專題2.10 一元二次方程全章專項復(fù)習【3大考點12種題型】-2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列（北師大版）

PAGE1專題2.10一元二次方程全章專項復(fù)習【3大考點12種題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1一元二次方程】 1【題型1根據(jù)一元二次方程的定義求值】 1【題型2根據(jù)實際問題列一元二次方程】 3【題型3根據(jù)方程的根整體代入求代數(shù)式的值】 4【考點2解一元二次方程】 6【題型4一元二次方程的解法】 8【題型5一元二次方程根的判別式的應(yīng)用】 10【題型6一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用】 13【題型7配方法的應(yīng)用】 19【考點3實際問題與一元二次方程】 26【題型8列一元二次方程解決有關(guān)平均變化率的問題】 26【題型9列一元二次方程解決循環(huán)傳播問題】 29【題型10列一元二次方程解決有關(guān)面積問題】 32【題型11列一元二次方程解決銷售利潤問題】 36【題型12一元二次方程與動點綜合應(yīng)用】 40【考點1一元二次方程】（1）一元二次方程的定義等號兩邊都就是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意以下幾點：①只含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)就是2；③就是整式方程。（2）一元二次方程的一般形式一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)、其中，ax2就是二次項，a就是二次項系數(shù)；bx就是一次項，b就是一次項系數(shù)；c就是常數(shù)項。（3）一元二次方程的根使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義就是解方程過程中驗根的依據(jù)?！绢}型1根據(jù)一元二次方程的定義求值】【例1】（2024·遼寧撫順·模擬預(yù)測）已知一元二次方程a+5x2+4ax+a2?25=0有一個根為0，則【答案】5【分析】本題考查一元二次方程的解、解一元二次方程及一元二次方程的定義，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．根據(jù)一元二次方程的根就是一元二次方程的解，把x=0代入方程代入進行求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程a+5x∴把x=0代入方程得：a2解得：a=5或a=?5，∵a+5≠0，即a≠?5，∴a=5，故答案為：5．【變式1-1】（23-24九年級·云南曲靖·期中）關(guān)于x的方程ax2?3x+2=0是一元二次方程，則（

A．a(chǎn)>0 B．a(chǎn)≠0 C．a(chǎn)=1 D．a(chǎn)≥0【答案】B【分析】此題主要考查了一元二次方程的定義，要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為ax【詳解】解：若關(guān)于x的方程ax2?3x+2=0故選：B．【變式1-2】（23-24九年級·廣西崇左·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（

）A．2x+1=0 B．x2+1=0 C．y2【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一次未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A、2x+1=0是一元一次方程，故此選項不符合題意；B、x2C、y2D、x2故選：B．【變式1-3】（23-24九年級·浙江嘉興·期中）若方程m+2xm2?2+m?1【答案】2【分析】此題主要是注意一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的整式方程，且二次項系數(shù)不得為0，根據(jù)一元二次方程的定義得到m2?2=2且m+2≠0，求得【詳解】解：根據(jù)一元二次方程的定義，得m2?2=2且解得m=2.故答案為：2【題型2根據(jù)實際問題列一元二次方程】【例2】（23-24九年級·貴州貴陽·期中）中國古代數(shù)學(xué)家楊輝的《田畝比類乘除捷法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步?”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：一塊矩形田地的面積為864平方步，它的寬比長少12步，問它的長與寬各多少步?利用方程思想，設(shè)寬為x步，則依題意列方程為，化為一般形式．【答案】xx+12=864【分析】本題主要考查了列方程解應(yīng)用題．一元二次方程的一般形式為：ax【詳解】設(shè)寬為x步，則長為(x+12)步，根據(jù)題意得xx+12化為一般式為：x2故空1答案為：xx+12空2答案為：x2【變式2-1】（2024·浙江嘉興·三模）隨著科技發(fā)展，騎行共享單車這種“低碳”生活方式已融入人們的日常生活．據(jù)統(tǒng)計某市2024年4月份累計租車6500人次，租車量逐月增加，預(yù)計到6月份租車量達7600人次，求平均每個月的增長率．若設(shè)平均每月增長率為x，根據(jù)題意可列方程為．【答案】6500【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，可得6月份租車量為65001+x2次，進而可求解；掌握增長率的典型模型a1+x【詳解】解：由題意得65001+x故答案：65001+x【變式2-2】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）某商品進價為25元，當每件售價為50元時，每天能售出100件，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件售價每降低1元，則每天可多售出5件，店里每天的利潤要達到1500元．若設(shè)店主把該商品每件售價降低x元，求解可列方程為．【答案】50?x?25【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意列出方程是解題關(guān)鍵．設(shè)每件商品售價降低x元，根據(jù)題意列出方程即可．【詳解】解：設(shè)每件商品售價降低x元則每天的利潤為：50?x?25×故答案為：50?x?25×【變式2-3】（23-24九年級·河南南陽·期中）某花生種植基地原有花生品種每公頃產(chǎn)量為3000千克，出油率為55%．改用新品種之后，每公頃收獲的花生可加工得到花生油2023千克．已知新品種花生的每公頃產(chǎn)量和出油率都比原有品種有所增加，其中出油率增加是每公頃產(chǎn)量增長率的一半，求出油率的增長率．若設(shè)：出油率的增長率為x，則根據(jù)題意，可列方程為：．【答案】3000×【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用——增長率問題，找到等量關(guān)系準確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)“出油率增加是每公頃產(chǎn)量增長率的一半”可得公頃產(chǎn)量增長率為2x，根據(jù)“原有花生品種每公頃產(chǎn)量為3000千克，出油率為55%．改用新品種之后，每公頃收獲的花生可加工得到花生油2023千克”即可列出關(guān)于x【詳解】解：出油率增長率為x，則公頃產(chǎn)量增長率為2x，依題意有：3000×1+2x故答案為：3000×1+2x【題型3根據(jù)一元二次方程的根代入求值】【例3】（2024九年級·江蘇·專題練習）已知a是方程x2?2x?2024=0的根，則代數(shù)式2a2【答案】4046【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．