2025年中考數(shù)學思想方法復習【轉(zhuǎn)化思想】函數(shù)中的轉(zhuǎn)化思想（解析版）

函數(shù)中的轉(zhuǎn)化思想

知識方法精講

1.轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學思

維方式。所謂的轉(zhuǎn)化思想方法，就是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過

變換使之轉(zhuǎn)化，進而達到解決的一種方法。一般總是將復雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單問題;

將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題;將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問

題。總之，轉(zhuǎn)化在數(shù)學解題中幾乎無處不在，轉(zhuǎn)化的基本功能是：生疏化成熟悉，復雜化成

簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說到底，轉(zhuǎn)化的實質(zhì)就是以運動變化發(fā)展的觀點，以

及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點看待問題，善于對所要解決的問題進行變換轉(zhuǎn)化，使

問題得以解決。實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有：待定系數(shù)法，配方法，整體代入法以及化動為靜,

由抽象到具體等轉(zhuǎn)化思想。

2.一次函數(shù)綜合題

(1)一次函數(shù)與幾何圖形的面積問題

首先要根據(jù)題意畫出草圖，結合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積.

(2)一次函數(shù)的優(yōu)化問題

通常一次函數(shù)的最值問題首先由不等式找到x的取值范圍，進而利用一次函數(shù)的增減性在前

面范圍內(nèi)的前提下求出最值.

(3)用函數(shù)圖象解決實際問題

從已知函數(shù)圖象中獲取信息，求出函數(shù)值、函數(shù)表達式，并解答相應的問題.

3.二次函數(shù)的圖象

(1)二次函數(shù)夕二辦2(aWO)的圖象的畫法：

①列表：先取原點(0,0),然后以原點為中心對稱地選取x值，求出函數(shù)值，列表.

②描點：在平面直角坐標系中描出表中的各點.

③連線：用平滑的曲線按順序連接各點.

④在畫拋物線時，取的點越密集，描出的圖象就越精確，但取點多計算量就大，故一般在

頂點的兩側(cè)各取三四個點即可.連線成圖象時，要按自變量從小到大(或從大到小)的順序

用平滑的曲線連接起來.畫拋物線》=仆2QW0)的圖象時，還可以根據(jù)它的對稱性，先用

描點法描出拋物線的一側(cè)，再利用對稱性畫另一側(cè).

(2)二次函數(shù)yMqf+bx+c(aWO)的圖象

二次函數(shù)^="2+及+。(QWO)的圖象看作由二次函數(shù)>=辦2的圖象向右或向左平移|互|

2a

個單位，再向上或向下平移?超」3個單位得到的.

4.二次函數(shù)的性質(zhì)

2

二次函數(shù)V=ax2+bx+c(QWO)的頂點坐標是(-一，b),對稱軸直線'=-q_,

2a4a2a

二次函數(shù)歹=Qf+bx+c(aWO)的圖象具有如下性質(zhì)：

①當Q>0時，拋物線v=Q/+bx+c(QWO)的開口向上，XV--L時，y隨X的增大而減小;

2a

2

X>--L時，y隨X的增大而增大；x=--L時，y取得最小值紇0一,即頂點是拋物線

2a2a4a

的最低點.

②當a<0時，拋物線y=a/+6x+c(a￥O)的開口向下，x<-時，/隨x的增大而增大;

2a

2

x>-旦時，V隨X的增大而減??；x=-_k_時，4取得最大值要0一，即頂點是拋物線

2a2a4a

的最高點.

③拋物線yuaf+fcr+cCaWO)的圖象可由拋物線>=辦2的圖象向右或向左平移|--L|個單

一2a

位，再向上或向下平移|個單位得到的.

5.二次函數(shù)圖象與幾何變換

由于拋物線平移后的形狀不變，故。不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方

法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮

平移后的頂點坐標，即可求出解析式.

6.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

(1)二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：

①一般式：y—ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，aWO)；②頂點式：y—a(x-/z)~+k(a,h,

左是常數(shù)，aWO),其中(h,k)為頂點坐標；③交點式：y=a(x-xi)(x-X2)Ca,b,c

是常數(shù)，aWO)；

(2)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.

在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系

式，從而代入數(shù)值求解.一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列

三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設其解析式為頂點式來求解；

當已知拋物線與X軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解.

7.拋物線與x軸的交點

求二次函數(shù)y=af+6x+c（°,6,c是常數(shù)，aWO）與x軸的交點坐標，令y=O,即^^+加什。

=0,解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標.

（1）二次函數(shù)y=ox2+6x+c（a,b,c是常數(shù)，aWO）的交點與一元二次方程ax2+6x+c=0

根之間的關系.

△=啟-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù).

△=y-4℃>0時，拋物線與x軸有2個交點；

△=房-4℃=0時，拋物線與x軸有1個交點；

△=廬-4℃<0時，拋物線與x軸沒有交點.

