2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)【數(shù)學(xué)模型】建立方程模型解決實(shí)際問題（解析版）

建立方程模型解決實(shí)際問題

知識方法精講

1.一元一次方程的應(yīng)用

（一）一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：

（1）探索規(guī)律型問題；

（2）數(shù)字問題;

（3）銷售問題（利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤率=今膽乂100%）；（4）工程問題（①工作量

進(jìn)價(jià)

=人均效率X人數(shù)X時(shí)間；②如果一件工作分幾個(gè)階段完成，那么各階段的工作量的和=

工作總量）；

（5）行程問題（路程=速度義時(shí)間）；

（6）等值變換問題；

（7）和，差，倍，分問題；

（8）分配問題;

（9）比賽積分問題；

（10）水流航行問題（順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）.

（二）利用方程解決實(shí)際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量,

直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x,然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出

之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、歹h解、答.

列一元一次方程解應(yīng)用題的五個(gè)步驟

1.審：仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系.

2.設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x）,根據(jù)實(shí)際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知

數(shù).

3.歹!J：根據(jù)等量關(guān)系列出方程.

4.解：解方程，求得未知數(shù)的值.

5.答：檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句.

2.二元一次方程組的應(yīng)用

（一）列二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

（2）設(shè)元：找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來.

(3)列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組.

(4)求解.

(5)檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答.

(二)設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元.

當(dāng)問題較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元.無論怎

樣設(shè)元，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要列幾個(gè)方程.

3.一元二次方程的應(yīng)用

1、列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，檢驗(yàn)和作答.

2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：

(1)數(shù)字問題：個(gè)位數(shù)為。，十位數(shù)是6,則這個(gè)兩位數(shù)表示為106+服

(2)增長率問題：增長率=增長數(shù)量/原數(shù)量X100%.如：若原數(shù)是0,每次增長的百分率

為x,則第一次增長后為。(1+x)；第二次增長后為。(1+x)2,即原數(shù)X(1+增長百分率)

2=后來數(shù).

(3)形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長.②利用三角

形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③

利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二

次方程.

(4)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問題：物體運(yùn)動(dòng)將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會

構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”

1.審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.

2.設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù).

3.歹IJ：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程.

4.解：準(zhǔn)確求出方程的解.

5.驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題.

6.答：寫出答案.

4.分式方程的應(yīng)用

1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、歹!］、解、驗(yàn)、答.

必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整,

要寫出單位等.

2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度=路程時(shí)間；工作量問題：工作效率

=工作量工作時(shí)間等等.

列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會分析題意，提高理解能

力.

選擇題（共1小題）

1.（2020?綿陽模擬）利用兩塊相同的長方體木塊測量一張桌子的高度.首先按圖1方式放

置，再交換兩木塊的位置，按圖2方式放置.測量的數(shù)據(jù)如圖，則桌子的高度是（）

2

A.73cmB.74cmC.75cmD.76cm

【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用

【分析】設(shè)長方體長xcm,寬桌子的高為""，由圖象建立方程組求出其解就可以

得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)長方體長寬衣加，桌子的高為°C加，由題意，得

x+a-y=19

y+a-x="!3

解得：2a=152,

..a=76?

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了運(yùn)用列三元一次方程組解決實(shí)際問題的運(yùn)用及方程組的解法的運(yùn)用，在

解答時(shí)設(shè)參數(shù)建立方程是關(guān)鍵.

二.解答題（共19小題）

2.（2020秋?石獅市期末）如圖，將一塊直角三角板N8C按如圖所示放置，點(diǎn)/,3在數(shù)

軸上，48=5,點(diǎn)2在點(diǎn)/右邊，點(diǎn)/表示的數(shù)是-3.

（1）直接填空：點(diǎn)8表示的數(shù)是2；

（2）將三角板A8C沿?cái)?shù)軸正方向移動(dòng)至三角板4"。的位置，點(diǎn)/,B,C的對應(yīng)點(diǎn)分

別是點(diǎn)H,B',C.

①連結(jié)C4',若C4'恰好將三角板NBC的面積分成2:3的兩部分，求這時(shí)點(diǎn)4表示的數(shù)；

②設(shè)三角板48c的移動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長度，點(diǎn)E為線段44,的中點(diǎn)，點(diǎn)下在線段BB'

上，且3*=48廠.設(shè)三角板/8C移動(dòng)的時(shí)間為，（秒）.試探索：是否存在某一時(shí)刻f,

使點(diǎn)E與點(diǎn)尸表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)？若存在，試求出f的值；若不存在，請說明理由.

