三角形的重心有如下幾種辦法:①定義:三條中線的交點(diǎn).②性質(zhì):或取得最小值③坐標(biāo)法:P點(diǎn)坐標(biāo)是三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的平均數(shù).7、A【解析】

利用計(jì)算即可,其中表示事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù),為基本事件總數(shù).【詳解】從7本作業(yè)本中任取兩本共有種不同的結(jié)果,其中,小明取到的均是自己的作業(yè)本有種不同結(jié)果,由古典概型的概率計(jì)算公式,小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算問題,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.8、A【解析】

根據(jù)或,驗(yàn)證交集后求得的值.【詳解】因?yàn)?,所以?當(dāng)時(shí),,不符合題意,當(dāng)時(shí),.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合的交集概念及運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

設(shè)非零向量與的夾角為,在等式兩邊平方,求出的值,進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為,即可得解.【詳解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的計(jì)算,同時(shí)也考查利用向量的模計(jì)算向量的夾角,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

計(jì)算求半徑為,再計(jì)算球體積和圓錐體積,計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:設(shè)球半徑為,則,解得.故求體積為:,圓錐的體積:,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐,球體積,圓錐的外接球問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.11、B【解析】

過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,與軸交于點(diǎn),由和拋物線的定義可求得,利用拋物線的性質(zhì)可構(gòu)造方程求得,進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,與軸交于點(diǎn),由拋物線解析式知:,準(zhǔn)線方程為.,,,,由拋物線定義知:,,,.由拋物線性質(zhì)得:,解得:,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用,關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.12、D【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得,再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由,,構(gòu)成等差數(shù)列可得即又解得:又所以時(shí),.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、28【解析】

將已知式轉(zhuǎn)化為,則的展開式中的系數(shù)中的系數(shù),根據(jù)二項(xiàng)式展開式可求得其值.【詳解】,所以的展開式中的系數(shù)就是中的系數(shù),而中的系數(shù)為,展開式中的系數(shù)為故答案為:28.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開式中的某特定項(xiàng)的系數(shù),關(guān)鍵在于將原表達(dá)式化簡(jiǎn)將三項(xiàng)的冪的形式轉(zhuǎn)化為可求的二項(xiàng)式的形式,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算即可得到答案.【詳解】,所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為2.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.15、【解析】

利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì),即可得答案.【詳解】由已知可得:,,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì),考查推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、12【解析】

由題意,設(shè)底面平行四邊形的,且邊上的高為,直四棱柱的高為,分別表示出直四棱柱的體積和三棱錐的體積,即可求解。【詳解】由題意,設(shè)底面平行四邊形的,且邊上的高為,直四棱柱的高為,則直四棱柱的體積為,又由三棱錐的體積為,解得,即直四棱柱的體積為?!军c(diǎn)睛】本題主要考查了棱柱與棱錐的體積的計(jì)算問題,其中解答中正確認(rèn)識(shí)幾何體的結(jié)構(gòu)特征,合理、恰當(dāng)?shù)乇硎局彼睦庵忮F的體積是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,以及空間想象能力,屬于中檔試題。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)將表示為分段函數(shù)的形式,由此求得不等式的解集.(2)利用絕對(duì)值三角不等式,求得的取值范圍,根據(jù)分段函數(shù)解析式,求得的取值范圍,結(jié)合題意列不等式,解不等式求得的取值范圍.【詳解】(1),由得或或;解得.故所求解集為.(2),即.由(1)知,所以,即.∴,∴.【點(diǎn)睛】本小題考查了絕對(duì)值不等式,絕對(duì)值三角不等式和函數(shù)最值問題,考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,化歸與轉(zhuǎn)化思想.18、(1);(2).【解析】

(1)由正弦定理直接可求,然后運(yùn)用兩角和的正弦公式算出;(2)化簡(jiǎn),由余弦定理得,利用基本不等式求出,確定角范圍,進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】(1)由正弦定理,得:,且為銳角(2)【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用,基本不等式的應(yīng)用,三角函數(shù)的值域等,考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.19、(1)(2)(i)(,且).(ii)最大值為4.【解析】

(1)設(shè)恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)?zāi)馨殃?yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)為事件A,利用古典概型、排列組合求解即可;(2)(i)由已知得,的所有可能取值為1,,則可求得,,即可得到,進(jìn)而由可得到p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式;(ii)由可得,推導(dǎo)出,設(shè)(),利用導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性,由單調(diào)性可求出的最大值【詳解】(1)設(shè)恰好經(jīng)過2次檢驗(yàn)?zāi)馨殃?yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)為事件A,則,∴恰好經(jīng)過兩次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率為(2)(i)由已知得,的所有可能取值為1,,,,,若,則,則,,,∴p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為(,且)(ii)由題意知,得,,,,設(shè)(),則,令,則,∴當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)增減,又,,,又,,,∴k的最大值為4【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式的應(yīng)用,考查隨機(jī)變量及其分布,考查利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性20、(1)證明見解析;(2)【解析】

(1)的中點(diǎn),連接,,證明四邊形是平行四邊形可得,故而平面;(2)以為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,計(jì)算與的夾角的余弦值得出答案.【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連接,,,分別是,的中點(diǎn),,,又,,,,四邊形是平行四邊形,,又平面,平面,平面.(2)解:,

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