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2025屆上海市寶山區(qū)通河中學(xué)高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)()的部分圖象如圖所示,且,則的最小值為()A. B.C. D.2.在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)點(diǎn),漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.3.要得到函數(shù)的圖像,只需把函數(shù)的圖像()A.向左平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位4.若命題p:從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一;命題q:在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M,則∠AMB>90°的概率為π8A.p∧qB.(?p)∧qC.p∧(?q)D.?q5.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最小值為()A.-5 B.2 C.7 D.116.復(fù)數(shù)的虛部是()A. B. C. D.7.為了加強(qiáng)“精準(zhǔn)扶貧”,實(shí)現(xiàn)偉大復(fù)興的“中國(guó)夢(mèng)”,某大學(xué)派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加三個(gè)貧困縣的調(diào)研工作,每個(gè)縣至少去1人,且甲、乙兩人約定去同一個(gè)貧困縣,則不同的派遣方案共有()A.24 B.36 C.48 D.648.已知,復(fù)數(shù),,且為實(shí)數(shù),則()A. B. C.3 D.-39.復(fù)數(shù),是虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是A. B.的共軛復(fù)數(shù)為C.的實(shí)部與虛部之和為1 D.在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限10.下列判斷錯(cuò)誤的是()A.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則B.已知直線平面,直線平面,則“”是“”的充分不必要條件C.若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布:,則D.是的充分不必要條件11.?dāng)?shù)列滿足:,則數(shù)列前項(xiàng)的和為A. B. C. D.12.設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,若,且,則實(shí)數(shù)所有的可能取值構(gòu)成的集合是________.14.已知關(guān)于空間兩條不同直線m、n,兩個(gè)不同平面、,有下列四個(gè)命題:①若且,則;②若且,則;③若且,則;④若,且,則.其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_____.15.已知公差大于零的等差數(shù)列中,、、依次成等比數(shù)列,則的值是__________.16.已知函數(shù)在上僅有2個(gè)零點(diǎn),設(shè),則在區(qū)間上的取值范圍為_(kāi)______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若存在實(shí)數(shù),使得不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織對(duì)某地區(qū)最近10年的糧食需求量部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:年份20102012201420162018需求量(萬(wàn)噸)236246257276286(1)由所給數(shù)據(jù)可知,年需求量與年份之間具有線性相關(guān)關(guān)系,我們以“年份—2014”為橫坐標(biāo),“需求量”為縱坐標(biāo),請(qǐng)完成如下數(shù)據(jù)處理表格:年份—20140需求量—2570(2)根據(jù)回歸直線方程分析,2020年聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織計(jì)劃向該地區(qū)投放糧食300萬(wàn)噸,問(wèn)是否能夠滿足該地區(qū)的糧食需求?參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:,.19.(12分)已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式的整數(shù)解有且僅有一個(gè)值,當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)已知,若,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知圓O經(jīng)過(guò)橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)以及兩個(gè)頂點(diǎn),且點(diǎn)在橢圓C上.求橢圓C的方程;若直線l與圓O相切,與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且,求直線l的傾斜角.21.(12分)管道清潔棒是通過(guò)在管道內(nèi)釋放清潔劑來(lái)清潔管道內(nèi)壁的工具,現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個(gè)如圖1所示的圓管直角彎頭的內(nèi)壁,其縱截面如圖2所示,一根長(zhǎng)度為的清潔棒在彎頭內(nèi)恰好處于位置(圖中給出的數(shù)據(jù)是圓管內(nèi)壁直徑大小,).(1)請(qǐng)用角表示清潔棒的長(zhǎng);(2)若想讓清潔棒通過(guò)該彎頭,清潔下一段圓管,求能通過(guò)該彎頭的清潔棒的最大長(zhǎng)度.22.(10分)已知數(shù)列滿足:,,且對(duì)任意的都有,(Ⅰ)證明:對(duì)任意,都有;(Ⅱ)證明:對(duì)任意,都有;(Ⅲ)證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
是函數(shù)的零點(diǎn),根據(jù)五點(diǎn)法求出圖中零點(diǎn)及軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)可得.【詳解】由題意,,∴函數(shù)在軸右邊的第一個(gè)零點(diǎn)為,在軸左邊第一個(gè)零點(diǎn)是,∴的最小值是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性,考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性.函數(shù)的零點(diǎn)就是其圖象對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo).2、B【解析】
根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為,可設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k.再把點(diǎn)代入,求得k的值,可得要求的雙曲線的方程.【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k.又在雙曲線上,則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程,雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
