初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：函數(shù)之新定義問題 壓軸好題（解析版）

函數(shù)專題訓(xùn)練--新定義問題壓軸好題（解析版）

1.（2024-湖南三模）定義:我們把一次函數(shù)g=kx+b（k*0）與正比例函數(shù)夕=c的交點(diǎn)稱為一次函數(shù)y

=M+b（k￥0）的“不動(dòng)點(diǎn)”.例如求y=2c—1的“不動(dòng)點(diǎn)”:聯(lián)立方程=解得,二1，則0

Iy=x

=2/—1的“不動(dòng)點(diǎn)”為（1,1）.

（1）由定義可知，一次函數(shù)y=3x+2的“不動(dòng)點(diǎn)”為（一1—1）；

（2）若一次函數(shù)0=771①+/1的"不動(dòng)點(diǎn)”為（2,72—1）,求771、71的值；

（3）若直線夕=皿—3（k￥0）與立軸交于點(diǎn)人,與沙軸交于點(diǎn)且直線0=A;①—3上沒有"不動(dòng)點(diǎn)"，若

P點(diǎn)為工軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使得SAABP=3s△AB。，求滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo).

【分析】⑴根據(jù)題意，聯(lián)立（"―3①+2,即可求解；

Iy『

（2）由定義可知一次函數(shù)y—mx+71的“不動(dòng)點(diǎn)”為（2,2）,再將點(diǎn)（2,2）代入g=mx+3即可求nz的值；

（3）由題意可知直線^=/｛：力一3與直線g=/平行，則有沙=力一3,在求出A（3,0）,B（0,一3）,設(shè)PQ,0）,由

SAABP=3S4W。，可得9X|t-3|X3X3,即可P點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：⑴聯(lián)立3'+2,

Iy=x

解得

.?.一次函數(shù)夕=3t+2的“不動(dòng)點(diǎn)”為（-1,-1）,

故答案為：（-1,-1）;

（2）V一次函數(shù)y=m6+n的“不動(dòng)點(diǎn)”為（2,九一1）,

n—1=2,

n=3,

?,?“不動(dòng)點(diǎn)”為（2,2）,

2=2m+3,

解得772=--｝；

⑶?,?直線g=——3上沒有“不動(dòng)點(diǎn)”,

，直線g=k力一3與直線。=力平行，

：.k=l,

.*.?/=a?—3,

.\A（3,0）,B（0,-3）,

設(shè)設(shè)伍0）,

AP—|3—1|,

^AABP=3x\t-3|x3,

SAABO~x3x3,

?,S4ABp—3s△ABO,

-3|=9,

???力=12或1=—6,

P（-6,0）或P（12,0）.

【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)的綜合題，理解定義，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?芙蓉區(qū)校級(jí)開學(xué)）在平面直角坐標(biāo)系以九中，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等,則稱點(diǎn)P為完美

點(diǎn).已知二次函數(shù)u=aa：2+42：+c（a/0）.

（1）當(dāng)a=l,c=2時(shí)，請(qǐng)求出該函數(shù)的完美點(diǎn)；

（2）已知二次函數(shù)夕=a婷+4c+c（a￥0）的圖象上有且只有一個(gè)完美點(diǎn)（■!■，!■）,請(qǐng)求出該函數(shù)；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)OWrrWm時(shí)，函數(shù)沙=￡1/+42：+。一年（￡1片0）的最小值為一3,最大值為1,求

m的取值范圍.

【分析】⑴根據(jù)完美點(diǎn)的概念，由g=力與拋物線解析式聯(lián)立即可求得答案；

（2）由題意得關(guān)于n的方程ax2++。=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得△=9—4ac=0,則4ac=9,再將完

美點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求得答案；

（3）由題意得g=—d+4/一3=—（劣一2）2+1,可求得此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可求得力的取值范圍.

【解答】解：（1）當(dāng)Q=1,c=2時(shí)，夕=力2+4/+2,

令g=力，則力之+3/+2=0,

解得:力］=-1,x2=—2,

:.該函數(shù)的完美點(diǎn)為R（—1,—1）,g（—2,—2）;

（2）令ax2+4/+c=/,即ax2+3力+c=0,由題意可得，圖象上有且只有一個(gè)完美點(diǎn)，，△=9—4ac=0,

則4ac=9.

又方程根為x——^—=—亶-=2，

2a2a2

.i9

..a=-1,c=--—,

該二次函數(shù)的解析式為y——X1+4rr—;

（3）y=_/2+41—-----1-——X1+4g-3二一（J;-2）2+1,

該二次函數(shù)圖象如圖所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,1）,

與g軸交點(diǎn)為（0,—3）,根據(jù)對(duì)稱規(guī)律，點(diǎn)（4,一3）也是該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn).在力=2左側(cè)，g隨力的增大

而增大；在力=2右側(cè)，g隨力的增大而減小；

丁當(dāng)?！读r(shí)，函數(shù)g=—爐+4%—3的最小值為一3,最大值為1,

1???

