2025年中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與訓(xùn)練：最值問題中的將軍飲馬模型（解析版）

專題17最值問題中的將軍飲馬模型

【模型展示】

傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫。一天，一位羅馬將軍專程去拜

訪他，向他請教一個(gè)百思不得其解的問題。將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲(yin)馬，然后

再去河岸同側(cè)的B地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?從此，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問題

廣泛流傳。

▲1

??11I廣

1”“前1

11111111

&A3

特點(diǎn)

三三三

實(shí)際問題：應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？

C

作圖問題：在直線1上求作一點(diǎn)C,

使AC+BC最短問題.

結(jié)論AC+BC最短

【模型證明】

(1)現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線1異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在1上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A,

點(diǎn)B的距離的和最短？

一

解決方案

連接AB,與直線1相交于一點(diǎn)C.

AC+BC最短(兩點(diǎn)之西線段最短)

(2)現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線1同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在1上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A,

點(diǎn)B的距離的和最短？

作法：

(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線1的對稱點(diǎn)B，；

(2)連接AB，，與直線1相交于點(diǎn)C.

則點(diǎn)C即為所求.

所作的AC+BC最短嗎？請說明理由？

【證明】

如圖，在直線1上任取一點(diǎn)。(與點(diǎn)C不重合),

連接A。，BC,BV.由軸對稱的性質(zhì)知，

BC=B/C,BC,=B,C,.

.".AC+BC=AC+B'C=AB；

AC'+BC'=AC'+B'C'.

在△AB，C中,

ABYAC+BC,

AAC+BCVAC&BC.

即AC+BC最短.

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，正方形4SCD的邊長是4,點(diǎn)E是。C上一個(gè)點(diǎn)，且?！?1,尸點(diǎn)在NC上移動，則尸E+尸。的

最小值是（）

A.4B.4.5C.5.5D.5

【答案】D

【分析】連接2E,交ZC于點(diǎn)N,連接DN,N即為所求的點(diǎn)，則8E的長即為DP+PE的最小值，利用勾

股定理求出BE的長即可.

【詳解】解：如圖，

?.?四邊形是正方形，

工點(diǎn)、B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對稱,

連接8E,交NC于點(diǎn)N,連接DV,

:.DN=BN,

DN+EN=BN+ENNBD,

則BE的長即為DP+PE的最小值,

：.AC是線段BD的垂直平分線,

又；CE=CD-DE=4-1=3,

在RtABCE中，

BE2=CE2+BC2=25,

■:BE>3

：.BE=5,

即DP+PE的最小值為5,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，兩點(diǎn)之間，線段最短等知識，將PE+PD

的最小值轉(zhuǎn)化為BE的長是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，正方形45CD的邊長為4,點(diǎn)M在DC上，且DM=1,N是/C上一動點(diǎn)，則DN+JW的最小值

為（）

AK------------------KD

B.472c.2y[5

【答案】D

【分析】由正方形的對稱性可知點(diǎn)8與。關(guān)于直線/C對稱，連接交ZC于M即為所求在RtZkBCM

中利用勾股定理即可求出BM的長即可.

【詳解】；四邊形是正方形，

；.點(diǎn)、B與D關(guān)于直線AC對稱，

：.DN=BN,

連接2D,BM交AC于N',連接

...當(dāng)8、N、Af共線時(shí)，ON+MV有最小值，則3M的長即為DV+TW的最小值,

：.AC是線段BD的垂直平分線，

XVC￡>=4,DM=1

：.CM=CD-DM=4-1=3,

在RtABCM中，BM=^CM2+BC2=#+￥=5

故DN+MN的最小值是5.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題及正方形的性質(zhì)，先作出。關(guān)于直線4C的對稱點(diǎn)，由軸對稱

及正方形的性質(zhì)判斷出D的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B是解答此題的關(guān)鍵.

3.如圖，矩形/BCD中，AB=4,BC=6,點(diǎn)P是矩形NBCD內(nèi)一動點(diǎn)，且&^=g%8，貝lJPC+尸。的最

小值是（）

A.46B.475

C.2713D.2729

【答案】B

【分析】作于跖作點(diǎn)。關(guān)于直線的對稱點(diǎn)E，連接尸E,EC.設(shè)由尸河垂直平分線

段DE,推出尸尸E,推出尸C+PZ”尸C+*EC,利用勾股定理求出EC的值即可.

【詳解】解：如圖，作尸河，4。于M,作點(diǎn)。關(guān)于直線的對稱點(diǎn)￡,連接尸E,EC.設(shè)NM=x.

,??四邊形/8C都是矩形，

J.AB//CD,48=8=4,BC=AD=6,

'：SAPAB=^SAPCD,

—x4xx=—x—X4X(6-x),

222

/.x=2,

：.AM=29DM=EM=4,

在必中，EC=y/cD2+DE2=475,

；尸河垂直平分線段DE,

:.PD=PE,

：.PC+PD=PC+PE>EC,

：.PD+PC>4y/5,

：.PD+PC的最小值為475.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合

軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn).

