新教材2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布測評(píng)新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

第七章測評(píng)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.[2024河北石家莊期中]已知某同學(xué)投籃一次的命中率為910,連續(xù)兩次均投中的概率是12,若該同學(xué)在投中一次后,隨后一次也投中的概率是(A.15 B.25 C.32.某人進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn),若試驗(yàn)勝利,則停止試驗(yàn),若試驗(yàn)失敗,再重新試驗(yàn)一次,若試驗(yàn)3次均失敗,則放棄試驗(yàn).若此人每次試驗(yàn)勝利的概率為23,則此人試驗(yàn)次數(shù)X的均值是(A.43 B.139 C.53.已知隨機(jī)變量ξ~N(3,22),若ξ=2η+3,則D(η)= ()A.0 B.1 C.2 D.44.投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才算通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過測試的概率為 ()A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.3125.甲、乙兩人獨(dú)立地從六門選修課程中任選三門進(jìn)行學(xué)習(xí),記兩人所選課程相同的門數(shù)為X,則E(X)= ()A.1 B.1.5 C.2 D.2.56.設(shè)隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),且P(X<1)=12,P(X>2)=p,則P(0<X<1)的值為(A.12p B.1-p C.1-2p D.17.已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè),其中a,b,c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在這些拋物線中,記隨機(jī)變量X=“|a-b|的取值”,則X的均值為()A.89 B.35 C.28.9粒種子分種在3個(gè)坑內(nèi),每個(gè)坑3粒,每粒種子發(fā)芽的概率為0.5.若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽,則這個(gè)坑不須要補(bǔ)種;若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽,則這個(gè)坑須要補(bǔ)種.假定每個(gè)坑至多補(bǔ)種一次,每補(bǔ)種1個(gè)坑需10元,用隨機(jī)變量X表示補(bǔ)種費(fèi)用,則X的均值等于()A.154 B.C.38 D.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示:X012Pa4a5a下列選項(xiàng)中正確的是()A.a=0.1 B.E(X)=0.44C.E(X)=1.4 D.D(X)=1.410.某校高三年級(jí)要從5名男生和2名女生中任選3名代表參與數(shù)學(xué)競賽(每人被選中的機(jī)會(huì)均等),記A為“男生甲被選中”,B為“男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中”,則下列結(jié)論中正確的是()A.P(A)=37 B.P(B)=C.P(AB)=935 D.P(B|A)=11.若隨機(jī)變量ξ~N(0,1),Φ(x)=P(ξ≤x),其中x>0,下列等式成立的有()A.Φ(-x)=1-Φ(x)B.Φ(2x)=2Φ(x)C.P(|ξ|≤x)=2Φ(x)-1D.P(|ξ|>x)=2-Φ(x)12.已知X~N(μ,σ2),f(x)=12πσe-(xA.曲線y=f(x)與x軸圍成的幾何圖形的面積小于1B.函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x=μ對(duì)稱C.P(X>μ-σ)=2P(μ<X<μ+σ)+P(X≥μ+σ)D.函數(shù)F(x)=P(X>x)在R上單調(diào)遞增三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表:Xa234P1b11若E(X)=2,則D(X)=.

14.某科研院校培育橘樹新品種,使得橘樹在淮北種植勝利,經(jīng)過科學(xué)統(tǒng)計(jì),單個(gè)果品的質(zhì)量ξ(單位:g)近似聽從正態(tài)分布N(90,σ2),且P(86<ξ≤90)=0.2,在有1000個(gè)的一批橘果中,估計(jì)單個(gè)果品質(zhì)量不低于94g的橘果個(gè)數(shù)為.

15.設(shè)一次試驗(yàn)勝利的概率為p,進(jìn)行100重伯努利試驗(yàn),則當(dāng)p=時(shí),勝利次數(shù)X的方差的值最大,其最大值為.

