2025年中考數(shù)學思想方法復習【整體思想】求代數(shù)式值中的整體思想（解析版）

求代數(shù)式值中的整體思想

知識方法精講

1.整體思想

從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結構的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結構特征,

善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯(lián)，進行有目

的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證

等方面都有廣泛的應用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何

中的補形等都是整體思想方法在解數(shù)學問題中的具體運用。

2.代數(shù)式求值

（1）代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結果叫做代數(shù)式的值.

（2）代數(shù)式的求值：求代數(shù)式的值可以直接代入、計算.如果給出的代數(shù)式可以化簡，要

先化簡再求值.

題型簡單總結以下三種：

①已知條件不化簡，所給代數(shù)式化簡；

②已知條件化簡，所給代數(shù)式不化簡；

③已知條件和所給代數(shù)式都要化簡.

選擇題（共7小題）

1.（2021秋?南充期末）已知〃？，〃是方程f一10X+I=0的兩根，則代數(shù)式/-9%+〃的

值等于（）

A.0B.-11C.9D.11

【考點】根的判別式；根與系數(shù)的關系

【分析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到/=10m-1，貝!b/-9根+"可化為他+"-1,

再根據(jù)根與系數(shù)的關系得到根+〃=10,然后利用整體代入的方法計算.

【解答】解：?加是方程f-10x+l=0的兩根,

m2-10w+1=0，

m2=10m-1,

m2-9m+n=10m-l-9m+n=m+n-1，

,/m,〃是方程-—10x+l=0的兩根，

...加+〃=10,

m2-9m+〃=10-1=9.

故選：C.

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若玉，X2是一元二次方程辦2+區(qū)+。=0（。7（））的兩

根，貝!|西+%=_2,XjX2=—.

一a-a

2.（2021秋?中原區(qū)校級期末）已知a-2b=3,則代數(shù)式2a-46+1的值是（）

A.-5B.-2C.4D.7

【考點】代數(shù)式求值

【分析】原式前兩項提取2變形后，將已知等式代入計算即可求出值.

【解答】解：a-26=3,

.一.原式=2（26）+1=6+1=7.

故選：D.

【點評】此題考查了代數(shù)式求值，利用了整體代入的思想，熟練掌握運算法則是解本題的關

鍵.

3.（2021秋?天門期末）如果〃/-機=2,那么代數(shù)式用（m+2）+（加-2）2的值為（）

A.-8B.-6C.6D.8

【考點】整式的混合運算一化簡求值

【分析】利用完全平方公式和單項式乘多項式的運算法則計算乘方和乘法，然后合并同類項

進行化簡，最后利用整體思想代入求值.

【解答】解：原式=冽？+2機+冽2—4加+4

=2m2-2m+4,

m2-m=2,

原式=2（m2-m）+4

=2x2+4

=4+4

=89

故選：D.

【點評】本題考查整式的混合運算，靈活應用整體思想代入求值，掌握完全平方公式

（?±Z＞）2=a2+2ab+b2的結構是解題關鍵.

4.（2021秋?晉州市期末）若/-4x-l=0,則2f_8x+2020的值為（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【考點】代數(shù)式求值

【分析】將代數(shù)式適當變形，利用整體代入的方法解答即可.

【解答】解：???/一4工-1=0,

x2-4x=].

原式=2（/-4x）+2020

=2x1+2020

=2022.

故選：B.

【點評】本題主要考查了求代數(shù)式的值，將代數(shù)式適當變形，利用整體代入的方法解答是解

題的關鍵.

5.（2021秋?長沙期末）已知X2+3X-7=0,貝!J3/+9x-l的值是（）

A.20B.21C.7D.10

【考點】代數(shù)式求值

【分析】將代數(shù)式適當變形，利用整體代入的方法解答即可.

【解答】解："+3X-7=0,

x2+3x=7,

二.原式=3（無2+3x）-1

=3x7-1

=21-1

=20.

故選：A.

【點評】本題主要考查了求代數(shù)式的值，將代數(shù)式適當變形，利用整體代入的方法解答是解

題的關鍵.

6.（2021秋?江油市期末）已知代數(shù)式x+2y的值是3,貝打-2x-4y的值是（）

A.-2B.-4C.-5D.-6

【考點】代數(shù)式求值

【分析】原式變形后，把已知代數(shù)式的值代入計算即可求出值.