先根據(jù)一元二次方程根的定義得到a2【詳解】解：a是方程x2∴a2∴a2∴2a故答案為：4046．【變式3-1】（2024·北京東城·模擬預(yù)測）若x=3是關(guān)于x的方程ax2?bx=6的解，則6a?2b+2023【答案】2027【分析】此題考查了一元二次方程的解及代數(shù)式求值，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．把x=3代入方程求出3a?b=2的值，代入原式計算即可求出值．【詳解】解：把x=3代入方程得：9a?3b=6，即3a?b=2，則原式=2(3a?b)+2023=2×2+2023=2027，故答案為：2027．【變式3-2】（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知m是一元二次方程x2+x?1012=0的一個根，則2024?2m【答案】0【分析】本題考查了一元二次方程的解和代數(shù)式求值，利用整體代入的思想求解是解題的關(guān)鍵．利用一元二次方程的解的定義得到m2+m=1012，再根據(jù)【詳解】解：∵m是一元二次方程x2∴m2+m?1012=02024?2m將m2+m=1012代入得：原式故答案為：0．【變式3-3】（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知三個關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，【答案】3【分析】本題考查了一元二次方程的解，求代數(shù)式的值，設(shè)公共實數(shù)根為t，則at2+bt+c=0，bt2+ct+a=0，ct【詳解】解：設(shè)公共實數(shù)根為t，則at2+bt+c=0，b∴三式相加得出a+b+ct2+∵t2∴a+b+c=0，∴a======3，故答案為：3．【考點2解一元二次方程】（1）直接開平方法解一元二次方程如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊就是非負數(shù)，可以直接開平方。一般地，對于形如x2=a(a≥0)的方程，根據(jù)平方根的定義可解的x1=a,x2=-a、直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接開平方法。用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根就是零；負數(shù)沒有平方根。直接開平方法解一元二次方程的步驟就是：①移項；②使二次項系數(shù)或含有未知數(shù)的式子的平方項的系數(shù)為1；③兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。（2）配方法解一元二次方程通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的就是降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解。配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開。①把常數(shù)項移到等號的右邊；②方程兩邊都除以二次項系數(shù)；③方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式；④若等號右邊為非負數(shù)，直接開平方求出方程的解。（3）公式法解一元二次方程一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的兩個根為x=?b±一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，就就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過程。公式法解一元二次方程的具體步驟：①方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化為正值；②確定公式中a,b,c的值，注意符號；③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，則把a,b,c與b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，則方程無實數(shù)根。（4）一元二次方程根的判別式式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即△=b2-4ac、一元二次方程根的判別式：△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數(shù)根△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數(shù)根△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實數(shù)根（5）因式分解法解一元二次方程把一元二次方程的一邊化為0，而另一邊分解成兩個一次因式的積，進而轉(zhuǎn)化為求兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。因式分解法的詳細步驟：①移項，將所有的項都移到左邊，右邊化為0；②把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式與完全平方公式；③令每一個因式分別為零，的到一元一次方程；④解一元一次方程即可的到原方程的解。（6）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系若一元二次方程x2+px+q=0的兩個根為x1,x2,則有x1+x2=-p,x1x2=q;若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根x1,x2則有x1+x2=-pa,x1x2=ca.【題型4一元二次方程的解法】【例4】（23-24九年級·北京·期中）方程x2?8x+15=0的兩個根分別是一個直角三角形的兩條邊長，則直角三角形的第三條邊長是【答案】34或4【分析】本題考查了解一元二次方程和勾股定理，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵．先求出方程的解，再分為兩種情況，根據(jù)勾股定理求出第三邊即可．【詳解】解：解方程x2?8x+15=0得：x1即直角三角形的兩邊為3或5，當長為5的邊是直角邊時，第三邊為：32當長為5的邊是斜邊時，第三邊為：52故答案為：34或4．【變式4-1】（23-24九年級·廣西崇左·期中）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?1)x(2)x(3)y+1(4)2【答案】(1)x1=0(2)x(3)y1=?4(4)x1=【分析】本題考查了解一元二次方程?因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）利用因式分解法求解即可；（4）利用因式分解法求解即可．【詳解】（1）解：x2x(x+5)=0，∴x=0或x+5=0，∴x1=0（2）解：解：x2(x?1)2∴x?1=0，∴x（3）解：(y+1)2(y+1)2(y+1+3)(y+1?1)=0，y(y+4)=0，∴y=0或y+4=0，∴y1=0（4）解：2x(2x?3)(x?1)=0，∴2x?3=0或x?1=0，∴x1=【變式4-2】（23-24九年級·甘肅酒泉·期中）在實數(shù)范圍內(nèi)規(guī)定一種運算“#”，其規(guī)則為a#b=a2?b2【答案】x【分析】本題主要考查實數(shù)的運算，理解新定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到x?3#5=【詳解】解：由題意得：x?3#5=∴x?3解得x1故答案為：x1【變式4-3】（2024·北京東城·模擬預(yù)測）如果x=5是關(guān)于x的一元二次方程x?mx?4+m=n的一個根，那么關(guān)于x的一元二次方程x+m?1x+3?mA．