16.[2024山東煙臺(tái)期中]某中學(xué)為調(diào)查本校1800名學(xué)生周末玩嬉戲的時(shí)長,設(shè)計(jì)了如下的調(diào)查問卷.在一個(gè)袋子中裝有3個(gè)質(zhì)地和大小均相同的小球,其中1個(gè)白球,2個(gè)紅球,規(guī)定每名學(xué)生從袋子中有放回地隨機(jī)摸兩次球,每次摸出一個(gè)球,登記顏色.若“兩次摸到的球顏色相同”,則回答問題一:若第一次摸到的是紅球,則在問卷中畫“○”,否則畫“×”;若“兩次摸到的球顏色不同”,則回答問題二:若玩嬉戲時(shí)長不超過一個(gè)小時(shí),則在問卷中畫“○”,否則畫“×”.當(dāng)全校學(xué)生完成問卷調(diào)查后,統(tǒng)計(jì)畫“○”和畫“×”的比例,由頻率估計(jì)概率,即可估計(jì)出玩嬉戲時(shí)長超過一個(gè)小時(shí)的人數(shù).若該校高一一班有45名學(xué)生,用X表示回答問題一的人數(shù),則X的均值為;若該校的全部調(diào)查問卷中,畫“○”和畫“×”的比例為7∶2,則可估計(jì)該校學(xué)生周末玩嬉戲時(shí)長超過一個(gè)小時(shí)的人數(shù)為.

四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)一批同型號(hào)的螺釘由編號(hào)為Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的三臺(tái)機(jī)器共同生產(chǎn),各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺釘占這批螺釘?shù)陌俜致史謩e為35%,40%,25%,各臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺釘次品率分別為3%,2%和1%.(1)求從這批螺釘中任取一件是次品的概率;(2)現(xiàn)從這批螺釘中取到一件次品,求該次品來自Ⅱ號(hào)機(jī)器生產(chǎn)的概率.18.(12分)在某次數(shù)學(xué)考試中,考生的成果ξ聽從一個(gè)正態(tài)分布,即ξ~N(90,100).(1)試求考試成果ξ位于區(qū)間[70,110]上的概率;(2)若這次考試共有2000名考生,試估計(jì)考試成果在[80,100]的考生大約有多少人?19.(12分)某校從學(xué)生會(huì)宣揚(yáng)部6名成員(其中男生4人,女生2人)中,任選3人參與某省舉辦的演講競賽活動(dòng).(1)設(shè)所選3人中女生人數(shù)為X,求X的分布列;(2)求男生甲或女生乙被選中的概率;(3)設(shè)“男生甲被選中”為事務(wù)A,“女生乙被選中”為事務(wù)B,求P(B)和P(B|A).20.(12分)[2024廣東惠州模擬]某中學(xué)學(xué)校組織航天科普學(xué)問競賽,分小組進(jìn)行學(xué)問問題競答.甲、乙兩個(gè)小組分別從6個(gè)問題中隨機(jī)抽取3個(gè)問題進(jìn)行回答,答對(duì)題目多者獲勝.已知這6個(gè)問題中,甲組能正確回答其中4個(gè)問題,而乙組能正確回答每個(gè)問題的概率均為23.甲、乙兩個(gè)小組的選題以及對(duì)每題的回答都是相互獨(dú)立、互不影響的(1)求甲小組至少答對(duì)2個(gè)問題的概率;(2)若從甲、乙兩個(gè)小組中選拔一組代表學(xué)校參與全市決賽,請(qǐng)分析說明選擇哪個(gè)小組更好?21.(12分)某車間在兩天內(nèi),每天生產(chǎn)10件產(chǎn)品,其中第一天、其次天分別生產(chǎn)了1件、2件次品.質(zhì)檢部每天要在生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨意抽取4件進(jìn)行檢查,若發(fā)覺有次品,則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過.(1)求兩天全部通過檢查的概率;(2)若廠內(nèi)對(duì)該車間生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量采納獎(jiǎng)懲制度,兩天全不通過檢查罰300元,通過1天、2天分別獎(jiǎng)300元、900元.