（2）二次函數(shù)的交點式：y=a（x-xi）（x-X2）（a,b,c是常數(shù)，aWO）,可直接得到拋

物線與x軸的交點坐標（XI,0）,（X2,0）.

8.圖象法求一元二次方程的近似根

利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似根的步驟是：

（1）作出函數(shù)的圖象，并由圖象確定方程的解的個數(shù)；

（2）由圖象與夕=〃的交點位置確定交點橫坐標的范圍；

（3）觀察圖象求得方程的根（由于作圖或觀察存在誤差，由圖象求得的根一般是近似的）.

9.二次函數(shù)與不等式（組）

二次函數(shù)y=ax2+6x+c（a、b、c是常數(shù)，aWO）與不等式的關系

①函數(shù)值〉與某個數(shù)值加之間的不等關系，一般要轉(zhuǎn)化成關于x的不等式，解不等式求得

自變量x的取值范圍.

②利用兩個函數(shù)圖象在直角坐標系中的上下位置關系求自變量的取值范圍，可作圖利用交

點直觀求解，也可把兩個函數(shù)解析式列成不等式求解.

10.二次函數(shù)綜合題

（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結合問題

解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關系

式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即

為正確選項.

（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用

將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關鍵

是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識,

并注意挖掘題目中的一些隱含條件.

(3)二次函數(shù)在實際生活中的應用題

從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數(shù)模型.關鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立

直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的

取值范圍要使實際問題有意義.

選擇題(共12小題)

1.(2021秋?余杭區(qū)月考)某二次函數(shù)的圖象與函數(shù)y=g/-4x+3的圖象形狀相同、開口

方向一致，且頂點坐標為(-2,1),則該二次函數(shù)表達式為()

A.y=-(x-2)2+1B.y=-(x-2)2-1

11,

C.y=-(x+2)2+1D.y=--(x+2)2+1

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)

【分析】設拋物線的解析式為y=q(x+/z)2+左，由條件可以得出再將頂點坐標代入

解析式就可以求出結論.

【解答】解：設拋物線的解析式為歹=〃(工+力)2+左，且該拋物線的形狀與開口方向和拋物

線歹=—X2一4%+3的相同，

2

1

CL——，

2

1

~(x+〃9)+左，

,頂點坐標是(-2,1),

1,

,-.j；=-(x+2)2+1,

這個函數(shù)解析式為y=；(尤+2>+1.

故選：C.

【點評】本題考查了根據(jù)頂點坐標運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運用，在解答時運

用拋物線的性質(zhì)求出。值是關鍵.

2.(2021?市中區(qū)三模)拋物線了=/+法+3的對稱軸為直線x=l.若關于x的一元二次方

程/+（6+2K+3-=0（/為實數(shù)）在-l<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根，則I的取值范圍是（）

A.3-#<19B.2C.6<^<11D.2-#<6

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；拋物線與X軸的交點

【分析】先利用拋物線的對稱軸方程得到6=-2,再利用方程/=-3在-1<X<4的范圍

內(nèi)有實數(shù)根，則/-3W且d=<4或/-%笥且-VTb>-1,然后解不等式確定/的范圍.

【解答】解：?.?拋物線kf+6x+3的對稱軸為直線x=l,

——=1,解得6=—2,

2

二關于x的一元二次方程x?+（6+2）x+3-t=0（/為實數(shù)）化為/=/-3,

,關于x的一元二次方程x?+（b+2）x+3-f=0（/為實數(shù)）在-1<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根，

t—3To且［t-3<4或t—3co且/-3>—1,

解得3v■<19或<4,

綜上所述，，的范圍為3vL<19.

故選：A.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)了="2+為+°（。，b,c是常數(shù),

a片0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

3.（2021?榆陽區(qū)模擬）拋物線y=f+bx+2的對稱軸為直線x=l.若關于x的一元二次方

程/+酗+2-=0”為實數(shù)）在-l<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根，則f的取值范圍是（）

A.1~#<5B.fdC.5<f<10D.1-#<10

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；拋物線與x軸的交點

【分析】先利用拋物線的對稱軸方程求出6=-2,則可把關于x的一元二次方程

x2+bx+2-=0?為實數(shù)）在-1cx<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根轉(zhuǎn)化為拋物線了=x2-2x+2-（/

為實數(shù)）在-l<x<4的范圍與x軸有交點（如圖），結合圖象和判別式的意義得到^

=（-2>-4（2-且x=4時，y>0,即16-8+2->0,然后求出兩不等式的公共部分

即可.

