北京某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024北京景山學(xué)校高一（上）期中

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案打在答題卡上，在試卷上作答無(wú)

效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.若集合{A={x|K16}},2M中詞，則AW（■）

A.1%|0<x<2}B.{尤[0<%<2}

C.{x|2<x<16}D.{x|2Wx<16}

【答案】D

【解析】

【分析】由交集定義可得答案；

【詳解】由題可得{x[2Wx<16}.

故選：D

2.若實(shí)數(shù)a,6滿足。>6,則下列不等式成立的是（）

A.|?|>|^|B.a+c>b+cC.a2>b2D.ac2>be2

【答案】B

【解析】

【分析】利用不等式的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】由a=l,b=—2,c=O

時(shí)〈網(wǎng),故A錯(cuò)；

a2<b2>故C錯(cuò)；

ac2=be2>故D錯(cuò)；

由不等式的性質(zhì)易知B正確.

故選：B

3.已知命題p:X/x〉0,%+，>2,則為()

x

A.\/x>0>x-\—?2B.Vx<0,xH—V2

xx

C.3x<0,x+—<2D.Hx>0,x+—<2

xx

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合全稱(chēng)量詞命題與存在性量詞命題關(guān)系，準(zhǔn)確改寫(xiě)，即可求解.

【詳解】根據(jù)全稱(chēng)量詞命題與存在性量詞命題的關(guān)系，可得：

命題p:X/x>0,x+—>2的否定是Hx>0,x+—<2.

XX

故選：D

4.已知偶函數(shù)了(%)在區(qū)間(f1］上單調(diào)遞減，則下列關(guān)系式中成立的是()

A.C(-3)<“2)B.f(-3)</^-|j</(2)

C.”2)</(—3)<d

【答案】D

【解析】

【分析】由條件可得函數(shù)在口”)上單調(diào)遞增，所以自變量的絕對(duì)值越大函數(shù)值越大，再根據(jù)

|-3|>>|2|,可得/X—3)>/(-1)>/(2),進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)了(另在區(qū)間(f1］上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在口收)上單調(diào)遞增，故自變量的絕對(duì)值越大，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大,

又卜3|〉一[〉|2],所以/(-3)>/(-1)>/(2),

故選：D.

5.已知集合A=集合3={爐,％+"0},若A=5,則》2。23+/024=()

A.-1B.OC.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)集合相等的概念以及集合中元素的互異性求解.

【詳解】因?yàn)锳=5,且集合A中xwO,

所以集合A中的元素2=0,解得y=0,

x

又因?yàn)閘eA，所以IwB,所以必=1或x=l,

若=1,解得X=1或X=—1,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=l時(shí)，與集合中元素的互異性矛盾，x=-1時(shí)，滿足題意，

若X=l,由上述過(guò)程可知，不滿足題意；

綜上x(chóng)=—1,所以必°23+/。24=_l+0=—1,

故選：A.

I21〉0

6.己知函數(shù)/(x)=('，若/(a)+/(0)=O,則實(shí)數(shù)。=().

%+1,%<0

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【解析】

【分析】求出/(&),再根據(jù)/(。)+/(、叵)=0,分。>0和aWO兩種情況討論即可得出答案.

【詳解】解：/(V2)=(V2)2=2,

則/(a)+/(72)=0,即/(?)=-2,

當(dāng)。>0時(shí)，儲(chǔ)=一2，無(wú)解；

當(dāng)aWO時(shí)，。+1=—2,解得a=—3,

綜上所述，a=-3.

故選：A.

7.若a>0,b>0,則“a+/?W4”是“就44”的

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過(guò)特取。涉的值，推出矛盾，

確定必要性不成立.題目有一定難度，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.

【詳解】當(dāng)時(shí)，a+b>24ab<則當(dāng)a+bW4時(shí)，有2J拓+解得曲<4,充分性

成立；當(dāng)4=1,6=4時(shí)，滿足他44,但此時(shí)。+6=5>4,必要性不成立，綜上所述，“。+644”是“曲44”

的充分不必要條件.

【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通

過(guò)特取的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.