24m<4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)以及根的判別式的知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)

合和分類討論是解題關(guān)鍵.

3.(2024?亭湖區(qū)校級(jí)模擬)我們定義：點(diǎn)P在一次函數(shù)夕=姐+6上，點(diǎn)Q在反比例函數(shù)夕=且上,若存

X

在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，我們稱二次函數(shù)？/=ax2+bx+c為一次函數(shù)夕=a+b和反比例函數(shù)4=

—的''向光函數(shù)"，點(diǎn)P稱為''幸福點(diǎn)”.例如:點(diǎn)P(—1,—2)在y=c—1上，點(diǎn)Q(l,—2)在夕=2上,

XX

P、。兩點(diǎn)關(guān)于g軸對(duì)稱，此時(shí)二次函數(shù)4=/2一力一2為一次函數(shù)g=6-1和反比例函數(shù)沙=2的

x

“向光函數(shù)”，點(diǎn)P(—L—2)是“幸福點(diǎn)”.

⑴判斷一次函數(shù)9=力+2和反比例函數(shù)g=3是否存在“向光函數(shù)”，若存在,請(qǐng)求出“幸福點(diǎn)”坐標(biāo);

x

若不是，請(qǐng)說明理由；

(2)若一次函數(shù)"=力一卜+1與反比例函數(shù)夕=-2只有一個(gè)“幸福點(diǎn)”，求其“向光函數(shù)”的解析式；

X

(3)已知一次函數(shù)u=ax+b與反比例函數(shù)4=-有兩個(gè)“幸福點(diǎn)”4B(A在8左側(cè))，其“向光函數(shù)”

X

沙=。力2+就+。與力軸交于。、。兩點(diǎn)(。在。左側(cè))，若有以下條件:①a+b+c=0②“向光函數(shù)”經(jīng)

過點(diǎn)(—3,4)③a>b>0,記四邊形ACBO的面積為S,求C的取值范圍.

a

【分析】(1)設(shè)一次函數(shù)上任意一點(diǎn)P(a,a+2),則P點(diǎn)關(guān)于夕軸的對(duì)稱點(diǎn)Q(-a,a+2),根據(jù)題意可得

—a(a+2)=-3，求出a的值即可求''幸福點(diǎn)”；

(2)設(shè)一次函數(shù)上任意一點(diǎn)P(6,b—%+1),則P點(diǎn)關(guān)于夕軸的對(duì)稱點(diǎn)Q(—b,b-k+1),根據(jù)題意可得—b(b

一k+1)=出+2,再由八=(1—/(;)2—4(/；;+2)=0,求出％的值即可確定''向光函數(shù)”的解析式；

(3)由題意可得x+x=—■—,x-x=—,x+x=—~,x-x=色，再由已知條件得到b=2a—l,c=l

ABXABXcDXcDX

—3a，則S=XCDX{yA—yB)=X——X(4a—1),求得X(4—5-了,再由lv工<2,求出

22aa2aa

Sv9

/V-—V-二-?

a2

【解答】解：⑴存在“向光函數(shù)”，理由如下：

設(shè)一?次函數(shù)上任意一點(diǎn)F(a,Q+2),則P點(diǎn)關(guān)于g軸的對(duì)稱點(diǎn)Q(—a,a+2),

當(dāng)一Q(Q+2)=—3時(shí),解得Q=1或a=—3,

P(1,3)或(-3,-1)是''幸福點(diǎn)”，一次函數(shù)y=x+2和反比例函數(shù)夕=3存在''向光函數(shù)”；

X

(2)設(shè)一次函數(shù)上任意一點(diǎn)P(b,6—k+1),則P點(diǎn)關(guān)于v軸的對(duì)稱點(diǎn)Q(—b,6—k+1),

當(dāng)一b(b—k+1)=k+2時(shí)，b?+b(l—fc)+fc+2=0,

一次函數(shù)y=*—k+1與反比例函數(shù)g="只有一個(gè)“幸福點(diǎn)”，

x

A—(1—fc)2—4(fc+2)—0,

解得k=—1或k=7,

當(dāng)k=-1時(shí)，g=/+2,^=工，則“向光函數(shù)”為。="+2/+1;

x

當(dāng)k=7時(shí)，沙=/-6,沙二旦，則“向光函數(shù)”為g=爐—6/+9;

x???