【解答】解：?.■拋物線y=Y+bx+2的對稱軸為直線x=l,

—=1,解得6=-2,

2x1

關于x的一元二次方程/+灰+2-/=0變形為--2工+2-/=0,

把關于x的一元二次方程/+云+27=0”為實數(shù)）在-l<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根轉(zhuǎn)化為

拋物線y=f-2x+2-9為實數(shù)）在-l<x<4的范圍與x軸有交點（如圖），

A=（-2）2-4（2-/）^Mx=40t,y>Q,即16-8+2-/>0,

解得1-#<10.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)了="2+反+c（a,b,c是常數(shù),

。w0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關于x的一元二次方程；△="4ac決定拋物線與x

軸的交點個數(shù).也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

4.（2020秋?鄭城縣期末）拋物線了=f+bx+2的對稱軸為直線x=l.若關于x的一元二

次方程/+法+2-=0”為實數(shù)）在T<x<5的范圍內(nèi)有實數(shù)根，貝卜的取值范圍是（）

A.U0B.<17C.<17D.3~^<19

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；拋物線與X軸的交點

【分析】一元二次方程/+法+2-=0（，為實數(shù)）在-1<X<5的范圍內(nèi)有實數(shù)根，則

乂=/-2x+2和〉=f有交點，進而求解.

【解答】解：x=l=--,解得6=-2,

2

設了］=x~+bx+2=x?—2x+2=（x-1）~+11

則該函數(shù)的開口向上，頂點坐標為（1,1）,

則x=5比x=-l離函數(shù)的對稱軸遠，

當x=5時，=x2-2x+2=25-10+2=17,

而一元二次方程x2+bx+2-t=Q（t為實數(shù)）在-1<工<5的范圍內(nèi)有實數(shù)根,

貝!］弘=尤？-2x+2和y=/有交點，

故1十<17,

故選：C.

【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，主要考查函數(shù)圖象上點的坐標特征，要求學生

非常熟悉函數(shù)與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數(shù)特征.

5.（2021?尋烏縣模擬）拋物線y=x?+辦+3的對稱軸為直線x=l.若關于x的方程

尤2+G+3-=0（/為實數(shù)）在-2<x<3的范圍內(nèi)有實數(shù)根，則f的取值范圍是（）

A.6<^<11B.C.<11D.<6

【考點】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)；HA：拋物線與x軸的交點

【分析】根據(jù)給出的對稱軸求出函數(shù)解析式為了=V-2x+3,將一元二次方程

/+^+3-/=0的實數(shù)根可以看做了=》2-2工+3與函數(shù)〉=1的有交點，再由-2<x<3的

范圍確定y的取值范圍即可求解.

【解答】解：?.?>=/+依+3的對稱軸為直線了=1,

u=-2,

y=x2-2x+3,

二.一元二次方程x2+ax+3-t=0的實數(shù)根可以看做歹=f—2%+3與函數(shù)》的有交點，

???方程在-2<x<3的范圍內(nèi)有實數(shù)根，

當x=-2時，>=11;

當％=3時，y=6；

函數(shù)>=2x+3在時有最小值2；

2_#,<11.

故選：C.

【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；能夠?qū)⒎匠痰膶崝?shù)根問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與直線

的交點問題，借助數(shù)形結合解題是關鍵.

6.（2021?啟東市模擬）拋物線了=-》2+bx+3的對稱軸為直線x=-l,若關于x的一元二次

方程-2+法+3-1=0。為實數(shù)）在-2<x<3的范圍內(nèi)有實數(shù)根，貝野的取值范圍是（）

A.-12WB.-12<Z<4C.-12<pD.-12<?<3

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；拋物線與x軸的交點

【分析】根據(jù)給出的對稱軸求出函數(shù)解析式為了=-f_2x+3，將一元二次方程

-x2+to+3-Z=0的實數(shù)根可以看作了=-Y-2x+3與函數(shù)y=f的圖象有交點，再由

-2<x<3的范圍確定〉的取值范圍即可求解.

【解答】解：?.?拋物線、=-/+反+3的對稱軸為直線》=-1,

b=-2,

y=-x~—2x+3,

J一元二次方程-Y++3-f=0的實數(shù)根可以看作了=-》2-2工+3與函數(shù)〉=/的圖象有

交點，

?.■方程在-2<x<3的范圍內(nèi)有實數(shù)根，

當x=-2時，了=3；

當x=3時，y=-12；

函數(shù)y=-x?-2x+3在x=T時有最大值4；

/,—12<才-^4.

故選：C.

【點評】本題考查拋物線與X軸的交點，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；能夠?qū)⒎匠痰膶崝?shù)根問題

轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與直線的交點問題，借助數(shù)形結合解題是關鍵.

7.二次函數(shù)了=/+法的對稱軸為直線x=2,若關于x的一元二次方程X?+6無-/=0?為

實數(shù)）在-l<x<4的范圍內(nèi)有解，貝!1/的取值范圍是（）

A.0</<5B.—4世<5C.—4y<0D.