（備用圖）

【考點(diǎn)】數(shù)軸；一元一次方程的應(yīng)用

【分析】（1）設(shè)數(shù)軸的原點(diǎn)為0,利用已知條件求得線段03即可得出結(jié)論；

（2）利用高相等的三角形的面積比等于底的比可得44:48=2:3或/4:43=3:2,根據(jù)

48=4夕=5可求44，=2,/2=3或//'=3,42=2,結(jié)合數(shù)軸即可得出結(jié)論；

（3）存在某一時(shí)刻f,使點(diǎn)E與點(diǎn)尸表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).依據(jù)題意畫出圖形，用/的

代數(shù)式表示出點(diǎn)尸，￡對應(yīng)的數(shù)字，利用點(diǎn)E與點(diǎn)尸表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)列出方程，

解方程即可求得結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)數(shù)軸的原點(diǎn)為。，如圖，

:點(diǎn)、A表示的數(shù)是-3,

OA=3.

AB=5,

:.OB=AB-OA=5-3=2.

.?.點(diǎn)8表示的數(shù)是：2.

故答案為：2.

(2)①如圖1,

C'

CA'恰好將三角板48C的面積分成2:3的兩部分,

N4:43=2:3或N4:48=3:2.

AB=5,

AA'=2,48=3或=3,A'B=2.

???點(diǎn)/表示的數(shù)是-3,

.,.點(diǎn)/'表示的數(shù)是-1或0.

②存在某一時(shí)刻/，使點(diǎn)E與點(diǎn)尸表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).如圖2,

AA'=BB'=2t.

?.?點(diǎn)E為44,的中點(diǎn)，

.-.AE=A'E=-AA'=-x2t=t,

22

.,.點(diǎn)E表示的數(shù)是-3+/.

VBB'=4BF,

BF=-BB'=-x2t=-t.

442

二點(diǎn)尸表示的數(shù)是2+』7.

2

?.?點(diǎn)E表示的數(shù)與點(diǎn)F表示的數(shù)是互為相反數(shù)，

(-3+0+(2+1?)=0,

解得

3

即當(dāng)f=4時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)歹表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).

3

【點(diǎn)評】本題主要考查了數(shù)軸，數(shù)軸上點(diǎn)的特征，一元一次方程的應(yīng)用，利用數(shù)軸上點(diǎn)對應(yīng)

的數(shù)字表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵.

3.(2021秋?碑林區(qū)校級期中)【知識準(zhǔn)備工數(shù)軸上/、3兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為a、b,則

A>B兩點(diǎn)之間的距禺表示為：AB=\a-b\.

【問題探究工數(shù)軸上/、8兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為。、b,且滿足|a+2|+(6-6)2=0.

(1)求得4、B兩點(diǎn)之間的距離是8；

(2)若在數(shù)軸上有一點(diǎn)滿足皿f=求點(diǎn)M表示的數(shù)；

(3)若尸、。兩點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸從/出發(fā)以2個(gè)單位長度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng),

同時(shí)，點(diǎn)。從B出發(fā)以3個(gè)單位長度/秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng).經(jīng)過一秒，P、。相距

2個(gè)單位長度；

(4)原點(diǎn)。在數(shù)軸上表示0,點(diǎn)N在數(shù)軸上表示3,若/、。兩點(diǎn)在數(shù)軸上以2個(gè)單位長

度/秒的速度同時(shí)向右勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，8、N以3個(gè)單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向

左勻速運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)過程中，有一段時(shí)間，/、。兩點(diǎn)都運(yùn)動(dòng)在線段3N上，則這段時(shí)間的

時(shí)長是一秒.

【考點(diǎn)】數(shù)軸；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；一元一次方程的應(yīng)用

【分析】(1)利用非負(fù)數(shù)的意義求得“，6的值，用兩點(diǎn)之間的距離公式解答即可；

(2)設(shè)點(diǎn)"表示的數(shù)為x,利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出的長，利用已知條件

列出方程即可求解；

(3)設(shè)時(shí)間為則P表示的數(shù)為：-2+2Z,。表示的數(shù)為：6-3?,用表示兩點(diǎn)的距離公

式設(shè)出尸。，列出方程求出解即可；

(4)求得4V,03的長，設(shè)點(diǎn)/與點(diǎn)N重合的時(shí)間為小，點(diǎn)。與點(diǎn)8重合的時(shí)間為,

求出點(diǎn)/與點(diǎn)N相遇，點(diǎn)。與點(diǎn)8相遇的時(shí)間，得到兩次相遇的時(shí)間之差即可.

【解答】解：(1)Ya+21+3-6)2=0,|a+2|^0,

a+21=0,(b-6)2=0,

二尸，

[b=6

即AB=|6-(-2)|=8,

故答案為：8；

(2)設(shè)M點(diǎn)表示的數(shù)為》,

AM=|X-(-2)H^+2|,BM=\6-x\f

???BM=4AM,

/.|6—x|-41x+21,

/.6—x-4(x+2)6—x——4(x+2),

2T14

即Rn％=——或％=---.