那么該車間在這兩天內(nèi)得到獎(jiǎng)金的均值是多少元?22.(12分)某學(xué)校實(shí)行聯(lián)歡會(huì),全部參演的節(jié)目都由甲、乙、丙三名專業(yè)老師投票確定是否獲獎(jiǎng).甲、乙、丙三名老師都有“獲獎(jiǎng)”“待定”“淘汰”三類票各一張.每個(gè)節(jié)目投票時(shí),甲、乙、丙三名老師每人必需且只能投一張票,每人投三類票中的任何一類票的概率都為13,且三人投票相互沒有影響.若投票結(jié)果中至少有兩張“獲獎(jiǎng)”票,則確定該節(jié)目最終獲一等獎(jiǎng);否則,該節(jié)目不能獲一等獎(jiǎng)(1)求某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎(jiǎng)的概率;(2)求該節(jié)目投票結(jié)果中所含“獲獎(jiǎng)”票和“待定”票票數(shù)之和X的分布列及均值.參考答案第七章測評(píng)1.D依據(jù)題意,設(shè)A=“該同學(xué)某次投籃命中”,事務(wù)B=“隨后一次也命中”.由題意得P(A)=910,P(AB)=12,故P(B|A)2.B由題意可得X=1,2,3,每次試驗(yàn)勝利的概率為23則每次試驗(yàn)失敗的概率為13,P(X=1)=2P(X=2)=13×23=29,則X的分布列如表所示.X123P221所以E(X)=1×23+2×23.B∵ξ=2η+3,∴D(ξ)=4D(η).又D(ξ)=4,∴D(η)=1.4.A依據(jù)題意,該同學(xué)通過測試的兩種狀況分別為投中2次和投中3次,所以所求概率P=C32×0.62×(1-0.6)+C33×0.65.B由已知得X的可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=C63×C33C6P(X=2)=C62×C41×C∴E(X)=0×120+1×920+2×920+36.D因?yàn)镻(X<1)=12,由正態(tài)曲線的對(duì)稱性得μ=1,即正態(tài)曲線關(guān)于直線x=1對(duì)稱,于是P(X<0)=P(X>2),所以P(0<X<1)=P(X<1)-P(X<0)=P(X<1)-P(X>2)=17.A由于對(duì)稱軸在y軸左側(cè),故-b2a<0,即ab>0,樣本點(diǎn)總數(shù)為3×3+3×3=由題知X的可能取值為0,1,2.P(X=0)=618=13,P(X=1)=818=4故E(X)=0×13+1×48.A依據(jù)題意,每個(gè)坑須要補(bǔ)種的概率是相等的,都是123=18,所以此問題相當(dāng)于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),做了三次,每次發(fā)生的概率都是18,所以須要補(bǔ)種的坑的均值為3×18=9.AC由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)知a+4a+5a=1,∴a=0.1.∴P(X=0)=0.1,P(X=1)=0.4,P(X=2)=0.5.∴E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.5=1.4,D(X)=(0-1.4)2×0.1+(1-1.4)2×0.4+(2-1.4)2×0.5=0.196+0.064+0.18=0.44.10.ACD由題意,得P(A)=C62C73=37,P(B)=1-C53C73=11.AC∵隨機(jī)變量ξ聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),∴正態(tài)曲線關(guān)于ξ=0對(duì)稱.