（3）設(shè)一次函數(shù)上任意一點(diǎn)、P（*,ai+b）,則P點(diǎn)關(guān)于g軸的對(duì)稱點(diǎn)Q（—0，aN+6）,

當(dāng)一力（ar+b）=c時(shí)，ax2+bx+c=Q,

一次函數(shù)g=aR+b與反比例函數(shù)g=￡~有兩個(gè)“幸福點(diǎn)”，

x

A=fe2—4QC>0,x+x=---,x*x=-,

ABaABa

“向光函數(shù)"g=ax2+be+c與力軸交于C、_D兩點(diǎn)，

,?_b_c

??XX，XX，

C+D-XC*D——X

??,“向光函數(shù)”經(jīng)過點(diǎn)（一3,4）,

9a—3b+c=4,

=a+b+c=0,

.\b=2a—l,c=1—3a,

:.y=ax2+（2a—l）x+（1—3a）,

*.*a>b>0,

a>2a—1>0,

.1—-

??萬VaVI,

XX

???xD-xc=V（XD-\~XC^-4：XC-XD=4）1，VA—VB=Q（力A一*B）=W+BT~'B=4Q-1,

S=]xCDx（yA—yB）=^-x4）1x（4a—1）,

，￡=當(dāng)P=!X（4」）2,

a2a22a

VK—<2,

a

2<—<4.

a2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，

弄清新定義是解題的關(guān)鍵.

4.（2024-桃江縣一模）若拋物線y=ax2+bx+c^x軸交于A,B兩點(diǎn)，與g軸交于點(diǎn)。，且△48。恰好

是直角三角形，并滿足OC2=。4?。氏。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱拋物線y=ax2+bx+c是“直角型拋物

線”，其中較短直角邊所在直線為“直角倍增線”，較長(zhǎng)直角邊所在直線為“直角倍減線”.

（1）若“直角型拋物線"y=a^+bx+c的“直角倍增線”為直線y=-5T—3,求拋物線解析式；

（2）已知“直角型拋物線"沙=a爐+就+c與力軸的一個(gè)交點(diǎn)為（-2,0）,且的值t滿足方程：x2-

82+7=0.其“直角倍減線”與反比例函數(shù)夕=1的圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，求其直角倍減線的函數(shù)解析

lx

式；

（3）已知拋物線夕=+—四eg>。）是“直角形拋物線”，則函數(shù)0="+3刀+需。的最小

值.

【分析】（1）由題意可知，A,B兩點(diǎn)必在原點(diǎn)兩側(cè)，且AB邊為直角三角形斜邊，由直線v=-5;r—3得點(diǎn)。

（0,-3），點(diǎn)A（-4,0）.由射影定理得002=OAxOB,故5（15,0）,再利用待定系數(shù)法解答即可；

（2）由力2—8力+7=0,得力=1或者力=7,由OC2=OAxOB,得點(diǎn)、C坐標(biāo)為（0,V10）或（0,—,再代入

計(jì)算即可；

1???

（3）由g=+V3x—J^c（c>0）,設(shè)？1橫坐標(biāo)為a,B橫坐標(biāo)為b.故a+b=3,ab=3c.由002=

o

OAxO_B,得（一，^c）2=|3c],再計(jì)算即可.

【解答】解：⑴由題意可知兩點(diǎn)必在原點(diǎn)兩側(cè)，且AB邊為直角三角形斜邊，

在y=-5x—3中，令力=0,貝Uy=-3,

???C的坐標(biāo)為（0,-3）,

令沙=0,則x=―

5

?,?點(diǎn)A.的坐標(biāo)為（—,0）.

5

??.OC=3,OA=~,

5

???OC為R/AABC斜邊上的高,

由射影定理得：OC2=OA^OB,

??.O8=15,

???點(diǎn)B坐標(biāo)為（15,0）,

將點(diǎn)。代入拋物線，即一3=c,

將A,B點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線g=ax2-\-bx-\-c,

10=225a+15b-3

?.?a=—1bL=一一2—4,

3f5

拋物線表達(dá)式為：y—^-x1—■學(xué)力+3;

35

（2）V48的值力滿足：海一&r+7=0,

，力=1或者力=7,

???拋物線與力軸一個(gè)交點(diǎn)為（-2,0）,且需滿足A,B在原點(diǎn)兩側(cè)，

：.t—7,

即拋物線與力軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（5,0）,

???002=04x05,且已知拋物線與力軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，

??.002=2x5=10,

???OC=V10.

即點(diǎn)。坐標(biāo)為（0,內(nèi)）或（0,—，正），

設(shè)“直線倍減線”所在的直線為y—kx-\-V10^y—kx—V10,

代入3（5,0）,得：k=—凈或凈，

55

“直線倍減線”所在的直線為？/加一胸或9=—暝立+癡，

55

⑶=力2+通力—，^c（c>。），設(shè)在橫坐標(biāo)為0,右橫坐標(biāo)為b.

當(dāng)g=0時(shí)，/2—3力+3c=0,

CL+b—3,ab—3c.

令/=0,則g=—V3c,

c>0,

OC=V3cf

???OC2=OAxOB,???

/.（V3c）2=3c,

c=1.

g="+3力+-^-c=力？+3/+告=（力+5）2_,

:.y=x2+3x+-|-c的最小值為一.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)綜合題，根據(jù)給出的新定義，再運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解答是解題關(guān)鍵.