4.如圖，等邊△ABC的邊長為6,AD是邊上的中線，M是4D上的動點(diǎn)，E是邊/C上一點(diǎn)，若NE

=2,則EM+CM的最小值為（）

A

【分析】連接BE,交ND于點(diǎn)過點(diǎn)E作所，BC交于點(diǎn)R此時(shí)W+CM的值最小，求出5E即可.

【詳解】解：連接2E,交4D于點(diǎn)初，過點(diǎn)E作斯，8c交于點(diǎn)廠，

是等邊三角形，是BC邊上的中線，

.?.2點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于4D對稱，

:"BM=CM,

：.EM+CM=EM+BM=BE,此;時(shí)EM+CM的值最小,

"：AC=6,AE=2,

，EC=4,

在用中，Z￡CF=60°,

:.FC=2,EF=25

在RtABEF中,BF=4,

:.BE=2不，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)

鍵.

5.已知線段及直線/,在直線/上確定一點(diǎn)P,使上4+尸3最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（）.

C.

【答案】c

【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短即可解決問題.

【詳解】解：：點(diǎn)4,2在直線/的同側(cè)，

.??作8點(diǎn)關(guān)于/的對稱點(diǎn)8',連接N8'與/的交點(diǎn)為尸，由對稱性可知8尸=87，

R4+PB=PB'+R4=4B為最小

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱求最短距離，掌握兩點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí)，在直線上找一點(diǎn)到兩點(diǎn)距離最短的方法是

解題的關(guān)鍵.

6.如圖，點(diǎn)M是菱形/BCD的邊2C的中點(diǎn)，P為對角線3。上的動點(diǎn)，若48=2,//=120。，則PM+

PC的最小值為（）

A________D

區(qū)t

BMC

A.2B.V3C.V2D.1

【答案】B

【分析】連接AM、AC,AM交BD于P,此時(shí)PM+PC最小，連接CP,由菱形的性質(zhì)可知。和/關(guān)于BD

對稱，AP=CP,由條件易證△Z2C是等邊三角形，根據(jù)三線合一可知/WL2C,再根據(jù)勾股定理可求

的值，即可求解.

【詳解】解:連接?W、AC,AM交BD于P,

此時(shí)尸M+PC最小，連接CP,

?.?四邊形是菱形,

：.OA=OC,ACLBD,

和4關(guān)于2D對稱，

：.AP=PC,

ZA=no0,

：.ZABC=60°,

AABC是等邊三角形,

：.AC=AB=2,

?.?朋■是3C的中點(diǎn)，

C.AMLBC,

，ZBAM=?>0o,

??AM=-\lAB2~BM2=V3，

：.PM+PC=AM=^3.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了將軍飲馬類型的求最小值問題，涉及菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定

理等知識，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找到P的位置.

7.如圖，在△43C中，4B=2,N4BC=60°,ZACB=45°,。是的中點(diǎn)，直線/經(jīng)過點(diǎn)。，AELI,

【答案】A

【分析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解:如圖，過點(diǎn)C作CKL1于點(diǎn)K,過點(diǎn)A作AHLBC于點(diǎn)H,

VZABC=60°,AB=2,

BH=1,AH=5

在RtZ\AHC中，NACB=45°,

*'?AC=^AH2+CH2=J(V3)2+(A/3)2=V6，

:點(diǎn)D為BC中點(diǎn),

，BD=CD,

在ABED與△CKD中，

ABFD=ZCKD=90P

，NBDF=ZCDK,

BD=CD

.?.△BFD絲△CKD（AAS）,

；.BF=CK,

延長AE,過點(diǎn)C作CN_LAE于點(diǎn)N,

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RtAACN中，AN<AC,

當(dāng)直線1_LAC時(shí)，最大值為幾，

綜上所述，AE+BF的最大值為

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形是解答此題的

關(guān)鍵.

8.如圖，凸四邊形48co中，44=90。,/。=90。,/。=60。,71。=3,/3=6，若點(diǎn)M、N分別為邊CD,40

上的動點(diǎn)，則ABMN的周長最小值為（）

【答案】C

【分析】由軸對稱知識作出對稱點(diǎn)，連接兩對稱點(diǎn)，由兩點(diǎn)之間線段最短證明53"最短，多次用勾股定理

求出相關(guān)線段的長度，平角的定義及角的和差求出角度的大小，最后計(jì)算出ASMN的周長最小值為6.

【詳解】解：作點(diǎn)B關(guān)于CD、ND的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)8,和點(diǎn)『，

連接8方"交DC和/。于點(diǎn)M和點(diǎn)N,DB,連接MB、NB-,

再DC和/。上分別取一動點(diǎn)和N'（不同于點(diǎn)M和N）,

連接MB,M'B',N'B和N'B”,如圖1所示:

B'M'=BM',B"N'=BN',

BM'+MN'+BN'>B'B",

又?1'B'B"=B'M+MN+NB",

MB=MB',NB=NB",

:.NB+NM+BM<BM'+M'N'+BN',

:j=NB+NM+BM時(shí)周長最小；

連接DB,過點(diǎn)3'作B'H1DB"于B"D的延長線于點(diǎn)H,

如圖示2所示：

??,在比中，AD=3,AB=有,

DB=yiAlf+AB2=732+(V3)2=26

Z2=30°,

Z5=30°,DB=DB",

XZADC=Z1+Z2=60°,

Zl=30°,

Z7=30°,DB'=DB,

ZB'DB"=Z1+Z2+Z5+Z7=120°,

DB'=DB"=DB=2y13,

又函+N6=180°,

Z6=60°,

:.HD=>[?,>HB'=3,

在RtdB'HB"中,由勾股定理得：

B'B"=yjHB'2+HB"2=+(3后=727+9=6.

