北師大版必修二 球的表面積和體積

球的表面積和體積2021/6/271柱體、錐體、臺(tái)體的表面積各面面積之和知識(shí)回顧展開(kāi)圖

圓臺(tái)圓柱圓錐2021/6/272柱體、錐體、臺(tái)體的體積錐體臺(tái)體柱體知識(shí)回顧2021/6/273一、創(chuàng)設(shè)情境1、在太空中存在著多顆星球，科學(xué)家為了比較各個(gè)星球的大小，需要計(jì)算它們的表面積和體積，但是星球的形狀不同于柱體、椎體、臺(tái)體，而是近似于球體，那么如何進(jìn)行計(jì)算呢？2、球隊(duì)大小是與球的半徑有關(guān)，如何用球半徑來(lái)表示球的體積和表面積？2021/6/274思考：如何求球的體積？排液法：hHh二、探究新知2021/6/275球的體積球的表面積都是以R為自變量的函數(shù)OR2021/6/276例1.鋼球直徑是5cm,求它的體積.例題講解2021/6/277(變式1)把鋼球（直徑是5cm）放入一個(gè)正方體的有蓋紙盒中,至少要用多少紙?用料最省時(shí),球與正方體有什么位置關(guān)系?側(cè)棱長(zhǎng)為5cm例題講解球內(nèi)切于正方體2021/6/278例題講解2021/6/2792021/6/27102021/6/2711例4.如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證:(1)球的體積等于圓柱體積的三分之二；(2)球的表面積與圓柱的側(cè)面積相等.

例題O2021/6/2712(2)圓圓柱證明:(1)設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R.RO2021/6/2713討論

長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)分別為3、4、5，若它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積是——

分析：長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，則由球和長(zhǎng)方體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重合，則長(zhǎng)方體對(duì)角線與球的直徑相等。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O22221150442+5)2(:RS2R=3RDDBRtppD==\+=中略解：2021/6/2714用一個(gè)平面α去截一個(gè)球O，截面是圓面O?球的截面的性質(zhì)：球心和截面圓心的連線垂直于截面球心到截面的距離為d，球的半徑為R，則截面問(wèn)題補(bǔ)充知識(shí)：2021/6/2715課堂練習(xí)2021/6/27162021/6/27172021/6/27182021/6/27192021/6/27202021/6/27212021/6/27222021/6/27231、了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：分割→求近似和→化為標(biāo)準(zhǔn)和的方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法—極限思想，它是今后要學(xué)習(xí)的微積分部分“定積分”內(nèi)容的一個(gè)應(yīng)用；2、熟練掌握球的體積、表面積公式：五、課堂小結(jié)2021/6/2724基本計(jì)算問(wèn)題2.(1)把球的半徑擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則體積擴(kuò)大為原來(lái)的________倍.(2)把球的半徑擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，則表面積擴(kuò)大為原來(lái)的_______倍.(3)三個(gè)球的半徑之比為1:2:3，則它們的表面積之比為_(kāi)________.(4)三個(gè)球的體積之比為1:8:27，則它們的半徑之比為_(kāi)_______.2021/6/2725四、鞏固深化1、正方體的內(nèi)切球和外接球體積比為_(kāi)_____

，表面積之比為1：3。2、在球心同側(cè)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為49和400，求球的表面積。答案：25002021/6/27264、若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的__4_倍.5、若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是______6、若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是______.3、若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的___倍.2021/6/2727球與正方體的“接切”問(wèn)題典型：有三個(gè)球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過(guò)正方體的各頂點(diǎn),求這三個(gè)球的體積之比.畫(huà)出正確的截面：(1)中截面；(2)對(duì)角面找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系2021/6/2728球與正方體的“接切”問(wèn)題2021/6/2729[答案]

D2021/6/27302021/6/27312021/6/27322021/6/27332021/6/2734[答案]

C2021/6/27352021/6/27362021/6/27372021/6/27382021/6/27392021/6/2740[答案]

D2021/6/27412021/6/2742探索延拓創(chuàng)新2021/6/27432021/6/27442021/6/27452021/6/27462021/6/27472021/6/27482021/6/27492021/6/2750

例2已知正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，且正方體的表面積為a2，求球O的表面積和體積.

