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文檔簡介
搶分秘籍15二次函數(shù)新定義型綜合問題(壓軸通關(guān))
目錄
【中考預(yù)測】預(yù)測考向,總結(jié)常考點及應(yīng)對的策略
【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點
【搶分通關(guān)】精選名校模擬題,講解通關(guān)策略(含新考法、新情境等)
中考預(yù)測
二次函數(shù)新定義型綜合問題是全國中考的熱點內(nèi)容,更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因
為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>
i.從考點頻率看,二次函數(shù)新定義型綜合問題是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),也是高頻考點、必考點。
2.從題型角度看,以解答題的最后一題或最后第二題為主,分值12分左右,著實不少!
?(搶分通關(guān)
題型一新定義型二次函數(shù)之共生或伴隨拋物線
典例精講
【例1】(新考法,拓視野)(2024?江西九江?一模)定義:若兩條拋物線的頂點關(guān)于原點對稱,二次函數(shù)的
二次項系數(shù)互為負(fù)倒數(shù),這樣的兩條拋物線稱之為"共生拋物線”,如拋物線j=0.5%2與y=lx?是共生拋物
線,已知拋物線G:y=-g(x+2Y+l的頂點是點尸,它的共生拋物線C?的頂點是Q
⑴點尸的坐標(biāo)是—,點。的坐標(biāo)是,拋物線C?的函數(shù)關(guān)系式是
⑵直線y=機與拋物線C]、C2均有兩個交點,這些交點從左到右分別是/、B、C、D.
①求加的取值范圍二
②若4B=CD,求加的值;
通關(guān)指導(dǎo)
本題考查了二次函數(shù)的新定義,正確利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.
【例2】(2023?江蘇泰州?二模)在平面直角坐標(biāo)系中,對于函數(shù)弘=af+6x+c,其中。、b、c為常數(shù),a^c,
定義:函數(shù)%=3?+云+。是必=a/+6x+c的衍生函數(shù),點M(a,c)是函數(shù)%=#+6x+c的衍生點,設(shè)函
數(shù)弘=a/+6x+c與其衍生函數(shù)的圖象交于/、8兩點(點/在點3的左側(cè)).
⑴若函數(shù)%=。尤2+&X+C的圖象過點c(-l,3)、£>(1)-5),其衍生點v(l,C),求函數(shù)弘=a/+6x+c的解
析式;
⑵①若函數(shù)必=a/+bx+c的衍生函數(shù)為%=2x-l,求/、2兩點的坐標(biāo);
②函數(shù)%=。/+法+£?的圖象如圖所示,請在圖中標(biāo)出點/、3兩點的位置;
⑶是否存在常數(shù)6,使得無論。為何值,函數(shù)乂="2+法+。的衍生點M始終在直線43上,若存在,請求
出6的值;若不存在,請說明理由.
名校模擬
1.新定義:我們把拋物線>=62+區(qū)+。(其中m力0與拋物線夕=區(qū)2+°尤+。稱為"關(guān)聯(lián)拋物線",例如,
拋物線y=2/+3x+l的“關(guān)聯(lián)拋物線”為>=3J?+2x+l已知拋物線G:y-Aax1+ax+4a-3(a>0)的“關(guān)聯(lián)
拋物線"為C2,。與y軸交于點E.
⑴若點E的坐標(biāo)為(0,-1),求G的解析式;
⑵設(shè)G的頂點為R若△。即是以。尸為底的等腰三角形,求點E的坐標(biāo);
⑶過x軸上一點P,作x軸的垂線分別交拋物線。,Q,于點“,N.
①當(dāng)MV=6時,求點尸的坐標(biāo);
②當(dāng)"44x4a-2時,G的最大值與最小值的差為2°,求。的值.
2.(2023?廣東廣州?一模)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,直線V=a(x-〃)+左稱為拋物線y=左的
伴隨直線,如直線y=-卜+1)-2為拋物線y=-(x+1)2-2的伴隨直線.