【考點】根的判別式；二次函數(shù)的性質(zhì)；拋物線與X軸的交點

【分析】先求出6,確定二次函數(shù)解析式，關于X的一元二次方程/+為-才=0的解可以看

成二次函數(shù)y=f-4x與直線y=f的交點，-l<x<4時-4守<5,進而求解.

【解答】解：?.?對稱軸為直線x=2,

/.b=—4,

y=無？-4尤,

關于x的一元二次方程x2+bx-t=0的解可以看成二次函數(shù)y=x2-4x與直線y=f的交點，

----1<x<4,

，二次函數(shù)y的取值為-4守<5,

-4^^<5；

故選：B.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解；將一元二次方程的解轉(zhuǎn)換為二

次函數(shù)與直線交點問題，數(shù)形結合的解決問題是解題的關鍵.

8.二次函數(shù)了=Y+6x—的對稱軸為x=2.若關于x的一元二次方程/=0在

-l<x<3的范圍內(nèi)有實數(shù)解，貝I"的取值范圍是（）

A.—<5B.—<—3C.t^=~4D.—3<f<5

【考點】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)；HA：拋物線與x軸的交點

【分析】根據(jù)對稱軸求出6的值，從而得到x=-l、3時的函數(shù)y=f-4x值，再根據(jù)一元

二次方程f=0（/為實數(shù)）在-1<x<3的范圍內(nèi)有解相當于y=x,+6%與y=/在x的

范圍內(nèi)有交點解答.

【解答】解：???拋物線的對稱軸x=-。=2,

2

b=-4,

則方程/=0,BPx2-4x-^=0的解相當于y=f一4%與直線y=/的交點的橫坐標,

???方程/+及-，=0在-1<%<3的范圍內(nèi)有實數(shù)解，

.?.當x=—1時，>=1+4=5,

當％=3時，y=9-n=-3,

X=x2-4x=（x-2）2-4,

.?.拋物線歹—4x的對稱軸為x=2,最小值為>=—4,

.?.當一l<x<3時，貝4寸<5,

.?.當-4V<5時，直線y=f與拋物線了=/-4無在-l<x<3的范圍內(nèi)有交點,

即當-4世<5時，方程/+樂T=0在-l<x<3的范圍內(nèi)有實數(shù)解，

:/的取值范圍是+f<5,

故選：A.

【點評】本題主要考查拋物線與x軸的交點，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關

鍵.難點是把一元二次方程/+笈7=0在-l<x<3的范圍內(nèi)有實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)

y=x2+6x與直線y=f在-1<x<3的范圍內(nèi)有交點的問題進行解答.

9.二次函數(shù)了=x2+bx-l的圖象如圖，對稱軸為直線x=l,若關于x的一元二次方程

尤2-2》-1-/=0。為實數(shù)）在-l<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)解，貝！k的取值范圍是（）

【考點】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)；HA：拋物線與x軸的交點

【分析】利用對稱性方程求出6得到拋物線解析式為y=f-2尤-1,則頂點坐標為（1,-2）,

再計算當-l<x<4時對應的函數(shù)值的范圍為-2守<7,由于關于x的一元二次方程

x2-2x-l-t^0（t為實數(shù)）在-l<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)解可看作二次函數(shù)y=f-2x-1

與直線y=t有交點，然后利用函數(shù)圖象可得到/的范圍.

【解答】解：拋物線的對稱軸為直線x=-2=l,解得6=-2,

2

.?.拋物線解析式為y=x2-2x-l,則頂點坐標為（1,-2）,

當x=-1時，y=x2—2x—1=2；當x=4時，y=x2—2x—1=7,

當-l<x<4時，一2寸<7,

而關于x的一元二次方程x2-2x-l-t^0（f為實數(shù)）在-l<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)解可看作

二次函數(shù)y=f-2工-1與直線>=:有交點,

<7.

故選：B.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)了="2+法+或0,b,c是常數(shù)，

。*0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

10.（2020?日照二模）拋物線y=f+笈+3的對稱軸為直線x=2.若關于x的一元二次方

程尤2+樂+3-=0。為實數(shù)）在l<x<5的范圍內(nèi)只有一個實數(shù)根，則/的取值范圍是（

）

A.（M"<8或f=-lB.XC.0<?<8D.

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；拋物線與x軸的交點

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸求得6值，從而得出函數(shù)的解析式，將一元二次方程

/+加+3-/=0。為實數(shù)）在-l<x<5的范圍內(nèi)有實數(shù)根可以看作>=/一4工+3與函數(shù)

y=t有交點，再由-1<x<5時的臨界函數(shù)值及對稱軸處的函數(shù)值得出/的取值范圍即可.

【解答】解：?.■拋物線了=Y+6x+3的對稱軸為直線x=2.

