第二章 函數(shù)與基本初等函數(shù) 章節(jié)總結(jié)（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第11講：第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)

章節(jié)總結(jié)

第一部分：典型例題講解

題型一：函數(shù)的定義域

谷+的定義域?yàn)?/p>

1.（23-24高一上?河北石家莊?期末）函數(shù)/（力=)

B.IT(1,+e)

2

D.—,+co

3

2-⑵-24高一上?云南昆明?期末）函數(shù)+的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（1,+8）B.（l,2）u（2,+oo）

C.（-oo,l）D.（0,2）u（2,+oo）

3.（23-24高一下?安徽安慶?開學(xué)考試）若函數(shù)八2'-1）的定義域?yàn)椋?1』，則函數(shù)〃腕2彳-1）

的定義域?yàn)?/p>

4.（23-24高一上?江蘇無(wú)錫?期末）已知函數(shù)〃x）=&4+ln（l-x）,則〃2x）的定義域

為.

5.（23-24高一上?湖北武漢?期末）已知函數(shù)〃x）的定義域?yàn)椋?5,4）,則函數(shù)

g（元）=3f（2x+1）+log?gx+j的定義域?yàn)?

題型二：函數(shù)的值域（最值）

1.（23-24高二上?廣東廣州?期末）函數(shù)〃力=2%+"-/的最大值是（）

A.75B.2-75C.2+石D.4

2.（多選）（23-24高一上?山東濰坊?期末）已知函數(shù)/*）的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?2,3］,

則下列函數(shù)的值域也為［-2,3］的是（）

A.y=f（x+l）B.y=f（x）+lC.y=/（-%）D.y=-f（x）

CCSX

3.（2023高三上?全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)〃尤）,的值域是______________.

2COSX+1

4.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）求函數(shù)y=Jx—l+j5—x的最大值.

x—1

5.(23-24高一上?吉林?期末)已知函數(shù)〃=-1左

II+k,%e[-l,o]

⑴％=-1時(shí)*求〃x)的值域;

⑵若“X)的最小值為4,求上的值.

6.(2023高三?全國(guó)?專題練習(xí))求函數(shù)〃彳卜』二1"的值域?

7.(23-24高一上?重慶南岸?階段練習(xí))(1)已知函數(shù)/(無(wú))=4〃+l)x2-g+的定義

域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)旭的取值范圍；

(2)已知函數(shù)/?(x)=J“無(wú)2+2*+1的值域?yàn)椋?,+e),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

題型三：求函數(shù)的解析式

1_/

1.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)〃17)=彳；("0),則/(X)=()

B.廠\-1(無(wú)/1)

(1)

4

c.7-干一1(尤/0)D.7~^T(xwi)

(I)(I)

x-￡j=Y+g,則函數(shù)〃x+l)的表達(dá)式為(

2.(23-24高一上?天津南開?期中)已知了

A.仆+1)=(尤+1丫+/7

(x+1)

C./(尤+1)=%?+2x+3D./(x+1)=x2+2x+l

3.（多選）（23-24高一上?山西太原?期中）已知函數(shù)/（?+1）=2尤+?-1,則（）

A.“3）=9B./（x）=2x2-3x（x>1）

C.7（%）的最小值為-1D.4%）的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)

4.（23-24高一上?湖北?期末）函數(shù)〃X）滿足〃可+/]￡|=0,請(qǐng)寫出一個(gè)符合題意的函

數(shù)〃尤）的解析式.

5.（2024高一?全國(guó)?專題練習(xí)）已知了⑺是二次函數(shù)且"0）=2,/（x+l）-/W=x-l,求

6.（23-24高一上?河北?階段練習(xí)）⑴已知/（?+1）=X+24,求〃x）的解析式;

（2）/（x）-2/（-x）=9x+2,求〃x）的解析式.

題型四：分段函數(shù)問題

「XI-ya_-y-1

1.（23-24高三上?安徽六安?期末）函數(shù)〃x）=一’，若/'（/+1）〈"-104）-〃5）,

UXX-,XX

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.{-1}B.（-oo,-l]

C.D.