例3有一種空心鋼球，質(zhì)量為142g（鋼的密度為7.9g/cm3），測(cè)得其外徑為5cm，求它的內(nèi)徑（精確到0.1cm）.oAC′2021/6/2751練習(xí)

有一種空心鋼球，質(zhì)量為142g,測(cè)得外徑等于5.0cm，求它的內(nèi)徑（鋼的密度為7.9g/cm3,精確到0.1cm).2021/6/2752解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)量是答:空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.由計(jì)算器算得:2021/6/2753

一個(gè)球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，面積別為49πcm2和400πcm2，試求球的表面積．[思路分析]

求球的表面積或體積只需要求出球的半徑，要求球的半徑只需解球的半徑、截面圓半徑和球心到截面的距離組成的直角三角形．球的表面積

2021/6/2754[規(guī)范解答]

(1)當(dāng)球心在兩個(gè)截面同側(cè)時(shí)，如右圖，設(shè)OD＝x，由題意知π·CA2＝49π，∴CA＝7(cm)．同理可得BD＝20(cm)．設(shè)球半徑為R，則依題意，得(CD＋OD)2＋CA2＝R2＝OD2＋BD2，即(9＋x)2＋72＝x2＋202，解之得x＝15.∴R＝25，故S球＝4πR2＝2500π(cm2)．2021/6/2755(2)當(dāng)球心在兩個(gè)截面之間時(shí)，如右圖．設(shè)OD＝xcm，則OC＝(9－x)cm，由題意得π·CA2＝49π，∴CA＝7(cm)．同理可得BD＝20cm.設(shè)球半徑為R，則依題意，知x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，2021/6/2756即x2＋400＝(9－x)2＋49，此方程無(wú)正數(shù)解，故此情況不可能．綜上可知，所求球的表面積為2500π(cm2)．[規(guī)律總結(jié)]

常常借助于球的軸截面性質(zhì)列方程(組)求球半徑，進(jìn)而求出球的表面積．軸截面為空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化到平面幾何問(wèn)題創(chuàng)造了條件．2021/6/27574.若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是______.練習(xí)一1.若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的___倍.2.若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的___倍.3.若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是______.2021/6/27586.將半徑為1和2的兩個(gè)鉛球，熔成一個(gè)大鉛球，那么這個(gè)大鉛球的表面積是______.5.若兩球表面積之差為48π,它們大圓周長(zhǎng)之和為12π,

則兩球的直徑之差為_(kāi)_____.練習(xí)二2021/6/2759二、探究新知1、球的體積如果用一組等距離的平面去切割球，當(dāng)距離很小時(shí)會(huì)得到很多“小圓片”，“小圓片”的體積之和正好是球的體積，由于“小圓片”近似于圓柱形狀，所以它的體積也近似于相應(yīng)的圓柱的體積，因此求球的體積可以按“分割——求和——化為準(zhǔn)確和”的方法來(lái)進(jìn)行。步驟：第一步：分割如圖：把半球垂直于底面的半徑OA作n等分，過(guò)這些等分點(diǎn)，用一組平行于底面的平面把半球切割成n個(gè)“小圓片”，“小圓片”厚度近似為，底面是“小圓片”的底面。AO2021/6/2760OR2021/6/2761第二步：求和2021/6/2762第三步：化為準(zhǔn)確和2021/6/2763

球面不能展開(kāi)成平面圖形，所以求球的表面積無(wú)法用展開(kāi)圖求出，如何求球的表面積公式呢?

回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法,得到啟發(fā)，可以借助極限思想方法來(lái)推導(dǎo)球的表面積公式．球的表面積2021/6/2764第一步：分割球面被分割成n個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：則球的表面積：則球的體積為：OO2021/6/2765第二步：求近似和由第一步得：OO2021/6/2766第三步：化為準(zhǔn)確和

如果網(wǎng)格分的越細(xì),則:“小錐體”就越接近小棱錐O2021/6/2767截面問(wèn)題1.一球的球面面積為256πcm2，過(guò)此球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于這條半徑的截面，求截面圓的面積.變式：在球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，截面面積分別為49πcm2和