x1=?4,x2=2 B．x1【答案】A【分析】此題考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．將x=5代入(x?m)(x?4+m)=n得到(5?m)(1+m)=n，然后結(jié)合(x+m?1)(x+3?m)=n得到x+3=5或x?1=1，然后求解即可．【詳解】解：∵x=5是關(guān)于x的方程(x?m)(x?4+m)=n的根，∴(5?m)(5?4+m)=n，得(5?m)(1+m)=(?5+m)(?1?m)=n，∵(x+m?1)(x+3?m)=n，∴x+3=5或x?1=?5或x+3=?1或x?1=1，解得x=2或x=?4．故選：A．【題型5一元二次方程根的判別式的應(yīng)用】【例5-1】（2024·遼寧撫順·模擬預(yù)測）關(guān)于x的一元二次方程m?12x2A．m>34 B．m>34且m≠1 C．m≥3【答案】D【分析】此題考查了一元二次方程的根的判別式求參數(shù)，正確掌握一元二次方程的根與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根得到Δ≥0且m?1≠0【詳解】解：∵一元二次方程m?12∴Δ=2m?12解得m≥34且故選：D．【例5-2】（23-24九年級·山東淄博·期中）已知：關(guān)于x的一元二次方程mx2?3(1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；(2)求證：無論m為何值，方程總有一個固定的根．【答案】(1)m≠3且m≠0(2)見解析【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根，熟練掌握相關(guān)知識并運用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．（1）由方程有兩個不相等的根，可得Δ=m?32>0，由一元二次方程的定義可得（2）利用求根公式表示出方程的兩個根，即可得證．【詳解】（1）解：Δ=∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴m?32>0且∴m≠3且m≠0，∴m的取值范圍是m≠3且m≠0；（2）解：由求根公式得x=?b±∴x1x2∴無論m為何值，方程總有一個固定的根是1．【變式5-1】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）對于實數(shù)m，n定義一種新運算：m★n=mm?n，若關(guān)于x的方程x★2=k（k為整數(shù)）有兩個相等的實數(shù)根，則k【答案】?1【分析】本題考查了實數(shù)的新定義運算，一元二次方程根的判別式，先由新定義運算得xx?2=k，即得x2【詳解】解：∵m★n=mm?n∴x★2=xx?2整理得，x2∵關(guān)于x的方程x2∴Δ=解得k=?1，故答案為：?1．【變式5-2】（2024·北京東城·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)利用判別式判斷方程實數(shù)根的情況；(2)若該方程只有一個根小于2，求m的取值范圍．【答案】(1)方程有兩個實數(shù)根(2)m≥0【分析】本題考查了根的判別式、偶次方的非負性以及因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式．（1）根據(jù)根的判別式可得出Δ，利用偶次方的非負性即可判斷；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x1=?3,x2=m+2【詳解】（1）解：b2∴原方程有兩個實數(shù)根；（2）解：x2故(x+3)(x?m?2)=0，∴x+3=0,x?m?2=0，解得，x=m+2或x=?3，∵方程只有一個根小于2，∴m+2≥2，解得：m≥0．【變式5-3】（23-24九年級·浙江杭州·階段練習）關(guān)于x的一元二次方程ax2?2ax+b+1=0（ab≠0）有兩個相等的實數(shù)根kA．若﹣1＜a＜0，則ka>kb B．若C．若0＜a＜1，則ka<kb D．若【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的根的情況利用判別式求得a與b的數(shù)量關(guān)系，再代入方程求k的值，然后結(jié)合a的取值范圍和分式加減法運算法則計算求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2?2ax+b+1=0（ab∴Δ=4a又∵ab≠0，∴a-b-1=0，即a=b+1，∴ax2-2ax+a=0，解得：x1=x2=1，∴k=1，k當ka>k即?1∴a（a-1）<0，即a<0a?1>0或解得0<a<1當ka<k即?1∴a（a-1）>0，即a>0a?1>0或解得：a>1或a<0．故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程的根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的情況求得a與b之間的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【題型6一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用】【例6-1】（2024·湖南株洲·模擬預(yù)測）關(guān)于x的一元二次方程x2?2mx+m2=4有兩個根x1、x【答案】?9【分析】本題考查一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)x1+x2=?【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2?2mx+m∴x1+x∵x1∴(2x2+3)∴x2∴(2×2m?3解得：m1=3，當m1=3時，x2=2×3?3當m2=?9時，x2故答案為：?9．【例6-2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知a，b分別為方程x2?2x?c=0的兩個不相等的實數(shù)根，則1a+A．14 B．12 C．2【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分式的求值，完全平方公式，先由根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=2，再根據(jù)分式的混合計算法則求出所求式子的化簡結(jié)果，最后利用整體代入法求解即可．【詳解】解：∵a，b分別為方程x2∴a+b=2，∴1a===1故選：B．【例6-3】（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的一元二次方程x2?10x+m=0的兩個實數(shù)根分別是一個菱形的兩條對角線長，且該菱形的面積為11，則菱形的邊長為【答案】14【分析】先設(shè)出菱形兩條對角線的長，利用根與系數(shù)的關(guān)系及對角線與菱形面積的關(guān)系得等式，再根據(jù)菱形的邊長與對角線的關(guān)系求出菱形的邊長．