I^BMN=NB+NM+BM=6,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了軸對稱-最短路線問題，勾股定理，平角的定義和兩點(diǎn)之間線段最短等相關(guān)知識點(diǎn),

解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱-最短路線問題，難點(diǎn)是構(gòu)建直角三角形求兩點(diǎn)之間的長度.

二、填空題

9.在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常會看到許多“標(biāo)準(zhǔn)”的矩形，如我們的課本封面、/4的打印紙等，其實(shí)這些矩形

的長與寬之比都為夜:1，我們不妨就把這樣的矩形稱為“標(biāo)準(zhǔn)矩形”，在“標(biāo)準(zhǔn)矩形"ZBCD中，如圖所示,

點(diǎn)。在DC上，且若G為8C邊上一動點(diǎn)，當(dāng)△NGQ的周長最小時(shí)，則誓的值為

CJB

【分析】先設(shè)出矩形的邊長，將/。和C。表示出來，再通過作對稱點(diǎn)確定△NG。的周長最小時(shí)的G點(diǎn)位

置后，利用平行線分線段成比例的基本事實(shí)的推論建立等式求解即可.

【詳解】解：設(shè)DC=0x，DQ=AD=X,

Cg=(V2-l)x

:矩形/BCD,

??ND=NDCB=NB=90。,AB=DC=V2BC=AD=x,

：.AQ=yjAD2+DQ2=V2x,

如圖，作。點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)E,連接NE交8c于點(diǎn)”,

AGQ=GE,CQ=CE=（41

：.AQ+QG+AG=亞x+AG+EGN瓜+AE，

...當(dāng)N、G、￡三點(diǎn)共線時(shí)，△4G。的周長最小，

此時(shí)G點(diǎn)應(yīng)位于圖中的M點(diǎn)處；

?.,矩形48co中，ZQCG=90°,

：.E點(diǎn)位于QC的延長線上，

C.CE//AB,

...CM_CE(0_1卜_2亞

MB-AB-41x-2

即空=小，

GB2

故答案為：三

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、最短路徑、平行線分線段成比例的基本事實(shí)的推論等內(nèi)容,

解題關(guān)鍵是能正確找到滿足題意的G點(diǎn)位置，同時(shí)要牢記平行線分線段成比例的推論，即平行于三角形的

一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例.

10.如圖，點(diǎn)P是/498內(nèi)任意一點(diǎn)，。尸=3cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線。4和射線03上的動點(diǎn),

ZAOB=30°,則APMN周長的最小值是

【答案】3

【分析】根據(jù)“將軍飲馬”模型將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為所學(xué)知識“兩點(diǎn)之間線段最短”可找到△尸MN周長的最小

的位置，作出圖示，充分利用對稱性以及N/OB=30。，對線段長度進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化即可.

解：如圖所示，過點(diǎn)尸分別作P點(diǎn)關(guān)于。2、04邊的對稱點(diǎn)尸‘、P",連接收"、pp、P'P"、OP'、OP",

其中PP"分別交。8、0A于點(diǎn)、N、M,根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，此時(shí)點(diǎn)M、N的位置是使得APMN周

長的最小的位置.

由對稱性可知：PN=P'N,PM=P"M,ZP'OB=ZPOB,ZPOA=ZP"OA

OP'=OP"=OP=3,

ZPOA+Z.POB=NAOB=30°

ZP"OA+ZP'OB=30°

ZPOA+ZPOB+ZP"OA+ZP'OB=ZP'OP"=60°

「.△POP'為等邊三角形

P'P"=OP'=OP"=3

：.APMN的周長=PN+PW+A/N=P'N+P"M+MN=P'P"=3

故答案為：3

【點(diǎn)睛】本題是典型的的最短路徑問題，考查了最短路徑中的“將軍飲馬”模型，能夠熟練利用其原理“兩點(diǎn)

之間線段最短”作出最短路徑示意圖是解決本題的關(guān)鍵.

11.如圖，等邊AA8C的邊長為4,點(diǎn)￡是NC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AABC的中線ND上的動點(diǎn)，則EP+C尸的

最小值是

A

【答案】273

【分析】當(dāng)連接BE,交/。于點(diǎn)尸時(shí)，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值.

【詳解】解：連接2E

A

是等邊三角形，4D是2c邊上的中線，

：.AD±BC,

：.4D是BC的垂直平分線，

/.點(diǎn)C關(guān)于AD的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B,

ABE就是EP+CP的最小值.