運(yùn)用輔助角公式將兩個(gè)函數(shù)公式進(jìn)行變形得以及,按四個(gè)選項(xiàng)分別對(duì)變形,整理后與對(duì)比,從而可選出正確答案.【詳解】解:.對(duì)于A:可得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖像平移變換,考查了輔助角公式.本題的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè),一個(gè)是混淆了已知函數(shù)和目標(biāo)函數(shù);二是在平移時(shí),忘記乘了自變量前的系數(shù).4、B【解析】因?yàn)閺挠?件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為P1=1C42=16,即命題p是錯(cuò)誤,則?p是正確的;在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M點(diǎn)睛:本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假(含或、且、非等連接詞)的命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假的判定有機(jī)地整合在一起,旨在考查命題真假的判定及古典概型的特征與計(jì)算公式的運(yùn)用、幾何概型的特征與計(jì)算公式的運(yùn)用等知識(shí)與方法的綜合運(yùn)用,以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。5、A【解析】
根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域,再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式,找到截距的最小值.【詳解】由約束條件,畫(huà)出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線,為在軸的截距,最小的時(shí)候?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的時(shí)候,解得所以,此時(shí)故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù),屬于常規(guī)題型,是簡(jiǎn)單題.6、C【解析】因?yàn)?,所以的虛部是,故選C.7、B【解析】
根據(jù)題意,有兩種分配方案,一是,二是,然后各自全排列,再求和.【詳解】當(dāng)按照進(jìn)行分配時(shí),則有種不同的方案;當(dāng)按照進(jìn)行分配,則有種不同的方案.故共有36種不同的派遣方案,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合、數(shù)學(xué)文化,還考查數(shù)學(xué)建模能力以及分類(lèi)討論思想,屬于中檔題.8、B【解析】
把和代入再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn),利用虛部為0求得m值.【詳解】因?yàn)闉閷?shí)數(shù),所以,解得.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念,考查運(yùn)算求解能力.9、D【解析】
利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,求得,在根據(jù)復(fù)數(shù)的模,復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的概念等即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,則,的共軛復(fù)數(shù)為,復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限,故選D.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類(lèi)似于多項(xiàng)式的合并同類(lèi)項(xiàng),乘法法則類(lèi)似于多項(xiàng)式乘法法則,除法運(yùn)算則先將除式寫(xiě)成分式的形式,再將分母實(shí)數(shù)化,其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念,如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛為.10、D【解析】
根據(jù)正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí),依次對(duì)四個(gè)選項(xiàng)加以分析判斷,進(jìn)而可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng),若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱(chēng)性,有,故選項(xiàng)正確,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng),已知直線平面,直線平面,則當(dāng)時(shí)一定有,充分性成立,而當(dāng)時(shí),不一定有,故必要性不成立,所以“”是“”的充分不必要條件,故選項(xiàng)正確,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng),若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布:,則,故選項(xiàng)正確,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng),,僅當(dāng)時(shí)有,當(dāng)時(shí),不成立,故充分性不成立;若,僅當(dāng)時(shí)有,當(dāng)時(shí),不成立,故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要條件,故選項(xiàng)不正確,符合題意.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí),考查理解辨析能力與運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】分析:通過(guò)對(duì)an﹣an+1=2anan+1變形可知,進(jìn)而可知,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.詳解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴數(shù)列前項(xiàng)的和為,故選A.點(diǎn)睛:裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向,突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題,導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.12、B【解析】
先解不等式化簡(jiǎn)兩個(gè)條件,利用集合法判斷充分必要條件即可【詳解】解不等式可得,解絕對(duì)值不等式可得,由于為的子集,據(jù)此可知“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了必要不充分條件的判定,考查了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】