53

答：”表示的數(shù)為-2或-3；

53

(3)設(shè)時(shí)間為I,則尸表示的數(shù)為：-2+2，。表示的數(shù)為：6-3t,

由題意得，|(-2+20-(6-3/)|=2,

解得：f=2或9,

5

故答案為：2或9；

5

(4)?.?/。=0-(-2)=2,

BN=6—3=3,

設(shè)點(diǎn)/與點(diǎn)N重合的時(shí)間為f]S,點(diǎn)。與點(diǎn)3重合的時(shí)間為^s,

?.?若/、。兩點(diǎn)在數(shù)軸上以2個(gè)單位長度/秒的速度同時(shí)向右勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，B.N

以3個(gè)單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向左勻速運(yùn)動(dòng)，

/.24+3%=5,2tz+3,2=6,

解得：4=1,t2=1.2.

t2—tx=1.2—1=0.2.

故答案為：

5

【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、絕對值的意義、數(shù)軸.解本題的關(guān)鍵熟練掌握絕

對值得意義，及理解題意.

4.(2021春?農(nóng)安縣期末)長春消夏燈會節(jié)將在長春農(nóng)博園舉辦.承辦方計(jì)劃在現(xiàn)場安裝小

彩燈和大彩燈.已知：安裝5個(gè)小彩燈和4個(gè)大彩燈共需150元；安裝7個(gè)小彩燈和6個(gè)大

彩燈共需220元.

(1)安裝1個(gè)小彩燈和1個(gè)大彩燈各需多少元.

(2)若承辦方安裝小彩燈和大彩燈的數(shù)量共300個(gè)，費(fèi)用不超過4350元，則最多安裝大彩

燈多少個(gè)？

【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用

【分析】(1)設(shè)安裝1個(gè)小彩燈需X元，1個(gè)大彩燈需?元，根據(jù)題干的等量關(guān)系建立方程

組求出其解即可；

(2)設(shè)安裝大彩燈。個(gè)，則小彩燈(300-°)個(gè)，根據(jù)題意列不等式解得..

【解答】解：(1)設(shè)安裝1個(gè)小彩燈需x元，1個(gè)大彩燈需y元，

由題意得，,，

[7x+6j=220

解得：=，

V=25

答：安裝1個(gè)小彩燈和1個(gè)大彩燈各需10元和25元；

(2)設(shè)安裝大彩燈。個(gè)，則小彩燈(300-a)個(gè)，

由題意得，10(300-a)+25^350,

答：最多安裝大彩燈90個(gè).

【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及不等式解決實(shí)際問題，根據(jù)題干建立等量關(guān)

系是解答此題的關(guān)鍵.

5.(2019秋?長樂區(qū)期末)已知兩條直線/-12,/"〃2，點(diǎn)/，8在直線4上，點(diǎn)/在點(diǎn)8

的左邊，點(diǎn)C,D在直線上，且滿足NNDC=N48C=115。.

(1)如圖①，求證：AD//BC；

(2)點(diǎn)M,N在線段上，點(diǎn)又在點(diǎn)N的左邊且滿足NM4C=ZB/C,且NN平分NC4D；

(I)如圖②，當(dāng)NNCD=30。時(shí)，求ZD4W的度數(shù)；

【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)

【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)定理與判定定理解得即可；

(2)(I)利用平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理分別求得ND4C與NM4C的度數(shù)即可

得出結(jié)論；

（II）設(shè)/MAN=x。,則/C/O=8x。，利用方程的思想解答即可.

【解答】證明：（1）???4/〃2,

:.NABC+NBCD=180。.

???ZADC=/ABC，

:.ZADC+ZBCD=1SO0.

ADIIBC.

解：⑵（I）???/i/〃2，

NBAC=/ACD=30。.

???/MAC=/BAC,

/MAC=30°.

vAADC=AABC=\\50,NACD=30。,

ADAC=180。一ZADC-ZACD=35°.

ADAM=ADAC-AMAC=35°-30°=5°.

（II）設(shè)AMAN=x°,則/CAD=8x°,

vAN平分ACAD,

ADAN=/CAN=4x°.

/CAM=/MAN+ZCAN=5x°.

???ZDAB=180。—ZADC=65°,

/CAB=ZDAB-ADAC=65°-8x°,

,/4/〃2，

NDCA=/CAB=65°-8x°.

65°-8x°=5x°.

解得：x=5.

:.ZACD=5x=250.

【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，設(shè)

ZMAN=x,進(jìn)而用工的代數(shù)式表示出相應(yīng)各角的度數(shù)，列出方程是解題的關(guān)鍵.

6.（2021春?婺城區(qū)校級期中）某包裝生產(chǎn)企業(yè)承接了一批上海世博會的禮品盒制作業(yè)務(wù)，

為了確保質(zhì)量，該企業(yè)進(jìn)行試生產(chǎn).他們購得規(guī)格是170c冽x40c冽的標(biāo)準(zhǔn)板材作為原材料，

每張標(biāo)準(zhǔn)板材再按照裁法一或裁法二裁下/型與B型兩種板材.如圖所示，（單位：cm）

（1）列出方程（組），求出圖甲中。與6的值.