【詳解】解：設(shè)菱形的兩條對角線長分別為a、b，由題意，得a+b=10ab=22∴菱形的邊長======14【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，根與系數(shù)關(guān)系定理，方程組，勾股定理，熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系定理，方程組，勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（23-24九年級·浙江寧波·期中）十六世紀的法國數(shù)學(xué)家韋達在研究一元二次方程的解法的過程中，發(fā)現(xiàn)方程的根與系數(shù)之間存在著特殊關(guān)系，由于該關(guān)系最早由韋達發(fā)現(xiàn)，人們把這個關(guān)系稱之為韋達定理．韋達定理：有一元二次方程形如ax2+bx+c=0的兩根分別為x1，x2(1)x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2?2k+1(2)已知：α,βα>β是一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數(shù)根，設(shè)s1=α+β，s2=α2+β①直接寫出s1，s②經(jīng)計算可得：s3=4，s4=7，s5=11，當n≥3時，請猜想【答案】(1)k的值為1(2)①s1=1，s2=3；②猜想：當【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的根的定義；（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．（2）①根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得由根的定義可知，α2=α+1,β2=β+1②根據(jù)題意sn=αn+【詳解】（1）解：∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程∴Δ解得：k≥1由根與系數(shù)的關(guān)系可知∶x1∴x1+1整理得：k2解得：k1=?3(舍去)，∴k的值為1．（2）①由根的定義可知，α2又∵α,βα>β是一元二次方程x∴S②猜想：當n≥3時，s證明：因為α為方程的根，所以有α2?α?1=0，等式兩邊都乘以α同理可得：β兩式相加可得：α根據(jù)題意sn=αn+∴sn?sn?1?所以當n≥3時，有sn【變式6-2】（23-24九年級·四川涼山·期中）若a，b是兩個不相等的實數(shù)，且滿足a2?a=3，b2?b=3，則代數(shù)式【答案】4【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0先根據(jù)一元二次方程的解得的定義得到a，b是方程x2?x?3=0的兩個根，a2=a+3，將代數(shù)式化為【詳解】解：∵a，b是兩個不相等的實數(shù)，且滿足a2?a=3，∴a，b是方程x2∴a+b=1，∵a2∴a2∴a3=(3+a)a+ab+4b=3a+=3a+3+a+ab+4b=3+ab+4(a+b)=4，故答案為：4．【變式6-3】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知方程x2+bx+c=0（x為實數(shù)），請你解答下列問題：(1)若b=2,c=?1，解此方程；(2)若b?c=1，求證：此方程至少有一個實數(shù)根；(3)設(shè)此方程有兩個不相等的實數(shù)根分別為x1,x2．若【答案】(1)x(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查一元二次方程的知識，涉及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，解一元二次方程．（1）將b=2,c=?1代入x2（2）利用一元二次方程根的判別式Δ=b2?4ac=b2?4c（3）根據(jù)題意原方程為x2+bx+2=0，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的到x1+x2=?b,【詳解】（1）解：∵b=2,c=?1，∴原方程為x2∴解得：x1（2）證明：x2∴Δ=∵b?c=1，∴Δ=∵b?22∴Δ≥0∴此方程至少有一個實數(shù)根；（3）證明：根據(jù)題意原方程為x2+bx+2=0，且方程有兩個不相等的實數(shù)根分別為∴x1+∵x1∴x1∴b2?8+4>0+4即∴x1【變式6-4】（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測）新定義：已知關(guān)于x的一元二次方程a1x2+b1x+c1=0的兩根之和x1比如：一元二次方程x2?2x?3=0的兩根分別為x1=3,x(1)已知一元二次方程x2(2)已知“再生韋達方程”x2【答案】(1)x(2)y2+6y+5=0【分析】題目主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及因式分解法解一元二次方程，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出x1（2）令它的“原生方程”兩根分別為y1,y2，根據(jù)題意得出【詳解】（1）解：解x得x1則x1+所以一元二次方程x2?5x+6=0的“再生韋達方程”為即x2（2）解x2+x?30=0得令它的“原生方程”兩根分別為y1則y1+y當y1+y2當y1+y綜上所述，它的“原生方程”為y2+6y+5=0或【題型7配方法的應(yīng)用】【例7-1】（23-24九年級·山東泰安·期中）配方法不僅可以用來解一元二次方程，還可以用來解決一些最值問題．例如：x2+2x+2=x2+2x+1?1+2=x+12+1≥1，所以x+2x+2的最小值為(1)嘗試：①2x2?4x+5=2x2?2x+1?1+5=2②?x2?2x=?x2?2x?1+1=?x+1(2)應(yīng)用：如圖，矩形花圃一面靠墻（墻足夠長）另外三面所圍成的柵欄的總長是18m【答案】(1)①1，3(2)當AB為92米，BC為9米時，面積最大為81【分析】（1）①根據(jù)配方后的結(jié)果即可求解；②根據(jù)配方后的結(jié)果即可求解；（2）設(shè)垂直于墻的邊長為xm，則平行于墻的邊長為18?2x本題考查了利用配方法求代數(shù)式的最值，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：①∵2x∴當x=1時，代數(shù)式2x2?4x+5故答案為：1，3；②∵?x∴當x=?1時，代數(shù)式?x故答案為：?1，大；（2）解：設(shè)垂直于墻的邊長為xm，則平行于墻的邊長為18?2x根據(jù)題意得，S=x18?2x當x=92時，S有最大值，最大值為∴圍成的矩形花圃垂直于墻的柵欄長92m時，能使花圃面積最大，最大面積是【例7-2】（23-24九年級·四川南充·期中）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函數(shù)的頂點坐標等，所謂配方法是指將一個式子的某部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，其實這種方法還經(jīng)常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負數(shù)的意義解決某些問題．我們規(guī)定：一個整數(shù)能表示成a2+b2(a，b【解決問題】：（1）下列各數(shù)中，“完美數(shù)”有_____(只填序號)；①10

②24

③34

