2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【轉(zhuǎn)化思想】圓中的轉(zhuǎn)化思想（解析版）

圓中的轉(zhuǎn)化思想

知識方法精講

1.轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思

維方式。所謂的轉(zhuǎn)化思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過

變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。一般總是將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單問題；

將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題;將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問

題。總之，轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)解題中幾乎無處不在，轉(zhuǎn)化的基本功能是：生疏化成熟悉，復(fù)雜化成

簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說到底，轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)就是以運(yùn)動變化發(fā)展的觀點(diǎn)，以

及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點(diǎn)看待問題，善于對所要解決的問題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，使

問題得以解決。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有：待定系數(shù)法，配方法，整體代入法以及化動為靜，

由抽象到具體等轉(zhuǎn)化思想。

2.垂徑定理的應(yīng)用

垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：

（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問

題.

這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方

法一定要掌握.

3.圓周角定理

（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點(diǎn)在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不

可.

（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.

推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

（3）在解圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能

技巧一定要掌握.

（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形.利用等腰三角形

的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”——圓心角

轉(zhuǎn)化.③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運(yùn)用定理時不要忽略了這個條

件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角.

4.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

(1)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)。。的半徑為r,點(diǎn)尸到圓心的距離。尸=4,則有：

①點(diǎn)P在圓外

②點(diǎn)尸在圓上Qd=r

①點(diǎn)尸在圓內(nèi)QdO

(2)點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的

關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

(3)符號“Q”讀作“等價于”，它表示從符號的左端可以得到右端，從右端也可

以得到左端.

5.切線的性質(zhì)

(1)切線的性質(zhì)

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.

(2)切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：

如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個,那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是:

①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直.

(3)切線性質(zhì)的運(yùn)用

由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.簡記作:

見切點(diǎn)，連半徑，見垂直.

6.扇形面積的計(jì)算

(1)圓面積公式：S=Tir2

(2)扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.

(3)扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是1,圓的半徑為R的扇形面積為S,則

S扇形=———TTR'或S扇形(其中/為扇形的弧長)

3602

(4)求陰影面積常用的方法:

①直接用公式法；

②和差法；

③割補(bǔ)法.

（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.

7.圓錐的計(jì)算

（1）連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.連接頂點(diǎn)與底面圓心的

線段叫圓錐的高.

（2）圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于

圓錐的母線長.

（3）圓錐的側(cè)面積：Sfll=JL*2TO-Z=Trz7.

2

（4）圓錐的全面積：S金=$底+5惻=++豆”

（5）圓錐的體積=JLx底面積X高

3

注意：①圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等.

②圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等.

選擇題（共6小題）

1.（2021?棗莊）如圖，正方形的邊長為2,。為對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E,尸分別為

的中點(diǎn).以C為圓心，2為半徑作圓弧3。，再分別以￡,尸為圓心，1為半徑作圓弧8。,

OD,則圖中陰影部分的面積為（）

A.71—1B.71—3C.71—2D.4—71

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算

【分析】連接8。，根據(jù)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧，所對的弦分別相等，利

用面積割補(bǔ)法可得陰影部分的面積等于弓形面積，即等于扇形C8。減去直角三角形C2。的

面積之差.

【解答】解：連接2。，EF,如圖，

?.?正方形/BCD的邊長為2,。為對角線的交點(diǎn),

由題意可得：EF,8。經(jīng)過點(diǎn)。，且EFLCB.

:點(diǎn)、E,尸分別為BC,的中點(diǎn),

:.FD=FO=EO=EB=l,

OB=OD,OB=OD.

弓形。8=弓形OD.

陰影部分的面積等于弓形的面積.

2

_90^-x2199_0

S陰影=3扇形CBD—、ACBD--而—X.2x2-7T-2.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算.通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將不規(guī)則

的陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積的差是解題的關(guān)鍵.

2.（2021秋?覃塘區(qū)期中）如圖，一張含有80。的三角形紙片，剪去這個80。角后，得到一

個四邊形，則N1+/2的度數(shù)是（）

A.200°B.240°C.260°D.300°

【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角；剪紙問題

【分析】利用三角形內(nèi)角和定理求出N3+N4=100。，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求解即可.