5.（2024?岳麓區(qū)校級(jí)三模）我們約定，在直角坐標(biāo)系中，若不相同的兩個(gè)點(diǎn)A（Qi，仇）、8（Q2,尻）滿足

儂+電）2+①+%|=。，則稱4B互為“沖刺點(diǎn)”，若函數(shù)"上存在一組沖刺點(diǎn)，則稱函數(shù)"為"沖刺函

數(shù)”.

⑴判斷下列函數(shù)是否為“沖刺函數(shù)”，對(duì)的在括號(hào)里打“V”,錯(cuò)的打“義”.

①g=2力+1（x）；

②￡=4V）;

a-

③y=￡2+2c+l（x）；

（2）是否存在人、B兩點(diǎn)既是一次函數(shù)0=-x+b上的“沖刺點(diǎn)”，又是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a￥0）

上的“沖刺點(diǎn)”，若存在，求出這樣的“沖刺點(diǎn)”坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

（3）若“沖刺函數(shù)"y=ax2+x+c（a^0）上的“沖刺點(diǎn)”為4、8兩點(diǎn),若P為函數(shù)y=ax'2+x+c（a豐

0）上一動(dòng)點(diǎn)，且該拋物線上有且只有3個(gè)點(diǎn)P滿足△MB的面積為L(zhǎng)若以A、B為頂點(diǎn)的正方形邊長(zhǎng)

為1,求c值.

【分析】（1）根據(jù)（ai+a2p+3+仇|=0,得出一組沖刺點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后對(duì)三個(gè)函數(shù)圖

象進(jìn)行判斷即可確定結(jié)論；

（2）先根據(jù)函數(shù)9=一2+6上有“沖刺點(diǎn)”，得出6=0,然后把兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立得出關(guān)于田的一元二次方

程，由根與系數(shù)的關(guān)系得出x+x=——W0,進(jìn)而得出兩函數(shù)不會(huì)存在共同的"沖刺點(diǎn)”；

ABa

（3）根據(jù)“沖刺點(diǎn)”的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)并代入夕=a式+2+c,求出兩點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而判定

AB兩點(diǎn)在直線夕=c上，然后由以為頂點(diǎn)的正方形邊長(zhǎng)為1,結(jié)合△MB的面積為1,得出點(diǎn)P的軌跡

所在兩條直線的解析式，再由拋物線分別與兩條直線有且僅有3個(gè)交點(diǎn)，得出拋物線與其中一條直線相切，

進(jìn)而通過兩條直線分別與拋物線的解析式聯(lián)立，由根的判別式△=0求出c值.

【解答】解：⑴根據(jù)題意，（的+&2）2+歷1+必|=0,則ai=—a2,bi=—bz,A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故“沖刺函

數(shù)”存在一組沖刺點(diǎn)，這組沖刺點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系里關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

①對(duì)于9=2,+1,其圖象為未經(jīng)過原點(diǎn)的直線，則9=2,+1圖象上不存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，

故夕=2a?+1不是''沖刺函數(shù)”.

故答案為：X;

②：g=工是反比例函數(shù)，其圖象是中心對(duì)稱圖形，

x

：.函數(shù)y=—上存在多組沖刺點(diǎn)，如（1,—1）和（一1,1）,則函數(shù)y=L是''沖刺函數(shù)"；

xx

故答案為：，；

③函數(shù)夕=22+2①+1的圖象為一開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（―1,0）,與2軸相切的拋物線，圖象上任意兩點(diǎn)都

不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)y—x2+2x+l不存在一組沖刺點(diǎn),則該函數(shù)不是"沖刺函數(shù)"；

故答案為：X;

???

1

⑵根據(jù)題意，函數(shù)y——X+b和g=Q力2+近+C(QW0)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)A和_8是一'組“沖刺點(diǎn)

對(duì)于函數(shù)9=—/+6,當(dāng)b=0時(shí)，其圖象為經(jīng)過原點(diǎn)的直線，存在“沖刺點(diǎn)”.

令b=0,把g=—x代入"=ax2+c,得ax2+力+c=0,

由根與系數(shù)的關(guān)系可知以+為=—―W0,

a

則兩函數(shù)圖象的兩個(gè)交點(diǎn)不是“沖刺點(diǎn)

故兩函數(shù)不存在共同的“沖刺點(diǎn)”.

⑶設(shè)“沖刺函數(shù)"g=a"+力+“aw0)上的“沖刺點(diǎn)”為4B兩點(diǎn)坐標(biāo)為(。，。)、(―u,—v).

把4、石兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入函數(shù)y—ax2+x+c,聯(lián)立方程組得:

v=au2+u+c

2

^-v=a(-u)-u+c

%后［匕:五

解得＜

V

?，.A、_B兩點(diǎn)在直線y=x.h.

???以為頂點(diǎn)的正方形邊長(zhǎng)為1,

當(dāng)A、B兩點(diǎn)為正方形的對(duì)角線頂點(diǎn)時(shí)，AB=2d號(hào)鼻=V2;

當(dāng)A、B兩點(diǎn)為正方形的相鄰頂點(diǎn)時(shí)，==1.