④60【探究問題】：（2）若y=x2?4x+13可配方成y=(x?m)2+n（3）已知S=a2+4ab+5b2?2b+k(a，b是整數(shù)，【拓展應(yīng)用】：（4）已知實數(shù)x，y均滿足x?y2=3【答案】（1）①③；（2）±6；（3）k=1，理由見解析；（4）2029【分析】本題考查配方法的應(yīng)用．熟練掌握配方法，理解并掌握完美數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“完美數(shù)”的定義，判斷各數(shù)是否能寫成a2（2）通過配方將y=x2?4x+13變形，求出m（3）通過配方將S=a2+4ab+5（4）通過配方將x2+2y2?4x+2032變形為(x?1)【詳解】解：（1）10=12+32∴10和34是“完美數(shù)”，24和60不是“完美數(shù)”，故答案為：①③；（2）y=x∴m=2，n=±3，∴mn=±6，故答案為：±6；（3）當k=1時，S是“完美數(shù)”，理由如下：S===a+2b當k=1時，S=a+2b∵a，b是整數(shù)，∴a+2b和b?1也是整數(shù)，∴當k=1時，S是“完美數(shù)”；（4）解：∵x?y∴y2=x?3∴原式====(x?1)2+2025又∵y2∴x≥3，∵1>0，∴當x≥3時，原式的值隨著x的增大而增大，∴當x=3時，原式取最小值，最小值為：(3?1)2【變式7-1】（2024·安徽馬鞍山·二模）已知a,b,c為實數(shù)，且b+c=5?4a+3a2,c?b=1?2a+a2A．a(chǎn)<b≤c B．b<a≤c C．b≤c<a D．c<a≤b【答案】A【分析】先根據(jù)已知等式求出b=a2?a+2,c=2【詳解】∵b+c=5?4a+3a∴b=a∴b?a=a=a=(a?1)∴a<b，又∵c?b=1?2a+a∴b≤c，∴a<b≤c，故選：A．【點睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．【變式7-2】（23-24九年級·湖北鄂州·期中）已知實數(shù)m，n滿足m2?2am+1=0，n2?2an+1=0，且m≠n，若a≥2，則代數(shù)式【答案】8【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到m+n和mn的值，代入(m?1)2【詳解】∵m、n滿足m2?2am+1=0∴m、n是方程x∴m+n=?ba∴====4=4=∵m≠n，a≥2(m?1)2+(n?1)故答案為：8．【點睛】本題考查了代數(shù)式求值，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，配方法的運用，熟練掌握根和系數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（2024·四川成都·二模）在測量時，為了確定被測對象的最佳值，經(jīng)常要對同一對象測量若干次，然后選取與各測量數(shù)據(jù)的差的平方和為最小的數(shù)作為最佳近似值．例如測量數(shù)據(jù)為0.8，1.2，1.3，1.5時，設(shè)最佳值為a，那么(a?0.8)2+(a?1.2)2+(a?1.3)2+(a?1.5)2應(yīng)為最小，此時a=；設(shè)某次實驗測量了m次，由這【答案】1.2m【分析】利用完全平方公式展開后合并，再將(a?0.8)2+(a?1.2)2+(a?1.3)2+(a?1.5)【詳解】解：(a?0.8)==4=4a?1.2∵4a?1.2∴當a=1.2時，(a?0.8)2∵m次數(shù)據(jù)的得到的最佳值為a1，n次數(shù)據(jù)得到的最佳值為a設(shè)最佳值為a，與m個數(shù)據(jù)的差的平方和為m(a?a1)2m=m=(m+n)當a=ma1∴m+n次數(shù)據(jù)得到的最佳值為ma故答案為：1.2，ma【點睛】本題考查了配方法：根據(jù)完全平方公式為a2【變式7-4】（23-24九年級·浙江杭州·期中）我們已經(jīng)學(xué)習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應(yīng)用．例如：已知x可取任何實數(shù)，試求二次三項式x2解：x2∵無論x取何實數(shù)，都有x+12∴x+12+2≥2，即【嘗試應(yīng)用】（1）請直接寫出2x2+8x+9【拓展應(yīng)用】（2）試說明：無論x取何實數(shù)，二次根式x2【創(chuàng)新應(yīng)用】（3）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=20，求四邊形ABCD的面積最大值．【答案】（1）1；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)配方法進行配方即可求得答案；（2）根據(jù)配方法進行配方，得到x2（3）根據(jù)AC⊥BD，得到S四邊形ABCD=12【詳解】解：（1）2=2=2=2x+2∵2x+2故答案為：1；（2）∵x2∴無論x取何實數(shù)，二次根式x2（3）設(shè)AC，BD交于點O，如下圖所示，∵AC⊥BD，S四邊形設(shè)AC=x，則BD=20?x,S四邊形∴四邊形ABCD的面積最大值為：50．【點睛】本題主要考查了配方法在求最值中的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法，注意當配上一次項系數(shù)一半的平方時，二次項系數(shù)要化成“1”后才能配方【考點3實際問題與一元二次方程】（1）列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：審：就是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它們之間的等量關(guān)系。設(shè)：就是指設(shè)元，也就就是設(shè)出未知數(shù)。列：就就是列方程，這就是關(guān)鍵步驟,一般先找出能夠表達應(yīng)用題全部含義的一個相等含義，然后列代數(shù)式表示這個相等關(guān)系中的各個量，就的到含有未知數(shù)的等式，即方程。解：就就是解方程，求出未知數(shù)的值。驗：就是指檢驗方程的解就是否保證實際問題有意義，符合題意。答：寫出答案。（2）列一元二次方程解應(yīng)用題的幾種常見類型①數(shù)字問題三個連續(xù)整數(shù)：若設(shè)中間的一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1。三個連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)）：若中間的一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2,x+2。三位數(shù)的表示方法：設(shè)百位、十位、個位上的數(shù)字分別為a,b,c，則這個三位數(shù)就是100a+10b+c、②增長率問題設(shè)初始量為a，終止量為b，平均增長率或平均降低率為x，則經(jīng)過兩次的增長或降低后的等量關(guān)系為a（1±x）2=b。③利潤問題利潤問題常用的相等關(guān)系式有：總利潤=總銷售價-總成本；總利潤=單位利潤×總銷售量；利潤=成本×利潤率。④圖形的面積問題根據(jù)圖形的面積與圖形的邊、高等相關(guān)元素的關(guān)系，將圖形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，建立一元二次方程?！绢}型8列一元二次方程解決有關(guān)平均變化率的問題】【例8】（23-24九年級·山東濟寧·期中）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣．”學(xué)校為響應(yīng)我市全民閱讀活動，利用節(jié)假日面向社會開放學(xué)校圖書館．據(jù)統(tǒng)計，第一個月進館200人次，進館人次逐月增加，到第三個月末進館288人次．若進館人次的月平均增長率相同：(1)求進館人次的月平均增長率；(2)因?qū)W校條件限制，圖書館月接納能力不超過400人次．在進館人次月平均增長率不變的前提下，學(xué)校圖書館能否接納第四個月的進館人次？請說明理由【答案】(1)20(2)能，理由見詳解【分析】（1）設(shè)進館人次的月增長率為x，利用第三個月進館人次數(shù)=第一個月進館人次數(shù)×(1+月平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）利用第四個月進館人次數(shù)=第三個月進館人次數(shù)×(1+月平均增長率），可求出第四個月進館人次數(shù)，再將其與400比較后即可得出結(jié)論．