8.已知定義在(。,1)上的函數(shù)小)='是有理數(shù)3小是互質(zhì)的正整數(shù))，則下列結(jié)論正確的是

J2是無(wú)理數(shù)

()

A.7(%)的圖象關(guān)于x=1?對(duì)稱(chēng)B."%)的圖象關(guān)于，對(duì)稱(chēng)

C.7(%)在(0,1)單調(diào)遞增D.7(%)有最小值

【答案】A

【解析】

【分析】利用特殊值可排除B、C,利用函數(shù)的性質(zhì)可確定A、D.

【詳解】對(duì)于BC,由題意可知：/［虛一；］=/［一夜+［］=1，

顯然"％)的圖象不關(guān)于燈對(duì)稱(chēng)，而—0+|<0—g,故B、C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若x為有理數(shù)，則/卜)=!，顯然"一轉(zhuǎn)，函數(shù)無(wú)最小值，故D錯(cuò)誤；

n

對(duì)于A,若戶,是有理數(shù)，即機(jī)"(加<”)互質(zhì)，則〃—利〃也互質(zhì)，即4g!=：=/1與如

若X無(wú)理數(shù)，則1—%也為無(wú)理數(shù)，即/(x)=/(l—x)=l,

所以"％)的圖象關(guān)于x=1?對(duì)稱(chēng)，故A正確.

下證：機(jī),“互質(zhì)，則”一以”也互質(zhì).

反證法：若〃4〃互質(zhì)，不互質(zhì)，不妨設(shè)“一機(jī)=3,"=劭，

則帆=左他一。),〃=防，此時(shí)與假設(shè)矛盾，所以“一利〃也互質(zhì).

故選：A

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性結(jié)合互質(zhì)的定義去判定A、B,而作為抽象函數(shù)可以適當(dāng)選取

特殊值驗(yàn)證選項(xiàng)，提高正確率.

9.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,滿足/(x—2)=2/(%),且當(dāng)xe(0,2]時(shí),/(x)=x(2-x).若

/(。之?，則,的最大值是()

1314119

A.---B.---C.---D.一一

4544

【答案】C

【解析】

【分析】由xe(O,2]時(shí),/(x)e[0,l],利用/(x—2)=2/(x)得到xe(—4,—2],/(X)G[0,4],且

je[0,4],在求得xe(T,—2]時(shí)的解析式，由求解.

【詳解】解：當(dāng)Xe(O,2]時(shí)，/(X)=X(2-X)=-X2+2X=-(X-1)2+1,

則外力在(0,1]上遞增,在[1,2]上遞減，且

由/(x—2)=2/(x)知：xe(—2,0]時(shí)，/(X)G[0,2],

xe(-4,—2]時(shí)，/(x)e[0,4],且〃%)在(—4,—3]上遞增，在(—3,—2]上遞減，

因?yàn)?e[0,4],當(dāng)xe(-4,—2]時(shí)，/(x)=2/(x+2)=4/(%+4),

因?yàn)椋?4￡(0,2],

所以〃%)=4/(x+4)=4(x+4)(-x-2)=T(%2+6%+8),

令一4(%2+6%+8)2,解得——%——,

所以滿足的1/5的最大值是-?11，

故選：C

x2+4x+3,x<0

10.已知/(%)=、2?若玉且/(%)=/(%)=/?)=/(%)，則

3,x>0

x

1111

—+—+—+—的取值范圍是()

X]x2x3x4

【答案】A

【解析】

【分析】畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，數(shù)形結(jié)合得到西+々=-4,3),±e(—L0),

令x?+4%+3=3,解得無(wú)=-4或0,

因?yàn)槎?f+4》+3的對(duì)稱(chēng)軸為無(wú)=一2,由對(duì)稱(chēng)性可得=-4,

且石?-4,-3),%e(-L。)，

11%+%2_-4-44

其中1十不

因?yàn)樘?—1,0),所以(%+2)2—4e(—3,0),

4

2cc211。

又----3=3-----,故一+—=3,

——+—+——+—€-C0,3

%!X2X3X4

故選：A

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)f(x)=y/3-x的定義域是.

【答案】(—8,3]

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式有意義即可求得定義域.