⑴求拋物線>=2/-4x+5的伴隨直線;
⑵無論。取何值,拋物線G]:了二辦?-2(a-l)x+a-2總會經(jīng)過某定點,拋物線&:y=m(x-l)(x-m-3)
的伴隨直線經(jīng)過該定點,求加的值;
⑶頂點在第一象限的拋物線>=-°(》-1)2+4°與它的伴隨直線交于點人,B(點A在點8的左側(cè)),與x軸
負(fù)半軸交于點C,當(dāng)NB4C=90。時,V軸上存在點尸,使得N4PS取得最大值,求此時點尸的坐標(biāo).
題型二新定義型二次函數(shù)之特殊形狀問題
典例精講;
【例1】(新考法,拓視野)(23-24九年級上?浙江杭州?期末)定義:由兩條與x軸有相同的交點,并且開口
方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”.
【概念理解】
(1)拋物線M=2(x-1)(尤-2)與拋物線%=/-3x+2是否圍成"月牙線"?說明理由.
【嘗試應(yīng)用】
(2)拋物線%=g(x-l)2-2與拋物線%="2+法+。,>;]組成一個如圖所示的“月牙線",與x軸有相同
的交點M,N(點M在點N的左側(cè)),與y軸的交點分別為42.
①求a:6:c的值.
②已知點尸(為,能)和點。(%,〃)在“月牙線"上,m>n,且〃的值始終不大于2,求線段NB長的取值范
圍.
通關(guān)指導(dǎo)
本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用,涉及新定義,二次函數(shù)的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是讀懂題意,理
解“月牙線”的概念.
【例2】二次函數(shù)>=--2小的圖象交x軸于原點。及點A.
感知特例
(1)當(dāng)機=1時,如圖1,拋物線£:y=/-2x上的點8,O,C,A,。分別關(guān)于點A中心對稱的點為",
O',C,A',D,,如下表:
B(T,3)0(0,0)C(『l)A(一,—)0(3,3)
9(5,-3)0(4,0)C'(3,l)4(2。
①補全表格;
②在圖1中描出表中對稱后的點,再用平滑的曲線依次連接各點,得到的圖象記為
形成概念
我們發(fā)現(xiàn)形如(1)中的圖象〃上的點和拋物線工上的點關(guān)于點A中心對稱,則稱〃是上的"孔像拋物線例
如,當(dāng)機=-2時,圖2中的拋物線/是拋物線上的“孔像拋物線
探究問題
(2)①當(dāng)m=-l時,若拋物線乙與它的“孔像拋物線"少的函數(shù)值都隨著x的增大而減小,則x的取值范圍
為;
②在同一平面直角坐標(biāo)系中,當(dāng)相取不同值時,通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)y=f-2加x的所
有“孔像拋物線,都有唯一交點,這條拋物線的解析式可能是_(填"了=江+6無+c"或"y=ax2+bx"
或"y="/+c"或“夕="2",其中°6cw0);
③若二次函數(shù)7=x2-2mx及它的"孔像拋物線"與直線N=m有且只有三個交點,求用的值.
名校模擬
1.(2023?江西贛州?一模)定義:若直線>=-1與開口向下的拋物線有兩個交點,則這兩個交點之間的距離
叫做這條拋物線的"反碟長”.如圖,已知拋物線右:了=-》2與直線>=-1相交于p,Q.
⑴拋物線4的“反碟長”尸。=.
⑵拋物線隨其頂點沿直線y=;X向上平移,得到拋物線4.
①當(dāng)拋物線4的頂點平移到點(6,3),拋物線右的解析式是.拋物線"的“反碟長"是
②若拋物線4的"反碟長”是一個偶數(shù),則其頂點的縱坐標(biāo)可能是.(填寫所有正確的選項)
A.15B.16C,24D.25
③當(dāng)拋物線右的頂點A和拋物線右與直線>=-1的兩個交點5,。構(gòu)成一個等邊三角形時(點8在點。左
右),求點A的坐標(biāo).