是等邊三角形，￡是/C邊的中點(diǎn)，

；.BE是△4BC的中線，

:.CE=*AC=2,

?*-BE=YIBC2-CE2=273

即EP+CP的最小值為26，

故答案為：26.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱-最短路線問題以及等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等邊三角形和

軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，正方形/BCD的邊長為8,點(diǎn)河在DC上且。M=2,N是NC上的一動點(diǎn)，則DN+九CV的最小

值是______

【分析】要求。N+MN的最小值，DN,不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化DN,aW的值，從而找

出其最小值求解.

【詳解】解：：正方形是軸對稱圖形，點(diǎn)2與點(diǎn)。是關(guān)于直線NC為對稱軸的對稱點(diǎn)，

二連接8N,BD,

:.BN=ND,

：.DN+MN=BN+MN,

連接8M交NC于點(diǎn)尸，

?點(diǎn)N為/C上的動點(diǎn)，

由三角形兩邊和大于第三邊，

知當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動到點(diǎn)尸時(shí)，BN+MN=BP+PM=BM,

BN+MN的最小值為BM的長度，

?.?四邊形為正方形，

：.BC=CD=S,CM=8-2=6,NBCM=90。,

；.BM=762+82=10,

.?.DN+ACV的最小值是10.

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用.

13.如圖所示，在中，AB=AC,直線所是的垂直平分線，。是3C的中點(diǎn)，M是昉上一個(gè)動

點(diǎn)，A4BC的面積為12,BC=4,貝UAADM周長的最小值是

E

M

【答案】8

【分析】連接ND,AM,由￡尸是線段N8的垂直平分線，得至U/四=3四，則△BZW的周長

=BD+BM+DM=AM+DM+BD,要想的周長最小，即要使的值最小，故當(dāng)/、M、。三點(diǎn)共

線時(shí)，NM+DM最小，即為N。，由此再根據(jù)三線合一定理求解即可.

【詳解】解：如圖所示，連接ND,AM,

尸是線段48的垂直平分線，

：.ABDM的周長=80+8"+￡)河=/河+。河+20,

要想△ADM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，

...當(dāng)/、M、。三點(diǎn)共線時(shí)，NM+DAf最小，即為

\'AB=AC,。為2C的中點(diǎn)，

：.ADLBC,BD=-BC=2,

2

S人/”=」/D3C=12,

/\rir)\'2,

：.AD=6,

：.ABDM的周長最小值=/D+AD=8,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三線合一定理，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到當(dāng)/、

M、。三點(diǎn)共線時(shí)，4"+。新最小，即為4D.

14.如圖，在四邊形/BCD中，NBCD=50。,ZB=ZD=90°,在3C、CD上分別取一點(diǎn)M、N,使△/MN

的周長最小，則/M4N=°.

【答案】80

【分析】作點(diǎn)/關(guān)于8C、CD的對稱點(diǎn)出、血，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接小、也分別交8C、

。。于點(diǎn)M、N,利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出N//+N/2,再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和角的和差關(guān)系即可得

AMAN.

【詳解】如圖，作點(diǎn)N關(guān)于BC、CD的對稱點(diǎn)小、也，連接小、小分別交8C、DC于點(diǎn)河、N,連接//、

AN,則此時(shí)△WW的周長最小,

VZBCD=5Q°,NB=ND=90。,

：.ZBAD=360°-90°-90°-50°=130°,

AZAJ+ZA2=180°-130°=50°,

:點(diǎn)/關(guān)于8C、CO的對稱點(diǎn)為出、A2,

：.NA=NA2,MA=MAI,

:.NA2=NNAD,NAI=NMAB,

...ZNAD+ZMAB=ZA1+ZA2^5O°,

：.ZMAN=ZBAD-(NNAD+/MAB)

=130°-50°

=80°,

故答案為：80.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的最短路徑問題，利用軸對稱將三角形周長問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線段最短問題是

解決本題的關(guān)鍵.

15.如圖，在矩形N2CD中，/B=15,3c=20,把邊48沿對角線AD平移，點(diǎn)4,夕分別對應(yīng)點(diǎn)力,2給

出下列結(jié)論：

①順次連接點(diǎn)B',C,。的圖形是平行四邊形；

②點(diǎn)c到它關(guān)于直線4r的對稱點(diǎn)的距離為50；

③?C-9。的最大值為15；

?A'C+B'C的最小值為9后.

其中正確結(jié)論的序號是

【答案】③④

【分析】①根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可；②作點(diǎn)C關(guān)于直線應(yīng)4'的對稱點(diǎn)E,交直線44吁點(diǎn)7,

交直線2。于點(diǎn)。，則C￡=40C,利用等面積法求出0C即可；③根據(jù)HC-夕C<H",當(dāng)線段平移至

H與。點(diǎn)重合，即：A',B',C三點(diǎn)共線時(shí)，/'C-8'。=/的即可判斷；④作。關(guān)于直線44,的對稱點(diǎn)。

連接。。交直線4r于點(diǎn)J,過點(diǎn)。M乍。'ELCD,交CD延長線于￡點(diǎn)，連接CD',交直線44,于點(diǎn)4,此

時(shí)滿足HC+夕。的值最小，即為CD的長度，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：①由平移的性質(zhì)可知：ABHAB',AB=A'B'，

