2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)圖象的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)綜合問題（3題型）（原卷版）

搶分秘籍14二次函數(shù)圖象的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)綜合問題

（壓軸通關(guān)）

目錄

【中考預(yù)測】預(yù)測考向，總結(jié)常考點(diǎn)及應(yīng)對的策略

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯點(diǎn)

【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）

中考預(yù)測

二次函數(shù)圖象的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)綜合問題是全國中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年

都有一些考生因?yàn)橹R殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點(diǎn)頻率看，二次函數(shù)圖象的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)問題是幾何綜合，綜合性比較強(qiáng)，同時(shí)也是高頻

考點(diǎn)、必考點(diǎn)，所以必須對幾何和函數(shù)圖象的性質(zhì)定理很熟練和貫通。

2.從題型角度看，以解答題的最后一題或最后第二題為主，分值12分左右，著實(shí)不少！

<（搶分通關(guān)

題型一二次函數(shù)圖象的平移綜合問題

典例精講

【例1】（2024■浙江溫州?一模）如圖，直線了=-gx+2分別交x軸、了軸于點(diǎn)A,B,拋物線y=-f+機(jī)x

經(jīng)過點(diǎn)A.

⑴求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵若拋物線向左平移〃個單位后經(jīng)過點(diǎn)3,求”的值.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移，熟練

掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2024?江西贛州?模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線歹=-/與直線y=-l相交于B.

⑴4B=；

⑵拋物線4隨其頂點(diǎn)沿直線y=gx向上平移，得到拋物線乙，拋物線4與直線y=-l相交于C,D（.點(diǎn)C

在點(diǎn)。左邊），已知拋物線右頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為社

①當(dāng)加=6時(shí)，拋物線右的解析式是,CD=；

②連接當(dāng)△/CD為等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

名校模擬

—O

1.（2024?陜西西安三模）已知拋物線C:y=ox2+6x-4的對稱軸為x=2,且過點(diǎn)/。,2）.

⑴求拋物線C的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵對稱軸直線x=2與x軸的交于點(diǎn)。，與拋物線C交于點(diǎn)N.平移拋物線C得到拋物線C',使得拋物線C'

的頂點(diǎn)M在直線x=2的右側(cè).若等腰三角形9VM面積為8,請敘述平移過程.

X

2.(2024?貴州安順?一模)如圖，二次函數(shù)必=2f+6x+c與x軸有兩個交點(diǎn)，其中一個交點(diǎn)為/(-1,0),且

圖象過點(diǎn)8(1,2),過A,8兩點(diǎn)作直線

⑴求該二次函數(shù)的表達(dá)式，并用頂點(diǎn)式來表示；

⑵將二次函數(shù)必=2/+6x+c向左平移1個單位，得函數(shù)%=;%與〉軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

⑶在(2)的條件下，將直線向下平移"(">0)個單位后與函數(shù)％的圖象有唯一交點(diǎn)，求〃的值.

3.(2024?安徽池州?二模)如圖，拋物線二三=辦2+加+。與工正半軸交于點(diǎn)月(3,0),與V軸交于點(diǎn)3(0,3),

對稱軸為直線x=l.

⑴求直線N8的解析式及拋物線的解析式；

⑵如圖①，點(diǎn)尸為第一象限拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PCLx軸，垂足為C,PC交于點(diǎn)D,求當(dāng)點(diǎn)P

的橫坐標(biāo)為多少時(shí)，PD+4D最大;

⑶如圖②，將拋物線匚了="2+法+。向左平移得到拋物線〃，直線N3與拋物線2;交于M、N兩點(diǎn)，若

點(diǎn)B是線段的中點(diǎn)，求拋物線Z的解析式.

4.(2024?廣東佛山?一模)綜合運(yùn)用：已知，拋物線y=a/+灰+2如圖1所示，其對稱軸是x=l.

⑴①寫出“與6的數(shù)量關(guān)系；

②證明：拋物線與直線夕=-2尤+2有兩個交點(diǎn)；

⑵如圖2,拋物線經(jīng)過點(diǎn)將此拋物線記為月，把拋物線片先向左平移2個單位長度，再向上平移

1個單位長度，得拋物線

①求拋物線用與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

②點(diǎn)尸為拋物線片上一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作無軸的垂線，交拋物線外于點(diǎn)。，連接尸。，以點(diǎn)尸為圓心、尸。的

長為半徑作。尸.當(dāng)。尸與x軸相切時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

5.(2024?江西南昌?一模)綜合與實(shí)踐

特例感知

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(1)如圖1,對于拋物線J]=——(x——3)+3,y2=———4)+3,y3=——+—5)+3,

y4=-1(x+2)(x-6)+3,下列結(jié)論正確的序號是.

①拋物線必，外，力，乂的對稱軸是直線》=2;

②拋物線乂，%,力，”由拋物線＞依次向上平移2個單位長度得到；

③拋物線%,%,%,乂與直線尸=3的交點(diǎn)中，對稱軸兩側(cè)相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等.

概念形成

把滿足乙=-；(x+"-2)(x-〃-2)+3的拋物線稱為“族拋物線".

知識應(yīng)用

如圖2,“族拋物線"州的頂點(diǎn)依次為M］,M2,M3,M.,Mn.