2.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=]：一"，無(wú)；3,若現(xiàn)eR,使得

[log3x,x>3

/5）W10〃?+4病成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

C—

D.o[0,+??)

(44

3.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))定義域?yàn)镽的函數(shù)/(%)滿足/(x+2)=2〃x),當(dāng)％W0,2)

X2-x,XG[0,1)

時(shí)，〃尤)=，若xe[Y,-2)時(shí)，f(x)>L-L恒成立，則實(shí)數(shù)r的取值

-匕|,xe[l,2)

范圍是()

A./(%)=%aB.[-2,0)3—)

C.(F-2]5?！籇.[-2,1]

(5m—3}x—2m2+1,x<l?,”,,

4.(23-24高一下?廣西,開學(xué)考試)己知〃力=’,是R上的單調(diào)函數(shù),

logm%,x>l

則m的取值范圍是.

：-尤?。篬T'J無(wú)最大值,則實(shí)數(shù)0

5.(23-24高一下?上海?階段練習(xí))若函數(shù)〃x)=

\x-a\-2,xe(1,3J

的取值范圍

題型五：函數(shù)的單調(diào)性

1.(2024?陜西西安?二模)已知函數(shù)/(無(wú))=；尤2-2尤+lnx.若〃a+l)N/(2a-l),則〃的取

值范圍是()

A.(^30,—1]B.(-1,2]C.[2,+co)D.(了2

2.(2024,廣東?一模)已知=若/⑷<3,則()

A.ae(1,+co)B.4?e(-l,l)C.ae(-co,l)D.ae(0,l)

3.(2024?云南貴州?二模)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽且圖象關(guān)于>軸對(duì)稱，在[。,+?)上

是增函數(shù)，且/(-3)=0,則不等式/(x)<0的解是()

A.(-8,-3)B.(3,+8)

C.(-3,3)D.(-co,-3)u(3,+oo)

4.(2024高一?全國(guó)?專題練習(xí))定義R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)/⑴滿足對(duì)任意feR,若

f(t2-2。+/(2〃一口<0恒成立，求％的范圍____.

5.（2024?四川成都?二模）已知函數(shù)/（x）=3x-siiu,若〃+f一？）>0,則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為.

題型六：函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對(duì)稱性，周期性綜合應(yīng)用

1.（2024?山東煙臺(tái)?一模）已知定義在R上的奇函數(shù)了⑺滿足/（2-x）=f（x）,當(dāng)0W1時(shí)，

f（x）=2x-l,則〃logzl2）=（）

1111

A.—B.--C.—D.—

3432

2.（2024.河北滄州?一模）已知定義在R上的函數(shù)/（%）滿足：

2024

/（x）+f（2-x）=2,/（x）-/（4-x）=0,且〃0）=2.若QN*,則￡/?）=（）

i=\

A.506B.1012C.2024D.4048

3.（23-24高三下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）已知定義在R上的偶函數(shù)Ax），其周期為4,當(dāng)xc［0,2］

時(shí)，/（%）=2"-2,則（）

A.”2023）=0B./⑴的值域?yàn)?/p>

C./⑺在［4,6］上單調(diào)遞減D./⑺在［-6,6］上有8個(gè)零點(diǎn)

4.（多選）（23-24高一下.江西.開學(xué)考試）已知〃x）是定義在R上的奇函數(shù)，且

/（4-x）=〃x）,若對(duì)于任意的玉，XjG［2,4］,都有（占-X2）"（XI）-〃X2）］<。，則（）

A./（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（一2,0）中心對(duì)稱B.f（x）=f（x+8）

C./（X）在區(qū)間［-2,2］上單調(diào)遞增D./（尤）在x=66處取得最大值

5.（多選）（2024?吉林白山?二模）已知函數(shù)“X）的定義域?yàn)镽,其圖象關(guān)于（1,2）中心對(duì)

稱，若則（）

4

A.〃2-3x）+/（3x）=4B.f（x）=f（%-4）

20

C.7（2025）=T046D.^/（z）=-340

i=l

6.（23-24高三下?陜西?開學(xué)考試）已知定義在R上的函數(shù)/（x+1）為奇函數(shù)，“X+2）為偶

函數(shù)，當(dāng)xe［0,l］時(shí)，〃力=3丁一3x,則方程在［0,99］上的實(shí)根個(gè)數(shù)為.