【詳解】解：由解析式可知3—

故函數(shù)的定義域?yàn)椋?-8,3]

12.己知集合4=卜|3—1)尤2—2%+1=0｝有且僅有兩個(gè)子集，則實(shí)數(shù)。=

【答案】1或2

【解析】

【分析】若A恰有兩個(gè)子集，則A為單元素集，所以關(guān)于X的方程(。-1)爐-2》+1=0恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解,

分類(lèi)討論能求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】因?yàn)锳有且僅有兩個(gè)子集，所以A中只有一個(gè)元素，

所以(a—1)必一2x+l=0有且僅有一解.(1)當(dāng)。=1時(shí)，x=；,符合題意，(2)當(dāng)awl時(shí)，A=0,即

4-4(a-l)=0,a=2,綜上，得a=l或a=2.

故答案為：1或2.

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)子集與真子集的概念，實(shí)數(shù)。的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分析

法、討論法和等價(jià)轉(zhuǎn)化法的合理運(yùn)用.

13.已知">0,且a+4)=1,則工+工的最小值為

ab

【答案】9

【解析】

【分析】把“1”換成4a+b,整理后積為定值，然后用基本不等式求最小值

【詳解】解：,.,必>。，且a+4Z?=l,

-+-=(-+-)(o+4/7)=l+4+—+-..5+2J—--=9,當(dāng)且僅當(dāng)。=1，6=工時(shí)取等號(hào)，

ababab\ab36

1+工的最小值為9,

ab

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是“1”的代換，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知奇函數(shù)/(力定義域?yàn)镽,當(dāng)無(wú)之0時(shí)，/(耳=12+21,則/(7)=；若/(4)〉/11-

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【答案】?.-24②]D(0,+”)

【解析】

【分析】第一空，由奇函數(shù)定義可得答案；第二空，由奇函數(shù)性質(zhì)可判斷了(九)單調(diào)性，即可得答案.

【詳解】第一空，由奇函數(shù)定義，/(-4)=-/(4)=-(42+8)=-24；

第二空，注意到y(tǒng)=d+2x=(x+l)2-l在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)性相同，則/(尤)在R上單調(diào)遞增，

則/⑷>/(1_￡)=4>1—'=>0=m(3m+1)>0,故加4—8,-g)U(O,+a).

故答案為：一24；1—8,—]]u(0,+8).

[-ax+3,x>a

15已知函數(shù)/(x)=1/,2給出下列四個(gè)結(jié)論：

(%-2),x<a

①當(dāng)a=0時(shí)，/(/(-1))=3；

②若/(%)存在最小值，則a的取值范圍為(f,0]；

③若了(%)存在零點(diǎn)，則a的取值范圍為卜夕―g]U(O,+s);

④若了(%)是減函數(shù)，則a的取值范圍為0」—5U1+￥，2

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】根據(jù)所給分段函數(shù)直接計(jì)算求解可判斷①，根據(jù)分段函數(shù)的最小值的求法判斷②，分段求函數(shù)的零

點(diǎn)可判斷③，根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性可求解判斷④.

3,x>0/、

【詳解】①當(dāng)。=0時(shí),/(%)=.八2c，/(/(T))=/K—1—2力=/(9)=3,故①正確;

(%-2),x<0

②當(dāng)〃22時(shí)，/(%)=(九一2)2,尤<〃有最小值0,止匕時(shí)/(%)=—依+3,X2。為減函數(shù)，且

-ax+3,x>a

/(x)f-8,無(wú)最小值，故/(x)=1/、2無(wú)最小值，

(%-2),x<a

當(dāng)0<Q<2時(shí)，/(九)=(九一2『，九無(wú)最小值，/(%)=—改+3,%之。無(wú)最小值，

-ax+3.x>a

故/(%)={/c\2無(wú)最小值，

(%-2),x<a

當(dāng)。W0時(shí)，/(%)=-依+3,%之々為增函數(shù)，最小值為一〃2+3，/(%)=(%—2)2,九<1單調(diào)遞減，所以

只需滿足+3v(〃—2)2,解得〃41一正或121+巫，所以。<0,故②正確；

22

3

③令/(%)=(九-2)2=0,犬<。若有解，則〃>2,令/(%)=-依+3=0,X2々若有解，則一2〃，解得

a

a<—6或0<a4石，綜上若了(%)存在零點(diǎn)，則"的取值范圍為卜8,—6]U(0,6]U(2,+8),故

③錯(cuò)誤；

④若了(%)是減函數(shù)，則需滿足—。<0且aW2且(。―2)2之—"+3,解得o<a《l—等或

\+—<a<2,故④正確.