由矩形的性質(zhì)可知：AB//CD,AB=CD,

：.A'B'HCD,A'B'=CD,

.??四邊形/AC。為平行四邊形,

當(dāng)點(diǎn)8,與。重合時(shí)，四邊形不存在,

故①錯(cuò)誤;

②如圖1所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對稱點(diǎn)E,交直線N?于點(diǎn)7,交直線8。于點(diǎn)。，則CE=4OC,

?.?四邊形為矩形,

AZBCD=90°,CD=AB=15,

BD=yjBC2+CD2=25，

?S&BCD=-BC-CD=-BD>OC,

22

20x15

OC==,

25

A￡C=4xl2=48,故②錯(cuò)誤;

③由二角形三邊關(guān)系可知：A'C-B'C<A'B',

如圖2所示，當(dāng)線段平移至H與。點(diǎn)重合，即：A',B',C三點(diǎn)共線時(shí)，A'C-B'C=A'B'=15,

-8'C最大值為15,故③正確；

④如圖2所示，由①可知，B'C=A'D,

：.A'C+B'C=A'C+A'D,

作D關(guān)于直線的對稱點(diǎn)。內(nèi)連接交直線44,于點(diǎn)J,

過點(diǎn)加作D'ELC。，交CD延長線于￡點(diǎn)，連接CD',交直線44,于點(diǎn)4,

此時(shí)滿足/'C+2C的值最小，即為CD'的長度，

由對稱的性質(zhì)可知：ZAJD=90°,

由平行的性質(zhì)可知：/BDJ=180°-NAJD=90°,

即：ZADJ+ZADB=90°,

'：ZABD+ZADB=90°,

：.NABD=/ADJ,

：./\ABD^/\JDA,

.DJAD

"HB~~BD'

DJ20

n即n：一=—,

1525

：.DJ=n,

：.DD'=2DJ=24,

又：D'EIIAD,

ZED'D=/ADJ,

.*?NED'D=AABD，

"：NE=NBAD=90°,

：."BDfEDD,

.D'EEDD'D

"AB~AD~BD

D'E_ED24

即:

25

72

???DrE=—ED=9

5T

EC=ED+DC=——+15=—

55

由勾股定理：CD'=ND'E，EC?=9而，故④正確,

................E

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，理

解并掌握平行四邊形和特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

16.如圖，O為矩形/BCD對角線NC,8。的交點(diǎn)，N3=8,M,N是直線上的動點(diǎn)，且MN=2,貝1JOM+ON

的最小值是.

【答案】2后

【分析】根據(jù)題意，過。作0H〃2C,且令0/7=2,連接八萬，作。點(diǎn)關(guān)于3c的對稱點(diǎn)K,連接OK,KH,

則OM+ON=NH+ON=NH+NKNHK,當(dāng)X、N、K三點(diǎn)共線的時(shí)候，OM+ON有最小值，最小值為//K的長.根

據(jù)矩形性質(zhì)及圖形的對稱性，易知/KO〃=90。，在RtAKOH中,運(yùn)用勾股定理求得的長即可.

【詳解】解：過。作0H〃8C,且令08=2,連接NH,作。點(diǎn)關(guān)于2。的對稱點(diǎn)K,連接OK,KH,

'COH//BC,0H=MN=2,

四邊形0MNH是平行四邊形，

：.OM=NH,

：.OM+ON=NH+ON.

。點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)是點(diǎn)K,

：.ON=NK,

：.OM+ON=NH+ON=NH+NK,

'：NH+NK>HK,

:.當(dāng)H、N、K三點(diǎn)共線的時(shí)候，OM+ON有最小值，最小值為的長.

-COH//BC,。點(diǎn)關(guān)于8c的對稱點(diǎn)是點(diǎn)K,

：.ZKOH=90°.

為矩形A8CD對角線/C,3。的交點(diǎn)，。點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)是點(diǎn)K,

：.OK=AB=S.

"：OH=2,NKOH=90°,

?*-HK=yJOH2+OK2=2y/17>

OM+ON的最小值是2,

【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問題，矩形性質(zhì)，勾股定理求直角三角形的邊長，其中熟練畫出0M+0N取

最小值時(shí)所對應(yīng)的線段，是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，菱形45CD的邊長為6,ZABC=120°,M是5C邊的一個(gè)三等分點(diǎn)，P是對角線NC上的動點(diǎn),

當(dāng)PB+PM的值最小時(shí)，尸”的長是.

【答案】立

2

【分析】如圖，連接。尸，BD,作。2c于當(dāng)。、P、”共線時(shí)，戶"+戶"=2〃值最小，利用勾股定

理求出。再利用平行線的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接DPBD,作。于〃.

?.?四邊形/BCD是菱形，

：.ACLBD,B、。關(guān)于4c對稱，

：.PB+PM=PD+PM

當(dāng)。、P、初共線時(shí)，的值最小,

'：CM=-BC=1

3

ZABC=nO°,

：.ZDBC=ZABD=60°

：.△D8C是等邊三角形，

,:BC=6,

：.CM=2,HM=\,DH=343，

在及△DM”中，

DM=y!DH2+W2=7（3V3）2+12=2A/7

'：CM//AD

.P'M_CM_2

??施—拓W

10

JP'M二-DM二—

42

故答案為：旦.

