2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之有理數(shù)（原卷版）

專題01有理數(shù)

【專題目錄】

技巧1絕對(duì)值的八種常見(jiàn)應(yīng)用

技巧2有理數(shù)中的六種易錯(cuò)類型

【題型】一、有理數(shù)概念理解

【題型】二、用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)

【題型】三、求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)

【題型】四、求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值

【題型】五、有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算

【題型】六、科學(xué)記數(shù)法

【考綱要求】

1、了解有理數(shù)的概念，知道有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)——對(duì)應(yīng).

2、借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對(duì)值的意義，會(huì)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)與絕對(duì)值.

【考點(diǎn)總結(jié)】一、有理數(shù)

正數(shù)大于0的數(shù)叫做正數(shù)

思義：表不具有相反思乂的里

負(fù)數(shù)在正數(shù)前面加上“一”號(hào)的數(shù)叫做負(fù)數(shù)

有數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸

理只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，叫做互為相反數(shù)

數(shù)(1)若a力互為相反數(shù)，則a+b=0;

相反數(shù)

的(2)0的相反數(shù)是0;

相(3)在數(shù)軸上，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等.

關(guān)數(shù)軸上點(diǎn)a與原點(diǎn)的距離口U做。的絕對(duì)值，記作同

概

絕對(duì)值a{a>0)

念絕對(duì)值具有非負(fù)性：時(shí)=<0(a=0)

-a(a<0)

倒數(shù)乘積為1的兩個(gè)實(shí)數(shù)互為倒數(shù)

（1）ab=\^a,b互為倒數(shù)；

（2）0沒(méi)有倒數(shù);

（3）倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1和-1.

科學(xué)計(jì)數(shù)法把一個(gè)數(shù)寫(xiě)成axiO"（其中上同＜10,〃為整數(shù)）的形式

【注意】

數(shù)軸

1、數(shù)軸的三要素：鹿點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度（重點(diǎn)）

2、任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，有理教與教軸上的點(diǎn)是---對(duì)應(yīng)的。

3、數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)從左到右依次增大:原點(diǎn)左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)，原點(diǎn)右邊的數(shù)是正數(shù).

【考點(diǎn)總結(jié)】二、有理數(shù)四則運(yùn)算

同號(hào)兩數(shù)相加，取原來(lái)的符號(hào)。并把它們的絕對(duì)值相加。

加法異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)儲(chǔ)較大的加數(shù)的符號(hào),并用較大數(shù)的絕對(duì)值減失較小數(shù)的絕對(duì)值。

加法運(yùn)算律：①交換律a+b=b+a；②結(jié)合律（a+6）+c=a+S+c）。

減法減去一個(gè)效等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。即：a-b=a+（-b）。

兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把它們的絕對(duì)值相乘

有幾個(gè)非零實(shí)數(shù)相乘。積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；當(dāng)

理乘法負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)

數(shù)〃個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0,積為0.

的乘法運(yùn)算律：①交換律〃6=加；②結(jié)合律（仍）°=磯加）；③分配律Q（b+c尸ab+ac。

運(yùn)兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把它們的絕對(duì)值相除

除法

算0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)都得0

求"個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方。乘方的結(jié)果叫做幕。

乘方

如：a"[…讀作'的"次方（嘉），在a"中，a叫做底數(shù)，〃叫做指數(shù)。

〃個(gè)a

分級(jí)：加減是一級(jí)運(yùn)算。除是二級(jí)運(yùn)算，乘方和開(kāi)方是三級(jí)運(yùn)算，三級(jí)運(yùn)算的題序是三

運(yùn)算順序二一、（如果有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的；如果沒(méi)有括號(hào)，在同一級(jí)運(yùn)算中，要從左至右進(jìn)行