——=2,解得：b=—4）

2

y=x2-4x+3,

J一元二次方程x2+bx+3-t=0有實數(shù)根可以看作了=尤2-4%+3與函數(shù)》=/只有一個交

點，

V方程x2-4x+3-t^0（t為實數(shù)）在l<x<5的范圍內(nèi)只有一個實數(shù)根，

當x=1時，y=0；

當x=5時，y=8；

當x=2時，y=-l；

當/=一1時，就是過頂點時也是一個實數(shù)根.

：.t的取值范圍是（>m<8或者f=-i.

故選：A.

【點評】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點及交點與一元二次方程的實數(shù)根的關系，明確二

次函數(shù)的相關性質(zhì)是解題的關鍵.

11.（2020春?越秀區(qū)校級月考）拋物線了=/+樂+3的對稱軸為直線x=2.若關于》的一

元二次方程/+法+3-=0（，為實數(shù)）在-l<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根，則/的取值范圍是（

）

A.-1-#<3B.3</<8C.-1-#<8D.—1<Z<4

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；拋物線與X軸的交點

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸求得6值，從而得出函數(shù)的解析式，將一元二次方程

x2+bx+3-t=O（t為實數(shù)）在-1<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根可以看做了=f-4x+3與函數(shù)

y=，有交點，再由-1<x<4時的臨界函數(shù)值及對稱軸處的函數(shù)值得出力的取值范圍即可.

【解答】解：?.?拋物線>=尤2+樂+3的對稱軸為直線苫=2.

——=2,解得：6=-4,

2

y——4x+3,

.1一元二次方程/+加+3-=0有實數(shù)根可以看做y=f-4x+3與函數(shù)y=/有交點，

?.■方程--4x+3-1=0”為實數(shù)）在-l<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根，

當x=-l時，y=8；

當x=4時，y=3；

當x=2時，y=-l；

.?/的取值范圍是-1H<8.

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點及交點與一元二次方程的實數(shù)根的關系，明確二

次函數(shù)的相關性質(zhì)是解題的關鍵.

12.（2020?泉州模擬）二次函數(shù)y=尤2+及的對稱軸為直線》=1,若關于x的一元二次方程

尤2+法一=0（/為實數(shù)）在-3<x<4的范圍內(nèi)有解，則,的取值范圍是（）

A.0</<8B.—l-^<15C?—<8D.8</<15

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；拋物線與X軸的交點

【分析】先利用拋物線的對稱軸方程求出6=-2,則可把關于X的一元二次方程

尤2+反7=0（/為實數(shù)）在-3<工<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根轉(zhuǎn)化為拋物線v=V-2x-9為實數(shù)）

在-3<x<4的范圍與x軸有交點（如圖），結合圖象和判別式的意義得到△=（-2）2-4（T）T0

且x=-3時，y>0,即9+6->0,然后求出兩不等式的公共部分即可.

【解答】解：???拋物線7=/+區(qū)的對稱軸為直線x=l,

——=1,解得6=-2,

2x1

關于x的一元二次方程/+bx-t=0變形為x2-2x-t=0,

把關于x的一元二次方程x2-2x-t=0（,為實數(shù)）在-3<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根轉(zhuǎn)化為拋物

線了=x2-2x-9為實數(shù)）在-3<x<4的范圍與x軸有交點（如圖），

.?.△=（-2）2-4（T）何且x=-3時，y>0,即9+6—/>0,

解得-1V<15.

故選：B.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)了="2+法+或0,b,c是常數(shù),

“R0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關于x的一元二次方程；△=〃-4“c決定拋物線與x

軸的交點個數(shù).也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

二.填空題（共6小題）

13.如圖是，二次函數(shù)了=-f+4x的圖象，若關于x的一元二次方程-/+4》-=0?為實

數(shù)）在l<x<5的范圍內(nèi)有解，貝!k的取值范圍是_-5<曰_.

【考點】根的判別式；拋物線與X軸的交點

【分析】先利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到x=2時，y有最大值4,再計算出x=5時，y=-5,

由于關于x的一元二次方程-尤2+4尤-1=0（/為實數(shù)）在1<x<5的范圍內(nèi)有解可看作拋物線

了=一^+4無與〉=/在1<》<5內(nèi)有公共點，然后利用函數(shù)圖象可得到/的范圍.

【解答】解：y=-x2+4x=-（x-2）2+4,

當x=2時，y有最大值4,

當x=5時，y--x1+4x=-5,

關于x的一元二次方程-公+4》7=00為實數(shù)）在l<x<5的范圍內(nèi)有解可看作拋物線

y=-x2+4%與夕=/在1Vx<5內(nèi)有公共點，

所以t的范圍為-5<p.

