2025年中考數學熱點題型復習專項訓練：四邊形壓軸題綜合（原卷版）

專題11四邊形壓軸題綜合

目錄

熱點題型歸納.........................................................................................1

題型01三角形與旋轉變換.............................................................................1

題型02三角形與翻折變換.............................................................................3

題型03三角形類比探究問題...........................................................................6

中考練場.............................................................................................7

熱點題型歸納

題型01四邊形與旋轉變換

【解題策略】

三角形全等和三角形相似的判定和性質，勾股定理，矩形的判定和性質，旋轉性質、平行線的判定和性質，解題的關

鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法。

【典例分析】

例.（2023?浙江衢州?中考真題）如圖1,點0為矩形ABCD的對稱中心，AB=4,AD=8,點E為AO邊上一點（0<AE<3）,

連接EO并延長，交于點尸，四邊形ABEE與A7TFE關于E尸所在直線成軸對稱，線段交AO邊于點G.

⑴求證：GE=GF；

（2）當鉆=2DG時，求AE的長;

(3)令AE=Q,DG=b.

①求證：（4一〃乂4—b）=4；

②如圖2,連接OB',OD,分別交AO,于點H,K.記四邊形OKGH的面積為Si，OGK的面積為S?.當。=1時,

求確■的值.

【變式演練】

1.（2023?遼寧盤錦?二模）如圖，已知正方形ABCD和正方形AEFG.

圖1圖2備用圖

刈上,求出器的值?

（1）在圖1中，點、E,F,G分別在邊AB,AC,

（2）將正方形//G繞點A順時針旋轉至圖2所示位置，連接。G,FC,請問（1）中的結論是否發(fā)生變化？并加以證

明；

（3）如果正方形ABCD的邊長為5,正方形AEFG的邊長為3.當正方形AEFG繞點A順時針旋轉至點E,F,8三點共線

時，請直接寫出CG的長.

2.（2023?遼寧阜新?一模）如圖，四邊形ABCD和四邊形都是正方形，且EH,EG交于點A,正方形EFGH繞

點A旋轉，連接。尸，BE.

(D如圖1，求證：DF=BE,DF工BE；

(2)如圖2,將DR繞點尸逆時針旋轉90。，得到線段bK,連接8K.

①求證：四邊形￡?仍是平行四邊形;

②連接KG,若AB=5,EF=3,直接寫出在正方形EFGH旋轉的過程中，線段KG長度的最大值.

3.(2023廣東深圳?模擬預測)【綜合探究】在數學綜合與實踐活動課上,興趣小組的同學用兩個完全相同的長方形

紙片展開探究活動，這兩張長方形紙片的長為8cm,寬為4cm.

(1)【實踐探究】小紅將兩個完全相同的長方形紙片ABCD和瓦'GQ擺成圖1的形狀，點A與點E重合，邊AD與邊EF

重合，邊AB,QE在同一直線上.

請判斷：ACG的形狀為；

(2)［解決問題】如圖2,在(1)的條件下,小明將長方形EFGQ繞點、A順時針轉動m0(轉動角度小于45°),即ZDAF=,

邊EF與邊CD交于點、M,連接BM,BN平分NMBC,交CD于點N,ZAMB+ZAMC=180°,求NCBN的度數；

(3)【拓展研究】從圖2開始，小亮將長方形所GQ繞點A順時針轉動一周，若邊E產所在的直線恰好經過線段BQ的中

點。時，連接8尸，FQ,請直接寫出一8尸。的面積.

題型02四邊形與翻折變換

【解題策略】

考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，折疊幾何性質、三角形內角和定理的應用，勾股定理,

解題的關鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應的圖形，注意分類討論.

【典例分析】

例..(2023?湖南?中考真題)問題情境：小紅同學在學習了正方形的知識后，進一步進行以下探究活動：在正方形ABCD

的邊上任意取一點G,以3G為邊長向外作正方形BEFG,將正方形BEFG繞點B順時針旋轉.

圖①圖②圖③

特例感知:

(1)當8G在8c上時，連接ORAC相交于點P,小紅發(fā)現點P恰為OR的中點，如圖①.針對小紅發(fā)現的結論，請

給出證明；

(2)小紅繼續(xù)連接EG,并延長與。尸相交，發(fā)現交點恰好也是O尸中點P,如圖②，根據小紅發(fā)現的結論，請判斷VAPE

的形狀，并說明理由；

規(guī)律探究：

(3)如圖③，將正方形BEFG繞點8順時針旋轉。，連接CF,點尸是Ob中點，連接AP,EP,AE,VAPE的形狀

是否發(fā)生改變？請說明理由.