（2）在試生產(chǎn)階段，若將張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法一裁剪，”張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法二裁剪，再將

得到的N型與8型板材做側(cè)面和底面，做成圖乙橫式無蓋禮品盒.

①兩種裁法共產(chǎn)生/型板材_2加+〃_張，2型板材一張（用〃八〃的代數(shù)式表示）；

②當(dāng)3曰340時(shí)，所裁得的/型板材和8型板材恰好用完，做成的橫式無蓋禮品盒可能是

個(gè).（在橫線上直接寫出所有可能答案，無需書寫過程）

（裁法一）（裁;立）

圖甲圖乙

【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用

【分析】（1）由圖示利用板材的長列出關(guān)于“、6的二元一次方程組求解；

（2）①根據(jù)已知和圖示計(jì)算出兩種裁法共產(chǎn)生4型板材和B型板材的張數(shù)；

②根據(jù)豎式與橫式禮品盒所需要的/、2兩種型號板材的張數(shù)列出關(guān)于x、y的二元一次方

程組，然后求解即可.

2。+6+10=170

【解答】解：由題意得:

4+26+30=170

a=60

解得

6=40

（2）①由圖不裁法一產(chǎn)生/型板材為：2x7〃=2〃?，裁法二產(chǎn)生/型板材為：lxn=n,

所以兩種裁法共產(chǎn)生N型板材為2m+w（張），

由圖示裁法一產(chǎn)生2型板材為：1xm=m,裁法二產(chǎn)生/型板材為，2x〃=2",

所以兩種裁法共產(chǎn)生3型板材為（根+2〃）張；

②當(dāng)30^40時(shí)，所裁得的/型板材和B型板材恰好用完，做成的橫式無蓋禮品盒可能是

24或27或30個(gè).

由圖可知，做一個(gè)橫式無蓋禮品盒需/型板材3張，3型板材2張.

???所裁得的板材恰好用完，

2m+nm+In〃的汨.

=,化間得m=4〃.

3----2

“，機(jī)皆為整數(shù)，

；.以為4的整數(shù)倍,

加可取32,36,40,

此時(shí)，〃分別為8,9,10,可做成的禮品盒個(gè)數(shù)分別為24,27,30.

故答案為：2〃z+”；m+2/7；24或27或30.

【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的

等量關(guān)系，列出方程組.

7.（2021?臨海市一模）【發(fā)現(xiàn)問題】

小聰發(fā)現(xiàn)圖1所示矩形甲與圖2所示矩形乙的周長與面積滿足關(guān)系：空=鼠」.

C甲S甲2

24

G=56

4甲

S甲=96

圖1

【提出問題】

對于任意一個(gè)矩形是否一定存在矩形使得5成立?

QS/2

【解決問題】

（1）對于圖2所示的矩形乙，是否存在矩形丙（可設(shè)兩條鄰邊長分別為x和7-x）,使得

殳=8=!成立.若存在，求出矩形丙的兩條鄰邊長；若不存在，請說明理由;

C乙S乙2

（2）矩形/兩條鄰邊長分別為加和1,若一定存在矩形2,使得品='='成立，求加的

a邑2

取值范圍;

（3）請你回答小聰提出來的問題.若一定存在，請說明理由；若不一定存在，請直接寫出

矩形/兩條鄰邊長a,b滿足什么條件時(shí)一定存在矩形

【考點(diǎn)】四邊形綜合題

【分析】（1）利用反證法證明即可;

（2）假定存在矩形設(shè)矩形B的一邊為x,則另一邊為業(yè)-x,由題意得到一元二次

2

方程，令△尺）即可求得結(jié)論；

（3）利用（2）中的解答即可回答小聰提出來的問題.

【解答】解：（1）不存在矩形丙，使得殳成立.理由：

C乙S乙2

假定存在矩形丙，

..。丙=S丙=1

'cjsj2,

，矩形丙的兩個(gè)鄰邊之和為7,它的面積為24.

設(shè)兩條鄰邊長分別為x和7-x,由題意得：

x（7-x）=24.

/.-7x+24-0.

???△=（-7）2—4x1x24=—47<0,

二.此方程沒有實(shí)數(shù)根，

二不存在矩形丙，使得殳=&=!成立.

c乙s乙2

（2）?.■矩形/兩條鄰邊長分別為“和1,

若存在矩形3,使得七=8=工成立，則矩形8的鄰邊之和為％±1.

Q22

設(shè)矩形2的一邊為x,則另一邊為"-x,由題意得：

2

m+1、mx1

x（z------------X）=---------.

22

化簡得：2x2-（m+l）x+m=0.

由題意方程一（加+1）X+加=0一定有實(shí)數(shù)根.

/.△=［一（加+1）］2-4x2m^0.

解得：聯(lián)3+2A/2或—2^/2.

m為矩形A的邊長，

:.m>0.

加的取值范圍為：0<〃穴3-2五或^翼+2血.

