北師大版必修二 球的表面積和體積

球的表面積和體積2021/6/271柱體、錐體、臺體的表面積各面面積之和知識回顧展開圖

圓臺圓柱圓錐2021/6/272柱體、錐體、臺體的體積錐體臺體柱體知識回顧2021/6/273一、創(chuàng)設情境1、在太空中存在著多顆星球，科學家為了比較各個星球的大小，需要計算它們的表面積和體積，但是星球的形狀不同于柱體、椎體、臺體，而是近似于球體，那么如何進行計算呢？2、球隊大小是與球的半徑有關，如何用球半徑來表示球的體積和表面積？2021/6/274思考：如何求球的體積？排液法：hHh二、探究新知2021/6/275球的體積球的表面積都是以R為自變量的函數OR2021/6/276例1.鋼球直徑是5cm,求它的體積.例題講解2021/6/277(變式1)把鋼球（直徑是5cm）放入一個正方體的有蓋紙盒中,至少要用多少紙?用料最省時,球與正方體有什么位置關系?側棱長為5cm例題講解球內切于正方體2021/6/278例題講解2021/6/2792021/6/27102021/6/2711例4.如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證:(1)球的體積等于圓柱體積的三分之二；(2)球的表面積與圓柱的側面積相等.

例題O2021/6/2712(2)圓圓柱證明:(1)設球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R.RO2021/6/2713討論

長方體的一個頂點上三條棱長分別為3、4、5，若它的八個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是——

分析：長方體內接于球，則由球和長方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則長方體對角線與球的直徑相等。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O22221150442+5)2(:RS2R=3RDDBRtppD==\+=中略解：2021/6/2714用一個平面α去截一個球O，截面是圓面O?球的截面的性質：球心和截面圓心的連線垂直于截面球心到截面的距離為d，球的半徑為R，則截面問題補充知識：2021/6/2715課堂練習2021/6/27162021/6/27172021/6/27182021/6/27192021/6/27202021/6/27212021/6/27222021/6/27231、了解球的體積、表面積推導的基本思路：分割→求近似和→化為標準和的方法，是一種重要的數學思想方法—極限思想，它是今后要學習的微積分部分“定積分”內容的一個應用；2、熟練掌握球的體積、表面積公式：五、課堂小結2021/6/2724基本計算問題2.(1)把球的半徑擴大為原來的3倍，則體積擴大為原來的________倍.(2)把球的半徑擴大到原來的2倍，則表面積擴大為原來的_______倍.(3)三個球的半徑之比為1:2:3，則它們的表面積之比為_________.(4)三個球的體積之比為1:8:27，則它們的半徑之比為________.2021/6/2725四、鞏固深化1、正方體的內切球和外接球體積比為______

，表面積之比為1：3。2、在球心同側有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積分別為49和400，求球的表面積。答案：25002021/6/27264、若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼腳_4_倍.5、若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是______6、若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是______.3、若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼腳__倍.2021/6/2727球與正方體的“接切”問題典型：有三個球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側棱,一球過正方體的各頂點,求這三個球的體積之比.畫出正確的截面：(1)中截面；(2)對角面找準數量關系2021/6/2728球與正方體的“接切”問題2021/6/2729[答案]

D2021/6/27302021/6/27312021/6/27322021/6/27332021/6/2734[答案]

C2021/6/27352021/6/27362021/6/27372021/6/27382021/6/27392021/6/2740[答案]

D2021/6/27412021/6/2742探索延拓創(chuàng)新2021/6/27432021/6/27442021/6/27452021/6/27462021/6/27472021/6/27482021/6/27492021/6/2750

例2已知正方體的八個頂點都在球O的球面上，且正方體的表面積為a2，求球O的表面積和體積.

例3有一種空心鋼球，質量為142g（鋼的密度為7.9g/cm3），測得其外徑為5cm，求它的內徑（精確到0.1cm）.oAC′2021/6/2751練習

有一種空心鋼球，質量為142g,測得外徑等于5.0cm，求它的內徑（鋼的密度為7.9g/cm3,精確到0.1cm).2021/6/2752解:設空心鋼球的內徑為2xcm,則鋼球的質量是答:空心鋼球的內徑約為4.5cm.由計算器算得:2021/6/2753

一個球內有相距9cm的兩個平行截面，面積別為49πcm2和400πcm2，試求球的表面積．[思路分析]

求球的表面積或體積只需要求出球的半徑，要求球的半徑只需解球的半徑、截面圓半徑和球心到截面的距離組成的直角三角形．球的表面積

2021/6/2754[規(guī)范解答]

(1)當球心在兩個截面同側時，如右圖，設OD＝x，由題意知π·CA2＝49π，∴CA＝7(cm)．同理可得BD＝20(cm)．設球半徑為R，則依題意，得(CD＋OD)2＋CA2＝R2＝OD2＋BD2，即(9＋x)2＋72＝x2＋202，解之得x＝15.∴R＝25，故S球＝4πR2＝2500π(cm2)．2021/6/2755(2)當球心在兩個截面之間時，如右圖．設OD＝xcm，則OC＝(9－x)cm，由題意得π·CA2＝49π，∴CA＝7(cm)．同理可得BD＝20cm.設球半徑為R，則依題意，知x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，2021/6/2756即x2＋400＝(9－x)2＋49，此方程無正數解，故此情況不可能．綜上可知，所求球的表面積為2500π(cm2)．[規(guī)律總結]

常常借助于球的軸截面性質列方程(組)求球半徑，進而求出球的表面積．軸截面為空間問題轉化到平面幾何問題創(chuàng)造了條件．2021/6/27574.若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是______.練習一1.若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼腳__倍.2.若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼腳__倍.3.若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是______.2021/6/27586.將半徑為1和2的兩個鉛球，熔成一個大鉛球，那么這個大鉛球的表面積是______.5.若兩球表面積之差為48π,它們大圓周長之和為12π,

則兩球的直徑之差為______.練習二2021/6/2759二、探究新知1、球的體積如果用一組等距離的平面去切割球，當距離很小時會得到很多“小圓片”，“小圓片”的體積之和正好是球的體積，由于“小圓片”近似于圓柱形狀，所以它的體積也近似于相應的圓柱的體積，因此求球的體積可以按“分割——求和——化為準確和”的方法來進行。步驟：第一步：分割如圖：把半球垂直于底面的半徑OA作n等分，過這些等分點，用一組平行于底面的平面把半球切割成n個“小圓片”，“小圓片”厚度近似為，底面是“小圓片”的底面。AO2021/6/2760OR2021/6/2761第二步：求和2021/6/2762第三步：化為準確和2021/6/2763

球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖求出，如何求球的表面積公式呢?

回憶球的體積公式的推導方法,得到啟發(fā)，可以借助極限思想方法來推導球的表面積公式．球的表面積2021/6/2764第一步：分割球面被分割成n個網格，表面積分別為：則球的表面積：則球的體積為：OO2021/6/2765第二步：求近似和由第一步得：OO2021/6/2766第三步：化為準確和

如果網格分的越細,則:“小錐體”就越接近小棱錐O2021/6/2767截面問題1.一球的球面面積為256πcm2，過此球的一條半徑的中點，作垂直于這條半徑的截面，求截面圓的面積.變式：在球內有相距9cm的兩個平行截面，截面面積分別為49πcm2和