2

故答案為：①②④

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

53

16.已知集合4={才一1<%<2},B={x\x-->-}.

⑴求AUB,An(^B)；

⑵記關(guān)于x的不等式(2加+4)x+〃+4機(jī)W0的解集為"，若求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍.

【答案】⑴AU5={x|xN4或x<2},An(^B)={x|l<x<2}.

(2))沖九三-5或加22}

【解析】

【分析】(1)先通過(guò)絕對(duì)值不等式的解集為集合8,進(jìn)而可求解；

(2)根據(jù)不等式先求解出“，然后根據(jù)列出不等式，由此能求出實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

53

由％—可得：X>4^x<l,

所以3={x|x24或xWl},

所以AU5={尤,24或X<2},

所以"3={尤|1<%<4},

所以Ac&5)={x[l<x<2}.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)殛P(guān)于x的不等式*—(2機(jī)+4卜+加+4機(jī)40的解集為“，

解得：m<x<m+4,

所以"=1x|m<x<m+41,

又"A={x|x?2或x4-l},M

所以根+4<-1或m，2,解得加4—5或根22,

所以實(shí)數(shù)7〃的取值范圍是卜"卜九<一5或機(jī)22}.

17.己知函數(shù)/(x)=ox?-2ox-3.

(1)若。=1,求不等式/(x)?0的解集；

(2)已知。>0,且/(x)20在[3,+8)上恒成立，求a的取值范圍；

【答案】(1){x|x<-l^x>3}

(2)[l,4w)

【解析】

【分析】(1)由題意得f-2x-320,求解即可得出答案；

(2)函數(shù)/(x)=<2?-2ax-3=a(x-l)2-a-3(a>0),可得二次函數(shù)/(X)圖象的開(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸為

x=l,題意轉(zhuǎn)化為了。)1nmNO,利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得出答案.

【小問(wèn)1詳解】

解：當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=x2-2x-3,

所以/(x)20,即r-2x-320,解得xV-1或

所以不等式八>)20的解集為：｛x|x<—1或％23｝；

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)閒(x)=ax2-2ax-3=a(x-l)2-a-3(a>0),且/(X)20在[3,+oo)上恒成立，

則二次函數(shù)/(幻圖象的開(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸為x=l,

所以f(x)在[3,+8)上單調(diào)遞增，則/。焉=〃3)=3。一3,

又f(x)20在[3,+oo)上恒成立，轉(zhuǎn)化為f(x)n,n20,

所以3。一3?0,解得。之1,

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為[1,”).

18.己知函數(shù)/(x)=x-d.

(1)判斷了(%)在區(qū)間(0,+。)上的單調(diào)性，并用定義進(jìn)行證明；

⑵設(shè)g(x)=a—3],若％±2G[1,4]，使得/&)=g(±)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；

(2)[6,9].

【解析】

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義證明即可；

(2)由函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)值域，若3%2G[1,4],使得/(%)=g(%)可轉(zhuǎn)化為值域的包含

關(guān)系，建立不等式求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

了(%)在區(qū)間(0,+")上的單調(diào)遞增，證明如下:

設(shè)DM，9G(0，+°°)且。<玉<々，

4444(x一再)(匹九2+4)

XX2

則f(%2)一/(l)-2-----(玉----)=X2~XY-\-------

x2%%]x2…2

因?yàn)?<玉<九2，所以々一玉>0，玉犬2>0，^2+4>0,

所以/(%2)—/(西)=C"、)("*+4)〉0,即/(馬)>/(X]),

所以“X)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)遞增.

【小問(wèn)2詳解】

由⑴知V%<1,4]時(shí),-3</(^)<3,即xe[l,4]時(shí)，段)的值域A=[—3,3],

因?yàn)間(x)=a-3x當(dāng)xe[l,4]時(shí)為減函數(shù)，所以g(x)e3=[a-12,a—3],

若％e[1,4],3X2e[l,4],使得/(%)=g(w),則4口8,

a-12<-3

即《解得6<a<9,

tz—3>3

故實(shí)數(shù)。取值范圍為[6,9]

19.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：①對(duì)任意實(shí)數(shù)X,?都有/(x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y)；②對(duì)

任意xe[0,l)J(x)>0.