運(yùn)算，無(wú)論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算）

【注意】

1、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算

規(guī)則：運(yùn)用減法法則將加減混合運(yùn)算統(tǒng)一為加法進(jìn)行運(yùn)算

步驟：(1)減法化加法；

(2)省略括號(hào)和加號(hào)；

(3)運(yùn)用加法運(yùn)算律使計(jì)算簡(jiǎn)便；

(4)運(yùn)用有理數(shù)加法法則進(jìn)行計(jì)算。

注：運(yùn)用加法運(yùn)算律時(shí),可按如下幾點(diǎn)進(jìn)行：

(1)同號(hào)的先結(jié)合；

(2)同分母的分?jǐn)?shù)或者比較容易通分的分?jǐn)?shù)相結(jié)合；

(3)互為相反數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；

(4)能湊成整數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；

(5)帶分?jǐn)?shù)一般化為假分?jǐn)?shù)或者分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩部分，再分別相加。

2、多個(gè)有理數(shù)相乘的法則及規(guī)律：

(1)幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)；

負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)。

確定符號(hào)后，把各個(gè)因數(shù)的絕對(duì)值相乘。

(2)幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0,積為0；反之，如果積為0,那么至少有一個(gè)因數(shù)是0.

注：帶分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘時(shí)，通常把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù),再與分?jǐn)?shù)相乘。

【技巧歸納】

技巧1：絕對(duì)值的六種常見(jiàn)應(yīng)用

【類型】一、已知一個(gè)數(shù)求這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值

1.化簡(jiǎn)：

(1)|一(+7)|；(2)-|-8|；

【類型】二、已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值求這個(gè)數(shù)

2.若同=2,則a=.

3.若|x|=|y|,且x=-3,貝!Jy=.

【類型】三、絕對(duì)值在求字母的取值范圍中的應(yīng)用

4.若岡=—x,則x的取值范圍是.

5.若|x—2|=2—x,則x的取值范圍是.

【類型】四、絕對(duì)值在比較大小中的應(yīng)用

6.把一（一1）,一；,—HI,0,用“〉”連接正確的是（）

【類型】五、絕對(duì)值的非負(fù)性在求字母值中的運(yùn)用

7.若卜一21+1一3〔十卜一力=0,求a+b—c的值.

【類型】六、絕對(duì)值的非負(fù)性在求最值中的應(yīng)用

8.根據(jù)同加這條性質(zhì)，解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)2=時(shí)，|a—4|有最小值，此時(shí)最小值為：

技巧2：有理數(shù)中的六種易錯(cuò)類型

【類型】一、對(duì)有理數(shù)有關(guān)概念理解不清造成錯(cuò)誤

1.下列說(shuō)法正確的是（）

A.最小的正整數(shù)是0

B.一a是負(fù)數(shù)

C.符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)

D.-a的相反數(shù)是a

【類型】二、誤認(rèn)為|a|=a,忽略對(duì)字母a分情況討論

2.如果一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，那么這個(gè)數(shù)一定是（）

A.負(fù)數(shù)B.負(fù)數(shù)或零

C.正數(shù)或零D.正數(shù)

【類型】三、對(duì)括號(hào)使用不當(dāng)導(dǎo)致錯(cuò)誤

3.計(jì)算：2-1542）

【類型】四、忽略或不清楚運(yùn)算順序

4.計(jì)算：一5一（一56―^^-><（-5）.

1010

【類型】五、乘法運(yùn)算中確定符號(hào)與加法運(yùn)算中的符號(hào)規(guī)律相混淆

5.計(jì)算：-36x[1261）.

【類型】六、除法沒(méi)有分配律

6.計(jì)算：24一1386J.

【題型講解】

【題型】一、有理數(shù)概念理解

nr—,—1—22

例1、在下列實(shí)數(shù)：W、G、河、屏、〒-OQOIOOOI中，有理數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【題型】二、用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)

例2、如圖，數(shù)軸上兩點(diǎn)〃,N所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為心,〃，則加的結(jié)果可能是（）

,、，，兒，一

-2-I012

A.-1B.IC.2D.3

【題型】三、求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)

例3、下列式子中，正確的是（）

A.|-5|=-5B.-|-5|=5C.-（-5）=-5D.-（-5）=5

【題型】四、求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值

例4、-2020的絕對(duì)值是（）

A.-2020B.2020

【題型】五、有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算

例5、計(jì)算：

(1)12-(-18)+(-7)-15

(2)(―4)x8—(―16)4-^—1—J

⑶匕(375十運(yùn)11AKz2c力”、

(4)-14-(1-0.5)X|X[2-(-3)2]