故答案為-5<0.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y="2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，

與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

14.（2021?南關區(qū)校級二模）如圖，二次函數(shù)了=-x2+mx的圖象與x軸交于坐標原點和（4,0）,

若關于x的方程尤2-加x+f=0”為實數(shù)）在l<x<4的范圍內(nèi)有解，則Z的取值范圍是

0<

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；拋物線與X軸的交點

【分析】先利用拋物線的對稱軸求出加得到拋物線解析式為y=-f+4x,再計算出自變量

為1和4對應的函數(shù)值，然后利用函數(shù)圖象寫出直線>=/與拋物線歹=-/+4》在l<x<4時

有公共點時，t的范圍即可.

【解答】解：???拋物線的對稱軸為直線x=—=2,解得加=4,

2x(-1)

，拋物線解析式為了=-^+4尤，

拋物線的頂點坐標為(2,4),

當x=l時，y=-x?+4x=-1+4=3；

當x=4時，y--x2+4x=-16+16=0,

當x=2時，y=4,

在l<x<4時有公共點時

當直線y=/與拋物線V=-x2+4x在l<x<4時有公共點時，0<p,

故答案為0<.

【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點，主要考查函數(shù)圖象上點的坐標特征，要求學生

非常熟悉函數(shù)與坐標軸的交點、頂點等點坐標的求法，及這些點代表的意義及函數(shù)特征.

15.(2020秋?長春期末)在平面直角坐標系中，拋物線了=1+隊+5的對稱軸為直線

x=1.若關于x的一元二次方程x2+bx+5-t=0(t為實數(shù))在-1<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根,

則/的取值范圍為

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；拋物線與x軸的交點

【分析】根據(jù)給出的對稱軸求出函數(shù)解析式為了=/-2x+5,將一元二次方程

/+笈+5-/=0的實數(shù)根可以看做了=/-2%+5與函數(shù)〉=/的有交點，再由-l<x<4的

范圍確定〉的取值范圍即可求解.

【解答】解：■「y=V+加+5的對稱軸為直線x=1,

b=-2,

y=x2-2x+5,

.1一元二次方程f+樂+5-f=0的實數(shù)根可以看做了=/一2》+5與函數(shù)/=/的有交點，

V方程在T<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根，

當x=-l時，y=8；

當尤=4時，>=13；

函數(shù)y=f-2x+5在x=l時有最小值4；

4-^<13?

故答案為4V<13.

【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；能夠?qū)⒎匠痰膶崝?shù)根問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與直線

的交點問題，借助數(shù)形結合解題是關鍵.

16.（2020?立山區(qū)二模）拋物線>=/+區(qū)+3的對稱軸為直線x=l,若關于x的一元二次

方程工2+笈+3-/=0。為實數(shù)）在-l<x<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根，貝心的取值范圍是

2V<11一

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；拋物線與x軸的交點

【分析】根據(jù)拋物線>=/+加+3的對稱軸為直線x=l,可以求得6的值，然后即可得到

該函數(shù)的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到當-l<x<4時，y的取值范圍，然后

令>=/,即可轉(zhuǎn)化為方程/+6尤+3-?=0,從而可以得到f的取值范圍.

【解答】解：?.?拋物線昨尤2+樂+3的對稱軸為直線x=i,

——=1,得b=-2,

2x1

y=x—2x+3=（x—1）~+2,

當-l<x<4時，》的取值范圍是2守<11,

當y=/時，f=X2-2x+3,即/+6x+3—f=0,

?.?關于X的一元二次方程f+法+3-/=0?為實數(shù)）在-1<X<4的范圍內(nèi)有實數(shù)根，

：工的取值范圍是2宣<11,

故答案為：2-#<11.

【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利

用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

17.（2020?浙江自主招生）已知了=/+蛆-6,當EW時，y<0恒成立，那么實數(shù)x的

取值范圍是_-3<x<-3+后

2

【考點】HB：圖象法求一元二次方程的近似根

【分析】根據(jù)1/7,得出兩個不等式：當加=3時，、2+3、一6<0；當冽=1時，x2+x-6<0；

分別解不等式-+3x-6<0,X2+X-6<0,可求實數(shù)x的取值范圍.

【解答】解：?<0,

當加=3時，X2+3X-6<0,

由y=%2+3x-6<0,

ZH—3—,33—3+<33

得-------<%<--------;

22

當冽=1時，x2+x-6<0,

由）=f+x—6<0,—3<x<2.

實數(shù)X的取值范圍為：-3<x<士叵.

2

故答案為：一3Vxe-"后.

2

【點評】本題考查了用二次函數(shù)的方法求自變量x的取值范圍.關鍵是分類列不等式，分別

解不等式.

18.二次函數(shù)y的圖象如圖，對稱軸為直線x=l.若關于x的一元二次方程

/+aT=0。為實數(shù)）在-l<x<4的范圍內(nèi)有解，貝心的取值范圍是_-舊<8^.

