高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題16 極值點偏移問題解析版

專題16極值點偏移問題1．已知函數(shù)，若，且，證明：.【解析】由題意，函數(shù)的定義域為，且，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，若，則必有，所以，而，令，則，所以函數(shù)在為減函數(shù)，所以，所以，即，所以，所以.2．已知函數(shù)有兩個零點，.（1）求證：；（2）求證：.【解析】（1）由題意，函數(shù)的定義域為，且，①當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，不可能有兩個零點；②當時，當時，；當時，，所以在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增.所以的最小值為，所以，即，解得.（2）由題意，要證，只要證，由（1）易知，即，而在區(qū)間上是增函數(shù)，所以只要證明，因為，即證，設(shè)函數(shù)，而，當時，，即在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，而，所以，即，所以.3．已知函數(shù)有兩個零點.（1）求a的取值范圍；（2）設(shè)x1，x2是的兩個零點，證明：.【解析】（1）．設(shè)，則，只有一個零點．設(shè)，則當時，；當時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，取滿足且，則，故存在兩個零點．設(shè)，由得或．若，則，故當時，，因此在單調(diào)遞增．又當時，所以不存在兩個零點．若，則，故當時，；當時，．因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又當時，，所以不存在兩個零點．綜上，的取值范圍為．（2）不妨設(shè)，由（Ⅰ）知，，在單調(diào)遞減，所以等價于，即．由于，而，所以．設(shè)，則．所以當時，，而，故當時，．從而，故．4．已知（1）若，求的最大值；（2）若有兩個不同的極值點，，證明:.【解析】（1）當時，，所以，則在上是單調(diào)遞減函數(shù)，且有，當時，，即為上的增函數(shù)，當時，，即為上的減函數(shù)，所以.（2）證明：由題意知：由，則，即為方程的兩個不同的正根，故而需滿足：，解得，所以令，，令，所以；則為上的減函數(shù)，且，所以當時，，即為上的增函數(shù)；當時，，即為上的減函數(shù)，所以，所以，證畢.5．已知函數(shù).（，，e是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若，當時，，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若，存在兩個極值點，，求證：.【解析】（1）當，則，當時，，在，上單調(diào)遞增，；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，不成立，實數(shù)的取值范圍為．（2）證明：當時，，函數(shù)存在兩個極值點，，即，由題意知，，為方程的兩根，故，不妨設(shè)，則，，由（1）知，當，即（當且僅當時取等號），當時，恒有，，又，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，（1），從而，綜上可得：．6．已知函數(shù).（1）若存在單調(diào)減區(qū)間，求a的取值范圍；（2）若為的兩個不同極值點，證明：.【解析】（1）函數(shù)定義域為，根據(jù)題意知有解，即有解，令，且當時，，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減；（2）由是的不同極值點，知是兩根(設(shè))即，①②聯(lián)立可得：③要證，即證，即由③可得令，問題轉(zhuǎn)化為證明成立(*)在上單調(diào)遞增，，(*)成立，得證.7．已知函數(shù).（1）當時，證明：有唯一零點；（2）若函數(shù)有兩個極值點，（），求證：.【解析】（1）（）∵，，所以在，上遞增，在遞減，又，時，，所以有唯一零點；（2）（），.若有兩個極值點，（），則方程的判別式且，，因而，又，∴，即，設(shè)，其中，由得，由于，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即的最大值為，從而成立.8．已知函數(shù)（）.（1）若是定義域上的增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若，若函數(shù)有兩個極值點，（），求的取值范圍.【解析】（1）的定義域為，，∵在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，∴，即對恒成立.則恒成立.∴，∵，∴.所以，a的取值范圍是.（2）設(shè)方程，即得兩根為，，且.由且，得，∵，，∴，∴.，∵，∴代入得，令，則，得，，，∴而且上遞減，從而，即，∴.9．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個零點，，求證：．【解析】（1）的定義域為，．當時，，則在上是增函數(shù)．當時，；，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．綜上，當時，在上是增函數(shù)；當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．（2）若函數(shù)有兩個零，點，，根據(jù)（1），可得．不妨設(shè)，由，得兩式相減，得，解得，要證明，即證，即證，設(shè)，則．則，則，所以在上為增函數(shù)，從而，即成立，因此，成立．即證.10．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性（2）若恰有兩個不同的零點，，證明：.【解析】（1）因為，所以，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當時，令，得；令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）證明：因為，是的兩個零點.