【變式演練】

1.(2023?浙江金華?三模)如圖，平行四邊形ABCD中，AB=9,3C=12,點尸是8C邊上的點，連結AP,以A尸為對

稱軸作二ABP的軸對稱圖形-AQP.

gD

a-

o?CopLDpC

圖1圖2圖3

(1)如圖2,當點。正好落在43邊上時，判斷四邊形A8PQ的形狀并說明理由；

(2)如圖1,當點P是線段8C的中點且CQ=4時，求AP的長；

(3)如圖3,當點尸，Q,。三點共線時，恰有NPQC=NPQA,求BP的長.

2.(2023?貴州銅仁?三模)閱讀材料：如圖，在矩形ABCD中，點。是42的中點，點E是邊AD上動點，將ZiAOE沿

OE翻折得VR9E,連接"并延長"交邊DC于點M,連接

八〃八M-oMc

AOBA0bA013

圖①圖②圖③

【發(fā)現問題】

(1)如圖①，判斷AABE的形狀是________三角形.

【探究發(fā)現】

(2)如圖②，當￡、F、C三點在一條直線上時，求證：M為邊DC中點

【拓展遷移】

(3)如圖③，延長交射線AD于點N,當AB=8,BC=6,DN=2時,求AE的長.

3.(2023?河南洛陽?二模)綜合與實踐

(1)【操作發(fā)現】如圖1,諸葛小組將正方形紙片A3CD沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形內部的點M處，折痕

為AE,再將紙片沿過點A的直線折疊，使AT)與A"重合，折痕為"，請寫出圖中的一個45。角：.

(2)【拓展探究】如圖2,孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿E尸繼續(xù)折疊，點C的對應點恰好落在折痕AE上的點N處，連

接而交A”于點P.

①ZA￡F=_______度；

②若AB=垂＞，求線段尸河的長.

(3)【遷移應用】如圖3,在矩形ABCD,點、E,歹分別在邊3C、CZ)上，將矩形ABCD沿AE,反折疊，點2落在點

M處，點。落在點G處，點A,M,G恰好在同一直線上，若點尸為8的三等分點，AB=3,AD=5,請直接寫出線

段BE的長.

題型03類比探究問題

【解題策略】

考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，三角形內角和定理的應用，勾股定理，解題的關鍵是熟

練掌握三角形相似的判定方法，畫出相應的圖形，注意分類討論。

【典例分析】

例.（2023?江蘇鹽城?中考真題）綜合與實踐

【問題情境】

如圖1,小華將矩形紙片A8CD先沿對角線折疊，展開后再折疊，使點B落在對角線8。上，點B的對應點記為9，

折痕與邊AD,BC分別交于點E,F.

【活動猜想】

（1）如圖2,當點8'與點。重合時，四邊形BEL廳是哪種特殊的四邊形？答：.

【問題解決】

（2）如圖3,當AB=4,AD=8,3/=3時，求證：點A,B',C在同一條直線上.

【深入探究】

（3）如圖4,當AB與BC滿足什么關系時，始終有A?與對角線AC平行？請說明理由.

（4）在（3）的情形下，設AC與30,即分別交于點0,P,試探究三條線段AP,B'D,E尸之間滿足的等量關系，

并說明理由.

【變式演練】

1.（2023?海南?？?二模）（1）【證明推斷】如圖，在正方形A3CD中，點E是對角線上的動點（與點2、。不

重合），連接AE,過點E作EFLAE,EG1BD,分別交直線BC于點RG.

AD

①求證：AABE當AFGE；

②求要的值;

AE

(2)【類比探究】如圖，將(1)中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，其他條件均不變.

①若AB=3,BC=4,求大的值;

AE

②若ABfBC,直接寫出片的值(用含，〃的代數式表示)；

(3)【拓展運用】如圖，在矩形A3CD中，點E是對角線8。上一點(與點8、。不重合)，連接AE,過點￡作印，形,

EGLBD,分別交直線BC于點F、G,連接CE,當AB=2,BC=4,CE=CD時，求E尸的長.

2.(2023?山東泰安?三模)【例題探究】數學課上，老師給出一道例題，如圖1,點C在A3的延長線上，且NA=NDBE=NC,

若求證：DABsBCE；請用你所學的知識進行證明.

【拓展訓練】

3CE

如圖2,點C在AB的延長線上，且ZDAB=NDBE,若CE〃AD,NC=60。，AD=-AB,則”;的值為______；（直

2BC

接寫出）

【知識遷移】

將此模型遷移到平行四邊形中，如圖3,在平行四邊形A3CD中，E為邊BC上的一點，歹為邊43上的一點?若

/D砂=/3.求證：ABFE=BEDE.