2

【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱一最短問題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線線段成

比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

三、解答題

18.如圖，在RtZi/8C中，乙4cB=90。,ZABC=30°,AC=2,以為邊向左作等邊△BCE,點(diǎn)。為N3

中點(diǎn)，連接CD,點(diǎn)尸、。分別為CE、CD上的動點(diǎn).

(1)求證：△/DC為等邊三角形；

(2)求尸D+PQ+0E的最小值.

【答案】(1)證明見解析；(2)4.

【分析】(1)先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得/A4c=60。,/。=CD,再根據(jù)等邊三角形的判定即可得證；

(2)連接尸408,先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得=再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得CE

垂直平分4。，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得尸4=PD,同樣的方法可得。=?！?從而可得

PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得出答案.

【詳解】證明：(1),??在RtA/3C中，AACB=90°,AABC=30°,=2,

ABAC=60°,AB=2AC=4,

???點(diǎn)。是RUABC斜邊AB的中點(diǎn)，

4D=AC=2,

.〔AADC是等邊三角形；

(2)如圖，連接尸

QVBCE和A4DC都是等邊三角形,

ZBCE=60°,ZACD^60°,

NACE=ZACB-ZBCE=30°=-ZACD,

2

.?.CE垂直平分4D,

PA=PD,

同理可得：CD垂直平分BE,

QB=QE,

:.PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)4尸,0,8共線時(shí)，尸/+尸0+”取得最小值NB，

故尸。+尸0+的最小值為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握等邊三角

形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x軸的負(fù)半軸、f軸的正半軸交于/、B兩點(diǎn),其中。/=

2,S/3C=12,點(diǎn)C在x軸的正半軸上，S.OC=OB.

(1)求直線的解析式；

(2)將直線N3向下平移6個(gè)單位長度得到直線乙，直線//與y軸交于點(diǎn)E,與直線CZ?交于點(diǎn)。，過點(diǎn)￡作

y軸的垂線/2,若點(diǎn)尸為y軸上一個(gè)動點(diǎn)，。為直線/2上一個(gè)動點(diǎn)，求PD+P0+。。的最小值；

(3)若點(diǎn)M為直線上的一點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)N、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊

形，若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(l?=2x+4

(2)475

(3)存在以點(diǎn)4、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，N的坐標(biāo)為(0,-2)或(0,10)

【分析】(1)設(shè)OB=OC=m,由S/45C=12,可得3(0,4),設(shè)直線N8解析式為利用待定

系數(shù)法即可求解；

(2)將直線向下平移6個(gè)單位，則直線//解析式為y=2x-2,可得E(0,-2),垂線的解析式為y=

-2,由2(0,4),C(4,0),得直線2c解析式為y=-x+4,從而可求得。(2,2),作。關(guān)于y軸的對

稱點(diǎn)。，作。關(guān)于直線y=-2對稱點(diǎn)。"，連接。。"交了軸于P,交直線》=-2于0,止匕時(shí)PD+PQ+O0

的最小，根據(jù)。(-2,2),D''(2,-6),得直線DTP解析式為y=-2x-2,從而尸(0,-2),Q(0,-2),

故此時(shí)PZ)=22石，PQ=0,DQ=2也,尸。+尸0+。。的最小值為4石.

(3)設(shè)P(p,2p+4),N(0,q),而/(-2,0),D(2,2),①以MN為對角線，此時(shí)4D中點(diǎn)即

為中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)公式得N(0,-2)；②以4W、DN為對角線，同理可得N(0,10)；③以/N、DM

為對角線，同理可得N(0,-2).

(1)

解：(1)設(shè)0B=0C=m,

?\AC=jn-^2fA(-2,0),

9：SAABC=n,

：.^AC'OB=n,即g7".（機(jī)+2）=12,

解得m=4或m=-6（舍去），

???。5=。。=4,

：.B（0,4）,

設(shè)直線AB解析式為歹

j0=-2k+b

i4=b

k=2

解得

b=4

，直線N3解析式為y=2x+4；

(2)

將直線ABy=2x+^向下平移6個(gè)單位，則直線//解析式為y=2x-2,

令x=0得尸-2,

：.E(0,-2),垂線心的解析式為y=-2,

,:B(0,4),C(4,0),

設(shè)直線BC解析式為y=px+q,

.\0=4p+q

4=q

。=-1

解得

q=4

,直線2C解析式為^=-x+4,

y=-x+4.x=2

由y=2x-2^：

,=2'

：.D(2,2),

作。關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)。，作。關(guān)于直線y=-2對稱點(diǎn)。"，連接ZXD"交y軸于P,交直線＞=-2于0,

此時(shí)PD+PQ+DQ的最小，如圖:

：.D'(-2,2),D"(2,-6),

設(shè)直線ZXD"解析式為夕=5升7,

2=—2s+￡s=-2

則-6=2s+，,解得

t=—2

直線解析式為夕=-2x-2,

令x=0得y=-2,即尸(0,-2),

令y=-2得x=0,即0(0,-2),

二止匕時(shí)P￡>=2石，PQ=Q,DQ=245,

C.PD+PQ+DQ的最小值為4VL

(3)

存在，理由如下：

設(shè)尸(0,2p+4),N(0,q),而/(-2,0),D(2,2),

①以為對角線，如圖：

此時(shí)中點(diǎn)即為MV中點(diǎn)，

?.?[\o+-22+=22=p/+24++0/解得3fp-=20

：.N(0,-2)；

②以MW、ON為對角線，如圖:

—2+夕=2+0p=4

同理可得:,解得

0+22+4=2+^q=10

：.N(0,10)；

③以/N、為對角線，如圖:

—2+0二7+2p=-4

同理可得。+?=2+.+4,解得

q=—2’

：.N(0,-2),

綜上所述，以點(diǎn)/、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，N的坐標(biāo)為（0,-2）或（0,10）.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)及應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)特征、線段和的最小值、平

行四邊形等知識，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用平行四邊形對角線互相平分，列方程組解決問題.

20.如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，將三角形分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形與原三角形相似,

則稱該直線為三角形的“自相似分割線”.如圖1,在△/8C中，AB=AC=\,ZBAC=108°,垂直平分48,

且交8c于點(diǎn)。，連接/D

(1)證明直線AD是△/BC的自相似分割線；

(2)如圖2,點(diǎn)尸為直線DE上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，PA+PC的值最??？求此時(shí)PA+PC的長度.

(3)如圖3,射線CF平分//C2,點(diǎn)。為射線CF上一點(diǎn)，當(dāng)+4要C0取最小值時(shí)，求/Q/C的正弦

值.

【答案】⑴直線是△N5C的自相似分割線；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到。點(diǎn)時(shí)，為+PC的值最小，止匕時(shí)取+尸。=存匚；

(3)ZQAC的正弦值為1上1

【分析】(1)根據(jù)定義證明△DA4s△MC即可得證；

(2)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得尸N+PCuPB+PC2BC,當(dāng)點(diǎn)尸與。重合時(shí)，PA+PC=PB+PC=BC,

止匕時(shí)P/l+PC最小，設(shè)BO=x,貝l]BC=x+l

根據(jù)ADB/SA/BC,列出方程，解方程求解即可求得6。，進(jìn)而即可求得3c的長，即尸/+PC最小值；

(3)過點(diǎn)A作于點(diǎn)“，過點(diǎn)。作QGL3C于點(diǎn)G,連接/G,設(shè)CF與交于點(diǎn)M,根據(jù)已

知條件求得GQ=4?CQ，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為/Q+與。CQ=/Q+GQ，則當(dāng)。點(diǎn)落在4G上時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)b重

合，止匕時(shí)/0+與1CQ的值最小，最小值為NH,進(jìn)而根據(jù)sin/"C=sin/應(yīng)C=■1|求解即可.

(1)

?.?△N8C中，AB=AC=l,ZBAC=108°

:./B=/C=(180o-ZS^C)=36°

垂直平分

：.AD=BD

：.ZB=ZBAD=36°

：.ZC=ZBAD

又??,ZB=ZB

：.ADBAsLABC

?,?直線AD是4ABC的自相似分割線.

(2)

如圖，連接PB,AD,

A

4

BD\

圖2

???DE垂直平分

:.PA=PB

...PA+PC=PB+PC>BC

當(dāng)點(diǎn)尸與。重合時(shí)，PA+PC=必+尸。=3C,止匕時(shí)H+尸c最小,

???/ADC=/B+ABAD=72°,ZDAC=ZBAC-/BAD=72°

ZADC=ZDAC

CD=CA=\

設(shè)=則5C=x+l

?1DBAs八ABC

.BDAB

x_1

1x+1

+x—1—0

2

*/x>0

.x-—1+V5

…2

5C=x+l=^il

2

;.PA+PC=^^-

2

二當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到。點(diǎn)時(shí)，E4+PC的值最小，止匕時(shí)尸/+尸。=心里；

2

(3)

如圖，過點(diǎn)A作/于點(diǎn)H,過點(diǎn)。作0GL8C于點(diǎn)G,連接/G,設(shè)C/與AD交于點(diǎn)M,

由（2）知，DC=AC=\

:CF平分/ACB

:.CM±AD

DM=AM=LAD=^^

24

5出/跖％>=絲=也=逐-1

CQCD4

rr）^5-1

CQ

J5-1

AQ+^—CQ=AQ+GQ>AG

'：AG>AH

.??。點(diǎn)落在ZG上時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)H重合，

即此時(shí)力0的值最小，最小值為4〃

/.AQAC=AHAC

???AB=AC,AH上BC

V5+1

:.CH=-BC=

24

■/八“八■/口”cCH>/5+1

.-.^QAC^AHAC^—

4

V5+1

AAQAC的正弦值為

4

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正弦，垂直平分線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，垂

線段最短，胡不歸問題，轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵.