【考點】二次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)與不等式（組）

【分析】根據(jù)對稱軸求出6的值，從而得到x=-l、4時的函數(shù)值，再根據(jù)一元二次方程

x2+bx-t=0（/為實數(shù)）在-l<x<4的范圍內(nèi)有解相當于了=x?+bx與>=/在-l<x<4內(nèi)

有交點，依此求解即可得出結論.

【解答】解：???對稱軸為直線x=-2=l,

2x1

b=-2,

二次函數(shù)解析式為y=x2-2x.

當x=-l時，>=1+2=3；

當x=4時，>=16-2x4=8；

當x=l時，y=l-2=-l.

x2+6x-/=0相當于y=+6x與直線y=?的交點的橫坐標，

二.當-k#<8時，在-l<x<4的范圍內(nèi)有解.

故答案為：-1^<8.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)與不等式，把方程的解轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖

象的交點的問題求解是解題的關鍵.

三.解答題（共5小題）

19.（2021秋?槐蔭區(qū)期末）請閱讀下列解題過程：

解一元二次不等式：x2-5%>0.

解：設f-5x=0,解得：玉=0,馬=5,則拋物線了=x2-5x與x軸的交點坐標為（0,0）和

（5,0）.畫出二次函數(shù)y=x2-5x的大致圖象（如圖所示）.由圖象可知：當x<0,或當x>5

時函數(shù)圖象位于x軸上方，止匕時y>0,即X2-5X>0.

所以一元二次不等式/-5x>0的解集為：x<0,或x>5.

通過對上述解題過程的學習，按其解題的思路和方法解答下列問題：

（1）上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學思想中的①和—.（只填序號）

①轉(zhuǎn)化思想；②分類討論思想；③數(shù)形結合思想.

（2）用類似的方法解一元二次不等式：X2-2X-3<0.

【考點】拋物線與X軸的交點；二次函數(shù)與不等式(組)

【分析】(1)解答過程將求一元二次不等式解集的問題轉(zhuǎn)化成一元二次方程與二次函數(shù)的問

題，并結合函數(shù)草圖判斷自變量的取值范圍，所以涉及的數(shù)學思想有轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結合的

思想；

(2)先求方程Y-2x-3=0的解，再結合二次函數(shù)了=Y-2x-3的大致圖象，根據(jù)圖象在

x軸下方的部分確定x的取值范圍即可得不等式的解集.

【解答】解：(1)根據(jù)示例可知，將一元二次不等式解集的問題轉(zhuǎn)化成一元二次方程與二次

函數(shù)的問題，并結合函數(shù)草圖判斷自變量的取值范圍，所以涉及的數(shù)學思想有轉(zhuǎn)化思想與數(shù)

形結合的思想，

故答案為①，③

(2)解一元二次不等式：x2-2x-3<0.

解：設--2》-3=0,解得：%=-1,%=3，則拋物線>=/一2彳-3與x軸的交點坐標

為(-1,0)和(3,0).畫出二次函數(shù)了=/-2丫-3的大致圖象(如下圖所示).由圖象可知：當

-l<x<3時函數(shù)圖象位于x軸下方，此時y<0,即f一2X-3<0.

【點評】本題考查的二次函數(shù)與一元二次不等式的關系，根據(jù)轉(zhuǎn)化思想將一元二次不等式解

集的問題轉(zhuǎn)化成一元二次方程與二次函數(shù)的問題，再根據(jù)數(shù)形結合的思想求解集是本題的關

鍵.

20.（2020秋?歷下區(qū)期末）如圖，直線，：y=fcc+6與y軸交于點8（0,3）,直線/z：y=-2x-l

交y軸于點N,交直線4于點尸（一口）.

（1）求左、6和f的值；

（2）求A4Ap的面積；

（3）過動點。伍,0）作x軸的垂線與直線4、12,分別交于“、N兩點，且MN<4.

①求°的取值范圍；

②當A4MP的面積是AO四的面積的！時，求如V的長度.

2

【考點】一次函數(shù)綜合題

【分析】(1)可先求得尸點坐標，再由2、P兩點的坐標，解方程組可得出答案；

(2)由三角形面積公式可得出答案；

(3)①用a可分別表示出河、N的坐標，則可表示出的長，由條件可得到關于a的不

等式，則可求得“的取值范圍；

②由條件可知點”應在7軸左側(cè)，當點"在線段尸8上時，則可知=|^^，則可求

得M點到y(tǒng)軸的距離；當點”在線段8P的延長線上時則可知S.w=$用8,可求得“到N

軸的距離；再利用①中MN的長可求得答案.