【解答】解：如圖，

Z3+Z4+80°=180°,

Z3+Z4=100°,

???Zl+Z2+Z3+Z4=360°,

Z1+Z2=360°-100°=260°，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查剪紙問題，三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是

靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

3.如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=8cm,BC=6cm,分別以4,C為圓心，以

止的長為半徑作圓，將RtAABC截去兩個扇形，則剩余（陰影）部分的面積為（)cm2.

【考點(diǎn)】勾股定理；扇形面積的計(jì)算

【分析】已知RtAABC中，ZABC=90°,AB=Scm,BC=6cm,則根據(jù)勾股定理可知

AC=\0cm,陰影部分的面積可以看作是直角三角形/3C的面積減去兩個扇形的面積.

【解答】解：???RtAABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=6,

:.AC=yls2+62=10(cm),

故選：A.

【點(diǎn)評】陰影部分的面積可以看作是直角三角形/2C的面積減去兩個扇形的面積，求不規(guī)

則的圖形的面積，可以轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形的面積的和或差來求.

4.（2020?錫山區(qū)校級模擬）某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組制作了如圖的三角函數(shù)計(jì)算圖尺：在半

徑為1的半圓形量角器中，畫一個直徑為1的圓，把刻度尺CN的0刻度固定在半圓的圓心

。處，刻度尺可以繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn).圖中所示的圖尺可讀出sin//QB的值是（）

D-W

【考點(diǎn)】圓周角定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；解直角三角形

24

【分析】如圖，連接只要證明4=,可得sin//OB二sin/4ZX）=—=—,

105

【解答】解：如圖，把刻度尺與圓的另一個交點(diǎn)記作。，連接

ZOAD=90°,

?/AAOB+AAOD=90°,ZAOD+ZADO=90°,

ZAOB=ZADO，

由刻度尺可知，04=0.8,

84

sinZAOB=sinZADO=—=

105

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用

轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考創(chuàng)新題目.

5.（2020?河北模擬）已知拋物線＞=-2。-1）（工-9）與》軸交于/,B兩點(diǎn),對稱軸與拋

物線交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D,OC的半徑為2,G為OC上一動點(diǎn)，尸為/G的中點(diǎn)，

則。尸的最大值為（）

A.-B.2GC.—D.5

22

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與x軸的交點(diǎn)；三角形中

位線定理；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【分析】尸為NG中點(diǎn)，。為48中點(diǎn)，所以尸D是AA8G的中位線，則。尸=！8G,當(dāng)BG

2

最大時，則DP最大.由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)G、C、3三點(diǎn)共線時，BG最大.

【解答】解：如圖，連接3G.

P為NG中點(diǎn)，。為48中點(diǎn)，所以尸。是AASG的中位線，貝1］。尸=!36,當(dāng)8G最大時,

2

則DP最大.

由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)G、C、8三點(diǎn)共線時，8G最大.

VC(5,3),2(9,0),

BC=A/32+42=5,

BG的最大值為2+5=7,

二小的最大值為工.

2

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、三角形的中位線定理、二次函數(shù)的性質(zhì)以及

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識點(diǎn)，有一定難度，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

6.如圖，在AA8C中，CA=CB,N/C3=90。，=2,點(diǎn)。為48的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓

心作圓心角為90。的扇形。所，點(diǎn)C恰在弧斯上，則圖中陰影部分的面積為()

F

【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算

【分析】連接CD,作?！埃?C,DV，NC,證明KDMG=NDNH,則S四邊物5Gs=$四邊形血儂，

求得扇形EDE的面積，則陰影部分的面積即可求得.

【解答】解：連接CO,作/W_LBC,DNLAC.

■：CA=CB,N4cB=90°,點(diǎn)。為N8的中點(diǎn)，

DC=-AB=l,四邊形DWCN是正方形，DM=—.

22

則扇形FOE的面積是：也上上=工.

3604

,;CA=CB,ZACB=90°,點(diǎn)。為45的中點(diǎn)，

CD平分ABCA,

又??,DM上BC,DNLAC,

DM=DN,

???ZGDH=NMDN=90°,

ZGDM=ZHDN,

則在ADMG和\DNH中，

"/GDM=ZHDN

<DM=DN,

ZDMG=/DNH

\DMG=NDNH(ASA),

…S四邊形。GC8-S四邊形0M0V——,

則陰影部分的面積是：

42

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的全等的判定與扇形的面積的計(jì)算的綜合題，正確證明

ADMG=ADNH,得到鼠邊加GCH=$四邊形WCN是關(guān)鍵?