題型七：不等式中的恒成立問題

4

1.(23-24高一上?重慶,階段練習(xí))已知函數(shù)/■(x)=x+Fg(x)=2'+a.若

V^e[l,3],3x2e[2,3],使得〃占)*卜)成立，則實(shí)數(shù)。的范圍是()

A.a<4B.a<3C.a<0D.a<l

2.(23-24高一上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí))已知正實(shí)數(shù)x。滿足2x+3y=l,且比對(duì)

任意乂丫恒成立，則實(shí)數(shù)r的最小值是.

3.(23-24高一下?上海金山?階段練習(xí))定義域?yàn)镽的函數(shù)了⑺滿足/(x+2)=2/(x),當(dāng)

,21

xe[0,2）時(shí)，若當(dāng)xe[Y,-2)時(shí)，不等式“X”：一+；恒成

立，則實(shí)數(shù)，的取值范圍是.

4.(23-24高一下?北京延慶?階段練習(xí))設(shè)。為常數(shù)，且a>l,?^/(x)=cos2x+2asinx-l,

若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有/(x)V/-4成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

5.(23-24高一上?北京?階段練習(xí))已知函數(shù)

/(x)=logj(x+l)+log](x-l),g(x)=%2-ax+6(aeR)

22

(1)求函數(shù)“X)的定義域.

⑵判斷函數(shù)“X)的奇偶性，并說明理由.

⑶對(duì)V匕e[百,+@,9?1,2],不等式恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

6.(23-24高一上?北京?期中)若二次函數(shù)滿足〃x+l)-/(x)=2x,且/(0)=1

(1)確定函數(shù)的解析式；

⑵若在區(qū)間上不等式/(x)>2x+m恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

題型八：不等式中的能成立問題

1.(23-24高一上?河南駐馬店?期末)已知定義在R上的函數(shù)〃x)=log2(2'+l)+(左+l)x,

且了(力-x是偶函數(shù).

⑴求/(X)的解析式;

(2)當(dāng)xw[-3,0]時(shí)，記”X)的最大值為g(x)=x2-2mx+2,若存在xw[2,4],使

g(x)<M,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

a—x

2.(23-24高一下?黑龍江大慶?開學(xué)考試)已知函數(shù)Ax)=logj「i,g(x)="4:2，+2+3

9/ILyJv

(1)若y=ig[g(x)]的值域?yàn)镽,求滿足條件的整數(shù)加的值；

(2)若非常數(shù)函數(shù)"X)是定義域?yàn)?-2,2)的奇函數(shù)，且％e[l,2),3^e[-l,l],

/(石)—心)〉-；，求加的取值范圍.

3.(23-24高一下?云南紅河?階段練習(xí))已知函數(shù)"X)=T(a>0,aw1)是定義在R上

的奇函數(shù).

(1)求6的值；

(2)若/⑴<0,3xe1,2,使得不等式+一切>0成立，求f的取值范圍.

4.(23-24高一下?河北石家莊?開學(xué)考試)已知幕函數(shù)/(x)="-4,w+4)?尤2"一在(_雙0)上

單調(diào)遞減.

⑴求函數(shù)〃x)的解析式；

(2)若/(l-2x)</(x+2),求x的取值范圍；

⑶若對(duì)任意天目1,2],都存在ae[l,2],使得+成立，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

5.(23-24高一上?江西新余?期末)已知函數(shù)/(x)=方弓的圖象經(jīng)過點(diǎn)

(1)求〃的值，判斷〃尤)的單調(diào)性并說明理由；

⑵若存在不等式/(尤2+.)+/(d+4)>0成立，求實(shí)數(shù)用的取值范圍.