（3）由（2）可知：對于任意一個(gè)矩形/,不一定存在矩形B,使得0=%=工成立.

Q邑2

當(dāng)矩形N兩條鄰邊長。，6滿足0＜幺黃-20或2負(fù)+2也時(shí)，一定存在矩形3.

aa

【點(diǎn)評】本題是四邊形的綜合題，主要考查了矩形的周長與面積，一元二次方程根的判別式,

一元二次不等式的解法，反證法的應(yīng)用，利用轉(zhuǎn)化的思想將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題

是解題的關(guān)鍵.

8.（2020秋?扶風(fēng)縣期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中國已經(jīng)得到有效控制，但在全球

卻開始持續(xù)蔓延，這是對人類的考驗(yàn)，將對全球造成巨大影響.新冠肺炎具有人傳人的特性,

若一人攜帶病毒，未進(jìn)行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患新冠肺炎（假設(shè)每輪傳染

的人數(shù)相同）.求：

（1）每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了幾個(gè)人？

（2）如果這些病毒攜帶者，未進(jìn)行有效隔離，按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有

多少人患??？

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用

【分析】（1）設(shè)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了x個(gè)人，根據(jù)一人患病后經(jīng)過兩輪傳染后共有

169人患病，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)經(jīng)過三輪傳染后患病人數(shù)=經(jīng)過兩輪傳染后患病人數(shù)x（l+12）,即可求出結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了x個(gè)人，

依題意，得：1+x+x（l+x）=169,

解得：網(wǎng)=12,x2=-14（不合題意，舍去）.

答：每輪傳染中平均每個(gè)人傳染了12個(gè)人.

（2）169x（1+12）=2197（人）.

答：按照這樣的傳染速度，第三輪傳染后，共有2197人患病.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的

關(guān)鍵.

9.（2021春?濟(jì)陽區(qū)期末）國務(wù)院總理李克強(qiáng)表示，地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要

來源，是人間煙火，和“高大上”一樣，是中國的生機(jī).響應(yīng)國家號召，成都某社區(qū)擬建/、

8兩類地?cái)倲偽?，已知每個(gè)/類攤位占地面積比3類多2平方米，建N類攤位需40元/平

方米，B類30元/平方米，用60平方米建/類攤位的個(gè)數(shù)恰好是同樣面積建3類攤位個(gè)數(shù)

的3.

5

(1)求每個(gè)/、B類攤位占地面積各為多少平方米？

(2)若該社區(qū)擬建N、8兩種攤位共90個(gè)，且/類攤位數(shù)量要多于22個(gè)，建造總費(fèi)用不

超過10850元，則共有幾種建造方案？

(3)在(2)的條件下，哪種方案總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用為多少元？

【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用；一元一次不等式組的應(yīng)用

【分析】(1)設(shè)每個(gè)B類攤位的占地面積為x平方米，則每個(gè)A類攤位的占地面積為(x+2)

平方米，根據(jù)用60平方米建N類攤位的個(gè)數(shù)恰好是同樣面積建2類攤位個(gè)數(shù)的3,即可得

5

出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)建造加個(gè)N類攤位，則建造(90-⑼個(gè)8類攤位，根據(jù)“N類攤位數(shù)量要多于22

個(gè)，建造總費(fèi)用不超過10850元”，即可得出關(guān)于機(jī)的一元一次不等式組，解之即可得出m

的取值范圍，再結(jié)合〃，為整數(shù)，即可得出各建造方案；

(3)利用總費(fèi)用=建造每個(gè)攤位的費(fèi)用x建造攤位的個(gè)數(shù)，即可分別求出3個(gè)建造方案所

需費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)每個(gè)B類攤位的占地面積為x平方米，則每個(gè)4類攤位的占地面積為

(x+2)平方米.

依題意可得：旦=3x竺，

x+25x

解得：x=3,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=3是原分式方程的解，且符合題意，

x+2=3+2=5.

答：每個(gè)/類攤位的占地面積為5平方米，每個(gè)8類攤位的占地面積為3平方米;

(2)設(shè)建造加個(gè)/類攤位，則建造(90-⑼個(gè)2類攤位，

依題意有：40x5加+30x3(90-加)*850,

解得：rn^S.5.

又＞22,

r.22<rn^S,5，

故共有3種建造方案,

方案1：建造23個(gè)/類攤位，67個(gè)2類攤位;

方案2：建造24個(gè)4類攤位，66個(gè)8類攤位;

方案3：建造25個(gè)/類攤位，65個(gè)B類攤位；

（3）方案1所需總費(fèi)用為：40x5x23+30x3x67=10630（元），

方案2所需總費(fèi)用為：40x5x24+30x3x66=10740（元），

方案3所需總費(fèi)用為：40x5x25+30x3x65=10850（元）.

???10630<10740<10850,

方案1的總費(fèi)用最少，最小費(fèi)用為10630元.