【解答】解：?.?代數(shù)式x+2y的值是3,

l-2x-4y=1-2(x+2y)=1-2x3=-5.

故選：c.

【點評】此題考查了代數(shù)式求值，利用了整體代入的思想，正確將所求代數(shù)式變形是解題關

鍵.

7.(2021秋?封開縣期末)若20+x+y=-2,則20-x-y的值為()

A.-42B.42C.-2D.22

【考點】代數(shù)式求值

【分析】由20+x+y=-2可得出x+y的值，又所求式子可變形為20-(x+y),則將x+y整

體的值代入即可.

【解答】解：,??20+x+y=-2,

x+y=-22,

二.原式=20-(x+>)=20-(-22)=20+22=42.

故選：B.

【點評】此題主要考查了代數(shù)式求值，代數(shù)式中的字母沒有明確告知，而是隱含在題設中，

首先應從題設入手，尋找要求的代數(shù)式與題設之間的關系，然后利用“整體代入法”求代數(shù)

式的值.

二.填空題(共14小題)

8.(2021?饒平縣校級模擬)已知/+3尤+7的值為13,則代數(shù)式3-+9x-8的值為10.

【考點】33：代數(shù)式求值

【分析】通過己知將代數(shù)式化為f+3x=6,再將#+9工-8=312+3》)-8,代入即可求

解；

【解答】解：???Y+3x+7的值為13,

x~+3x+7=13,

x2+3x=6

.-.3X2+9X-8=3(X2+3X)-8=18-8=10；

故答案為10；

【點評】本題考查代數(shù)式求值；熟練運用整體思想是解決本題的關鍵.

9.（2021?廣東模擬）已知f+3x+5的值是7,則式子-3/-9x+2的值是_-4_.

【考點】代數(shù)式求值

【分析】首先根據(jù)Y+3x+5的值是7,求出f+3x的值是多少；然后代入式子-3--9x+2,

求出算式的值是多少即可.

【解答】解：?.?Y+3X+5=7,

x2+3x=7-5=2，

—3x~—9x+2

=—3（x~+3x）+2

=-3x2+2

=-6+2

=-4.

故答案為：-4.

【點評】此題主要考查了代數(shù)式求值問題，要熟練掌握，求代數(shù)式的值可以直接代入、計算.如

果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值.題型簡單總結以下三種：①已知條件不化簡,

所給代數(shù)式化簡；②己知條件化簡，所給代數(shù)式不化簡；③已知條件和所給代數(shù)式都要化簡.

10.（2020?東莞市一模）已知Y+x-3=0,則代數(shù)式15-2f-2x的值為9.

【考點】33：代數(shù)式求值

【分析】先求得/+x=3,依據(jù)等式的性質(zhì)得到2/+2x=6即可得到結論.

【解答】解：；x?+x-3=0,

.>x+x=3，

2x2+2x=6,

，原式=15-6=9.

故答案為：9.

【點評】本題主要考查的是求代數(shù)式的值，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

11.（2021秋?廣豐區(qū)期末）若關于x的一元二次方程辦2+bx+\=0（。w0）的一個解是x=l,

則2022-a-6的值是2023.

【考點】一元二次方程的解

【分析】先把x=l代入方程ax2+6x+l=0得至IJa+6=-l,再把2022-a-6變形為

2022-(a+6),然后利用整體代入的方法計算.

【解答】解：把％=1代入方程+bx+l=0得Q+6+1=0,

6Z+Z?——1，

2022-a-b=2022一伍+6)=2022-(-1)=2023.

故答案為：2023.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一

元二次方程的解.

12.(2021秋?安居區(qū)期末)設冽、〃是一元二次方程/+3x-7=0的兩個根，則

m2+5m+2n=1

【考點】根與系數(shù)的關系

【分析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到加2=_3冽+7,則冽2+5冽+2幾可化為

2(冽+〃)+7,再根據(jù)根與系數(shù)的關系得到冽+〃=-3,然后利用整體代入的方法計算.

【解答】解：???加是一元二次方程—+3x-7=0的根，

m2+3m—7=0,

m2=-3m+7,

/.m2+5m+2〃=-3m+7+5冽+2〃=2(m+〃)+7,

,；m、n是一元二次方程f+3工_7=o的兩個根，

:.m+n=-3，

m2+5m+2?=2x(-3)+7=1.

故答案為：1.