二.填空題(共9小題)

7.(2020秋?西城區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，尸(4,3),。。經(jīng)過點(diǎn)P.點(diǎn)N,

點(diǎn)8在y軸上，PA=PB,延長PN,尸3分別交。。于點(diǎn)C,點(diǎn)。，設(shè)直線CD與x軸正方

向所夾的銳角為a.

(1)OO的半徑為5；

(2)tana=.

【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形

【分析】(1)結(jié)論。尸，利用勾股定理求解即可.

(2)設(shè)C。交x軸于J,過點(diǎn)尸作尸T_L/B交OO于T,交4B于E,連接C7,DT,OT.求

出tanZPOE，再證明ZCJO=ZPOE即可.

【解答】解：(1)連接OP.

;尸(4,3),

8=5/32+42=5,

故答案為：5.

(2)設(shè)C。交x軸于J,過點(diǎn)尸作P7_L48交OO于乙交N3于E,連接CT,DT,OT.

/.PE=4,OE—3,

PE4

在RtAOPE中，tan/POE==—,

OE3

OE1PT,OP=OT,

/POE=ZTOE,

.../PDT=-ZPOT=ZPOE,

2

?/PA=PB.PEVAB,

/APT=ZDPT,

:.TC=DT,

ATDC=Z.TCD,

???尸T//x軸，

,ACJO二ZCKP,

vZCKP=ZTCK+ZCTK,ZCTP=ZCDP,ZPDT=ZTDC+ZCDP,

:"TDP=/CJO,

/.ZCJO=ZPOE,

4

z.tanZCJO=tanZPOE=—.

3

補(bǔ)充方法：證明ZCJO=ZEOP時，可以這樣證明：vZCJO+ZTOJ=90°,

ZTOJ+ZEOT=90°,

ZCJO=/EOT,

???/EOT=ZEOB,

ZCJO=ZEOP,可得結(jié)論.

故答案為：—.

3

【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，垂徑定理，三角形的外角的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解

題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

8.如圖，直角A4BC中，44=90。，/5=30。，AC=4,以/為圓心，4C長為半徑畫四

分之一圓，則圖中陰影部分的面積是_46-（結(jié)果保留；!）.

【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算

【分析】連接ND.根據(jù)圖中陰影部分的面積=三角形/3C的面積-三角形NCD的面積-扇

形/DE的面積，列出算式即可求解.

【解答】解：連接

???直角A45C中，44=90。，/5=30。，AC=4f

/.ZC=60°,AB=45

???AD=AC,

三角形是等邊三角形,

/CAD=60°，

/DAE=30°,

二.圖中陰影部分的面積=4x46+2—4x26?2—3‘義"X'=46—

3603

故答案為：4G----71.

3

【點(diǎn)評】考查了扇形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形的面積計(jì)算轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的

面積計(jì)算.

9.如圖，水平放置的圓柱形油桶的截面半徑是R,油面高為3尺，截面上有油的弓形（陰

2

影部分）的面積為立上+遜

34

【考點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理的應(yīng)用

【分析】陰影部分面積的計(jì)算，可以轉(zhuǎn)化為用圓的面積減去上面沒有油的部分的面積，關(guān)鍵

是求上面部分的面積.上面是一個弓形，它的面積可轉(zhuǎn)化為扇形面積減去三角形面積.

【解答】解：設(shè)油面所在的弦為N3圓心是。，過點(diǎn)。作。48于點(diǎn)C.

3R

在RtAAOC中N。=R,OC=-R-R=-.

22

AC=^AO--CO-=,

2

AB=y/3R,ZAOC=60°.

/Tp2

.?.^405的面積是當(dāng)J.

4

-ZAOB=2ZAOC=120°,

1Kl

扇形045的面積是7%J.

3

上面沒油的部分的面積是2里-'登，

34

陰影部分的面積是^2--+生外+也匕.

3434

【點(diǎn)評】計(jì)算不規(guī)則圖形的面積，可以轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形面積的和或差的問題.

10.如圖，圓錐的母線長是3,底面半徑是1,/是底面圓周上一點(diǎn)，從/點(diǎn)出發(fā)繞側(cè)面一

周，再回到4點(diǎn)的最短的路線長是_3g_.