【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找

準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組;

（3）利用總費(fèi)用=建造每個(gè)攤位的費(fèi)用x建造攤位的個(gè)數(shù)，分別求出3個(gè)建造方案所需費(fèi)

用.

10.（2021秋?集賢縣期末）如圖是寬為20米，長為32米的矩形耕地，要修筑同樣寬的三

條道路（兩條縱向，一條橫向，且互相垂直），把耕地分成六塊大小相等的試驗(yàn)地，要使

試驗(yàn)地的總面積為570平方米，問：道路寬為多少米？

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用

【分析】試驗(yàn)地的面積=矩形耕地的面積-三條道路的面積+道路重疊部分的兩個(gè)小正方形

的面積.如果設(shè)道路寬x,可根據(jù)此關(guān)系列出方程求出x的值，然后將不合題意的舍去即

可.

【解答】解：設(shè)道路為x米寬，

由題意得：20x32-20xx2-32x+2x2=570,

整理得：*-36x+35=0,

解得：x=1>x=35,

經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，但是x=35>20,因此不合題意舍去.

答：道路為1根寬.

【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，對于面積問題應(yīng)熟記各種圖形的面積公式.整

體面積=各部分面積之和；剩余面積=原面積-截去的面積.

11.（2021?奎屯市二模）甲商品的進(jìn)價(jià)為每件20元，商場將其售價(jià)從原來的每件40元進(jìn)行

兩次調(diào)價(jià).已知該商品現(xiàn)價(jià)為每件32.4元，

（1）若該商場兩次調(diào)價(jià)的降價(jià)率相同，求這個(gè)降價(jià)率；

（2）經(jīng)調(diào)查，該商品每降價(jià)0.2元，即可多銷售10件.已知甲商品售價(jià)40元時(shí)每月可銷

售500件，若商場希望該商品每月能盈利10000元，且盡可能擴(kuò)大銷售量，則該商品在現(xiàn)價(jià)

的基礎(chǔ)上還應(yīng)如何調(diào)整？

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用

【分析】（1）設(shè)調(diào)價(jià)百分率為x,根據(jù)售價(jià)從原來每件40元經(jīng)兩次調(diào)價(jià)后調(diào)至每件32.4元,

可列方程求解.

（2）根據(jù)的條件從而求出多售的件數(shù)，從而得到兩次調(diào)價(jià)后，每月可銷售該商品數(shù)量.

【解答】解：（1）設(shè)這種商品平均降價(jià)率是x,依題意得：

40（1）2=32.4,

解得：%=0.1=10%,x2=1.9（舍去）；

故這個(gè)降價(jià)率為10%;

（2）設(shè)降價(jià)y元,

根據(jù)題意得（40-20-y）（500+50^）=10000

解得：y=0（舍去）或y=10,

原售價(jià)40元降價(jià)10元時(shí)，應(yīng)為：40—10=30元，

???現(xiàn)價(jià)為每件32.4元，

32.4-30=2.4,

答：在現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上，再降低，2.4元.

【點(diǎn)評】考查一元二次方程的應(yīng)用；求平均變化率的方法為：若設(shè)變化前的量為0,變化后

的量為6,平均變化率為x,則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為。（l±x>=6.

12.（2021?湖州）今年以來，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，游玩某景區(qū)的游客人

數(shù)三月份為4萬人，五月份為5.76萬人.

（1）求四月和五月這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長百分之幾；

（2）若該景區(qū)僅有B兩個(gè)景點(diǎn)，售票處出示的三種購票方式如下表所示：

購票方式甲乙丙

可游玩景點(diǎn)ABN和B

門票價(jià)格100元/人80元/人160元/人

據(jù)預(yù)測，六月份選擇甲、乙、丙三種購票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬，并且當(dāng)甲、

乙兩種門票價(jià)格不變時(shí)，丙種門票價(jià)格每下降1元，將有600人原計(jì)劃購買甲種門票的游客

和400人原計(jì)劃購買乙種門票的游客改為購買丙種門票.

①若丙種門票價(jià)格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；

②問：將丙種門票價(jià)格下降多少元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬

元？

【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；二次函數(shù)的應(yīng)用

【分析】(1)設(shè)四月和五月這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長率為x,根據(jù)增長率問

題應(yīng)用題列出方程，解之即可；

(2)①根據(jù)題意丙種門票價(jià)格下降10元，列式

100X(2-10x0.06)+80x(3-10x0.04)+(160-10)x(2+10X0.06+10X0.04)計(jì)算，即可求景

區(qū)六月份的門票總收入；

②設(shè)丙種門票價(jià)格降低加元，景區(qū)六月份的門票總收入為平萬元，由題意可得

W=100(2-0.06m)+80(3-0.04m)+(160-w)(2+0.06/w+0.04/M),化簡得

少=-0.1(機(jī)-24)2+817.6,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果.

