《離散數(shù)學(xué)之圖論》課件

離散數(shù)學(xué)之圖論圖論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它研究圖，圖是用于表示物體之間關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。圖論在計(jì)算機(jī)科學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。圖的基本概念1頂點(diǎn)圖中的基本元素，表示圖中的對(duì)象或?qū)嶓w。2邊連接兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，表示兩個(gè)頂點(diǎn)之間存在的某種關(guān)系或聯(lián)系。3無(wú)向圖邊沒(méi)有方向性，表示兩個(gè)頂點(diǎn)之間是雙向的。4有向圖邊有方向性，表示兩個(gè)頂點(diǎn)之間是單向的。圖的表示方法1鄰接矩陣鄰接矩陣使用一個(gè)二維數(shù)組來(lái)表示圖，數(shù)組元素表示頂點(diǎn)之間的連接關(guān)系，0表示無(wú)連接，1表示有連接。2鄰接表鄰接表使用鏈表來(lái)表示圖，每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)鏈表，鏈表存儲(chǔ)與其相鄰的頂點(diǎn)。3邊列表邊列表直接列出圖中的所有邊，每個(gè)邊包含兩個(gè)端點(diǎn)的信息，以及邊權(quán)信息。圖的基本性質(zhì)度一個(gè)頂點(diǎn)的度是指與它相連的邊的數(shù)量。度數(shù)可以幫助我們了解圖的結(jié)構(gòu)。路徑路徑是由一系列頂點(diǎn)和邊組成的序列，其中每個(gè)頂點(diǎn)最多出現(xiàn)一次。環(huán)環(huán)是起點(diǎn)和終點(diǎn)相同的路徑，它構(gòu)成圖中的一個(gè)閉合循環(huán)。連通性連通性是指圖中頂點(diǎn)之間的連接關(guān)系，一個(gè)圖是連通的，意味著任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在路徑。圖的遍歷圖的遍歷是指從圖中的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，沿著圖的邊訪問(wèn)所有頂點(diǎn)，并且每個(gè)頂點(diǎn)只訪問(wèn)一次。1深度優(yōu)先搜索沿一條路徑盡可能深入地訪問(wèn)頂點(diǎn)，直到不能再深入，然后回溯到上一個(gè)頂點(diǎn)繼續(xù)訪問(wèn)其他路徑2廣度優(yōu)先搜索從起點(diǎn)出發(fā)，訪問(wèn)所有與起點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，然后依次訪問(wèn)這些頂點(diǎn)的相鄰頂點(diǎn)，直到訪問(wèn)完所有頂點(diǎn)3拓?fù)渑判驅(qū)⒂邢驘o(wú)環(huán)圖的頂點(diǎn)按照拓?fù)漤樞蚺判颍沟盟袕捻旤c(diǎn)u到頂點(diǎn)v的邊都滿足u在排序中排在v前面圖的連通性連通圖圖中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在路徑，稱為連通圖。非連通圖圖中存在至少兩個(gè)頂點(diǎn)之間不存在路徑，稱為非連通圖。強(qiáng)連通圖有向圖中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在雙向路徑，稱為強(qiáng)連通圖。最短路徑問(wèn)題最短路徑問(wèn)題是圖論中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題，目標(biāo)是在給定圖中找到兩個(gè)指定節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑。最短路徑問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中有很多應(yīng)用，例如導(dǎo)航軟件、交通規(guī)劃、網(wǎng)絡(luò)路由等。常用的最短路徑算法包括Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等。最小生成樹連接所有節(jié)點(diǎn)最小生成樹是一個(gè)連接圖中所有節(jié)點(diǎn)的樹，且邊的總權(quán)重最小。貪心算法常用的最小生成樹算法包括普里姆算法和克魯斯卡爾算法，都是基于貪心策略。廣泛應(yīng)用最小生成樹在網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)、線路規(guī)劃和通信網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。圖的著色問(wèn)題定義圖的著色問(wèn)題是指用最少的顏色給圖的頂點(diǎn)染色，使得相鄰的頂點(diǎn)顏色不同。