【解答】解：(1)?.?點尸(-1J)在直線直線「上，

.?./=-2x(-l)-l=l,

即尸(一1,1)，

把3、P的坐標代入可得

\-k+b=\

\b=3'

解得[：=2,

[b=3

t=1Jk=2,6=3；

(2)?.?直線>=-2工-1交y軸于點/,

4(0,—1)，

???尸(一1,1),5(0,3),

=；/3xl=gx4=2；

(3)①?.?AW//〉軸，

:.M、N的橫坐標為a,

設V、N的縱坐標分別為加和6，由(1)可知直線4的函數(shù)表達式為y=2x+3,

加=2。+3，yN=-2a-1，

當AW在點尸左側(cè)時，此時a<-1,

貝！J有MN=yN-yM=一2a-1一(2Q+3)=-4tz-4,

?:MN<4,

.?.-4a-4<4,解得。>-2,

止匕時-2<。<-1；

當ACV在點尸的右側(cè)時，此時°>-1,

則有MN=yM-yN=2a+3-(-la-1)=4tz+4,

■.■MN<4,

.-.4a+4<4,解得a<0,

止匕時-1<a<0；

當a=-l時，也符合題意,

綜上可知當-2<a<0時，MN<4；

②由（2）可知也匹=2,

由題意可知點M只能在y軸的左側(cè)，

當點”在線段AP上時，過點M作MCLy軸于點C,如圖1

144

:.—ABMC=—,BP2MC=~,

233

解得MC=—,

3

.?.點"的橫坐標為-4,即〃=-4，

33

84

.\MN=4a+4=——+4=一；

33

當點M在線段8尸的延長線上時，過點M作軸于點。，如圖2,

一S\ABM-2sA24PB—4f

-ABMD=4,BP2MD=4,

2

解得〃0=2,

.?.點M的橫坐標為-2,

,-.ACV=-4a-4=8-4=4（不合題意舍去），

4

綜上可知MN的長度為-.

3

【點評】本題是一次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點、三角形的面積、分類

討論思想等知識.熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵.

21.（2021秋?惠民縣月考）小剛在用描點法畫拋物線》=亦2+bx+c時，列出了下面的表格:

X-2-101234

y-3023320

3

（1）請根據(jù)表格中的信息，寫出拋物線的一條性質(zhì)：拋物線的對稱軸是x='（答案不

2

唯一）；

（2）求拋物線的解析式；

（3）拋物線與x軸的交點分別為/、8（/在3的左側(cè)）與y軸的交點為C,其對稱軸與x軸

的交點為。，在拋物線的對稱軸上存在點P,使APCA是以CD為腰的等腰三角形，求出尸

點的坐標；

（4）在（3）的條件下，拋物線上有一點0,使A3C。的內(nèi)心在x軸上，直接寫出點0的坐

標.

備用圖1備用圖2

【考點】二次函數(shù)綜合題

【分析】（1）根據(jù)表格中給出點的坐標可得出答案；

（2）由待定系數(shù)法可求出答案；

（3）根據(jù)勾股定理求出CD的長，由等腰三角形的性質(zhì)可求出答案；

（4）先作出點C關于x軸的對稱點C',然后連接3C'并延長交拋物線于點。，根據(jù)對稱性

可知。為所求的點.

【解答】解：（1）?.?拋物線經(jīng)過（-1,0）,（4,0）,

...拋物線的對稱軸是x=士烏=-；

22

故答案為：拋物線的對稱軸是（答案不唯f

(2)?.?拋物線經(jīng)過(-1,0),(0,2),(1,3),

解得\b=—

2

拋物線的解析式為j=~x2+jx+2；

(3)如圖1,

圖1

???拋物線y」x2+3x+2」(xU)2+生,

22228

.?.拋物線的對稱軸x=-3,

2

3

:.OD=~,

2

???C(0,2),

二.OC=2,

在RtAOCD中，由勾股定理得CO=9,

2

VACZ)尸是以為腰的等腰三角形，

/.CPX=DP2-DP3=CD,

如圖所示，作CEL對稱軸于E,

/.EP、=ED=2,

DPX—4,

(4)如圖2.作點C關于x軸的對稱點。，則C(0,-2),連接BC'并延長與拋物線交于點Q,

由圖形的對稱性可知。為所求的點，

設直線BC'的解析式為y=加工+幾,

，口=+/口

由題思得：\[4m+n=0,

[n=-2

.1

e,口m=—

解得：,2，

n=-2

，直線8C'的解析式為y=；x-2,

將直線和拋物線的解析式聯(lián)立得：

-1、

y=-x-2

2

13c

y——x2H—x+2

122

解得[%=4（舍去）或卜=一2,

Vi=。1%=-3

2（-2,-3）.

【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象

上點的坐標特征以及二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，熟練掌握

等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵.

22.（2021秋?泗水縣期中）如圖,拋物線y=/+6x-4a（a）0）經(jīng)過4-1,0）,2（0,4）兩點,

與x軸交于另一點3,連接ZC,BC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）平行于x軸的直線＞=-14與拋物線分別交于點。、E,求線段的長.

（3）點P是線段03上一點（不與點8、。重合），過點尸作尸”，工軸交拋物線于點

連接CM、BM,求A3CW面積的最