本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)進館人次的月增長率為x，依題意得：200(1+x)解得：x1=0.2=20%答：進館人次的月平均增長率20%（2）解：學(xué)校圖書館能接納第四個月的進館人次，理由如下：∵進館人次的月平均增長率20%∴第四個月的進館人次為288×(1+20%)=345.6（人次）．∵345.6<400，∴學(xué)校圖書館能接納第四個月的進館人次．【變式8-1】（23-24九年級·重慶·期中）某縣開展老舊小區(qū)改造，2020年投入此項工程的專項資金為1000萬元，2021、2022年投入資金一共為3440萬元．設(shè)該縣這兩年投入老舊小區(qū)改造工程專項資金的年平均增長率為x，根據(jù)題意，可列方程為．【答案】1000(1+x)+1000【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)2020年投入此項工程的專項資金及該縣這兩年投入老舊小區(qū)改造工程專項資金的年平均增長率，可得出2021、2022年投入此項工程的專項資金，結(jié)合2021、2022年投入資金一共為3440萬元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：∵2020年投入此項工程的專項資金為1000萬元，且該縣這兩年投入老舊小區(qū)改造工程專項資金的年平均增長率為x，∴2021年投入此項工程的專項資金為1000(1+x)萬元，2022年投入此項工程的專項資金為1000(1+x)根據(jù)題意得：1000(1+x)+1000(1+x)故答案為：1000(1+x)+1000(1+x)【變式8-2】（23-24九年級·廣東佛山·期中）甲商品的售價為每件40元．(1)若現(xiàn)在需進行降價促銷活動，預(yù)備從原來的每件40元進行兩次調(diào)價，已知該商品現(xiàn)價為每件32.4元．若該商品兩次調(diào)價的降價率相同，求這個降價率；(2)經(jīng)調(diào)查，該商品每降價0.2元，即可多銷售10件．已知甲商品售價40元時每月可銷售500件，若該商場希望該商品每月銷售額為26250元，且盡可能擴大銷售量，則該商品在原售價的基礎(chǔ)上應(yīng)如何調(diào)整？【答案】(1)10(2)該商品在原售價的基礎(chǔ)上，再降低25元【分析】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用：平均變化率問題和銷售問題，正確分析題目中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．(1)設(shè)調(diào)價百分率為x，根據(jù)售價從原來每件40元經(jīng)兩次調(diào)價后調(diào)至每件32.4元，可列方程求解．(2)根據(jù)已知條件求出多售的件數(shù)，根據(jù)該商場希望該商品每月銷售額為26250元列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)這種商品平均降價率是x，依題意得：40解得：x1=0.1=10％答：這個降價率為10％（2）設(shè)降價y元，則多銷售500+y根據(jù)題意得40?y500+y解得：y1=25因為盡可能擴大銷售量，所以y=5（舍去）答：該商品在原售價的基礎(chǔ)上，再降低25元．【變式8-3】（23-24九年級·重慶·期末）某房地產(chǎn)商決定將一片小型公寓作為精裝房出售，每套公寓面積均為32平方米，現(xiàn)計劃為100套公寓地面鋪地磚，根據(jù)用途的不同選用了A、B兩種地磚，其中50套公寓全用A種地磚鋪滿，另外50套公寓全用B種地磚鋪滿，A種地磚是每塊面積為0.64平方米的正方形，B種地磚是每塊而積為0.16平方米的正方形，且A種地磚每塊的進價比B種地磚每塊的進價高40元，購進A、B兩種地磚共花費350000元．（注：每套公寓地面看成正方形，均鋪滿地磚且地磚無剩余）（1）求A、B兩種地磚每塊的進價分別是多少元？（2）實際施工時，房地產(chǎn)商增加了精裝的公寓套數(shù)，結(jié)果實際鋪滿A種地磚的公寓套數(shù)增加了a%，鋪滿B種地磚的公寓套數(shù)增加了3a%，由于地磚的購進量增加．B種地磚每塊進價在（1）問的基礎(chǔ)上降低了a%，但A種地磚每塊進價保持不變，最后購進A、B兩種地磚的總花費比原計劃增加了57a%，求【答案】（1）A、B兩種地磚每塊的進價分別是60，20元；（2）a=50【分析】（1）利用每套公寓需要地磚的數(shù)量=公寓的面積÷每塊地磚的面積，可分別求出每套公寓需要A種地磚的數(shù)量及每套公寓需要B種地磚的數(shù)量，設(shè)B種地磚每塊的進價為x元，則A種地磚每塊的進價為(x+40)元，根據(jù)等量關(guān)系：購進A種地磚的錢數(shù)+購進B種地磚的錢數(shù)=350000，即可列出方程，解方程即可；（2）根據(jù)等量關(guān)系：購進A種地磚的錢數(shù)+購進B種地磚的錢數(shù)=總錢數(shù)，列出方程，即可得到關(guān)于a的方程，解方程即可求出a的值，當然取正值即可．【詳解】（1）一套公寓用A種地磚需要：32÷0.64=50塊一套公寓用B種地磚需要：32÷0.16=200塊設(shè)B種地磚每塊的進價為x元由題可得：50×50×解得：x=2020+40=60元故A、B兩種地磚每塊的進價分別是60，20元．（2）由題可得：50整理得：a解得然：a1∵a>0，∴a=50【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，正確列出方程，同時（2）問是的方程比較復(fù)雜，要善于化簡．【題型9列一元二次方程解決循環(huán)傳播問題】【例9】（23-24九年級·河南新鄉(xiāng)·階段練習）2020年賽季中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽，采用循環(huán)制（每兩隊之間都進行一場比賽），比賽總場數(shù)為380場，若設(shè)參賽隊伍有x支，則可列方程（）A．12x(x?2)=380 C．12x(x+1)=380 【答案】B【分析】設(shè)參賽隊伍有x支，根據(jù)采用循環(huán)制共需比賽380場，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設(shè)參賽隊伍有x支，根據(jù)題意，可得12故選：B．【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，理解題意，正確列出一元二次方程是解題關(guān)鍵．【變式9-1】（23-24九年級·山東威海·期中）近年手機微信上的垃圾短信泛濫成災(zāi)，嚴重影響了人們的生活，最近小王收到一條垃圾短信，此短信要求接到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給若干人，如果收到此短信的人都按要求轉(zhuǎn)發(fā)，從小王開始計算，轉(zhuǎn)發(fā)兩輪后共有91人有此短信．(1)請求出這個短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給多少人？(2)如果收到短信的人都按要求轉(zhuǎn)發(fā)，從小王開始計算，三輪后會有多少人有此短信？【答案】(1)這個短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給9人(2)從小王開始計算，三輪后會有820人有此短信．