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若再，工2是一元二次方程ax?+&r+c=0(〃。0)的兩

*艮，貝！JX]+/=9X^2——?

aa

13.(2021秋?南充期末)已知》-1=4,則?+▲=18.

XX

【考點】完全平方公式；分式的化簡求值

【分析】根據(jù)完全平方公式將原式進行變形，然后利用整體思想代入求值.

【解答】解：原式=(X-L)2+2,

當了一工=4時，

X

原式=42+2=16+2=18,

故答案為：18.

【點評】本題考查分式的化簡求值，掌握完全平方公式3+6)2=Y+2仍+/的結構是解題

關鍵.

14.(2021秋?渝北區(qū)期末)已知2工-3夕=-萬，則代數(shù)式2021+4x-6v的值為2018.

【考點】代數(shù)式求值

【分析】原式后兩項提取2變形后，將已知等式代入計算即可求出值.

【解答】解：???2x-3y=-j,

2021+4x-6y

=2021+2(2%—3y)

=2021+2x(-1)

=2021-3

=2018.

故答案為：2018.

【點評】此題考查了代數(shù)式求值，利用了整體代入的思想，熟練掌握運算法則是解本題的關

鍵.

15.(2021秋?金牛區(qū)期末)已知y=2x-3,則式子4x—2v+2021的值為2027.

【考點】代數(shù)式求值

【分析】對已知條件進行變形，得到的值，對所求式子進行變形，再把2x-y的值整

體代入即可.

【解答】解：；y=2x-3,

2x-y=3,

4x-2y+2021=2(2x-y)+2021=2x3+2021=2027；

故答案為：2027.

【點評】此題主要考查了代數(shù)式求值，代數(shù)式中的字母沒有明確告知，而是隱含在題設中，

首先應從題設入手，尋找要求的代數(shù)式與題設之間的關系，然后利用''整體代入法”求代數(shù)

式的值；本題也可以直接把y的值代入所求式子.

16.(2021秋?錦江區(qū)校級期末)若/+2仍=1,b2-2ab=2,則一/一6a6+2b2=3.

【考點】整式的加減

【分析】將原式進行變形，然后利用整體思想代入求值.

【解答】解：原式=-/-2仍一4。6+2/

=-（ai+2ab）+2（b2-2ab）,

a2+2ab=1,b~-2ab=2,

原式=-1+2x2=-1+4=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查整式的加減，掌握合并同類項（系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變）和去括號

的運算法則（括號前面是“+”號，去掉“+”號和括號，括號里的各項不變號；括號前面

是號，去掉“-”號和括號，括號里的各項都變號），利用整體思想代入求值是解題

關鍵.

17.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）a2+ab=-3,ab-b2=6,則/+3仍-2/=」^.

【考點】整式的加減

【分析】原式進行變形后，利用整體思想代入求值.

【解答】解：原式="+仍+2°6-26。，

a2+ab=3,ab-b2=6,

原式=/+ab+2（ab-Z>2）=3+2x6=3+12=15,

故答案為：15.

【點評】本題考查整式的加減，掌握合并同類項（系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變）和去括號

的運算法則（括號前面是"+”號，去掉“+”號和括號，括號里的各項不變號；括號前面

是號，去掉號和括號，括號里的各項都變號），利用整體思想代入求值是解題

關鍵.

18.（2021秋?成華區(qū)期末）已知一元二次方程Y-3x+l=0的兩根為毛，x2,則X；-5占-2尤2

的值為_-7_.

【考點】根與系數(shù)的關系

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系及一元二次方程的解，可得出再2-3芭=-1,毛+3=3,再

整體代入即可求出結論.

【解答】解：,.?一元二次方程--3x+l=0的兩根為再，馬,

龍;一3玉=—1,%+%=3,

二.尤;一5玉一2X2=X；—3玉一2(X]+工2)=-1—2x3=-1.

故答案為：-7.

【點評】本題考查了一元二次方程的解和根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是得到x；-3占=-1,

X1+x2=3.

19.(2021秋?臨江市期末)若機〃=加+3,則3m-3加力+10=1.

【考點】代數(shù)式求值

【分析】原式進行化簡，然后利用整體思想代入求值.

【解答】解：原式=3〃?-3相〃+10=3(〃?-%")+10,

,/mn=7*+3，

m-mn=—3，

，原式=3x(-3)+10=l,

故答案為：1.

【點評】本題考查代數(shù)式求值，利用整體思想代入求值是解題關鍵.

