2024秋新北師大版數(shù)學(xué)7年級(jí)上冊課件 ☆ 問題解決策略：歸納

★問題解決策略：歸納學(xué)習(xí)目標(biāo)1.歸納的步驟：由幾種特殊情形出發(fā)，進(jìn)而找到一般規(guī)律的過程。（重點(diǎn)）2.歸納是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，解決數(shù)學(xué)問題的一種重要策略，學(xué)會(huì)用歸納的方法，解決問題。（難點(diǎn)）課時(shí)導(dǎo)入“低多邊形風(fēng)格”是一種數(shù)字藝術(shù)設(shè)計(jì)風(fēng)格。它將整個(gè)區(qū)域分割為若干三角形，通過把相鄰三角形涂上不同顏色，產(chǎn)生立體及光影的效果。隨著三角形數(shù)量增加，效果更為斑斕絢麗(如圖所示)。

將長方形區(qū)域分割成三角形的過程:在長方形內(nèi)取一定數(shù)量的點(diǎn)，連同長方形的4個(gè)頂點(diǎn)，逐步連接這些點(diǎn)，保證所有連線不再相交產(chǎn)生新的點(diǎn)，直到長方形內(nèi)所有區(qū)域都變成三角形。當(dāng)長方形內(nèi)有35個(gè)點(diǎn)時(shí)，可分得多少個(gè)三角形？

如圖，當(dāng)長方形內(nèi)有1個(gè)點(diǎn)時(shí)，可分得4個(gè)三角形;當(dāng)長方形內(nèi)有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，可分得6個(gè)三角形。(1)直接研究“長方形內(nèi)有35個(gè)點(diǎn)”的情形，你遇到了什么困難?(2)哪些情形容易研究?從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?(3)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律正確嗎?你能給出合理的解釋嗎?知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)

用歸納策略解決問題

（1）先研究長方形內(nèi)有3個(gè)點(diǎn)、4個(gè)點(diǎn)的情形（如圖所示）。（2）幾種容易情形的數(shù)據(jù)如下表，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：長方形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)增加1，三角形的個(gè)數(shù)增加2。

（3）猜想是合理的。在長方形內(nèi)已經(jīng)有n個(gè)點(diǎn)的情況下，新增的一個(gè)點(diǎn)要么在某個(gè)三角形內(nèi)部，要么在某條線段上。當(dāng)新增的這個(gè)點(diǎn)在某個(gè)三角形內(nèi)部時(shí)，連接該點(diǎn)和三角形的頂點(diǎn)，原來的1個(gè)三角形分成3個(gè)小三角形，三角形的個(gè)數(shù)增加2;當(dāng)新增的這個(gè)點(diǎn)在某條線段上時(shí)，連接該點(diǎn)和它所在兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)，三角形的個(gè)數(shù)同樣增加2。

因此，當(dāng)長方形內(nèi)有35個(gè)點(diǎn)時(shí)，分得的三角形的個(gè)數(shù)是

4+2×34=72。（1）如果長方形內(nèi)有100個(gè)點(diǎn)呢？一般地，如果長方形內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)呢？（2）你還能提出并解決什么問題？（3）從容易的情形開始思考有什么好處?通過容易情形歸納一般性結(jié)論你有哪些經(jīng)驗(yàn)？當(dāng)長方形內(nèi)有1個(gè)點(diǎn)時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)為：4=4+2×（1-1）;當(dāng)長方形內(nèi)有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)為：6=4+2×（2-1）;當(dāng)長方形內(nèi)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)為：8=4+2×（3-1）;當(dāng)長方形內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)為：10=4+2×（4-1）;當(dāng)長方形內(nèi)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)為：12=4+2×（5-1）;……當(dāng)長方形內(nèi)有100個(gè)點(diǎn)時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)為：4+2×（100-1）；歸納：當(dāng)長方形內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)為：4+2×（n-1）。1.32024的個(gè)位數(shù)字是多少?用歸納策略解決下列問題解：31的個(gè)位數(shù)字是3；32的個(gè)位數(shù)字是9；33的個(gè)位數(shù)字是7；34的個(gè)位數(shù)字是1；35的個(gè)位數(shù)字是3；36的個(gè)位數(shù)字是9；…四個(gè)一組循環(huán)，2024÷4=506，則32024的個(gè)位數(shù)字是1。2.如圖，將一根繩子折成三段，然后按如圖所示方式剪開。剪1刀，繩子變?yōu)?段;剪2刀，繩子變?yōu)?段。(1)剪12刀，繩子變?yōu)槎嗌俣?(2)有可能正好剪得101段嗎?解：分析：因?yàn)閚=1時(shí),繩子為1+3×2=4（段）；n=2時(shí),繩子為1+3×2=7(段)；n=3時(shí),繩子為1+3×3=10(段)；n=4時(shí),繩子為1+3×4=13(段)；…n=12時(shí),繩子為1+3×12=37(段)；…所以剪n刀時(shí)，繩子為(1+3n)段。（1）剪12刀時(shí),繩子變?yōu)?+3×12=37(段)。（2）不可能；因?yàn)榧鬾刀時(shí)，繩子為(1+3n)段。101=1+100，100不是3的倍數(shù)，故不能直接剪得101段。3.由1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，…組成的三角形數(shù)陣如圖所示。(1)第10行的10個(gè)數(shù)的和是多少?解：（1）前9行共有1+2+3++9=45個(gè)數(shù)，第10行的第一個(gè)奇數(shù)為91,故第10行的10個(gè)數(shù)的和為91+93+95+97+99+101+103+105+107+109=1000。（2）(答案不唯一)如:根據(jù)三角形數(shù)陣可知,第1行1=13,第2行的數(shù)字和為3+5=8=23，第3行的數(shù)字和為7+9+11=27=33，第4行的數(shù)字和為13+15+17+19=64=43，第5行的數(shù)字和為21+23+25+27+29=125=53，…故第n行的數(shù)字和為n3。（2）你還能找到其他規(guī)律嗎？試一試4.某類容易化合物中前6種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型如下頁圖所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子。按照這一規(guī)律，第60種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中有多少個(gè)氫原子?解：由圖知，第1種化合物中氫原子有4個(gè)，從前6種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型，知?dú)湓拥膫€(gè)數(shù)依次增加2,依此規(guī)律可知第60種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中有4+(60-1)x2=122(個(gè))氫原子。隨堂小測1.將全體正偶數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣，按照如圖所示的排列規(guī)律，第10行第5個(gè)數(shù)是(