【考點(diǎn)】平面展開-最短路徑問題；圓錐的計(jì)算；特殊角的三角函數(shù)值

【分析】圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，從/點(diǎn)出發(fā)繞側(cè)面一周，再回到N點(diǎn)的最短的路線即

展開得到的扇形的弧所對的弦，轉(zhuǎn)化為求弦長的問題.

【解答】解：?.?圖扇形的弧長是2萬，根據(jù)弧長公式得到2萬=包,

180

弧所對的弦長44'=2x3sin60°=3g，

故答案為3g.

【點(diǎn)評】圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于

圓錐的母線長.本題就是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決.

11.如圖，已知直角扇形的半徑。/=2c〃z,以為直徑在扇形內(nèi)作半圓M,過點(diǎn)"

引MP//AO交功于點(diǎn)尸，則病與半圓弧及所圍成的陰影部分的面積S陰影=

【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算

【分析】要求的陰影部分的面積顯然是不規(guī)則圖形的面積，不可能直接用公式，只有用“割

補(bǔ)法"，連接。尸，根據(jù)S陰影=5扇膝（-S扇形-SAM”-S扇畛p即可得出結(jié)論?

【解答】解：如圖，連接OP.

???AO1OB,MPIIOA,

MPVOB.

又?；OM=BM=\,OP=OA=2,

:.OP=2OM,

ZMPO=30°,ZMOP=60°,

:.ZAOP=30°.

Wx2290%xl7i

30〃x22n

SZ.lZMWCnZpr=-2OMOPsin60°二

2AM。尸

故答案為：

122

【點(diǎn)評】本題考查了扇形面積的計(jì)算.求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)

則圖形的面積.

12.如圖，已知口/BCD中，NN=45。，AD=4cm,以為直徑的半圓。與8C相切于點(diǎn)

B,則圖中陰影部分的面積是4.

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；切線的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算

【分析】連接及02,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到角為直角，又乙4為45。,

得到三角形為等腰直角三角形，因?yàn)?。為中點(diǎn)，根據(jù)三線合一得到80垂直于

又根據(jù)2。為斜邊上的中線，等于斜邊4D的一半，即可求出2。，根據(jù)扇形048與扇形03。

的圓心角及半徑相等，得到兩扇形面積相等，又三角形NO8與三角形80D全等得到兩三角

形面積相等，用扇形減去三角形即可得到弓形與弓形BD的面積相等，則陰影部分面積

可轉(zhuǎn)化為三角形8DC的面積，根據(jù)平行四邊形的對邊相等得到3c與ND相等都等于4,然

后根據(jù)三角形的面積公式底乘以高除以2即可求出所求陰影部分的面積.

【解答】解：連接3。，OB,

???為圓。的直角，

ZABD=90°又乙4=45°,

二AARD為等腰直角三角形，又。為/。的中點(diǎn)，

/.BOLAD,^BO=-AD=2,AB=BD,

2

???扇形495與扇形05。的圓心角都為90。，半徑都為2,

得到S扇物08=S扇形08D,又S^OB=SM)OB

'S弓形4B二S弓形5。，

由45C。為平行四邊形，得到4O=5C,

則S陰影=SA3s=；BC.B0=；/O.03=%X4X2=4?

故答案為4.

【點(diǎn)評】本題考查學(xué)生會利用轉(zhuǎn)化的思想把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積，考查

了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，同時要求學(xué)生掌握平行四邊形及等腰直角三角形的性質(zhì)，是一道中

檔題.

13.已知。。的半徑。/為1.弦48的長為及，若在。。上找一點(diǎn)。，使/C=6，則

/BAC=75或15°.

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；圓周角定理；特殊角的三角函數(shù)值

【分析】畫出圖形，構(gòu)造出直角三角形，根據(jù)勾股定理求得三角形的邊長，求得/A4。和

ZCAO,再求出N8/C的度數(shù)即可.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)。作OEL48,OFLAC,垂足分別為E,F,

■：AB=41,AC=s/3,

.?.由垂徑定理得，AE=—,AF=—,

22

???OA=\,

二.由勾股定理得OE=",OF=~,

22

zLBAO=45°,

:.OF=-OA,

2

NCAO=30°,

.-.ABAC=15°,

當(dāng)4B、/C在半徑O/同旁時，ZBAC=15°.

故答案為：75。或15。.

最

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解此類題目要注意將圓的問題轉(zhuǎn)化成三角形的問

題再進(jìn)行計(jì)算.