題型九：函數(shù)的圖象

3x2+cosx

1.（23-24高三下?四川巴中?階段練習(xí)）以下最符合函數(shù)〃x）=的圖像的是（）

2'_2T

3.（2024,福建?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（x）=g/+cos無(wú)在［-私句上的圖象大致為（）

4.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模）在下列四個(gè)圖形中，點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，按逆時(shí)針方向沿周長(zhǎng)

為/的圖形運(yùn)動(dòng)一周，。、尸兩點(diǎn)連線的距離y與點(diǎn)P走過的路程尤的函數(shù)關(guān)系如圖，那么

點(diǎn)尸所走的圖形是（）

5.（233高一下廣東惠州?階段練習(xí)）函數(shù)/⑺二沾的圖象大致為（）

題型十：指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，募函數(shù)

1.（23-24高三上?天津南開?階段練習(xí)）已知a=e°」，^=l-21g2,c=2-log310,則。，b,

c的大小關(guān)系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

2.（2024?浙江?二模）若函數(shù)/a）=ln（e"+l）+改為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為（）

11

A.—B.0C.-D.1

22

3.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的

廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為

2.25g/m3,首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為2.21g/n?,第"次改良工藝后

排放的廢水中含有的污染物數(shù)量《滿足函數(shù)模型豌ieR,〃eN*），

其中2為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，彳為首次改良工藝后排放的廢水中含

有的污染物數(shù)量，”為改良工藝的次數(shù).假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過0.65g/n?時(shí)符

合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少為（）（參

考數(shù)據(jù)：想2。。.30,lg3合0.48）

A.12B.13C.14D.15

4.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)〃尤）=（2彳+4）2-1082（23川+2）是偶函數(shù)，則。的值為

（）

,1333

A.—B.-C.—D.-

8248

5.（2024?陜西西安?二模）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/⑺滿足/（x+2）=-〃x）,且當(dāng)0<%<2時(shí)，

/（x）=3'-lnx,貝lj/（211）=.

3X

6.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）若f（x）=log3（3+3*）+（x+dp是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=.

題型十一：函數(shù)中的零點(diǎn)問題

1.（2024,陜西?二模）已知七，々是函數(shù)/（?=（尤一2乂e，-2-l）-e（ei+l）的兩個(gè)零點(diǎn)，

則e*s=（）

A.1B.eC./D.e4

2.（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)y=/（x-2）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，對(duì)任意的xeR,

都有〃x+3）=/（xT成立，且當(dāng)xe[-2,0]時(shí)，f[x）=-x,若在區(qū)間（-2,10）內(nèi)方程

/（X）-log.（x+2）=0有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.（2,20）B.（2,2&]C.（2虎,2白）D.（20,26]

3.（2024?新疆烏魯木齊?二模）設(shè)x>0,函數(shù)、=/+尤-7,丫=2工+%-7,丫=1082%+；1-7的

零點(diǎn)分別為。，4c,貝U（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

4.（2024?陜西榆林?二模）已知函數(shù)〃X）=（尤2-4》+川[3-機(jī)-11恰有3個(gè)零點(diǎn)，則整數(shù)

m的取值個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2024?廣東?一模）已知Ovavl,函數(shù)/（工）=----（xwO）.

x

⑴求〃尤）的單調(diào)區(qū)間.

（2）討論方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù).

題型十二：函數(shù)模型的應(yīng)用

1.（2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測(cè)）從甲地到乙地的距離約為240km,經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到一輛汽

車每小時(shí)耗油量。（單位：L）與速度u（單位：km/h）（0<v<120）的下列數(shù)據(jù)：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

為描述汽車每小時(shí)耗油量與速度的關(guān)系，則下列四個(gè)函數(shù)模型中，最符合實(shí)際情況的函數(shù)模

型是（）

A.Q=0.5v+aB.Q=av+b

32

C.Q=av+bv+cvD.Q=k\ogav+b

2.（2024?四川宜賓?二模）根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，某市未來新能源汽車保有量基本滿足模型

N

y-7x

，其中y（單位：萬(wàn)輛）為第X年底新能源汽車的保有量，°為年增長(zhǎng)率，

N為飽和度，%為初始值.若該市2023年底的新能源汽車保有量是20萬(wàn)輛，以此為初始值，

以后每年的增長(zhǎng)率為12%,飽和度為1300萬(wàn)輛，那么2033年底該市新能源汽車的保有量

約為（）（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：lnO.887。-0.12,1110.30。-1.2）