【題型】六、科學(xué)記數(shù)法

例6、2020年6月23日，北斗三號(hào)最后一顆全球組網(wǎng)衛(wèi)星從西昌發(fā)射中心發(fā)射升空，6月30日成功定點(diǎn)于

距離地球36000公里的地球同步軌道.將36000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.0.36xl056B.3.6xl05C.3.6xl04D.36xl04

有理數(shù)（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）

一、單選題

1.（2022?浙江金華?一模）-2的相反數(shù)是（）

1

A.2B.yC.-2D.——

2

2.（2022?遼寧撫順?模擬預(yù)測(cè)）的絕對(duì)值等于（）

A.--B.；C.2D.-2

22

3.（2022?上海普陀?二模）下列各數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)的是

A.2B.1C.-1.5D.-3

4.（2022?重慶銅梁?一模）在下列四個(gè)選項(xiàng)中，比-1小的數(shù)是（)

A.1B.-2C.0D.2

5.（2022?河南?三模）下列各數(shù)中絕對(duì)值最大的數(shù)是（）

A.-4B.-3C.0D."

6.（2023?福建莆田?二模）中國(guó)工程院院士、世界雜交水稻之父袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)

用與推廣，發(fā)明“三系法”釉型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，為中國(guó)糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和

世界糧食供給作出杰出貢獻(xiàn).2021年，全國(guó)糧食再獲豐收，全年糧食總產(chǎn)量達(dá)到13657億斤，糧食產(chǎn)量連

續(xù)7年穩(wěn)定在1.3萬(wàn)億斤以上.將13657用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.0.13657xl05B.1.3657xl05C.13.657xl03D.1.3657xl04

二、填空題

7.（2022?河南?鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：卜3+2|=.

8.（2021?福建漳州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，數(shù)軸上4,2兩點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)（一格表示單位長(zhǎng)度為1）,

則點(diǎn)C表示的數(shù)是.

ACB

三、解答題

9.計(jì)算：

有理數(shù)（提升測(cè)評(píng)）

一、單選題

1.（2022?河北邯鄲?三模）等號(hào)左右兩邊一定相等的一組是（）

A.—（a+b^=—a+bB.a3—a+a+aC.-2（a+b）=-2a-2bD.—（a—ft）=—a—b

2.（2022?河北保定?二模）嘉琪在《趣味數(shù)學(xué)》中學(xué)習(xí)到遠(yuǎn)古時(shí)期的一種計(jì)數(shù)方法，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，類似現(xiàn)

在我們熟悉的“進(jìn)位制”.如圖所示，在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié)，滿五進(jìn)一，例如，圖1中表示

的數(shù)為31,可知圖2中表示的數(shù)為（）

A.42B.46C.86D.321

3.（2022?安徽?三模）下列各數(shù)中，化簡(jiǎn)結(jié)果最小的是（）

A.-5B.|-5|C.（-5）-1D.（-5）2

4.（2022?貴州貴陽(yáng)?三模）如圖，在不完整的數(shù)軸上，點(diǎn)/,8分別表示數(shù)a,b,且。與6互為相反數(shù)，若

AB=S,則點(diǎn)/表示的數(shù)為（）

------11----------?

A------------B

A.-4B.0C.4D.8

5.（2022?河北唐山?三模）如圖1,點(diǎn)A,B,C是數(shù)軸上從左到右排列的三個(gè)點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為-5,b,

4,某同學(xué)將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對(duì)齊數(shù)軸上的點(diǎn)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)2對(duì)應(yīng)刻度1.8cm,點(diǎn)C

對(duì)齊刻度5.4cm.則數(shù)軸上點(diǎn)3所對(duì)應(yīng)的數(shù)b為（）

_ABC.

4BC

~~b~Q4

圖1

A.3B.—1D.—3

6.（2022?陜西?西安工業(yè)大學(xué)附中三模）下列算式中，運(yùn)算結(jié)果為負(fù)數(shù)的是（）

A.-12B.-1-（-