21.在長方形中，48=4,5C=8,點(diǎn)P、0為3c邊上的兩個(gè)動點(diǎn)(點(diǎn)P位于點(diǎn)。的左側(cè)，P、Q

圖③

(1)如圖①，若點(diǎn)￡為CD邊上的中點(diǎn)，當(dāng)。移動到3c邊上的中點(diǎn)時(shí)，求證：AP=QE-,

(2)如圖②，若點(diǎn)￡為CD邊上的中點(diǎn)，在尸0的移動過程中，若四邊形/尸。￡的周長最小時(shí)，求3P的長;

(3)如圖③，若以N分別為/￡)邊和CD邊上的兩個(gè)動點(diǎn)(M、N均不與頂點(diǎn)重合)，當(dāng)BP=3,且四邊形

PQW的周長最小時(shí)，求此時(shí)四邊形PQVM的面積.

【答案】(1)見解析

(2)4

(3)4

【分析】(1)由“S4S"'可證尸出△QCE,可得NP=QE；

(2)要使四邊形NPQE的周長最小，由于4E與P。都是定值，只需/P+E。的值最小即可.為此，先在

8c邊上確定點(diǎn)尸、。的位置，可在上截取線段NF=DE=2,作尸點(diǎn)關(guān)于3C的對稱點(diǎn)G,連接EG與

交于一點(diǎn)即為。點(diǎn)，過工點(diǎn)作尸。的平行線交8c于一點(diǎn)，即為尸點(diǎn)，則此時(shí)AP+EQ=EG最小，然后過G

點(diǎn)作2。的平行線交。C的延長線于〃點(diǎn)，那么先證明/GEH=45。，再由CQ=EC即可求出AP的長度；

(3)要使四邊形尸QW的周長最小，由于尸0是定值，只需尸M+MV+QN的值最小即可，作點(diǎn)尸關(guān)于

的對稱點(diǎn)P,作點(diǎn)。關(guān)于CD的對稱點(diǎn)〃，連接切，交/。于交CD于N,連接尸M,QN,此時(shí)四邊

形尸QVM的周長最小，由面積和差關(guān)系可求解.

(1)

解：證明：???四邊形是矩形，

：.CD=AB=4,BC=AD=8,

??,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)。是5C的中點(diǎn)，

：.BQ=CQ=4fCE=2,

:?AB=CQ,

?:PQ=2,

:?BP=2,

:?BP=CE,

又???/B=NC=90。,

:?△ABPQdQCE(SAS\

：.AP=QE；

⑵

如圖②，在/。上截取線段4歹二尸0=2,作歹點(diǎn)關(guān)于8C的對稱點(diǎn)G,連接￡G與8C交于一點(diǎn)即為。點(diǎn),

過4點(diǎn)作方。的平行線交5c于一點(diǎn)，即為尸點(diǎn)，過G點(diǎn)作5C的平行線交。。的延長線于H點(diǎn).

YGH=DF=6,EH=2+4=6,Z7/=90°,

：?NGEH=45。,

：.ZCEQ=45°,

設(shè),BP=x,貝！JCQ=8C-5P-尸Q=8-+2=6-x,

U

在△CQE中，：ZQCE=9009ZCEQ=45°,

:?CQ=EC,

6-x=2,

解得x=4,

；?BP=4；

⑶

如圖③，作點(diǎn)尸關(guān)于4D的對稱點(diǎn)尸，作點(diǎn)。關(guān)于CD的對稱點(diǎn)“，連接交4。于河，交CD于N,

連接尸W,QN,此時(shí)四邊形PQW的周長最小，連接方尸交/。于T,

F

圖③

:?PT=FT=4,QC=BC-BP-PQ=S-3-2=3=CH,

:.PF=8,PH=8,

：.PF=PH,

XVNFPH=9。。,

：./F=NH=45。,

9：PFLAD,CD工QH,

:./F=/TMF=45。,ZH=ZCNH=45°,

：.FT=TM=4,CN=CH=3,

：.四邊形PQNM的面積=:xPFxPH-g義PFxTM-gx°HxCN=；x8x8-1-x8x4-yx6、3=7.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱求最短距離，直角

三角形的性質(zhì)；通過構(gòu)造平行四邊形和軸對稱找到點(diǎn)P和點(diǎn)。位置是解題的關(guān)鍵.

22.在△ZBC中，￡)5=90°,。為延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為線段/C,CQ的垂直平分線的交點(diǎn)，連接E4,

EC,ED.

E

E

E

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當(dāng)/區(qū)4。=50。時(shí)，^\ZAED=°；

(2)當(dāng)NB4C=60。時(shí)，

①如圖2,連接判斷△/即的形狀，并證明；

②如圖3,直線CF與助交于點(diǎn)R滿足NCFD=NCAE.P為直線CF上一動點(diǎn).當(dāng)PE-PD的值最大時(shí),

用等式表示PD與之間的數(shù)量關(guān)系為,并證明.

【答案】⑴80；(2)△/￡/)是等邊三角形；⑶PE-PD=2AB.

【分析】(1)根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知/E=EC=E。