此問(wèn)題廣泛應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中，例如電路板設(shè)計(jì)、時(shí)間表安排等。染色方式圖的著色問(wèn)題有多種染色方式，包括頂點(diǎn)著色、邊著色和區(qū)域著色。其中，頂點(diǎn)著色是最常見(jiàn)的一種方式，應(yīng)用于解決沖突分配問(wèn)題，例如時(shí)間表安排和資源分配等。哈密爾頓圖哈密爾頓圖是指一個(gè)無(wú)向圖，其中存在一條包含圖中所有頂點(diǎn)的回路，稱為哈密爾頓回路。哈密爾頓回路是圖論中的一個(gè)重要概念，它在計(jì)算機(jī)科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如旅行商問(wèn)題、網(wǎng)絡(luò)路由等。歐拉回路歐拉回路是指從圖中任意頂點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)圖中每條邊恰好一次，并最終回到出發(fā)頂點(diǎn)的回路。歐拉回路存在條件：圖中所有頂點(diǎn)的度數(shù)均為偶數(shù)，或圖中恰好有兩個(gè)奇度頂點(diǎn)。二部圖定義二部圖是一種特殊的圖，其頂點(diǎn)可以分為兩個(gè)不相交的集合，且圖中所有邊都連接不同集合的頂點(diǎn)。性質(zhì)二部圖沒(méi)有奇環(huán)，即長(zhǎng)度為奇數(shù)的環(huán)。二部圖的邊著色問(wèn)題可以用貪婪算法在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)解決。圖的同構(gòu)定義如果兩個(gè)圖的頂點(diǎn)和邊之間存在一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)之間具有相同的鄰接關(guān)系，則這兩個(gè)圖稱為同構(gòu)。重要性圖的同構(gòu)關(guān)系表明兩個(gè)圖在結(jié)構(gòu)上是等價(jià)的，即使它們?cè)诒硎痉绞缴嫌兴煌?。?yīng)用圖的同構(gòu)關(guān)系在化學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。平面圖平面圖指的是可以繪制在平面上，且所有邊僅在頂點(diǎn)處相交的圖。平面圖可以被視為現(xiàn)實(shí)世界中的地圖，其中城市表示頂點(diǎn)，而道路表示邊。平面圖的典型例子包括地圖、電路圖和網(wǎng)絡(luò)圖。圖的染色節(jié)點(diǎn)著色將圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)分配一個(gè)顏色，確保相鄰節(jié)點(diǎn)顏色不同。最小染色數(shù)圖的染色數(shù)是指將圖染色所需的最小顏色數(shù)。應(yīng)用場(chǎng)景圖染色在資源分配、時(shí)間表安排、地圖著色等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。圖的可分解性圖的分解將一個(gè)圖分解成若干個(gè)子圖，每個(gè)子圖都滿足一定的性質(zhì)。可分解性指一個(gè)圖是否可以分解成若干個(gè)滿足特定條件的子圖。應(yīng)用在網(wǎng)絡(luò)分析、算法設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)挖掘等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。圖的獨(dú)立集1定義圖中任何兩個(gè)頂點(diǎn)之間都沒(méi)有邊相連的頂點(diǎn)子集稱為獨(dú)立集。2最大獨(dú)立集一個(gè)圖的所有獨(dú)立集中，包含頂點(diǎn)數(shù)最多的獨(dú)立集稱為最大獨(dú)立集。3應(yīng)用獨(dú)立集在計(jì)算機(jī)科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)和社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，例如調(diào)度問(wèn)題、資源分配問(wèn)題和社交網(wǎng)絡(luò)分析。圖的支配集11.定義圖的支配集是指圖中一個(gè)頂點(diǎn)集合，該集合中的每個(gè)頂點(diǎn)都能支配圖中所有其他頂點(diǎn)。22.最小支配集最小支配集是指包含頂點(diǎn)數(shù)量最少的支配集。33.應(yīng)用支配集在計(jì)算機(jī)科學(xué)、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析和生物學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。圖的匹配完美匹配在圖的匹配中，當(dāng)所有頂點(diǎn)都參與匹配時(shí)，稱之為完美匹配。最大匹配最大匹配是指一個(gè)圖中包含最多匹配邊的匹配。