【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，含乘方的有理數(shù)混合計算的實際應(yīng)用：（1）設(shè)這個短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給x人，則第一輪小王會發(fā)給x人，第一輪被轉(zhuǎn)發(fā)的x人每個人又要轉(zhuǎn)發(fā)x人，據(jù)此列出方程求解即可；（2）根據(jù)（1）所求列式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)這個短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給x人，由題意得，1+x+x整理得x2解得x=9或x=?10（舍去），答：這個短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給9人；（2）解：1+9+9答：從小王開始計算，三輪后會有820人有此短信．【變式9-2】（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）某足球賽實行主客場循環(huán)賽制，經(jīng)計算共要進行132場比賽，參加比賽的足球隊有多少支？【答案】12支.【分析】每個隊與其它隊都要進行主、客場比賽，即每兩個隊之間要進行兩場比賽，設(shè)有x個足球隊，比賽場次共有x(x?1)場，再根據(jù)共有132場比賽活動來列出方程，從而求解．【詳解】解：設(shè)有x個足球隊參加，依題意，x(x?1)=132，整理，得x2(x?12)(x+11)=0，解得：x1=12，答：共有12個足球隊參加比賽．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．此題的關(guān)鍵是抓住“每兩支球隊都要在自己的主場和客場踢一場”列等量關(guān)系．【變式9-3】（23-24九年級·廣東東莞·期末）春季流感爆發(fā)，有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感．(1)每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？(2)經(jīng)過三輪傳染后共有多少人患了流感？【答案】(1)每輪傳染中平均一個人傳染了8個人(2)經(jīng)過三輪傳染后共有729人會患流感【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．（1）設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染x個人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)經(jīng)過三輪傳染后患流感的人數(shù)=經(jīng)過兩輪傳染后患流感的人數(shù)+經(jīng)過兩輪傳染后患流感的人數(shù)×8，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，根據(jù)題意得：1+x+x1+x1+x21+x=±9，x1=8，∴每輪傳染中平均一個人傳染了8個人；（2）解：81+81×8=729（人），答：經(jīng)過三輪傳染后共有729人會患流感．【題型10列一元二次方程解決有關(guān)面積問題】【例10】（2024·天津河西·一模）把一根長為80cm①當AF的長是12cm時，BC的長為8②這兩個正方形的面積之和可以是198cm③這兩個正方形的面積之和可以是288cm其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】①利用BC的長=（繩子的長度?4×AF的長）÷4，即可求出BC的長；②假設(shè)這兩個正方形的面積之和可以是198cm2，設(shè)AF的長為xcm，則BC的長為(80?4x)÷4=(20?x)cm，根據(jù)這兩個正方形的面積之和是198cm2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，由根的判別式Δ=?4<0，可得出原方程沒有實數(shù)根，進而可得出假設(shè)不成立，即這兩個正方形的面積之和不能是198cm2；③假設(shè)這兩個正方形的面積之和可以是288cm2，設(shè)AF的長為ycm，則本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、根的判別式以及正方形的性質(zhì)，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①當AF的長是12cm時，BC的長是(80?12×4)÷4=8②假設(shè)這兩個正方形的面積之和可以是198cm設(shè)AF的長為xcm，則BC的長為(80?4x)÷4=(20?x)根據(jù)題意得：x2整理得：x2∵Δ=∴原方程沒有實數(shù)根，∴假設(shè)不成立，即這兩個正方形的面積之和不能是198cm③假設(shè)這兩個正方形的面積之和可以是288cm設(shè)AF的長為ycm，則BC的長為(80?4y)÷4=(20?y)根據(jù)題意得：y2整理得：y2解得：y1=10?211∵0<10?211∴符合題意，∴假設(shè)成立，即這兩個正方形的面積之和可以是288cm∴正確的結(jié)論有2個．故選：C．【變式10-1】（23-24九年級·江蘇揚州·期中）將正方形板材①、②、③如圖放置，已知正方形①、②的邊長分別是16cm、24cm，若線段PQ恰好分這三個正方形成面積相等的兩部分，則正方形③的邊長為【答案】8或16【分析】本題考查了正方形的面積，解一元二次方程的應(yīng)用；作輔助線，由已知線段PQ恰好分這三個正方形成面積相等的兩部分可得AM?AB=CD?DN，列方程可解答．【詳解】解：如圖，將圖形補成長方形PMQN，設(shè)正方形③的邊長為acm，則AM=acm，∵正方形①、②的邊長分別是16cm，24∵線段PQ恰好分這三個正方形成面積相等的兩部分，∴AM?AB=CD?DN，∴a(24?a)=16×(24?16)，∴(a?16)(a?8)=0，解得：a1=8，則正方形③的邊長為8或16cm故答案為：8或16．【變式10-2】（2024·福建莆田·一模）如圖，是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的一個大正方形．連接AE,BE，若△ADE與△BEH的面積相等，AF=2，則EH的長為．【答案】3【分析】本題主要考查了解一元二次方程、弦圖的計算等知識點，明確弦圖中的線段關(guān)系成為解題的關(guān)鍵．設(shè)EH=GF=EF=FG=a,進而得到AG=BH=2+a，然后再根據(jù)“△ADE與△BEH的面積相等”得到方程a2【詳解】解：由“趙爽弦圖”可知EH=GF=EF=FG,設(shè)EH=GF=EF=FG=a，DE=BG=AF=2,AG=BH∵AF=2，∴AG=BH=2+a，∵△ADE與△BEH的面積相等，∴12∴12×2×2=12a∴EH=3故答案為：3?1【變式10-3】（23-24九年級·河南洛陽·階段練習）某農(nóng)場要建一個飼養(yǎng)場（矩形ABCD），兩面靠墻（AD位置的墻最大可用長度為27m,AB位置的墻最大可用長度為15m），另兩邊用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個場地及一處通道，并在EH,FG,BC上各留1(1)若飼養(yǎng)場（矩形ABCD）的一邊CD長為7m，則AD=(2)若飼養(yǎng)場（矩形ABCD）的面積為192m2，求邊(3)飼養(yǎng)場的面積能達到198m2嗎？若能達到，求出邊【答案】(1)27(2)邊CD的長為8(3)飼養(yǎng)場的面積不能達到198m【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)圖形計算即可；（2）根據(jù)矩形的面積等于長乘寬，即可列方程求解；（3）列出方程，根據(jù)一元二次方程根的判別式計算．【詳解】（1）解：BC=45?7?2×(7?1)+1=27(米)．故答案為：27．（2）解：設(shè)CD=x(0<x≤15)米，則BC=45?x?2(x?1)+1=(48?3x)米，依題意得：x(48?3x)=192，整理得：x2解得：x1當x=8時，48?3x=48?3×8=24(米)，24<27，符合題意，答：邊CD的長為8米．（3）解：不能，理由如下：設(shè)CD=y(0<y≤15)米，則BC=45?y?2(y?1)+1=(48?3y)米，依題意得：y(48?3y)=198，整理得：y2∵Δ∴該方程沒有實數(shù)根，∴飼養(yǎng)場的面積不能達到198平方米．【題型11列一元二次方程解決銷售利潤問題】【例11】（23-24九年級·山西臨汾·期末）品山西風味，享三晉美食，就在司徒小鎮(zhèn)，十一假期某特色雜糧面店為擴大銷售，增加盈利，計劃降價銷售，該雜糧面店的成本價為每碗4元，若每碗賣18元，平均每天將銷售200碗，若價格每降低1元，則平均每天多銷售20碗，為維護城市形象，店家現(xiàn)規(guī)定每碗售價不得超過15元，若每天盈利2800元，則每碗售價應(yīng)為（