B

)A.98B.100C.102D.104B2.先觀察下列算式：32－12＝8×1，52－32＝8×2，72－52＝8×3，92－72＝8×4，…通過觀察歸納，第2

024個(gè)算式是(

B

)A.2

0232－2

0212＝8×2

024B.4

0492－4

0472＝8×2

024C.2

0252－2

0232＝8×2

024D.4

0472－4

0452＝8×2

024B3.如圖，點(diǎn)P從數(shù)0的位置出發(fā)，每次運(yùn)動(dòng)一個(gè)單位長度，運(yùn)動(dòng)一次到達(dá)數(shù)1的位置，運(yùn)動(dòng)二次到達(dá)數(shù)2的位置，運(yùn)動(dòng)三次到達(dá)數(shù)3的位置……依此規(guī)律運(yùn)動(dòng)下去，點(diǎn)P從0運(yùn)動(dòng)6次到達(dá)P1的位置，點(diǎn)P從0運(yùn)動(dòng)21次到達(dá)P2的位置……點(diǎn)P1，P2，P3，…，Pn在同一條直線上，則點(diǎn)P從0運(yùn)動(dòng)

次到達(dá)P20的位置。1

830

解析：由題意知點(diǎn)P從0運(yùn)動(dòng)6次到達(dá)P1，6＝1＋2＋3，運(yùn)動(dòng)21次到達(dá)P2，21＝1＋2＋3＋4＋5＋6，由此可得，運(yùn)動(dòng)到Pn，運(yùn)動(dòng)次數(shù)等于從1開始連續(xù)的正整數(shù)的和，最后一個(gè)加數(shù)為n×3，所以點(diǎn)P從0運(yùn)動(dòng)到P20運(yùn)動(dòng)了1＋2＋3＋4＋…＋60＝1

830(次)。5.用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚，按如圖的方式鋪地面：（1）觀察圖形，填寫下表：圖形①②③…黑色瓷磚的塊數(shù)4710…黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)91521…（2）依上推測，第n個(gè)圖形中黑色瓷磚的塊數(shù)為

?，黑白兩種瓷磚的總塊數(shù)為

。(用含n的代數(shù)式表示)(6n＋3)

（3n＋1）

（3）白色瓷磚與黑色瓷磚的總塊數(shù)可能是2

024嗎？若能，求出是第幾個(gè)圖形；若不能，請說明理由。解：不可能。令6n＋3＝2

024，

謝謝聆聽！最后送給我們自己1、教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于善于激勵(lì)喚醒和鼓舞。

2、把美德、善行傳給你的孩子們，而不是留下財(cái)富，只有這樣才能給他們帶來幸福。

3、每個(gè)人在受教育的過程當(dāng)中，都會(huì)有段時(shí)間確信：嫉妒是愚昧的，模仿只會(huì)毀了自己；每個(gè)人的好與壞，都是自身的一部分；縱使宇宙間充滿了好東西，不努力你什么也得不到；你內(nèi)在的力量是獨(dú)一無二的，只有你知道能做什么，但是除非你真的去做，否則連你也不知道自己真的能做。

4、既然習(xí)慣是人生的