14.如圖，陰影部分的面積為

aa

aa

【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算

【分析】先根據(jù)題意得到扇形BE尸的面積等于扇形C即的面積，即圖形1的面積等于圖形

3的面積，通過割補(bǔ)的方法可知陰影部分的面積=圖形1的面積+圖形3的面積=正方形

1廠的面積.

【解答】解：如圖，

四邊形所和四邊形EC。尸為正方形，且邊長為a

那么扇形正廳的面積等于扇形CED的面積

所以圖形1的面積等于圖形3的面積

則陰影部分的面積=圖形1的面積+圖形3的面積=止方形N3跖的面積=/.

【點(diǎn)評】主要考查了通過割補(bǔ)法把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求面積的方法.本題的關(guān)鍵是

利用面積之間的等量代換得到陰影部分的面積=圖形1的面積+圖形3的面積=正方形

1廠的面積.

15.如圖，正方形48。的邊48=1,筋和就都是以1為半徑的圓弧，則無陰影部分的

兩部分的面積之差是--1

一2

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算

【分析】無陰影部分的兩部分的面積之差，可以由圖中的幾個部分面積之間的轉(zhuǎn)化求解.

【解答】解：無陰影的兩部分可分為1、2兩部分，面積之差=岳-邑，如下圖所示:

由圖形可知,邑=5正方形”8-（2$半圓"3一￡），

1TT

由上式可得，s「邑=2S半圓小-S正方物2=2、不%-1=萬-1，

所以本題應(yīng)該填匹-1.

2

【點(diǎn)評】本題考查圖形面積之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

三.解答題（共6小題）

16.（2021秋?朝陽區(qū)校級期中）如圖，在AAB。中，AB=AD,以為直徑的圓交于

點(diǎn)交8。于點(diǎn)。，延長NO至點(diǎn)C,使OC=NO,連結(jié)CD,BC.

（1）求證：四邊形/BCD是菱形；

(2)若NM=3,BO=45,求cosZCUB.

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理求得/CL2D,進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出30=。。，

通過證得ACOOMA4O8得出COO=/8,CD//AB,即可證得結(jié)論；

(2)連接W,由圓周角定理得出ZAMB=90°,設(shè)菱形的邊長為2r,則

DM=AD-AM=2r-1,根據(jù)勾股定理歹！J出BD2-DM2AB2-AM2,即

42-(2r-7)2=(2r)2-72,求出r,可得結(jié)論.

【解答】(1)證明：???/B是直徑，

:.ZAOB=90°,

AC±BD,

???AB=AD,

BO=DO,

在AC。。和A408中，

CO=AO

<NCOD=NAOB,

DO=BO

:.\COD^\AOB(SAS),

;.CD=AB,/DCO=NOAB,

CD11AB,

二.四邊形ABCD是平行四邊形，

??,AB=AD,

四邊形為菱形；

(2)解：?;BO=5

:.BD=275,

連接BM,則ZAMB=90°,

設(shè)菱形的邊長為"，貝=—4M=2/一3,

???BD2-DM2=AB2-AM?,BP(275)2-(2r-3)2二(2r)2-32

解得尸=9或尸=一1(舍去)，

2

/.AB=5,

,”AM3

cosN4DA,B=-----=—.

AB5

【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，作出輔助線構(gòu)建

直角三角形是解題的關(guān)鍵.

17.(2021?濱城區(qū)一模)如圖，在RtAABC中，ZB=90°,ED=DF,點(diǎn)、E在AC上,以NE

為直徑的O。經(jīng)過點(diǎn)。.

(1)求證：①是。。的切線；

②CD2=CE-CA；

(2)若點(diǎn)尸是劣弧的中點(diǎn)，且C￡=3,試求陰影部分的面積.

【考點(diǎn)】圓的綜合題

【分析】(1)①連接根據(jù)圓周角定理推出=并根據(jù)平行線的判定得出

DO//AB,從而得到。O_L3C即可證明是。。的切線；

②連接DE,OD,根據(jù)同角的余角相等推出=,并得到，再

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明CD2=CE-CA；

(2)連接。。、FO.DE,根據(jù)題意由圓心角定理推出ACM歹和AODE是等邊三角形，

并得出相關(guān)角的大小即邊之間的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的判定得到AODGTAK4G,將

陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積進(jìn)行求解即可.