∵Φ(x)=P(ξ≤x),x>0,依據(jù)曲線的對(duì)稱性可得Φ(-x)=P(ξ≥x)=1-Φ(x),故選項(xiàng)A正確;∵Φ(2x)=P(ξ≤2x),2Φ(x)=2P(ξ≤x),∴Φ(2x)≠2Φ(x),故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于C,P(|ξ|≤x)=P(-x≤ξ≤x)=1-2Φ(-x)=1-2[1-Φ(x)]=2Φ(x)-1,故選項(xiàng)C正確;對(duì)于D,P(|ξ|>x)=P(ξ>x或ξ<-x)=1-Φ(x)+Φ(-x)=1-Φ(x)+1-Φ(x)=2-2Φ(x),故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.12.BC曲線y=f(x)與x軸圍成的幾何圖形的面積等于1,所以A錯(cuò)誤;f(x+μ)=12πσe-x22σ2,f(μ-x)=12πσe-因?yàn)镻(μ-σ<X<μ)=P(μ<X<μ+σ),所以P(X>μ-σ)=P(μ-σ<X<μ+σ)+P(X≥μ+σ)=2P(μ<X<μ+σ)+P(X≥μ+σ),所以C正確;由正態(tài)分布曲線可知,當(dāng)x越大時(shí),P(X>x)越小,即函數(shù)F(x)=P(X>x)的值隨x的增大而減小,且F(x)在R上是減函數(shù),所以D錯(cuò)誤.13.52由題得13+b+16則E(X)=13a+2×14+3×16+4×14=2,解得a=0,則D(X)=(0-2)2×13+(2-2)2×14+14.300∵單個(gè)果品的質(zhì)量ξ近似聽從正態(tài)分布N(90,σ2),且P(86<ξ≤90)=0.2,∴P(90≤ξ<94)=0.2,∴P(ξ≥94)=1-2×0.22=015.1225由題知,勝利次數(shù)X~B(100,p),所以D(X)=100p(1-p)≤100×p+1-p22=25,當(dāng)且僅當(dāng)p=1-p,即16.25450依題意,每次摸到白球的概率為13,摸到紅球的概率為23,兩次摸到的球顏色相同的概率P=13×13+所以X的均值為E(X)=45×59=用A表示“回答問題一”,B表示“回答問題二”,C表示“在問卷中畫×”,則有P(A)=59,P(B)=1-P(A)=49,P(A)P(C|A)=P(AC)=13×13=19.因?yàn)镻(C)=29,由全概率公式P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B),得29=1917.解設(shè)A=“螺釘是次品”,B1=“螺釘由Ⅰ號(hào)機(jī)器生產(chǎn)”,B2=“螺釘由Ⅱ號(hào)機(jī)器生產(chǎn)”,B3=“螺釘由Ⅲ號(hào)機(jī)器生產(chǎn)”,則P(B1)=0.35,P(B2)=0.4,P(B3)=0.25,P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01,(1)由全概率公式,得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.03×0.35+0.02×0.4+0.01×0.25=0.021.(2)P(B2|A)=P18.解因?yàn)棣蝵N(90,100),所以μ=90,σ=100=10.(1)由于隨機(jī)變量在區(qū)間[μ-2σ,μ+2σ]上取值的概率是0.9545,而該正態(tài)分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考試成果ξ位于區(qū)間[70,110]上的概率為0.9545.(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.由于隨機(jī)變量在區(qū)間[μ-σ,μ+σ]上取值的概率是0.6827,所以考試成果ξ位于區(qū)間[80,100]上的概率是0.6827.一共有2000名學(xué)生,所以考試成果在[80,100]的考生大約有2000×0.6827≈1365(人).19.解(1)由題知,X的全部可能取值為0,1,2,依題意得P(X=0)=C43C63=15,P(X=1)=∴X的分布列如表所示.X012P131(2)設(shè)“甲、乙都未被選中”為事務(wù)C,則P(C)=C∴所求概率為P(C)=1-P(C)=1-1(3)P(B)=C52C63=1020.解(1)∵這6個(gè)問題中,甲組能正確回答其中的4個(gè)問題,∴甲組至少答對(duì)兩個(gè)問題的概率P1=1-C41×C(2)設(shè)甲組答對(duì)題數(shù)為X,則X全部可能取值為1,2,3,則P(X=1)=C4P(X=2)=C42×C21C6故E(X)=1×15+2×35+D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3設(shè)乙組答對(duì)題數(shù)為Y,由題意可得,隨機(jī)變量Y~B3,23,故E(Y)=3×23=2,D(Y