(1)求/(0);

(2)判斷并證明函數(shù)/(%)的奇偶性；

(3)若/(1)=0,直接寫(xiě)出了(x)的所有零點(diǎn)(不需要證明).

【答案】(1)/(0)=1

(2)/(幻為偶函數(shù)，證明見(jiàn)解析

(3)x=2k+l,keZ

【解析】

【分析】(1)令x=y=0,化簡(jiǎn)可求出/'(()),

(2)令x=0,則/0)+/(-y)=2/(0)/(y)=2/(y),化簡(jiǎn)后結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷即可,

(3)利用賦值求解即可

【小問(wèn)1詳解】

令無(wú)=>=0,則/(0)+/(0)=2/2(0),

產(chǎn)(0)-。(0)=0,得/(0)=0或=(0)=1,

因?yàn)閷?duì)任意xe[0,l)](x)>0,所以/(0)=1

【小問(wèn)2詳解】

無(wú))為偶函數(shù)

證明：令x=0,則小)+/㈠)=2/W(y)=2/(y),

得/―⑶)，

所以/(x)為偶函數(shù)

【小問(wèn)3詳解】

令x=左+1,y=匕左eZ,則f(2k+1)+/(1)=2于(k+l)f(k),

因?yàn)?⑴=0,所以/(2>+1)=2/(左+1)/(幻,

當(dāng)左=1時(shí)，/(3)=2/(2)/(1)=0,

當(dāng)左=2時(shí)，/(5)=2/(3)/(2)=0,

當(dāng)左=3時(shí)，/⑺=2/(4)八3)=0,

當(dāng)左=4時(shí)，/(9)=2/(5)/(4)=0,

......9

所以/(2k+1)=0

即當(dāng)x=2左+1,左eZ時(shí)，/(%)=0,

所以函數(shù)的零點(diǎn)為x=2k+l,keZ

20.已知關(guān)于x的函數(shù)/(x)=%2—2依+2.

(1)當(dāng)aW2時(shí)，求在1,3上的最小值g(a)；

(2)如果函數(shù)函(%)同時(shí)滿足:

①函數(shù)在整個(gè)定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)；

②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間［P，句，使得函數(shù)在區(qū)間［P，句上的值域?yàn)椋跴?,/］.

則我們稱(chēng)函數(shù)/(%)是該定義域上的“閉函數(shù)”.

(i)若關(guān)于尤的函數(shù)y==T是“閉函數(shù)”，求實(shí)數(shù)/的取值范圍；

(ii)判斷(1)中g(shù)(a)是否為“閉函數(shù)”？若是，求出夕國(guó)的值或關(guān)系式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)g(a)=<

2—tz",一<。<2

3

(31—<p<q<2

(2)(i)-,l；(ii),2M滿足13.

U」LX

【解析】

【分析】⑴對(duì)于函數(shù)〃尤)=/_2以+2=(尤-d+2-〃，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸，分類(lèi)討論即可；

(2)(i)據(jù)閉函數(shù)的定義，列出方程組，可得p?,二為方程4rzi+,=x的二實(shí)根，再由二次方程實(shí)根

的分布，即可得到所求f的范圍

(ii)由新定義，假設(shè)g(a)為“閉函數(shù)”，討論的范圍，通過(guò)方程的解即可判斷

【小問(wèn)I詳解】

函數(shù)/(無(wú))=尤?-2ox+2=(x-a)+2—a",其對(duì)稱(chēng)軸方程為x=a,

當(dāng)時(shí)，/(%)在1,3上單調(diào)遞增，其最小值為==；

當(dāng);<a<2時(shí)，"％)在1,3上的最小值為g(a)=/(a)=2—/；

192a‘I

函數(shù)〃龍)在「§I，3］上的最小值為g(a)=j

2—4Z",一<<7<2

3

【小問(wèn)2詳解】

(i):在［1,問(wèn)遞增,

由閉函數(shù)的定義知，該函數(shù)在定義域［L+8)內(nèi)，

存在區(qū)間［p,q］(p<q),使得該函數(shù)在區(qū)間［p,q］上的值域?yàn)?/p>

=q-

/應(yīng)2為方程+/=x的二實(shí)根，

即方程(2/+l)x+』+l=0在［1,住)上存在兩個(gè)不等的實(shí)根且/恒成立,

令"(x)=%2—(2/+1)》+/+1,

3

A>0t>—

4

2t+l,

---->11

《2/〉一

2

w(l)>0

(r-1)2>0

t<l

t<\

3

解得一

4

???實(shí)數(shù)?的取值范圍.