最大匹配并不一定是唯一匹配。匈牙利算法匈牙利算法是一種經(jīng)典的圖匹配算法，用于求解二分圖的最大匹配。圖的覆蓋點(diǎn)覆蓋點(diǎn)覆蓋是指圖中一個(gè)點(diǎn)的集合，它包含圖中每一條邊的至少一個(gè)端點(diǎn)。邊覆蓋邊覆蓋是指圖中一個(gè)邊的集合，它包含圖中每個(gè)頂點(diǎn)至少一個(gè)相連的邊。最小覆蓋最小覆蓋是指圖中滿足覆蓋條件的最小點(diǎn)數(shù)或邊數(shù)的集合。圖的流圖的流理論是圖論的一個(gè)重要分支，用于分析網(wǎng)絡(luò)中流動(dòng)的資源，如貨物、信息、資金等。它通過(guò)將網(wǎng)絡(luò)表示為圖，并將流動(dòng)的資源表示為圖中的邊上的流量，來(lái)研究網(wǎng)絡(luò)的容量、流量和效率。1流量守恒每個(gè)節(jié)點(diǎn)的流入流量等于流出流量。2容量限制每條邊的流量不能超過(guò)其容量。3最大流最大化網(wǎng)絡(luò)中源點(diǎn)到匯點(diǎn)的流量。4最小割最小割是指將源點(diǎn)和匯點(diǎn)分離的最小容量的邊集合。圖的切割集定義在圖論中，切割集是指將圖劃分為兩個(gè)子圖的邊集合。換句話說(shuō)，切割集是一組邊，移除它們會(huì)導(dǎo)致圖中兩個(gè)頂點(diǎn)集合之間不再相連。重要性切割集在圖論中具有重要意義，因?yàn)樗鼈兛梢杂脕?lái)分析圖的連通性，找到圖的最小割，并解決圖的網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題。圖的割點(diǎn)和橋割點(diǎn)圖中刪除一個(gè)點(diǎn)后，圖的連通分量數(shù)增加，該點(diǎn)稱為割點(diǎn)。圖的連通性會(huì)降低。橋圖中刪除一條邊后，圖的連通分量數(shù)增加，該邊稱為橋。圖的連通性會(huì)降低。應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)可靠性分析網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化圖的點(diǎn)連通性定義圖的點(diǎn)連通性是指將圖斷開(kāi)至少需要?jiǎng)h除多少個(gè)點(diǎn)，才能使圖不再連通。點(diǎn)連通圖點(diǎn)連通性大于或等于2的圖被稱為點(diǎn)連通圖。最小割集刪除圖中滿足條件的最小點(diǎn)數(shù)集，即為圖的最小割集。圖的邊連通性定義圖的邊連通性是指從圖中移除最少數(shù)量的邊才能將圖斷開(kāi)，使圖不再連通。重要性邊連通性反映了圖的魯棒性，即圖在應(yīng)對(duì)邊故障時(shí)的抗破壞能力。應(yīng)用場(chǎng)景例如，在網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)中，邊連通性可以用來(lái)評(píng)估網(wǎng)絡(luò)的可靠性和容錯(cuò)性。計(jì)算計(jì)算圖的邊連通性可以使用最小割算法來(lái)實(shí)現(xiàn)。圖的直徑圖的直徑是指圖中任意兩點(diǎn)之間距離的最大值，即圖中最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)之間的距離。圖的直徑圖中任意兩點(diǎn)之間距離的最大值計(jì)算方法求所有點(diǎn)對(duì)之間的最短路徑長(zhǎng)度，然后取最大值圖的直徑反映了圖的大小和連接緊密程度，直徑較小的圖，其連接更加緊密。圖的中心圖的中心是指圖中到所有其他頂點(diǎn)的最大距離最小的頂點(diǎn)。定義圖中到所有其他頂點(diǎn)的最大距離最小的頂點(diǎn)應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化，物流規(guī)劃，設(shè)施選址算法基于最短路徑算法，計(jì)算每個(gè)頂點(diǎn)到其他所有頂點(diǎn)的最短距離圖的周長(zhǎng)圖的周長(zhǎng)指的是圖中所有簡(jiǎn)單回路的長(zhǎng)度的最小值。簡(jiǎn)單回路指的是不包含重復(fù)頂點(diǎn)的回路。3長(zhǎng)度例如，一個(gè)包含三個(gè)頂點(diǎn)的三角形圖的周長(zhǎng)為3。4循環(huán)在圖論中，周長(zhǎng)是一個(gè)重要的參數(shù)，它反映了圖的結(jié)構(gòu)和復(fù)雜性。圖的擬陣基礎(chǔ)概念擬陣是一種抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用于描述集合的獨(dú)立性。重要性質(zhì)擬陣具有遺傳性、交換性和獨(dú)立性等重要性質(zhì)。應(yīng)用場(chǎng)景擬陣?yán)碚撛趫D論、組合優(yōu)化和博弈論等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。圖的不變量度數(shù)序列節(jié)點(diǎn)的度數(shù)是不變的，即使圖的結(jié)構(gòu)發(fā)生變化。連通性圖