又S'=卷AB?k1,其中九代表三個(gè)點(diǎn)P到直線AB的距離.

/.當(dāng)AB=V2時(shí)，%=V2;AB=1時(shí)，％=2.

如圖所示，OE=九,直線人和12分別是到直線夕=2距離為九的直線，均可由夕=2向上或向下平移九單位得

到.當(dāng)''沖刺函數(shù)"9=ad+①+c的圖象開口向上，并且與。相切，則拋物線上有且只有3個(gè)點(diǎn)P滿足

△PAB的面積為1;同理，當(dāng)“沖刺函數(shù)"y=ad+c+c的圖象開口向下，并且與。相切，拋物線上也有且只

有3個(gè)點(diǎn)P滿足△PAB的面積為1.

???

則兩直線解析式：lr:y=x—h;l2:y=x+h.

因?yàn)閥=ax2+x+c(a>0)與y=rc—無相切只有一個(gè)交點(diǎn)，把"=c—/z代入夕=ax2+a?+c得：

ax2+c+7i=0,令A(yù)=。2—4a(c+%)=0,則c=—h.

當(dāng)a>0時(shí)，c—一^或—2.

同理，把V=c+/z代入g=ax2+a:+c(a<0)得：

ax2+c—無=0,令A(yù)=02—4a(c—無)=0,則c=h.

當(dāng)aV0時(shí)，c=V2或2.

故當(dāng)a>0時(shí)，c=—A/2或一2;當(dāng)aVO時(shí)，C=V2或2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)新定義的理解，三角形面積，正方形的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象

和性質(zhì)等，綜合性強(qiáng)，難度較大，為壓軸題.判斷A、B兩點(diǎn)在直線夕=2上，以及確定拋物線與點(diǎn)P滿足

APAB的面積為1時(shí)的兩條軌跡線的位置關(guān)系是本題的難點(diǎn).

6.(2024春?東城區(qū)校級(jí)期中)在平面直角坐標(biāo)系2。夕中，對(duì)于點(diǎn)？1(g，%),B(X2,紡),記(4=\xi—x2\,dy

=1%—如，將此—dy\稱為點(diǎn)A,B的橫縱偏差,記為“(A,B),即“(4B)=&—匐.若點(diǎn)B在線段

PQ上，將“(A,B)的最大值稱為線段PQ關(guān)于點(diǎn)A的橫縱偏差,記為n(A,PQ).

⑴40,—2),8(1,3),

①〃(A,B)的值是4；

②點(diǎn)K在T軸上，若〃(8,K)=0,則點(diǎn)K的坐標(biāo)是(—2,0)或(4,0).

(2)點(diǎn)P,Q在“軸上，點(diǎn)P在點(diǎn)Q的上方，PQ=a，點(diǎn)河的坐標(biāo)為(—5,1).

①當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,1)時(shí),求〃(河，PQ)的值(答案可以用a表示)；

②當(dāng)線段尸Q在“軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若”(M，PQ)的最小值為5,直接寫出a的取值范圍.

【分析】(1)①根據(jù)新定義可解答；

②根據(jù)點(diǎn)K在,軸上，設(shè)K(x,0),根據(jù)新定義并結(jié)合〃(B,K)=0列式可得/的值,從而得結(jié)論；

(2)①⑵①根據(jù)新定義得成M,T)=|虞—匐=6—t,由1WtWa+1,可得5-&46—145或一541-6

Wa—5,再計(jì)算即可.

②根據(jù)新定義得fi(M,T)=\dx-dy\=6-t,^M,PQ)的最小值為5,得6—力>5,設(shè)點(diǎn)Q(0,t),則P(O,t

+a),故〃(Al,Q)=|5—|可|,/i(M,P)=|5—|t+a||,再計(jì)算即可.

【解答】解:(1)①根據(jù)屬一聞稱為點(diǎn)A,B的橫縱偏差,

心=E一電|=|o—1|=1,

dy=\yi~y2\=|-2-3|=5,

再根據(jù)給出的計(jì)算方法，

則B)=感-閡=|1—5|=4,

故答案為：4;

②?.?點(diǎn)K在力軸上，

/.設(shè)K(，，0),

vB(l,3),

dx—\xi-x2\=11-*

dy=\yi-y2\=|3-0|=3,

再根據(jù)給出的計(jì)算方法，

???//(B,K)=0,

???

1

K}=\dx-dy\=||l-o;|-3|=0,

1—a;=3或1—c=—3,

x=-2或c=4,

的坐標(biāo)是(一2,0)或(4,0).

故答案為：(一2,0)或(4,0);

⑵①?.?「"=&，點(diǎn)Q(O,1),

.,.點(diǎn)P(0,a+1),

設(shè)點(diǎn)T(0,t)為線段PQ上任意一點(diǎn)，

六1<力<a+1;

???點(diǎn)河的坐標(biāo)為(-5,1),

dx—b,dy=t—l,

：.U(M,T)=|d-dj=|6一5.