題型三新定義型二次函數(shù)與其他函數(shù)的綜合問題
典例精講:
【例1】(新考法,拓視野)(2024?湖南長沙?三模)對某一個函數(shù)給出如下定義:如果函數(shù)的自變量x與函
數(shù)值V滿足:當(dāng)(X-加)&-")40時,(y-加)。)40(%,"為實數(shù),且優(yōu)<"),我們稱這個函數(shù)在加一"上
是“民主函數(shù)比如:函數(shù)y=-x+l在一1->2上是“民主函數(shù)理由:,由[x-(-l)](x-2)V0,得
-l<x<2.x=l-y,:.-l<l-y<2,解得一1V〉V2,.,.[j-(-l)](y-2)<0,...是"民主函數(shù)
⑴反比例函數(shù)y=e是2-3上的“民主函數(shù)"嗎?請判斷并說明理由:
X
⑵若一次函數(shù)>=履+占在加一"上是"民主函數(shù)",求此函數(shù)的解析式(可用含外”的代數(shù)式表示);
⑶若拋物線了="2+樂+。(“>0,。+6>0)在1-3上是“民主函數(shù)",且在1VXV3上的最小值為4°,設(shè)拋物
線與直線y=3交于48點,與V軸相交于C點.若“3C的內(nèi)心為G,外心為試求MG的長.
通關(guān)指導(dǎo)
本題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì),三角形外心和內(nèi)
心的性質(zhì)等知識,理解新定義,得出拋物線的解析式從而得出的頂點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
【例2】(2023?江蘇南通?一模)定義:若函數(shù)圖象上存在點M(加,哈,M\m+l叼),且滿足%-々=/,
則稱,為該函數(shù)的“域差值".例如:函數(shù)>=2x+3,當(dāng)%=加時,々=2冽+3;當(dāng)%=加+1時,
n2=2m+5,n2-n1=2則函數(shù)y=2x+3的〃域差值〃為2
4
⑴點"(加,勺),MXm+1,%)在歹=一的圖象上,〃域差值",=-4,求冽的值;
x
⑵已知函數(shù)y=-2x\x>0),求證該函數(shù)的“域差值"/<-2;
⑶點A(a,b)為函數(shù)y=-2/圖象上的一點,將函數(shù)y=-2x2(x>a)的圖象記為跖,將函數(shù)y=-2/(》40)的
圖象沿直線V=6翻折后的圖象記為/當(dāng)%,%兩部分組成的圖象上所有的點都滿足“域差值"/VI時,求。
的取值范圍.
名校模擬
1.(2023?江蘇南通?一模)定義:若函數(shù)G1的圖象上至少存在一個點,該點關(guān)于x軸的對稱點落在函數(shù)&的
圖象上,則稱函數(shù)G1,G為關(guān)聯(lián)函數(shù),這兩個點稱為函數(shù)G-&的一對關(guān)聯(lián)點.例如,函數(shù)y=2x與函數(shù)
y=x-3為關(guān)聯(lián)函數(shù),點(1,2)和點(1,-2)是這兩個函數(shù)的一對關(guān)聯(lián)點.
⑴判斷函數(shù)y=x+2與函數(shù)>是否為關(guān)聯(lián)函數(shù)?若是,請直接寫出一對關(guān)聯(lián)點;若不是,請簡要說明
X
理由;
⑵若對于任意實數(shù)左,函數(shù)y=2x+b與夕=丘+左+5始終為關(guān)聯(lián)函數(shù),求6的值;
⑶若函數(shù)y=x?-加X+1與函數(shù)y=2x-J(加,"為常數(shù))為關(guān)聯(lián)函數(shù),且只存在一對關(guān)聯(lián)點,求2療+〃2一6機
的取值范圍.
2.(2024?浙江湖州?一模)定義:對于y關(guān)于x的函數(shù),函數(shù)在網(wǎng)4x4%(占<3)范圍內(nèi)的最大值,記作
〃■[內(nèi),々]如函數(shù)V=2x,在-14尤43范圍內(nèi),該函數(shù)的最大值是6,即,M[-l,3]=6.
請根據(jù)以上信息,完成以下問題:
已知函數(shù)y=(a-l)x2-4x+a2-I(a為常數(shù))
⑴若a=2.
①直接寫出該函數(shù)的表達(dá)式,并求/[1,4]的值;
②已知Mp,"1=3,求夕的值.
⑵若該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(0,0),且=M求4的值.