【解答】(1)①證明：如圖1-

B

連接。O,

ED=DF,

ZFAD=ZDAE=-ZFAE,

2

vZDAE=-ZDOE（圓周角定理）,

2

ZFAE=/DOE,

/.DO11AB,

根據(jù)題意可知ABLBC,

DOLBC,

BC是OO的切線.

②如圖2,

B

連接。石，OD,

???45為直徑，OA=OD,

ZADO+ZEDO=ZADE=90°,ZADO=ZDAO,

由（1）可知NC7>￡+N切0=90。，

.../DAO=ZCDE,

在ACDE和AC4D中,

/DCE=ZACD

ZCDE=ACAD

NCDEs'CAD,

.CD_CE

,~CA~~CDf

故m二CE。.

(2)如圖3,

連接。。、FO、DE,4。和。尸交于點(diǎn)G,

則DO=EO=AO.

根據(jù)題意點(diǎn)尸是劣弧4。的中點(diǎn)，且筋=萬方,

AAOF=ZDOF=ZEOD=-xl80°=60°，

3

/.AOAF和NODE是等邊三角形，

.?.“=90。-/。。。=30。，

:.OD=OE=CE=-CO=3

2f

由（1）可知。O//4B，

ZODA=ZDAF,

在AQDG和A/kG中,

ZOGD=ZFGA

<NODG=NFAG,

OD=AF

AODG=AFAG(AAS)，

…S^ODG=S^FAG，

_60-32_3兀

扇形DO尸3602

【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是證明AODGTAK4G從而將陰影部分的面積

轉(zhuǎn)化為扇形的面積，通常要結(jié)合圓周角定理及圓心角定理求解各角、各邊之間的關(guān)系.

18.(2021?羅平縣模擬)如圖，48是的直徑，/C是弦，點(diǎn)E在圓外，于點(diǎn)

D,BE交OO于點(diǎn)、F,連接3D、BC、CF,ZBFC=ZAED.

(1)求證：/E是OO的切線；

⑵求證：OB'=ODOE；

(3)設(shè)A34D的面積為E,A3DE的面積為其，tanZODB=-,求u的值.

123S,

B、-----

【考點(diǎn)】圓的綜合題

【分析】(1)由OE_L/C證明即可得到結(jié)果；

(2)證明。f即AOADS^OEA即可得證；

7CD

(3)把tanNOD8=—轉(zhuǎn)化為——，設(shè)CD=2m,用機(jī)表示出半徑，再由ASODsAEOB的

3BD

面積比等于相似比平方可得到答案.

【解答】解：(1)證明：???/AFC=//ED,

又NBFC=NBAC,

ABAC=ZAED,

OE±AC于點(diǎn)D,

ZADE=ZADO=90°,

ZAED+ZEAD=90°,

ABAC+NEAD=90°,即ZOAE=90°,

OA1AE,

：./E是OO的切線；

(2)ZOAE=ZADO=90°,ZAOD=ZEOA,

,\AOD^\EOA,

OA_OP

…布一方’

OA2=OD?OE,

???OB=0A,

OB2=ODOE；

(3)???48為直徑，

:.ZACB=90°,

???ZADO=90°,

NACB=ZADO,

:.OE/IBC,

ZODB=ZDBC,

DC2

在RtABCD中，tanZDBC=tanZODB=——=-

BC3

設(shè)。。=2%，則8C=3機(jī)，

:.OD=-BC=—,

22

OE1AC于點(diǎn)D,

/.AD=DC=21n,

OA=OB=yJOD2+AD2=—,

2

由(2)知。笈=ODOE,

OB_OE

'~OD~~OB"

而/BOD=ZEOB,

/.\BOD^\EOB,

3m

.S\BOD_(OD)2_(2)2_2

?丁一麗-亙-石’

2

二設(shè)%⑺=9后，貝1]5.疑=25左，

ABDE的面積為其=SGOB-，旃=16左，

而ABAD的面積為d=2sAs°。=18斤，

S,18^9

"^-16A-8'

【點(diǎn)評】本題考查圓的切線、相似三角形判定及性質(zhì)，難度較大，解題的關(guān)鍵是將

tanZODB=-轉(zhuǎn)化為—.

3BD

19.（2021?商河縣校級模擬）（1）初步思考：

如圖1,在APC3中，已知必=2,BC=4,N為3C上一點(diǎn)且8N=1,試證明：PN=-PC

2

（2）問題提出：

如圖2,已知正方形/5CD的邊長為4,圓3的半徑為2,點(diǎn)尸是圓8上的一個動點(diǎn)，求

尸。+工尸。的最小值.

