寧夏回族自治區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考文試題含解析

Page15寧夏回族自治區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考文試題測(cè)試時(shí)間：120分鐘滿分：150分第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的）1.已知集合，則的元素個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】依據(jù)交集的定義可得答案.【詳解】因?yàn)榧?，，則，所以集合元素的個(gè)數(shù)為2.故選：B.2.若復(fù)數(shù)z滿意，其中i為虛數(shù)單位，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求解.【詳解】由題知，.故選：B.3.在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)零點(diǎn)存在定理，分別求各選項(xiàng)的端點(diǎn)函數(shù)值，找出函數(shù)值異號(hào)的選項(xiàng)即可【詳解】由題意，因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在定理，故函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為故選：C4.若滿意對(duì)定義域內(nèi)隨意的，都有，則稱為“好函數(shù)”，則下列函數(shù)是“好函數(shù)”的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求解.【詳解】解：因?yàn)?，滿意，所以，故選：D5.已知命題；命題，則下列命題中為真命題的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先推斷命題p和命題q的真假，然后依據(jù)且或非之間關(guān)系選出正確的選項(xiàng).【詳解】由題知，命題，，當(dāng)，符合題意，故命題p為真命題，為假命題，命題，，成立，故命題q為真命題，為假命題，所以為真命題，為假命題，為假命題，為假命題.故選：A6.中，，，，則（）A. B.2 C. D.1【答案】B【解析】【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理求角B，然后由正弦定理可得.【詳解】因?yàn)?，，所以由正弦定理知：，所?故選：B7.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式、充分、必要條件的學(xué)問(wèn)確定正確答案.【詳解】若，則，即.若，則，則.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A8.函數(shù)?大致圖像為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性和的正負(fù)可推斷D為函數(shù)?的圖像【詳解】解：由可得定義域?yàn)?，且，所以是偶函?shù)，故A，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：D9.在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為，，，且，則的形態(tài)是（）A等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理將邊化角得到，再由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式推斷即可．【詳解】解：在中，，由正弦定理得，又，，即，，在中，，，又，．是直角三角形．故選：B．10.如圖是杭州2024年第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，名為“潮涌”，形象象征著新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義大潮的涌動(dòng)和發(fā)展.如圖是會(huì)徽的幾何圖形，設(shè)弧長(zhǎng)度是，弧長(zhǎng)度是，幾何圖形面積為，扇形面積為，若，則（

）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】依據(jù)弧長(zhǎng)公式，可得出兩個(gè)扇形的半徑之比，從而可求出面積之比.【詳解】設(shè)，，，，，而，，即是的中點(diǎn)，，，.故選：C11.已知是定義域?yàn)槠婧瘮?shù)，滿意．若，則（）A.13 B.0 C. D.1【答案】D【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，，再由，即可得到是以為周期的周期函數(shù)，再求出、、的值，即可得解.【詳解】解：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，，又，所以，即，所以，即是以為周期的周期函數(shù)，又，所以，，，所以，所以.故選：D12.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)隨意，恒成立，則的解集是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得原不等式的解集.【詳解】設(shè)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以在上單調(diào)遞增．由可得，即，又在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以原不等式的解集是，故選：D．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共4小題，每小題5分）13.__________．【答案】0【解析】【分析】依據(jù)余弦的兩角和公式進(jìn)行計(jì)算可得答案.【詳解】..故答案為：.14.已知，則__________．【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo)，然后計(jì)算出，得到求解即可.【詳解】由題得，所以，所以，得故答案為：15.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________．【答案】【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的推斷方法干脆推斷即可.【詳解】由得函數(shù)定義域：，解得，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞減，所以依據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的推斷方法得在上單調(diào)遞增，故答案為：.16.