題型四新定義型二次函數(shù)與幾何圖形的綜合問題
典例精講:
【例1】(新考法,拓視野)(2023?江蘇南通?二模)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,點尸(西,必)是圖形上的
任意一點,點0(%,力)是圖形G2上的任意一點,若存在直線l:y=kx+b(k^0)滿足yx<kxx+b§Ly1>kx1+b
(或滿足必Ng+b且%4心+6),則稱直線/:>=履+貼*0)是圖形G]與&的“界線
例如:直線>=-%+4是函數(shù)y=—4(x>0)的圖象與拋物線>=-V的一條,,界線〃.
x
已知點2),C(m+4,-2),D(m+4,2).
⑴若加=-2,在直線①y=x+3,②y=r+4,③y=-2x+7中,是函數(shù)y=9(x>0)的圖象與正方形
x
48co的"界線"的有(填序號);
⑵若點E的坐標(biāo)是(0,4),OE的半徑為2近,?!昱c正方形/BCD的"界線"有且只有一條,求"界線"/的函數(shù)關(guān)
系式;
⑶若存在直線了=2尤+6是函數(shù)〉=》2+2彳+3(-24x42)的圖象與正方形ABCD的"界線",求加的取值范圍.
通關(guān)指導(dǎo)
本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì),反比例函數(shù)的性質(zhì),一次函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的圖
象及性質(zhì),弄清"界線"的定義與圖形之間的關(guān)系,數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵.
【例2】(2024?江蘇常州?模擬預(yù)測)定義:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P、。為平面內(nèi)不重合的兩個點,其
中尸(%,%),。(如衛(wèi)).若:xl+y1=x2+y2,則稱點0為點尸的"等和點".
⑴如圖1,已知點尸(2,1),求點P在直線y=x+l上"等和點”的坐標(biāo);
⑵如圖2,。/的半徑為1,圓心N坐標(biāo)為(2,0).若點尸(0,加)在。/上有且只有一個"等和點",求他的值;
⑶若函數(shù)了=-/+2(尤4能)的圖像記為%,將其沿直線"翻折后的圖像記為啊.當(dāng)%,%兩部分組成
的圖像上恰有點P(0,〃?)的兩個"等和點",請直接寫出機的取值范圍.
1名校模擬J
1.(2023?江蘇揚州?一模)對于二次函數(shù)給出如下定義:在平面直角坐標(biāo)系xQy中,二次函數(shù)+,
b,c為常數(shù),且。=0)的圖象頂點為P(不與坐標(biāo)原點重合),以。尸為邊構(gòu)造正方形0PMN,則稱正方形
0PMN為二次函數(shù)了=ax2+bx+c的關(guān)聯(lián)正方形,稱二次函數(shù)了=ax2+6尤+c為正方形OPMN的關(guān)聯(lián)二次函
數(shù).若關(guān)聯(lián)正方形的頂點落在二次函數(shù)圖象上,則稱此點為伴隨點.
⑴如圖,直接寫出二次函數(shù)>=。+以-2的關(guān)聯(lián)正方形OPMN頂點N的坐標(biāo)并驗證點N是否為伴隨點
—(填"是"或"否"):
⑵當(dāng)二次函數(shù)y=-X?+4x+c的關(guān)聯(lián)正方形OPMN的頂點P與N位于無軸的兩側(cè)時,請解答下列問題:
①若關(guān)聯(lián)正方形0P兒W的頂點V、N在x軸的異側(cè)時,求c的取值范圍:
②當(dāng)關(guān)聯(lián)正方形OP兒W的頂點W是伴隨點時,求關(guān)聯(lián)函數(shù)y=-f+4x+c的解析式;
③關(guān)聯(lián)正方形。尸兒W被二次函數(shù)y=-/+4x+c圖象的對稱軸分成的兩部分的面積分別為H與邑,若
邑,請直接寫出。的取值范圍.
2.(2024?江西九江?一模)定義概念:在平面直角坐標(biāo)系中,我們定義直線>=ax-“為拋物線了=辦2+瓜+。
的"衍生直線如圖1,拋物線了=-尤2+岳;+。與其"衍生直線"交于/,&兩點(點8在x軸上,點N在點3
⑴求拋物線和"衍生直線”的表達(dá)式及點N的坐標(biāo);
2
⑵如圖2,拋物線y^-x+bx+c的"衍生直線”與j
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