由IWtWa+l,可得5—aW6—tW5;

5—aW〃(7W,T)45,

.?.〃(A/,PQ)的最大值是5,

:.H(M,PQ)=5.

或由IWtWa+l,可得一5W1—"6Wa—5;

.1一54〃(M,T)<a—5,

4(“，PQ)的最大值是a—5,

,PQ)=a-5.

②???欣M,PQ)=,P)或灰M,Q),

設(shè)點(diǎn)Q(O,b),則P(O,b+a),

設(shè)點(diǎn)T是線段PQ上任意一點(diǎn)，則bWt&b+a,

?.?點(diǎn)Al的坐標(biāo)為(-5,1),

dx—b,dy—t—}.,

T)=\dx-dy\=6-t,

???〃("，PQ)的最小值為5,

設(shè)點(diǎn)Q(0,t),則F(0,t+a),

欣M,Q)=|5—[[I,/M,P)=|5—，+a||,

???當(dāng)成M,P)=u.[M,Q)時(shí)，〃(M,PQ)有最小值，

即|5—卸=|5一1+a||時(shí)，〃(M,PQ)有最小值，

1=2或一8或-3(-3舍去),則u(M,PQ)有最小值為3,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,8)或(0,—2),

欣M,PQ)的最小值是3,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0,8)或(0,—2).

?."=2時(shí)，當(dāng)P(O,—2)時(shí)，a=4,

￡=一8時(shí)，當(dāng)P(O,8)時(shí)，a=16,

，4&a<16.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握坐標(biāo)與圖形之間的規(guī)定解答，是解題關(guān)鍵.

7.(2024?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)四模)已知拋物線L：v=+—3a(aWO)經(jīng)過點(diǎn)/(—1,0),且與田軸的另一個(gè)

交點(diǎn)為點(diǎn)C.???

⑴當(dāng)a=l時(shí)，解決下列問題.

①求拋物線的解析式、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點(diǎn)。及L的一段，分別記為C、，L[.平移該膠片,使

g所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)恰為y=〃-3,求點(diǎn)G移動(dòng)的最短路程；

（2）已知直線1）.定義:橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為“美點(diǎn)”.

①判斷直線，是否過點(diǎn)4；

②當(dāng)R=a=]時(shí),直接寫出直線Z與拋物線入圍成的封閉圖形邊界上“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；

③當(dāng)a=等時(shí)，記拋物線刀在04刀W2024的部分為L(zhǎng)2.光點(diǎn)Q從點(diǎn)人彈出，沿直線I發(fā)射,若擊中

拋物線%上的“美點(diǎn)”，就算發(fā)射成功，直接寫出此時(shí)整數(shù)k的個(gè)數(shù).

備用圖

【分析】（1）①把>1（—1,0）代入L:y—ax2+bx—3a（aW0）,得出0=a—b—3a=—b—2a,結(jié)合a=1,得b=

—2,則？/="—2c—3,所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,一4）,則C（3,0）;

②由①知？/=（c一1）2—4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,一4）;結(jié)合函數(shù)夕=爐一3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,—3）;根據(jù)勾股定理

求出這兩點(diǎn)間的距離，則點(diǎn)G移動(dòng)的最短路程為V2;

⑵①把A（—1,0）代入Z:y=k（x+1）得等號(hào)左右相等，即直線I過點(diǎn)A;

②當(dāng)k=a=:時(shí)，0=—b—2x1■，解得b=—1;頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,—2）,作圖運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，即可作答.

③因?yàn)?=普，則6=—13,則y喏（X-1）2_26，結(jié)合光點(diǎn)Q從點(diǎn)A彈出，沿直線/發(fā)射，若擊中拋物

產(chǎn)生（x-l）"26-y-（x-l）2-26

線乙2上的“美點(diǎn)”，就算發(fā)射成功，建立1丫2',，整理得k=-±---------------，因?yàn)橐?/p>

y=k一（x+■1,）、x+1

%均為整數(shù)，當(dāng)①為偶數(shù)時(shí)，k為苧的整數(shù)倍，不是整數(shù),不符合題意；當(dāng)立為奇數(shù)時(shí)，k為13的整數(shù)倍,是

整數(shù)，符合題意；則0WcW2024,此時(shí)整數(shù)%的個(gè)數(shù)為1012個(gè).

【解答】解：（1）①拋物線y=ax2-\-bx—3a（a#0）經(jīng)過點(diǎn)A（—1,0）,

把>1（—1,0）代入y=ax2-\-bx—3a（a#0）,

得。=a—b—3a=—b—2a,

1???

