高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題12 利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題解析版

專(zhuān)題12利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題一、單選題1．若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，（），則的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意，是有兩解，所以，所以，，，由可得，，由可得，，則，故選：D.2．若，令，則的最小值屬于（）A． B． C． D．【解析】設(shè)，則，，，令，，易知單增，且，，則存在，使，即，，單減；，，單增；又，則，易知在單減，即，故選：C3．若對(duì)于任意的，都有，則的最大值為（）A．1 B． C． D．【解析】，，，，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，在上恒成立，由，解得，故的最大值是.故選：C．4．設(shè)函數(shù)，，若對(duì)任意，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】因?yàn)樵谏线f減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，因?yàn)閷?duì)任意，不等式恒成立，所以，因?yàn)椋?，解?故選：D5．已知函數(shù)，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．【解析】的定義域，，令，則必有兩根，，所以，，，，當(dāng)時(shí)，，遞減，所以的最小值為，故選：A.6．已知函數(shù)，若，，使得，且，則的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．6【解析】，，令，即，解得，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.在處取得極大值，極大值為；在處取得極小值，極小值為.令，即，即，解得（舍）或；令，即，即，解得（舍）或；的最大值為.故選:C.7．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的,存在，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】由題意可知，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值，，，，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，，即，解得：，不成立；②當(dāng)時(shí)，，即，解得：或，不成立；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，，即，解得：，成立.綜上可知：.故選：B8．已知大于1的正數(shù)，滿(mǎn)足，則正整數(shù)的最大值為（）A．7 B．8 C．9 D．11【解析】由題干條件可知：等價(jià)于，令，，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有最大值.令，，則，當(dāng)時(shí)，此題無(wú)解，所以，則，當(dāng)，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則有最小值.若成立，只需，即，即，兩邊取對(duì)數(shù)可得：.時(shí)，等式成立，當(dāng)時(shí)，有，令，本題即求的最大的正整數(shù).恒成立，則在上單調(diào)遞減，，，，所以的最大正整數(shù)為9.故選：C.二、多選題9．關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A．是的極小值點(diǎn)B．函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)C．存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立D．對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若則【解析】A：函數(shù)的的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴是的極小值點(diǎn)，即A正確；B：，∴，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，∴函數(shù).有且只有1個(gè)零點(diǎn)，即B正確；C：若恒成立，即恒成立.令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上，函數(shù)單調(diào)遞增，上函數(shù)單調(diào)遞減，∴，∴，∴在上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無(wú)最小值，當(dāng)時(shí)，，∴不存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立，即C不正確；D.由單調(diào)性可知，，，令，則，，令，則，∴在上單調(diào)遞減，則，∴時(shí)，，令，由，得，則，故D正確.故選：ABD.10．已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A．在函數(shù)上存在點(diǎn)，使得函數(shù)過(guò)該點(diǎn)的切線(xiàn)與只有一個(gè)交點(diǎn)B．過(guò)點(diǎn)可作兩條切線(xiàn)與函數(shù)相切C．D．的值與2的關(guān)系不確定【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：的定義域?yàn)?，設(shè)點(diǎn)處切線(xiàn)為，則切線(xiàn)為，設(shè)，所以，由可得：；由可得：，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，令則，可得在單調(diào)遞增，而，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)點(diǎn)則切線(xiàn)為，若切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，可得，即，令，則，由可得：；由可得：，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以無(wú)解，所以不存在過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C和D：，所以可得在單調(diào)遞增，由，，設(shè)，記，（），則，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，即即，即，根?jù)在單調(diào)遞增，可得，所以，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D不正確，故選：AC.11．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則（）A．的取值范圍為 B．C． D．