ABABCEC

Si圖2圖3

1.（2023?山西?中考真題）問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開，

得到兩個全等的三角形紙片，表示為ABC和△DFE,其中NAC3=NOEF=90o,NA=4>.將ASC和△。網按圖2

所示方式擺放，其中點B與點尸重合（標記為點8）.當Z4BE=NA時，延長DE交AC于點G.試判斷四邊形BCGE

的形狀，并說明理由.

\D

'B

⑴數學思考：談你解答老師提出的問題;

⑵深入探究：老師將圖2中的DBE繞點3逆時針方向旋轉，使點E落在ABC內部，并讓同學們提出新的問題.

圖2

①“善思小組''提出問題：如圖3,當=時，過點A作A"，BE交BE的延長線于點河,臺加與AC交于點

N.試猜想線段AM和BE的數量關系，并加以證明.請你解答此問題；

圖3

②“智慧小組”提出問題：如圖4,當NCBE=ZR4C時，過點A作于點H,若BC=9,4C=12,求A”的長.請

你思考此問題，直接寫出結果.

圖4

2.（2022?遼寧阜新中考真題）已知，四邊形A8CD是正方形，DEF繞點、D旋轉（DE<AB）,ZEDF=90°,DE=DF,

連接AE,CF.

⑴如圖1,求證：VADEmoCDF；

⑵直線AE與C/相交于點G.

①如圖2,于點M,BNLCF于點、N,求證：四邊形BMGN是正方形；

②如圖3,連接3G,若AB=4,DE=2,直接寫出在，DE尸旋轉的過程中，線段3G長度的最小值.

3.(2023?山東淄博?中考真題)在數學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉”為主題開展探究活動.

(D操作判斷

小紅將兩個完全相同的矩形紙片ABCD和CEFG拼成“L”形圖案，如圖①.

試判斷：的形狀為.

(2)深入探究

小紅在保持矩形ABCD不動的條件下，將矩形CEFG繞點C旋轉，若AB=2,4)=4.

探究一：當點尸恰好落在AO的延長線上時，設CG與￡）戶相交于點M,如圖②.求_。質的面積.

探究二：連接AE,取AE的中點連接DH,如圖③.

求線段DH長度的最大值和最小值.

圖②圖③

4.（2022?內蒙古通遼?中考真題）已知點E在正方形ABCD的對角線AC上，正方形AFEG與正方形ABCD有公共點A.

⑴如圖1,當點G在AD上，歹在AB上，求方防的值為多少;

⑵將正方形"EG繞A點逆時針方向旋轉口0°<a<90。），如圖2,求：含的值為多少；

DCr

（3）A3=80，AG=與AD,將正方形AFEG繞A逆時針方向旋轉火0°<e<360。），當C,G,E三點共線時，請直

接寫出。G的長度.

5.（2022?四川樂山?中考真題）華師版八年級下冊數學教材第121頁習題19.3第2小題及參考答案.

2.如圖，在正方形ABC。中，CE±DF.求證：CE=DF.

證明：設CE與。尸交于點o,

???四邊形ABC。是正方形，

：?NB=NDCF=90。,BC=CD.

：.ZBCE+/DCE=90°.

?.?CE±DFf

??.ZCOD=90°.

：.NCDF+NDCE=90。.

J/CDF=/BCE.

：./\CBE^Z\DFC.

CE=DF.

某數學興趣小組在完成了以上解答后，決定對該問題進一步探究

(1)【問題探究】如圖，在正方形A3C0中，點石、F、G、”分別在線段A3、BC、CD、D4上，且EG上試猜想

芻FG二的值，并證明你的猜想.

(2)1知識遷移】如圖，在矩形ABCD中，AB=m,BC=〃，點E、F、G、H分別在線段AB.BC、C。、D4上，且￡G，.則

EG

FH-------?

(3)【拓展應用】如圖，在四邊形ABC。中，ZZMB=90°,ZABC=60°,AB=BC,點、E、尸分別在線段A8、AD上,

且CELBF.求其CF的值.

6.(2023?甘肅蘭州?中考真題)綜合與實踐

【思考嘗試】

(1)數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,在矩形ABCZ)中，E是邊A3上一點，DFLCE于點F,GDLDF,

AG1DG,AG=Cb.試猜想四邊形ABCD的形狀，并說明理由；

【實踐探究】

(2)小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2,在正方形ABCD中，E是邊AB上一點,DFLCE于點F,

4〃，位于點"，GDLDF交AH于點G,可以用等式表示線段切，AH,CT的數量關系，請你思考并解答這個問

題；

【拓展遷移】

(3)小博深入研究小睿提出的這個問題，發(fā)現并提出新的探究點：如