已知是第四象限角，且，則___________.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系可得，再由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)目標(biāo)式求值即可.【詳解】由題設(shè)，，.故答案為：三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知函數(shù)（p，q為常數(shù)），且滿意，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)處函數(shù)值，代入解析式，即可得p，q值，即可得答案.（2）由（1）可得解析式，依據(jù)基本不等式，可得的最小值，分析即可得答案.【小問(wèn)1詳解】，，解得，函數(shù)的解析式為.【小問(wèn)2詳解】，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，當(dāng)，函數(shù)的最小值是2，要使，關(guān)于的不等式恒成立，只需，所以，解得.實(shí)數(shù)的取值范圍是18.已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、兩角差的正弦綻開(kāi)式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，再計(jì)算可得答案；（2）利用平移可得函數(shù)的解析式，依據(jù)的范圍可得答案.【小問(wèn)1詳解】，由，得，即，故或，，即或，，又∵∴；【小問(wèn)2詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得函數(shù)圖象的解析式為，，，所以函數(shù)在上的值域?yàn)椋?9.已知曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為3，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在上的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，然后利用在點(diǎn)處的切線的斜率為3，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極值，建立方程組，求解即可；（2）求導(dǎo)，推斷函數(shù)在的單調(diào)性，然后求最小值即可.【小問(wèn)1詳解】，結(jié)合題意可得解得，故，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.【小問(wèn)2詳解】由（1）知．令，解得或，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在上有極大值，無(wú)微小值，所以極大值為，又因?yàn)?，，，故在上的最小值是?0.已知四邊形ABCD是由△ABC與△ACD拼接而成的，且在△ABC中，．（1）求角B的大??；（2）若∠．求AB的長(zhǎng)．【答案】（1）B（2）AB＝3【解析】【分析】（1）由余弦定理結(jié)合，即可求出角B的大小.（2）設(shè)AC＝x，∠CAB＝α，在△ABC中，由正弦定理可得xsinα①，在△ADC中，由正弦定理可得x②，聯(lián)立①②，可得tanα，在△ABC中，由正弦定理可求出，再由余弦定理即可求出AB的長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】∵，∴整理可得，BC2+AB2﹣AC2＝BC?AB，∴在△ABC中，由余弦定理可得cosB，0＜B＜π，∴B．【小問(wèn)2詳解】∵B，∠，∴設(shè)AC＝x，∠CAB＝α，則在△ABC中，由正弦定理，可得，可得xsinα，①在△ADC中，由正弦定理，可得，可得x，②，∴聯(lián)立①②，可得sinα＝2sin（α），可得tanα，可得cosα，sinα，∴在△ABC中，由正弦定理，可得AC，∵由余弦定理AC2＝BC2+AB2﹣2AB?BC?cosB，可得7＝4+AB2﹣2，可得AB2﹣2AB﹣3＝0，∴解得AB＝3，（負(fù)值舍去）．21.已知.（1）探討的單調(diào)性；（2）若有一個(gè)零點(diǎn)，求k的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）求出定義域，求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，畫(huà)出函數(shù)的圖象，確定參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.綜上可知，時(shí)，在上單調(diào)遞增.時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】有一個(gè)零點(diǎn)，可得有一個(gè)實(shí)根，令，.令，得；令，得.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴.又，∴時(shí)，；時(shí)，.大致圖象如圖所示，若直線y＝－k與的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，則或，即或.∴k的取值范圍是.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑．按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分，不涂、多涂均按所答第一題評(píng)分；多答按所答第一題評(píng)分．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線的參數(shù)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線相交于A，兩點(diǎn)，求的值．【答案】（1），（t為參數(shù)）；（2）【解析】【分析】（1）由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，可干脆寫(xiě)出其參數(shù)方程；利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中,利用參數(shù)的幾何意義可求得的值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，故直線的參數(shù)方程為,（t為參數(shù)），即，（t為參數(shù)）；由可得，即，將代入，可得曲線的直角坐標(biāo)方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，將直線l的參數(shù)方程代入，即中，得：，整理得