所以，，所以，則，要證，即證.不妨設(shè)，則等價于.令，則，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，則，即對任意恒成立.故.11．已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線與直線平行，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，若，且，證明：.【解析】（1），，則，，令，得或；令，得；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明：，，令，則，所以在上為增函數(shù)；，，與同號，不妨設(shè)，設(shè)，則，，，，在上為增函數(shù)，，，，又在上為增函數(shù)，，即.12．已知函數(shù)．（1）求的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點、，證明：．【解析】（1），定義域為，，，.因此，函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即；（2）令，得，由題意可得，兩式相加得，兩式相減得，設(shè)，可得，，要證，即證，即，令，即證.構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當時，，所以，.因此，.13．已知函數(shù)．（1）當時，判斷函數(shù)是否有極值，并說明理由；（2）若函數(shù)有兩個極值點，，且，證明：．【解析】（1）當時，，，令，則，由，得，由，得，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以時，取得最大值為，所以，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)沒有極值.（2）因為，所以有兩個不同的零點，所以，，所以，因為，所以，要證，等價于證明，等價于證明，等價于證明，等價于證明，因為，所以，所以等價于證明，設(shè)，即證，設(shè)，則，當時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即，所以.14．已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.（1）求的取值范圍；（2）設(shè)兩個極值點分別為：，，證：.【解析】（1）由題意可知，的定義域為，且，令，則函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點等價于在區(qū)間內(nèi)至少有兩個不同的零點；由可知，當時，恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)，不符合題意，舍去.當時，由得，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；由得，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；故要滿足題意，必有，解得.（2）證明：由（1）可知，，故要證，只需證明，即證，不妨設(shè)，即證，構(gòu)造函數(shù)，其中，由，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以得證，即證.15．已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程，并證明：；（2）當時，方程有兩個不同的實數(shù)根，證明：.【解析】（1），所以，，即切線方程：.下證：，令因為：，顯然在單調(diào)遞增，，所以易得在遞減，遞增，所以，所以.（2），則為方程的兩根，不妨設(shè)，顯然在時單調(diào)遞增，由，，所以存在，使，當，，遞減，，，遞增，由（1）得，，所以：，∴，要證：，需證：，即證：，因為：，所以，即證：，即：，令，，，顯然在單調(diào)遞增，且，因為在單調(diào)遞增，所以，即不等式成立.16．已知函數(shù)，其中a為正實數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個極值點，，求證：.【解析】（1）因為函數(shù)，所以，函數(shù)的定義域為，令，①若，即時，則，此時的單調(diào)減區(qū)間為；②若，即時，令，得，當或時，，當時，，此時的單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)增區(qū)間為.（2）由（1）知，當時，函數(shù)有兩個極值點，，且，.因為，，要證，只需證.構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，又，，且在定義域上不間斷，由零點存在定理，可知在上唯一實根，且.則在上遞減，上遞增，所以的最小值為因為，當時，，則，所以恒成立.所以，所以，得證.17．已知有兩個零點(1)求a的取值范圍(2)設(shè)是的兩個零點,求證：【解析】（1），當時，，此時在單調(diào)遞增，至多有一個零點.當時，令，解得，當時，，單調(diào)遞減，當，，單調(diào)遞增，故當時函數(shù)取最小值當時，，即，所以至多有一個零點.當時，，即因為，所以在有一個零點；因為，所以，，由于，所以在有一個零點.綜上，的取值范圍是.（2）不妨設(shè)，由（1）知，，.構(gòu)造函數(shù)，則因為，所以，在單調(diào)遞減.所以當時，恒有，即因為，所以于是又，且在單調(diào)遞增，所以，即18．設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個零點，求滿足條件的最小正整數(shù)的值；（3）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，，求證：．【解析】（1）．．當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞增區(qū)間為．當時，由得；由，解得．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）可得，若函數(shù)有兩個零點，則，且的最小值，即．，．令，可知在上為增函數(shù)，且（2）