TQ=1,

0——b—2x1,

解得b=-2,

把b=—2,a=1代入y-ax1-\-bx—3Q(QW0),

得出g="-2/-3;

‘g="-26—3=(力—I)?—4,

則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4);

=/—26一3與力軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C,

六g=d—2力一3=(力-3)(劣+1)=0,

貝||Xi=-112=3,

AC(3,0);

②由①知g=(力一1)2—4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,—4)；

??,坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點(diǎn)。及￡的一段，分別記為6,上1,平移該膠片，使上1所在

拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)恰為y=x2—3,

：.函數(shù)g=〃—3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,—3),

即點(diǎn)。移動(dòng)的最短路程為(1,一4)與(0,—3)之間的距離(兩點(diǎn)之間線段最短)，

y/(1—0)2+(―4+3)2=A/2^,

???點(diǎn)Ci移動(dòng)的最短路程為V2.

⑵①依題意，把x=—1代入y—k(x+1),

得g=k(x+1)=fc(-1+1)=0,

直線l過點(diǎn)A;

②拋物線9=。/2+6/—30(o#0)經(jīng)過點(diǎn)4(—1,0),

吉巴4(—1,0)代入g=ax2-\-bx—3a(a#0),

得0=a-b—3a=-b—2a,

當(dāng)k=a=1時(shí)，

0-—b-2x,

解得b=-1,

y--^-x2—x—(6一I)?—2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,—2),

：」：y=y(2+1)=?+},

則直線，與拋物線刀圍成的封閉圖形如圖所示，

???

L

邊界上“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)有5個(gè)點(diǎn)：

③拋物線y—ax2+bx—3a(aW0)經(jīng)過點(diǎn)>1(—1,0),

才巴4(—1,0)代入g=ax2-\-bx—3a(aW0),

得0=a—b—3a=—b—2a,

?…爭(zhēng)

:.b=-13,

。久

-.-y=1^3x22-11a3x~3~9=1-3(x/-l2)-26,

???光點(diǎn)Q從點(diǎn)A彈出，沿直線，發(fā)射，若擊中拋物線，上的“美點(diǎn)”，就算發(fā)射成功,

.(x-1)2-26

,y=k(x+1)

k(x+1)(x-1)-26，

竽(x-1)2-26

k=

???c,%均為整數(shù)，拋物線乙在04,<2024的部分為

13o

-7-X(0-1)-261a

???當(dāng)力=0時(shí)，貝Iv=-=------------------------=12-26=-^-(不符合題意，舍去);

0+12402

竽X(1-1)2-26

-26

當(dāng)力=1時(shí)，則k=--------=---1-3-----（-符---合--題意）;

1+12

竽X(2-1)2-2639

當(dāng)力=2時(shí)，則k=-----2-----二-----工-----（--不--符合題意，舍去）;

2+132

竽x(3-1)2-26n

當(dāng)力=3時(shí)，則v=-=------------------------=^=0(符合題意);

K3+14U

???

1

—x（4-1）2-26

當(dāng)c=4時(shí)，則卜=-^----------------=—=^-（不符合題意，舍去）；

4+152

竽X（5-1）2-2672

當(dāng)劣=5時(shí)，則k=~^-----丁^-------=-^-=13（符合題意）；

以此類推，當(dāng)，為偶數(shù)時(shí)，k為普的整數(shù)倍，不是整數(shù)，不符合題意；

以此類推，當(dāng)e為奇數(shù)時(shí)，出為13的整數(shù)倍，是整數(shù)，符合題意；

.?.04542024含有等;1012（個(gè)），

.?.此時(shí)整數(shù)k的個(gè)數(shù)為1012個(gè).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要考查二次函數(shù)的圖象性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，新定義的應(yīng)

用，勾股定理，平移的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

8.（2024?丹東二模）定義:在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)R的圖象經(jīng)過的兩個(gè)頂點(diǎn)，則函數(shù)五是

Rt△4BC的“勾股函數(shù)”，函數(shù)R經(jīng)過直角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（/1，%）,（g，％），且工i（

①2,當(dāng)自變量多滿足叫&*2時(shí)，此時(shí)函數(shù)R的最大值記為Umax，最小值記為min，h=

——in，則九是Rt/\ABC的“DX”值.

2

已知:在平面直角坐標(biāo)系中，Rt/\ABC,AACB=90°,BC//y^.

⑴如圖，若點(diǎn)。坐標(biāo)為（1,1）,AC=BC=4.

①一次函數(shù)yi=—x+6是的''勾股函數(shù)”嗎？若是，說明理由并求出Rt/\ABC的“DX”值，若

不是,請(qǐng)說明理由；

②是否存在反比例函數(shù)於=&%#0）是電△ABC的“勾股函數(shù)”，若存在，求出A;值，不存在,說明理

X

由.

（2）若點(diǎn)人的坐標(biāo)為（2,2）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（1,m）,二次函數(shù)93=〃+bt+c是電ZVIBC的“勾股函

數(shù)”.

①若二次函數(shù)禽=/+W+c經(jīng)過4C兩點(diǎn)，則出△ABC的“。X"值九=1；

②若二次函數(shù)禽="+阮+c經(jīng)過A,8兩點(diǎn)，且與R力A4BC的邊有第三個(gè)交點(diǎn),求m的取值范圍；

③若二次函數(shù)禽="+b①+c經(jīng)過48兩點(diǎn)，且H力△4BC的“0X”值h=1ni?,求小的值.