【解答】解：(1)設(shè)四月和五月這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長率為X,

由題意，得4(1+"=5.76,

解這個(gè)方程，得X]=0.2,x2=-2.2(舍去)，

答：四月和五月這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長率為20%；

(2)①由題意，得

100x(2-10x0.06)+80x(3-10x0.04)+(160-10)x(2+10x0.06+10x0.04)=798(萬元).

答：景區(qū)六月份的門票總收入為798萬元.

②設(shè)丙種門票價(jià)格降低加元，景區(qū)六月份的門票總收入為少萬元，

由題意，得

W=100(2-0.06m)+80(3-0.04m)+(160-m)(2+0.06m+0.04m),

化簡，得少=-0.1(機(jī)-24)2+817.6,

—0.1<0,

.?.當(dāng)〃?=24時(shí)，少取最大值，為817.6萬元.

答：當(dāng)丙種門票價(jià)格下降24元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值，最大值是817.6萬

元.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函

數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用.

13.（2014春?太康縣校級月考）某商店在銷售西服時(shí)，按每套進(jìn)價(jià)的150%標(biāo)價(jià)，后來為吸

引消費(fèi)者，按標(biāo)價(jià)的八折銷售，此時(shí)每套西服仍可獲利120元，求西服的進(jìn)價(jià)為多少元？

（1）建立一元一次方程模型并解答上述問題；

（2）解答后請思考以下問題：

①在建立一元一次方程的模型解決問題過程中，你認(rèn)為最關(guān)鍵的是什么？

②解一元一次方程的算法，步驟有哪些？

③用算術(shù)法解決實(shí)際問題與建立方程模型解決實(shí)際問題,這兩種方法有什么不同？你說說哪

種方法更優(yōu)越？

【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用

【分析】（1）設(shè)西服的進(jìn)價(jià)為x元，利用銷售價(jià)減成本等于利潤列方程x?150%-0.8-x=120,

然后解方程即可；

（2）①本題的關(guān)鍵是表示出實(shí)際的銷售價(jià)；

②根據(jù)解一元一次方程基本步驟回答

③從用算術(shù)法解決實(shí)際問題和建立方程模型解決實(shí)際問題的過程進(jìn)行區(qū)別.

【解答】解：（1）設(shè)西服的進(jìn)價(jià)為x元，

根據(jù)題意得x150%?0.8-x=120,

解得x=600（兀），

答：西服的進(jìn)價(jià)為600元；

（2）①在建立一元一次方程的模型解決問題過程中，你認(rèn)為最關(guān)鍵的是表示出實(shí)際的銷售

價(jià)；

②解一元一次方程的解法，步驟有：先去分母（或把小數(shù)系數(shù)化為整數(shù)系數(shù)），再移項(xiàng)后合

并，然后把未知數(shù)的系數(shù)化為1即可；

③用算術(shù)法解決實(shí)際問題涉及計(jì)算代數(shù)式的值，但是列代數(shù)式的難度較大，建立方程模型解

決實(shí)際問題能通過設(shè)未知數(shù)，用代數(shù)式容易表示相關(guān)的量，從而利用代數(shù)式之間的關(guān)系列方

程.列方程更優(yōu)越.

【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用：利用方程解決實(shí)際問題的基本思路如下：首先審

題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為X,

然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、歹h解、

答.

14.（2021秋?叢臺區(qū)校級期末）黃岡小河中學(xué)七年級學(xué)生在5名教師的帶領(lǐng)下去赤壁公園

游玩，公園的門票為每人30元.現(xiàn)有兩種優(yōu)惠方案，甲方案：帶隊(duì)教師免費(fèi)，學(xué)生按8

折收費(fèi)；乙方案：師生都7.5折收費(fèi).

（1）若有機(jī)名學(xué)生，則甲方案師生共需_24加—元，乙方案師生共需元（用含“代

數(shù)式表示）.

（2）當(dāng)心為何值時(shí)，兩種方案收費(fèi)一樣？

（3）你能幫老師建議一下選擇哪種方案優(yōu)惠？

【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用

【分析】（1）根據(jù)甲方案：帶隊(duì)教師免費(fèi)，學(xué)生按8折收費(fèi)；乙方案：師生都7.5折收費(fèi)，

可表示出方案.

（2）將兩個(gè)方案相等列出方程解答即可；

（3）根據(jù)（2）中的解答進(jìn)行選擇即可.

【解答】解：（1）甲方案：30x80%w=24m.

乙方案：30-75%（m+5）=22.5m+112.5；

故答案為：24〃?；22.5?i+112.5；

（2）根據(jù)題意可得：24m=22.5m+112.5,

解得：m=75,

答：有75名學(xué)生時(shí)，兩方案費(fèi)用一樣；

（3）當(dāng)〃?>75時(shí)，選擇乙方案；

當(dāng)加=75時(shí)，兩種方案相同；

當(dāng)機(jī)<75時(shí)，選擇甲方案.

【點(diǎn)評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是設(shè)出學(xué)生數(shù)，然后根據(jù)優(yōu)惠方案表示出，代

入數(shù)值可得答案以及根據(jù)優(yōu)惠情況一樣列出方程.