(ii)對(duì)于⑴，易知g(a)在(YO,2］上為減函數(shù),

①若g(a)遞減，若g(a)為“閉函數(shù)”，

女

-3=q°

%

-3一

21

兩式相減得p+4=3,這與夕矛盾.

②一<p<q<2時(shí),若g(a)為“閉函數(shù)”,貝叫工

3［2-q-=p^

此時(shí)/+/=2滿足條件的夕應(yīng)存在，

.,.!<"<<742時(shí)，使得g(a)為“閉函數(shù)”夕M存在，

1/、--------q

③"三一<”2時(shí)，若g(a)為“閉函數(shù)”，貝叫93，

[2一9=p

消去“得9P2—6°+1,即(3p—1)2=0

解得p=g此時(shí)，q=W<2,且/+/=2,

.,d=g<qW2時(shí)，使得g(a)為“閉函數(shù)”)，夕存在，

綜上所述，當(dāng)。應(yīng)滿足13時(shí)，g(a)為“閉函數(shù)”.

2,2c

[P+Q=2

21.設(shè)n為不小于3的正整數(shù)，集合。，尸｛(X，龍2,…王)卜《｛0』｝』=1,2,...,吊，對(duì)于集合Q“中的任意元

素a=(%,々，，月=(%,%，…，％)記

e*，=(石+%一七%)+(x2+y2-/%)+…+?+%—\yn)

(I)當(dāng)〃=3時(shí)，若。=(1,1,0),請(qǐng)寫(xiě)出滿足。*尸=3的所有元素少

(II)設(shè)a，，eQ“且求a*，的最大值和最小值；

(III)設(shè)S是Q”的子集，且滿足：對(duì)于S中的任意兩個(gè)不同元素a,4，有。1成立，求集合S

中元素個(gè)數(shù)的最大值.

【答案】(1)(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(W)；(2)的最大值為〃，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，。*萬(wàn)的最小

值為一，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，a*3=——；(3)S中的元素個(gè)數(shù)最大值為".

222

【解析】

【分析】(I)結(jié)合題意列舉可得；(II)先根據(jù)。*。+分*力=〃，得到看,y-的關(guān)系式，再求解。*，的最

值；(ill)通過(guò)對(duì)集合s的拆分，逐一求解.

【詳解】(I)滿足。*，=3的元素為(0,0,1),(1,0/),(0,1,1),(1,1,1)

(II)記1=(%,%2,…,/)，尸=(%，%，…，％)，

注意到.G｛0,1｝,所以%(x;-1)=0,

XH+xXX

所以￡*1=(%+%一%1Al)+(/+%2-^22)---n~nn)

—Xj+%2+,??+%〃

,*,=%+%+■??+%

因?yàn)?所以西+々+…+x〃+%+%+…+y“=〃

所以司,々，…，/，%，％，…，％中有幾個(gè)量的值為1.〃個(gè)量的值為0.

x

顯然0w1*尸=(司+x_xx)+(%+%—/%)+???+(4+%—，,yn)

<石+%+%+%+―一+七+%="，

當(dāng)…,1),乃=(0,0,…,0)時(shí)，

a,4滿足tz*(z+/7*/?=",所以。*，的最大值為“

又[*/?=(石+%—%％)+(%+%—%y2)+…+(z+”%K)

=〃一(％%+/%+???+%”)

注意到只有七=%=1時(shí)，x*=1,否則x*=0

而石,馬,其中幾個(gè)量的值為11"個(gè)量的值為0

所以滿足%X=1這樣的元素i至多有。個(gè)，

V!H

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，a*/3>n--=-.

22

當(dāng)a=0=

所以的最小值為一

2