A.65萬(wàn)輛B.64萬(wàn)輛C.63萬(wàn)輛D.62萬(wàn)輛

3.（23-24高一上?廣東東莞?期末）某企業(yè)從2011年開始實(shí)施新政策后，年產(chǎn)值逐年增加，

下表給出了該企業(yè)2011年至2021年的年產(chǎn)值（萬(wàn)元）.為了描述該企業(yè)年產(chǎn)值，（萬(wàn)元）

與新政策實(shí)施年數(shù)（年）的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型：x（

xy=kx+b,y=ka?>0,

且）（且分）選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，預(yù)測(cè)該

"1,y=klogax+ba>0,1,

企業(yè)2024年的年產(chǎn)值約為（）（附：1.II3a1.368）

年份20112012201320142015201620172018201920202021

年產(chǎn)值278309344383427475528588655729811

A.924萬(wàn)元B.976萬(wàn)元C.1109萬(wàn)元D.1231萬(wàn)元

4.（23-24高三上?福建泉州?期末）函數(shù)f（x）的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如（）

X-2-101235

2.31.10.71.12.35.949.1

A.于(x)=q*+b

B.f^-kxex+b

C.f^=k\x\+b

D.〃x）=%（x-l）2+6

5.（23-24高一上,湖北荊門?期末）環(huán)保生活，低碳出行，電動(dòng)汽車正成為人們購(gòu)車的熱門

選擇.某型號(hào)電動(dòng)汽車，在一段平坦的國(guó)道進(jìn)行測(cè)試，國(guó)道限速60km/h.經(jīng)多次測(cè)試得到，該

汽車每小時(shí)耗電量”（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的下列數(shù)據(jù)：

V0104060

M0132544007200

為了描述國(guó)道上該汽車每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇:

32

M（v）=^v+bv+cv,M（v）=1000^-|^+a,M{v）=3001ogav+b.

（1）當(dāng)0WVW60時(shí)，請(qǐng)選出你認(rèn)為最符合表格所列數(shù)據(jù)實(shí)際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)

解析式；

⑵現(xiàn)有一輛同型號(hào)汽車從A地駛到B地，前一段是40km的國(guó)道，后一段是50km的高速路，

若已知高速路上該汽車每小時(shí)耗電量N（單位：Wh）與速度的關(guān)系是：

A^（V）=V2-60V+6400（60<V<120）,則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？

6.（23-24高一上?云南昆明?期末）2023年9月17日，聯(lián)合國(guó)教科文組織第45屆世界遺產(chǎn)

大會(huì)通過決議，將中國(guó)"普洱景邁山古茶樹文化景觀”列入《世界遺產(chǎn)名錄》，成為全球首個(gè)

茶主題世界文化遺產(chǎn).經(jīng)驗(yàn)表明，某種普洱茶用95℃的水沖泡，等茶水溫度降至60℃飲用，

口感最佳.某科學(xué)興趣小組為探究在室溫條件下，剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)

間，每隔1分鐘測(cè)量一次茶水溫度，得到茶水溫度》（單位：℃）與時(shí)間（單位：分鐘）的

部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

時(shí)間/分鐘012345

水溫/℃95.0088.0081.7076.0370.9366.33

⑴給出下列三種函數(shù)模型：（^）y=at+b（a<0）,（2）y=a-b'+c（a>0,0<b<l）,③

y=log“（，+b）+cS>0,a>l）,請(qǐng)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型,

簡(jiǎn)單敘述理由，并利用前2分鐘的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式.

（2）根據(jù)（1）中所求模型，

（i）請(qǐng)推測(cè)實(shí)驗(yàn)室室溫（注：茶水溫度接近室溫時(shí)，將趨于穩(wěn)定）；

Cii）求剛泡好的普洱茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間（精確到0.1）.

（參考數(shù)據(jù)：電3。0.477,35。0.699）

第二部分：新定義題

1.(2