15.（2021秋?雙遼市期末）某工廠車間有28個(gè)工人，生產(chǎn)N零件和8零件，每人每天可生

產(chǎn)/零件18個(gè)或B零件12個(gè)（每人每天只能生產(chǎn)一種零件）一個(gè)A零件配兩個(gè)B零件，

且每天生產(chǎn)的A零件和B零件恰好配套.工廠將零件批發(fā)給商場時(shí)，每個(gè)A零件可獲利10

元，每個(gè)3零件可獲利5元.

(1)求該工廠有多少工人生產(chǎn)/零件？

(2)因市場需求，該工廠每天要多生產(chǎn)出一部分/零件供商場零售使用，現(xiàn)從生產(chǎn)3零件

的工人中調(diào)出多少名工人生產(chǎn)/零件，才能使每日生產(chǎn)的零件總獲利比調(diào)動(dòng)前多600元？

【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用

【分析】(1)設(shè)該工廠有x名工人生產(chǎn)N零件，根據(jù)一個(gè)/零件配兩個(gè)8零件可知，每天

生產(chǎn)的兩種零件恰好配套，則生產(chǎn)B零件的個(gè)數(shù)是A零件個(gè)數(shù)的2倍，根據(jù)這一相等關(guān)系

列方程求出x的值即可；

(2)設(shè)從生產(chǎn)8零件的工人中調(diào)出y名工人生產(chǎn)/零件，則調(diào)整后生產(chǎn)/、2零件的人數(shù)、

生產(chǎn)數(shù)量及獲得利潤可用含y的式子表示，原來7名工人生產(chǎn)4零件、21名工人生產(chǎn)方零

件，獲得的利潤可以求出來，這兩個(gè)利潤的差是600元，根據(jù)這一數(shù)量關(guān)系列方程求出y的

值即可.

【解答】解：(1)設(shè)該工廠有x名工人生產(chǎn)/零件，

根據(jù)題意得2xl8x=12(28-x),

解得x=7,

答：該工廠有7名工人生產(chǎn)/零件.

(2)設(shè)從生產(chǎn)3零件的工人中調(diào)出y名工人生產(chǎn)/零件，

根據(jù)題意得10x18(7+〉)+5x12(21-/)-(7x10x18+21x5x12)=600,

解得y=5,

答：從生產(chǎn)8零件的工人中調(diào)出5名工人生產(chǎn)/零件.

【點(diǎn)評】此題考查解一元一次方程、列一元一次方程解應(yīng)用題等知識與方法，解題的關(guān)鍵是

通過分析探究找出配套問題的相等關(guān)系且列方程求解.

16.(2021?江州區(qū)模擬)某電器超市銷售每臺進(jìn)價(jià)分別為200元，170元的/、B兩種型號

的電風(fēng)扇，表中是近兩周的銷售情況：

銷售時(shí)段銷售數(shù)量銷售收入

4種型號8種型號

第一周3臺5臺1800元

第二周4臺10臺3100元

(進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，利潤=銷售收入-進(jìn)貨成本)

(1)求/、3兩種型號的電風(fēng)扇的銷售單價(jià)；

(2)若超市準(zhǔn)備用不多于5400元的金額再采購這兩種型號的電風(fēng)扇共30臺，求N種型號

的電風(fēng)扇最多能采購多少臺？

(3)在(2)的條件下，超市銷售完這30臺電風(fēng)扇能否實(shí)現(xiàn)利潤為1400元的目標(biāo)？若能，

請給出相應(yīng)的采購方案；若不能，請說明理由.

【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用

【分析】(1)設(shè)/、3兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價(jià)分別為x元、y元，根據(jù)3臺/型號5

臺3型號的電扇收入1800元，4臺4型號10臺3型號的電扇收入3100元，列方程組求解；

(2)設(shè)采購/種型號電風(fēng)扇a臺，則采購8種型號電風(fēng)扇(30-a)臺，根據(jù)金額不多于5400

元，列不等式求解；

(3)設(shè)利潤為1400元，列方程求出a的值為20,不符合(2)的條件，可知不能實(shí)現(xiàn)目標(biāo).

【解答】解：(1)設(shè)/、8兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價(jià)分別為x元、y元，

3x+5y=1800

依題意得:

4x+10j=3100

x=250

解得:

y=210

答：/、8兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價(jià)分別為250元、210元;

(2)設(shè)采購/種型號電風(fēng)扇a臺，則采購B種型號電風(fēng)扇(30-。)臺.

依題意得：200a+170(30-辦?400,

解得：但卻.

答：超市最多采購/種型號電風(fēng)扇10臺時(shí)，采購金額不多于5400元；

(3)依題意有：(250-200)。+(210-170)(30-。)=1400,

解得：a=20,

?/，

.?.在(2)的條件下超市不能實(shí)現(xiàn)利潤1400元的目標(biāo).

【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，