???

【分析】（1）①根據(jù)“勾股函數(shù)”，“DX”值的定義即可求得答案;

②運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；

（2）①先求得C（1,2）,再運(yùn)用待定系數(shù)法求得y3=x2—3a;+4=（a;—^-）2++,1W/W2,此時(shí)函數(shù)為的最

大值為Umax=2,最小值為ymin=孑，即可求得答案；

2

②運(yùn)用待定系數(shù)法可得y3—x—（m+l）c+2機(jī),得出拋物線的對(duì)稱軸為：直線a:=-----（彳+1）-7九,1,再

結(jié)合題目條件列出不等式組即可求得答案；

③分兩種情況：點(diǎn)B在點(diǎn)A上方，即館>2,點(diǎn)B在點(diǎn)A下方，即機(jī)V2,分別討論即可.

【解答】解:（1）①一次函數(shù)%=—7+6是Rt/XABC的“勾股函數(shù)”，

由乙4cB=90°,口?！ㄉ齿S，點(diǎn)。坐標(biāo)為（1,1）,力。=BC=4,可得:

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5,1）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,5）,

（5,1）和（1,5）這兩點(diǎn)都在直線yi=—x+6上,

一次函數(shù)yi=-x+6是Rt/\ABC的“勾股函數(shù)”，

—1V0,

一次函數(shù)%=—力+6的函數(shù)值g隨力的增大而減小，

...當(dāng)14c45時(shí)，ymax=5,ymin=1,

：.Rt/\ABC的“DX”值為2:

②存在，理由如下：

?.?點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5,1）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,5）,

1x5=5x1=5,

.?.點(diǎn)A和點(diǎn)_8在同一個(gè)反比例函數(shù)統(tǒng)=2圖象上，

x

：.反比例函數(shù)切=立是Rt/\ABC的“勾股函數(shù)”，且k=5;

X

⑵①:點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,2）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,館），NACB=90°,BC//y軸,

AC（l,2）,

2

,/二次函數(shù)y3—x+bx+c經(jīng)過A,C兩點(diǎn)、,

(4+2b+c=2

1l+b+c=2

fb=~3

解得:

Ic=4

：.%=爐-3c+4=（2一,尸+「，1<±&2,此時(shí)函數(shù)y3的最大值為ymax=2,最小值為ymin=「,

14

1

y-y.

.卜_$max'min春，即RtAABC的"DX”式為當(dāng),

一一V28o

故答案為：

o

2

②二次函數(shù)y3=x-\-bx-\-c經(jīng)過A,B兩點(diǎn)、,

2=4+2b+c

：.將4(2,2),B(1,館)代入仍="+b/+C得:

m=l+b+c

=

解得:b~m-l

c=2m

2

y3=x—(m+1)T+2m,

—(m+1)_771+1

/.拋物線的對(duì)稱軸為：直線力=—

22

二次函數(shù)%=d+癡+c與A/A4B。的邊有第三個(gè)交點(diǎn),

.?.點(diǎn)B在人。上方，對(duì)稱軸在點(diǎn)A、C之間，

'm〉2

'1<等<2'

2<m<3;

m+1—m2+6m-1

③由為=爐一(m+l)x+2小，可得其頂點(diǎn)坐標(biāo)為:()，

24

第一?種情況，點(diǎn)B在點(diǎn)A上方，即m>2,

(i)當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)A在對(duì)稱軸左側(cè)，即絲>>2,解得

此時(shí)仍隨力的增大而減小，

***"max=VB=E，%iin=VA=2,

:.h=771—2

2，

.12，_7X1-2

,16m

解得:mi=m2=4,

(ii)當(dāng)對(duì)稱軸在點(diǎn)4和點(diǎn)。之間，即2VmV3,

此時(shí)利最大，頂點(diǎn)g值最小，

_-m2+6m-l

.?注2'

]G-—皿甘-1

；?正加=2，

解得：?7Zi=2+2(舍去)，7712=2-2(舍去)，

V2<m<3,

m19館2都舍掉;

第二種情況，點(diǎn)_B在點(diǎn)/.下方，即771V2,

⑴當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)4在對(duì)稱軸右側(cè)，即771羨L41,解得m&l,

此時(shí)仍隨力的增大而增大，

=VA=2,y[=外=瑕小，

**?"maxmn772???

,：.h2—m

2，

.12，_2-TTl

..——

162

解得：7Tzi=—4+4A/2(舍去)，177-2=-4—4A/2,

m=—4—4A/2;

(n)當(dāng)對(duì)稱軸在點(diǎn)4和點(diǎn)。之間，即1V館V2,

此時(shí)9A最大，頂點(diǎn)y值最小，

???h=------------------------,

o—m2+6m—l

.X2_2~4

,?16恒