20.(2021秋?福田區(qū)校級期末)已知/_20+1=0,則2022-2/+4。=2024.

【考點】代數(shù)式求值

【分析】由已知條件可得/-20=-1,對所求式子進行變形，整體代入即可.

【解答】解：???/-2°+1=0,

Q~—2a=-1,

二.原式=-2(/-2a)+2022

=-2x(-l)+2022

=2+2022

=2024.

故答案為：2024.

【點評】此題主要考查了代數(shù)式求值，代數(shù)式中的字母沒有明確告知，而是隱含在題設中，

首先應從題設入手，尋找要求的代數(shù)式與題設之間的關系，然后利用“整體代入法”求代數(shù)

式的值.

21.(2021秋?東城區(qū)校級期中)如果代數(shù)式2/+3x-4的值為6,那么代數(shù)式4—+6x-9的

值是11.

【考點】33：代數(shù)式求值

【分析】把已知變形后，整體代入計算即可求出值.

【解答】解：?.?2f+3x-4=6,

2x2+3x=10,

4x?+6x—9

=2(2尤2+3對-9

=20-9

=11.

故為：11.

【點評】此題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握整體代入計算的方法是解本題的關鍵.

三.解答題(共9小題)

22.(2021秋?通州區(qū)期末)先化簡，再求值：

已知cT—a=5,求(3a~-7a)-2(a~—3a+2)的值.

【考點】整式的加減一化簡求值

【分析】根據(jù)去括號、合并同類項法則把原式化簡，整體代入計算得到答案.

【解答】解：原式=31-7a-2/+6a-4

—ci~-a—4,

'：a2-a=5,

原式=5—4=1.

【點評】本題考查的是整式的化簡求值，掌握整式的加減混合運算法則是解題的關鍵.

23.(2021秋?白云區(qū)期末)已知“，b互為倒數(shù)，x,y互為相反數(shù).

(1)求式子2x+3a6+2y的值；

(2)若2"=4,b'=8,求式子72/-x"的值.

【考點】有理數(shù)的混合運算

【分析】(1)將原式進行變形，根據(jù)倒數(shù)及相反數(shù)的概念求得劭=1，x+y=Q,然后利用

整體思想代入求值；

(2)根據(jù)有理數(shù)乘方的運算法則求得6和y的值，從而確定。和x的值，代入求值即可.

【解答】解：(1)原式=2(x+y)+3仍，

??F,b互為倒數(shù)，X,＞互為相反數(shù),

/.ab=\,x+＞=0,

二.原式=2x0+3xl

=0+3

=3,

即式子21+3。6+2》的值為3；

(2)?.?2人=4,力歹=8,

:.b=2Jy=3,

又?：a,6互為倒數(shù)，x,＞互為相反數(shù),

1。

Q=—，X——3，

2

，原式=72X(；)3-(-3)2

=72x--9

8

=9-9

=0.

【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算，理解相反數(shù)和倒數(shù)的概念，注意明確有理數(shù)混合運算

順序(先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果

有括號，要先做括號內(nèi)的運算)是解題關鍵.

24.(2021秋?海淀區(qū)期末)已知/+2°-1=0,求代數(shù)式()且二1-----1—)+/—的值.

【考點】分式的化簡求值

【分析】原式小括號內(nèi)的式子先進行通分計算，然后算括號外面的除法，最后利用整體思想

代入求值.

【解答】解：原式=嚴+1)(。［1)+，三(°_1)

(6Z—1)(2—1

/。+11、/

=(—7+—7)-?(?-1)

a-1a-1

—ci+2cl,

/+2Q—1=0,

??ci+2a—1,

原式=1.

【點評】本題考查分式的化簡求值，掌握分式混合運算的運算順序(先算乘方，然后算乘除,

最后算加減，有小括號先算小括號里面的)和計算法則，利用整體代入求值是關鍵.

25.(2021秋?荔灣區(qū)期末)已知/+/=3,ab=-2,求代數(shù)式

(7a2+3ab+3b2)-2(4/+3ab+2巨)的值.

【考點】整式的加減一化簡求值

【分析】原式去括號，合并同類項進行化簡，然后利用整體思想代入求值.

【解答】解：＞55=la1+3ab+3b2-8a2-6ab-4b2

=_3ab—b~；

當。2+/=3,仍=一2時，

原式=-(/+b2)-3ab

=-3-3x(-2)

=-3+6

=39

.?.原代數(shù)式的值為3.