（2）試求線段角的長.（用含"的代數(shù)式表示）

（3）"族拋物線”必，y2,y3...笫上分別有點(diǎn)月，P2,A，P?,它們的橫坐標(biāo)分別是2,3,4,

“+L試判斷點(diǎn)月，P2,P3,匕是否在同一條直線上，如果在，求出此直線的解析式；如果不在，請說

明理由.

題型二二次函數(shù)圖象的翻折綜合問題

典例精講

【例1】（2024?湖北孝感?一模）如圖1,拋物線yX+bx+g與x軸相交于唱,（）［、唁,。［兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C,連接8C,拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)M.

⑴直接寫出。，6的值及點(diǎn)M的坐標(biāo);

⑵點(diǎn)N為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)ZN+OV最小時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo);

⑶平移直線BC得直線y=mx+n.

①如圖2,若直線夕=加關(guān)+〃過點(diǎn)交x軸于點(diǎn)D,在x軸上取點(diǎn)E,連接求1的度數(shù).

②把拋物線>="2+樂+：在x軸下方圖象沿x軸翻折得到新圖象（如圖3）.當(dāng)直線y=+〃與新圖象有

兩個公共點(diǎn)時(shí)，請直接寫出n的取值范圍.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、解直角三角形的應(yīng)用、勾股定理、一元二次方程的根

與判別式的關(guān)系、解一元一次方程及解二元一次方程組，熟練利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式是解

題的關(guān)鍵.

【例2】（2024?四川德陽?模擬預(yù)測）學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，我們發(fā)現(xiàn)拋物線的形狀由二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)決

定.已知拋物線>-4"-4（。>0）.

新的函數(shù)圖象W.翻折后，拋物線頂點(diǎn)/的對應(yīng)點(diǎn)H恰好在x軸上，求拋物線>="_4?關(guān)_4的對稱軸及

a的值；

⑵如圖2,拋物線>=辦2-4辦-4（°>0）的圖象記為"6”,與了軸交于點(diǎn)2；過點(diǎn)2的直線與（1）中的圖象

"用'（x>2）交于p,C兩點(diǎn)，與圖象"G"交于點(diǎn)D

①當(dāng)時(shí)，求證：PC=CD；

②當(dāng)awl時(shí)，請用合適的式子表示=（直接寫結(jié)果）.

名校模擬

1.（2022?湖南衡陽?中考真題）如圖，已知拋物線J=X2-X-2交x軸于A、B兩點(diǎn)，將該拋物線位于x軸下

方的部分沿?zé)o軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象沙"，圖象少交了軸于點(diǎn)c.

⑴寫出圖象少位于線段48上方部分對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

⑵若直線y=-x+6與圖象/有三個交點(diǎn)，請結(jié)合圖象，直接寫出6的值；

（3）P為主軸正半軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸”〃了軸交直線于點(diǎn)交圖象用于點(diǎn)N,是否存在這樣的點(diǎn)

尸，使ACW與△03C相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

題型三二次函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)綜合問題

典例精講

【例1】（新考法，拓視野）（2024?江西南昌?一模）如圖、在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線q：y=f2+2x+3

與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè)），與V軸交于點(diǎn)C,尸為拋物線。的頂點(diǎn)，連接尸B,將拋物線

G繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C2.

⑴求拋物線的解析式.

⑵連接/C,BC,求sinN4cB的值.

⑶連接CP,。是拋物線。2上的點(diǎn)，若滿足NQCO=NP8C,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

通關(guān)指導(dǎo)

本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)以及與解直角三角形相關(guān)的計(jì)算.

【例2】（2023?陜西西安?模擬預(yù)測）已知拋物線=與x軸相交于48兩點(diǎn)（點(diǎn)8在點(diǎn)/的

左側(cè)），點(diǎn)N的坐標(biāo)是（4,0）,與y軸相交于點(diǎn)C,將拋物線工繞點(diǎn)（2,0）旋轉(zhuǎn)180。得到拋物線乙.

⑴求拋物線4的函數(shù)表達(dá)式.

⑵將拋物線4向左或向右平移，得到拋物線右，4與x軸相交于0、8'兩點(diǎn)（點(diǎn)"在點(diǎn)4的左側(cè)），與y

軸相交于點(diǎn)CL要使SA/B，U=2S4BC，求所有滿足條件的拋物線4的函數(shù)表達(dá)式.

［名校模擬］|

1.（2023?河南周口?二模）如圖1,拋物線弘=a/+6x+c分別交x軸于3（3,0）兩點(diǎn)，且與V軸交

于點(diǎn)C（0,—3）.

⑴求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)尸的坐標(biāo).

(2)如圖2,將該拋物線繞點(diǎn)(4,0)旋轉(zhuǎn)180。.

①求旋轉(zhuǎn)后的拋物線的表達(dá)式.

②旋轉(zhuǎn)后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為。，且與x軸的右側(cè)交于點(diǎn)。，順次連接A,P,D,Q,求四邊形/尸。0的

面積.

2.(2023?河北廊坊?二模)如圖，拋物線右經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)/(-2,0),其頂點(diǎn)3的縱坐標(biāo)為-2,點(diǎn)M的

坐標(biāo)為(m,0)(m>0),將拋物線A繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180。得到拋物線4