【解析】，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為：，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，所以，因此選項(xiàng)A不正確；選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以，因此，構(gòu)造新函數(shù)，，因?yàn)?，所以單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以，而，因此，所以本選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D：，令，顯然有，令，顯然，因此有：，設(shè)，所以有，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，令，即，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，而，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因此有，即，所以本選項(xiàng)說(shuō)法正確，故選：BCD12．已知函數(shù)的極值點(diǎn)分別為，則下列命題正確的是（）A． B．C．若，則有三個(gè)零點(diǎn) D．【解析】，∵的極值點(diǎn)分別為，∴是方程的兩根，∴，A正確；，B錯(cuò)誤；不妨設(shè)，由題意可知，在單增，在單減，且，根據(jù)函數(shù)圖像趨勢(shì)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則有三個(gè)零點(diǎn)，C正確；，同理：，，∴，而，∴，D正確.故選：ACD.三、填空題13．已知函數(shù)，若存在，，使得，則的取值范圍是__________.【解析】，，得，，，當(dāng)時(shí)，，，由，得，由，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得最小值，，，令，則，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值0，的取值范圍是，．14．已知函數(shù)，當(dāng)，恒成立，則的最大值為_(kāi)__________.【解析】令，則，，當(dāng)，恒成立，則有，，由得，因?yàn)槿我獾?，都有，所以，，結(jié)合，得.當(dāng)時(shí)，，令，，則，由得，；由得，；所以在上遞減，在上遞增，的最小值為，由，得，對(duì)恒成立.所以，取，有恒成立.綜上可知，的最大值為1.15．已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，且，則的取值范圍是______．【解析】因?yàn)?，且，是兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，是的兩個(gè)根，所以，滿(mǎn)足，又因?yàn)椋郧?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以解得，令，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以的取值范圍是，故答案為：.16．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，則的取值范圍為_(kāi)________.【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，依題意，方程有兩個(gè)不等的正根、（其中），則，由韋達(dá)定理得，，所以，令，則，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，.因此，的取值范圍是.四、解答題17．已知，函數(shù).（1）若曲線(xiàn)與曲線(xiàn)在它們的交點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直,求的值；（2）設(shè),若對(duì)任意的,且,都有，求的取值范圍．【解析】（1）,依題意有,且,可得,解得,或.（2）.不妨設(shè),等價(jià)于.設(shè),則對(duì)任意的,且,都有,等價(jià)于在上是增函數(shù).,可得,依題意有,對(duì)任意,有恒成立.由,可得.18．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)相異零點(diǎn)，求證：.【解析】由題意得，①時(shí)，恒成立，所以，所以在單調(diào)遞增.②時(shí)，在上，在上，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上，時(shí)，在單調(diào)遞增.時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）因?yàn)橛袃蓚€(gè)相異零點(diǎn)，，由（1）可知，，不妨設(shè)，因?yàn)?，，所以，，所以，要證，即證，等價(jià)于證明，而，所以等價(jià)于證明，也就是.（*）令，則，于是欲證（*）成立，等價(jià)于證明成立，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)得，所以函數(shù)是上的增函數(shù)，所以，即成立，所以成立.19．已知函數(shù)，，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為且兩函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率之和為.（1）求的值；（2）對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，又，所以，，，由題意得，所以由得（2）由（1）得，對(duì)任意的，恒成立，所以，因?yàn)?，令得，令得?所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.而，所以，而，當(dāng)時(shí)，，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.20．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值．（2）設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若是函數(shù)的兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，求證：【解析】（1）由題，，令，解得，令，解得，故函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值為，綜上可知，函數(shù)的極大值為，無(wú)極小值．（2）依題意，所以是的兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則，解得，，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即21．已知函數(shù)（為常數(shù)）.（1）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的范圍.【解析】（1）∵，∴只要，即時(shí)恒成立，在定義域上單調(diào)遞增.（2）由（1）知有兩個(gè)極值點(diǎn)則，的二根為，則，，，設(shè)，又，∴.則，，∴在遞增，.即的范圍是.22．已知函數(shù)（）.（1）當(dāng)時(shí)，討