【點評】本題考查整式的加減一化簡求值，掌握合并同類項(系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變)

和去括號的運算法則(括號前面是“+”號，去掉“+”號和括號，括號里的各項不變號；

括號前面是號，去掉號和括號，括號里的各項都變號)，利用整體思想解題是

關鍵.

26.(2021秋?鐵西區(qū)期末)利用乘法公式解決下列問題：

(1)若x-y=8,xy=40.則x?+丁=144；

(2)已知，若x滿足(25-x)(x—10)=-15,求(25-?+(工-10)2值.

【考點】多項式乘多項式；完全平方公式

【分析】(1)由(x-y)2=/一2盯+/,給等式兩邊同時加上2孫，再根據(jù)已知條件即可得

出答案；

(2)設25-x=a,x-l0=b,則(25-x)?+(x-10)2=/=3+32_2外，再代入計算

即可

【解答】解：(1)：x2+y2=(x-y)2+2中，

把x-y=8,中=40,代入上式,得尤2+J?=8?+2義40=144.

故答案是：144；

(2)設25-x=a,x-10=Z>,

由(a+6)2=a2+2ab+b2進行變形得，

a~+b~=(a+by—2ab，

二.(25—尤)~+(x—1Op

=[(25-x)+(x-l0)]2-2(25-x)(x-10)

=152-2x(-15)

=225+30

=255.

【點評】此題考查了多項式乘多項式，完全平方公式的變式應用能力，屬于基礎計算題.

27.(2021秋?西城區(qū)校級期中)若X*T+5=7,求2(它-x)-3(x-l)+(3x-4)的值，

【考點】整式的加減一化簡求值

【分析】先把給出的多項式進行化簡，由題意得出的值，再整體代入即可.

【解答】解：原式=2/-2x-3x+3+3x-4

=2X2-2X-1,

*.*-x+5=7,

:.x2-x=2,

原式=2(x2-x)-1=4-1=3.

【點評】此題主要考查了代數(shù)式求值，代數(shù)式中的字母沒有明確告知，而是隱含在題設中，

首先應從題設入手，尋找要求的代數(shù)式與題設之間的關系，然后利用“整體代入法”求代數(shù)

式的值.

28.(2021秋?思明區(qū)校級期中)所謂完全平方式，就是對一個整式如果存在另一個整

式N,使"=鋸，則稱”是完全平方式，如/=(/)2、x2+2xy+y2^(x+y)2,則稱一、

，+2盯+/是完全平方式.

(1)下列各式中是完全平方式的有②⑤⑥.(填寫編號)

①/+40+4/；②4犬；③，-初+V；④y270y一25；⑤V+12X+36；⑥5。2-2。+49.

(2)證明：多項式x(x+4)2(x+8)+64是—於完全平方式.

(3)已知a、b、c是A48C的三邊長，滿足/+"+2c2=2c(a+6),判定AABC的形狀.

【考點】幕的乘方與積的乘方；完全平方式；因式分解的應用

【分析】(1)通過題干定義，通過完全平方式(。+6)2=/+2仍+/分別判斷求解.

(2)先將x(x+4)2(x+8)+64整理為(x2+8x)(x2+8x+16)+64,然后將(Y+8x)作為整體

求解.

(3)將/+廿+2c?=2c(a+6)整理為(a-c>+(6-cP=0求解.

【解答】解：(1)①/+4a+4/,不是我去蘋果是，不符合題意.

②4V=(2x)2,符合題意.

③X?-中+了2=(x-y)2+中，不符合題意.

@/-10y-25=(y-5)2+50,不符合題意.

⑤X?+12x+36=(x+6)2,符合題意.

@—a2-2a+49=(-a-7)2,符合題意.

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故答案為：②⑤⑥.

(2)?.?X(X+4)2(X+8)+64

—(x2+8x)(x2+8x+16)+64

=(f+8x)2+[6(/+80+64

=(x2+8x+8)2,

多項式x(x+4)2(x+8)+64是一個完全平方式.

(3)a2+b2+2c2—2c(a+b)=lac+2bc,

a~—2ac+c~+b~—2bc+/=0，

(a-c)2+(b-c)2=0,

ci—c—0,b—c—0?

..ci—b—c,

AABC是等邊三角形.

【點評】本題考查因式分解的應用，解題關鍵是掌握完全平方式，通過整體思想求解.

29.(2021秋?六盤水月考)“整體思想”是中學