）A．15元 B．14元 C．13元 D．12元【答案】B【分析】可設(shè)每碗售價定為x元時，店家才能實現(xiàn)每天利潤2800元，根據(jù)利潤的等量關(guān)系列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)每碗售價定為x元時，店家才能實現(xiàn)每天利潤2800元，依題意有（x?4解得x1∵每碗售價不得超過15元，∴x=14．∴當每碗售價定為14元時，店家才能實現(xiàn)每天利潤2800元．故選：B【點睛】題目主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．【變式11-1】（23-24九年級·全國·課后作業(yè)）一件工藝品進價為100元，標價為135元售出，每天可售出100件，根據(jù)銷售統(tǒng)計，一件工藝品每降低1元出售，則每天可多售出4件，要使顧客盡量得到優(yōu)惠，且每天獲得利潤為3596元，每件工藝品需降價（）A．4元 B．6元 C．4元或6元 D．5元【答案】B【分析】設(shè)每件工藝品需降價x元，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)每件工藝品需降價x元，根據(jù)題意得：135?100?x100+4x整理得：x2解得：x1=4，∵要使顧客盡量得到優(yōu)惠，∴x=6，∴要使顧客盡量得到優(yōu)惠，且每天獲得利潤為3596元，每件工藝品需降價6元，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式11-2】（23-24九年級·云南曲靖·期中）東坡某烘焙店生產(chǎn)的蛋糕禮盒分為六個檔次，第一檔次（即最低檔次）的產(chǎn)品每天生產(chǎn)76件，每件利潤10元，調(diào)查表明：生產(chǎn)提高一個檔次的蛋糕產(chǎn)品，該產(chǎn)品每件利潤增加2元．(1)若生產(chǎn)的某批次蛋糕每件利潤為16元，此批次蛋糕屬第幾檔次產(chǎn)品；(2)由于生產(chǎn)工序不同，蛋糕產(chǎn)品每提高一個檔次，一天產(chǎn)量會減少4件，若生產(chǎn)的某檔次產(chǎn)品一天的總利潤為1080元，該烘培店生產(chǎn)的是第幾檔次的產(chǎn)品？【答案】(1)第四檔次產(chǎn)品(2)該烘焙店生產(chǎn)的是第五檔次的產(chǎn)品【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)生產(chǎn)提高一個檔次的蛋糕產(chǎn)品，該產(chǎn)品每件利潤增加2元，即可求出每件利潤為16元的蛋糕屬第幾檔次產(chǎn)品；（2）設(shè)烘焙店生產(chǎn)的是第x檔次的產(chǎn)品，根據(jù)單件利潤×銷售數(shù)量=總利潤，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：(16?10)÷2+1=4，答：此批次蛋糕屬第四檔次產(chǎn)品；（2）設(shè)烘焙店生產(chǎn)的是第x檔次的產(chǎn)品，則每天生產(chǎn)76?4x?1=72?4x根據(jù)題意得72?4x2x+8整理得x2解得x1=5，答：該烘焙店生產(chǎn)的是第五檔次的產(chǎn)品．【變式11-3】（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測）龍巖市公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔10月份到12月份的銷量，該品牌頭盔10月份銷售50個，12月份銷售72個，10月份到12月份銷售量的月增長率相同．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)若此種頭盔的進價為30元/個，商家經(jīng)過調(diào)查統(tǒng)計，當售價為40元/個時，月銷售量為500個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達到8000元，且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔每個售價應(yīng)定為多少元？【答案】(1)設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為20(2)該品牌頭盔每個售價應(yīng)定為50元【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)該品牌頭盔10月份銷售50個，12月份銷售72個列出方程求解即可；（2）設(shè)該品牌頭盔每個售價為y元，根據(jù)利潤=（售價?進價）×銷售量列出方程求解即可．【詳解】（1）解；設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，依題意，得50解得x1答：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%（2）解：設(shè)該品牌頭盔每個售價為y元，依題意，得y?30整理，得y解得y因盡可能讓顧客得到實惠，所以y=70不合題意，舍去．所以y=50．答：該品牌頭盔每個售價應(yīng)定為50元．【變式11-4】（23-24九年級·重慶沙坪壩·期中）四川省會理縣是全國有名的石榴之鄉(xiāng)，由于石榴味道酸甜可口，具有保護血管、調(diào)節(jié)血壓等功效，所以深受人們喜愛．今年8月，小張為了在網(wǎng)上開辟營銷市場，在網(wǎng)上售賣了兩種類型的石榴：一種是豪華裝大型果實（簡稱“大果”），一種是豪華裝超大型果實（簡稱“帝王果”）．(1)網(wǎng)友小紅花了208元買了2箱大果和1箱帝王果，小華花了224元買了1箱大果和2箱帝王果，每箱大果和帝王果的售價分別是多少？(2)在（1）的條件下，正常情況平均每天可銷售90箱大果，30箱帝王果，為了減少庫存，小張決定對大果降價銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一箱大果的售價每降價2元，大果的銷售每天可增加3箱，帝王果的售價和銷量不變，如果小張每天銷售總額為8142元，每箱大果的售價應(yīng)該降低多少？【答案】(1)每箱大果的售價為64元，每箱帝王果的售價為80元(2)小張每天銷售總額為8142元時，每箱大果的售價應(yīng)該降低6元【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)每箱大果的售價為x元，每箱帝王果的售價為y元，根據(jù)“208元買了2箱大果和1箱帝王果；224元買了1箱大果和2箱帝王果”列出二元一次方程組求解即可；（2）設(shè)每箱大果的售價應(yīng)該降低m元，根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)每箱大果的售價為x元，每箱帝王果的售價為y元，根據(jù)題意得2x+y=208x+2y=224解得x=64y=80答：每箱大果的售價為64元，每箱帝王果的售價為80元．（2）