2

（3）推廣運(yùn)用：

如圖3,已知菱形/BCD的邊長為4,ZS=60°,圓3的半徑為2,點(diǎn)尸是圓8上的一個動

【考點(diǎn)】圓的綜合題

【分析】（1）通過相似三角形ASPNsA5cp的性質(zhì)證得結(jié)論；

（2）如圖2中，在8c上取一點(diǎn)G,使得8G=1.由A/VGSACBP,推出空=也=’,

PCPB2

推出尸G=^pc,推出尸D+Lpc=DP+PG,由。尸+PG/G,當(dāng)。、G、尸共線時，

22

尸￡>+!尸。的值最小，最小值為DG=54?+3?=5.由=_

22

（3）如圖3中，在3c上取一點(diǎn)G,使得8G=1,作。尸_L3C于尸.解法類似（2）；

【解答】（1）證明：如圖1,

圖1

PB=2,BC=4,BN=1,

:.PB2=4,BN?BC=4.

:.PB2=BNBC.

BN_BP

"而一瓦?

又?:NB=NB,

ABPN^ABCP.

PNBN_1

"PC--2?

:.PN=-PC；

2

(2)如圖2,在BC上取?點(diǎn)G,使得5G=1,

——二—，/PBG=ZPBC

BGPB

\PBGs\CBP

.PG_BG_1

'PC~PB~2

...PG=-PC

2

:.PD+-PC=DP+PG

2

?:DP+PG⑴G

：，當(dāng)O,P,G共線時，尸。+工尸。的值最小,

2

最小值為DG=J42+32=5

(3)同(2)中證法，如圖3,

D

圖3

當(dāng)點(diǎn)尸在。G的延長線上時，尸。-4尸。的最大值，最大值為。G=A.

2

【點(diǎn)評】本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)

之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建相似三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考

問題，把問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考壓軸題.

20.問題提出

（1）如圖1,正方形48CD的對角線交于點(diǎn)。，ACDE是邊長為6的等邊三角形，則O、E

之間的距離為_3石+3_；

問題探究

（2）如圖2,在邊長為6的正方形N2C。中，以CD為直徑作半圓。，點(diǎn)尸為弧CZ）上一動

點(diǎn)，求N、P之間的最大距離；

問題解決

（3）窯洞是我省陜北農(nóng)村的主要建筑，窯洞賓館更是一道靚麗的風(fēng)景線，是因?yàn)楦G洞除了

它的堅(jiān)固性及特有的外在美之外，還具有冬暖夏涼的天然優(yōu)點(diǎn)家住延安農(nóng)村的一對即將參加

中考的雙胞胎小寶和小貝兩兄弟，發(fā)現(xiàn)自家的窯洞（如圖3所示）的門窗是由矩形N8CD及

弓形組成，AB=2m,8c=3.2加，弓高AW=L2〃?（N為4D的中點(diǎn)，MNLAD）,

小寶說，門角8到門窗弓形弧/D的最大距離是3、M之間的距離.小貝說這不是最大的

距離，你認(rèn)為誰的說法正確？請通過計(jì)算求出門角2到門窗弓形弧ND的最大距離.

【考點(diǎn)】圓的綜合題

【分析】（1）如圖1，連接/C,BD,對角線交點(diǎn)為O,連接OE交于X,證明OE垂

直平分DC,四邊形/BCD為正方形，分別求出。8和解的長度即可；

(2)如圖2,補(bǔ)全OO,連接NO并延長交。。右半側(cè)于點(diǎn)尸，則此時/、尸之間的距離

最大，在RtAAOD中，由勾股定理求出/。的長，可進(jìn)一步求出/P的長；

(3)小貝的說法正確，如圖3,補(bǔ)全弓形弧所在的。。，連接ON,OA,過點(diǎn)。作

0￡，/3于點(diǎn)￡,連接80并延長交O。上端于點(diǎn)尸，則此時8、P之間的距離即為門角B

到門窗弓形弧的最大距離，先求出的半徑，再在RtAANO中，由勾股定理求出8。的

長，可進(jìn)一步求出AP的長.

【解答】解：(1)如圖1,連接NC,BD,對角線交點(diǎn)為。，連接OE交CD于〃，

則OD=OC,

ADCE為等邊三角形，

ED=EC