化簡(jiǎn)集合,由,以及,即可求出結(jié)論.【詳解】集合,若,則的可能取值為,0,2,3,又因?yàn)?,所以?shí)數(shù)所有的可能取值構(gòu)成的集合是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查集合與元素的關(guān)系,理解題意是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.14、③④【解析】
由直線與直線的位置關(guān)系,直線與平面的位置關(guān)系,面面垂直的判定定理和線面垂直的定義判斷.【詳解】①若且,的位置關(guān)系是平行、相交或異面,①錯(cuò);②若且,則或者,②錯(cuò);③若,設(shè)過(guò)的平面與交于直線,則,又,則,∴,③正確;④若,且,由線面垂直的定義知,④正確.故答案為:③④.【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線的位置關(guān)系,直線與平面的位置關(guān)系,面面垂直的判定定理和線面垂直的定義,考查空間線面間的位置關(guān)系,掌握空間線線、線面、面面位置關(guān)系是解題基礎(chǔ).15、【解析】
利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的性質(zhì),化簡(jiǎn)求出公差與的關(guān)系,然后轉(zhuǎn)化求解的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,由于、、依次成等比數(shù)列,則,即,,解得,因此,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
先根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解出的值,然后得到的解析式,采用換元法求解在上的值域即可.【詳解】因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)零點(diǎn),所以,所以,所以且,所以,所以,所以,令,所以,所以,因?yàn)?,所以,所以,所以,所以,,所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合,其中涉及到換元法求解三角函數(shù)值域的問(wèn)題,難度較難.對(duì)形如的函數(shù)的值域求解,關(guān)鍵是采用換元法令,然后根據(jù),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)的值域,同時(shí)要注意新元的范圍.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù),然后分、、三段求解不等式,綜合可得出不等式的解集;(2)求出函數(shù)的最大值,由題意得出,解此不等式即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】.(1)當(dāng)時(shí),由,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),由,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),由,解得,此時(shí).綜上所述,不等式的解集;(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,則;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,則,即;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,則.綜上所述,函數(shù)的最大值為,由題知,,解得.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值不等式的求解,同時(shí)也考查了絕對(duì)值不等式中的參數(shù)問(wèn)題,考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.18、(1)見(jiàn)解析;(2)能夠滿足.【解析】
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),結(jié)合以“年份—2014”為橫坐標(biāo),“需求量”為縱坐標(biāo)的要求即可完成表格;(2)根據(jù)表中及所給公式可求得線性回歸方程,由線性回歸方程預(yù)測(cè)2020年的糧食需求量,即可作出判斷.【詳解】(1)由所給數(shù)據(jù)和已知條件,對(duì)數(shù)據(jù)處理表格如下:年份—2014024需求量—25701929(2)由題意可知,變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系,由(1)中表格可得,,,,.由上述計(jì)算結(jié)果可知,所求回歸直線方程為,利用回歸直線方程,可預(yù)測(cè)2020年的糧食需求量為:(萬(wàn)噸),因?yàn)?,故能夠滿足該地區(qū)的糧食需求.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸直線的求法及預(yù)測(cè)應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)(2)【解析】
(1)求解不等式,結(jié)合整數(shù)解有且僅有一個(gè)值,可得,分類(lèi)討論,求解不等式,即得解;(2)轉(zhuǎn)化,使得成立為,利用不等式性質(zhì),求解二次函數(shù)最小值,代入解不等式即可.【詳解】(1)不等式,即,所以,由,解得.因?yàn)?,所以,?dāng)時(shí),,不等式等價(jià)于或或即或或,故,故不等式的解集為.(2)因?yàn)?,由,可得,又由,使得成立,則,解得或.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的求解和恒成立問(wèn)題,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,分類(lèi)討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.20、(1);(2)或【解析】
(1)先由題意得出,可得出與的等量關(guān)系,然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程,可求出與的值,從而得出橢圓的方程;(2)對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類(lèi)討論,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),可求出,然后進(jìn)行檢驗(yàn);當(dāng)直線的斜率存在時(shí),可設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn),先由直線與圓相切得出與之間的關(guān)系,再將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,由韋達(dá)定理,利用弦長(zhǎng)公式并結(jié)合條件得出的值,從而求出直線的傾斜角.【詳解】(1)由題可知圓只能經(jīng)過(guò)橢圓的上下頂點(diǎn),所以橢圓焦距等于短軸長(zhǎng),可得,又點(diǎn)在橢圓上,所以,解得,即橢圓的方程為.(2)圓的方程為,當(dāng)直線不存在斜率時(shí),解得,不符合題意;當(dāng)直線存在斜率時(shí),設(shè)其方程為,因?yàn)橹本€與圓相切,所以,即.將直線與橢圓的方程聯(lián)立,得:,判別式,即,設(shè),則,所以,解得,所以直線的傾斜角為或.【點(diǎn)睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組,解出,從而寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡(jiǎn),然后應(yīng)用根與系
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