帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（專項(xiàng)訓(xùn)練）（解析版）-2025年高考物理一輪復(fù)習(xí)（新高考）

帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

I丸考情探究，

1.高考真題考點(diǎn)分布

題型考點(diǎn)考查考題統(tǒng)計(jì)

選擇題平行邊界有界磁場(chǎng)問題2024年廣西卷

選擇題四邊形邊界有界磁場(chǎng)問題2024年河北卷

選擇題圓形邊界有界磁場(chǎng)問題2024年湖北卷

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】高考對(duì)帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的考查較為頻繁，以選擇題和計(jì)算題中出現(xiàn)較多，選擇

題的難度一般較為簡(jiǎn)單，計(jì)算題的難度相對(duì)較大。

【備考策略】

1.理解和掌握帶電粒子在有界磁場(chǎng)中圓心和半徑確定的方法。

2.能夠在四種常見有界磁場(chǎng)和四種常見模型中處理帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題。

【命題預(yù)測(cè)】重點(diǎn)關(guān)注和熟練應(yīng)用各種有界磁場(chǎng)的基本規(guī)律。

IL考點(diǎn)梳理|?

一、洛倫茲力的大小和方向

1.定義：運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受到的力稱為洛倫茲力。

2.大小

(l)v|出時(shí)，F(xiàn)=0o

(2)vlB時(shí)，F(xiàn)—qvBo

(3)v與3的夾角為。時(shí)，F(xiàn)=qvBsin。。

3.方向

(1)判定方法：左手定則

掌心一磁感線從掌心垂直進(jìn)入。

四指---指向正電荷運(yùn)動(dòng)的方向或負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的反方向。

拇指——指向洛倫茲力的方向。

(2)方向特點(diǎn)：FIB,Five即下垂直于2、v決定的平面。(注意8和v可以有任意夾角)。

4.洛倫茲力的特點(diǎn)：洛倫茲力不改變帶電粒子速度的大小，只改變帶電粒子速度的方向，洛倫茲力對(duì)帶電

粒子不做功。

二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

1.若1，|山，則粒子不受洛倫茲力，在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

2.若vl3,則帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

3.半徑和周期公式

2

,v2mv

(1)由0VB=冽一，得尸=—o

rqB

2兀/2兀加

(2)由v—，得7=——

qB

三、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中圓心、半徑和時(shí)間的確定方法

X圓心的確定半徑的確定時(shí)間的確定

基

①與速度方向垂直的直線過圓心利用軌跡對(duì)應(yīng)圓心角?；蜍壽E長(zhǎng)

本利用平面幾何知識(shí)

②弦的垂直平分線過圓心AT

思求半徑度A求時(shí)間①f=一7；②t=—

③軌跡圓弧與邊界切點(diǎn)的法線過圓心2兀v

路

PL..；r—

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°、",--X

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圖:'、、；V±\xX^\X__

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例ix叨沙R-d：/R“°

歹R公、、/訝'X,

尸夕■?YU??■P^°x\..瓦、華夕Q、

<—d—?!6

常用解三角形法(如

(1)速度的偏轉(zhuǎn)角(P等于超所對(duì)的

p點(diǎn)速度垂

P、M點(diǎn)速某點(diǎn)的速度圖)：氏=_4—或由圓心角6

說線與弦的垂sin<9

度垂線交垂線與切點(diǎn)(2)偏轉(zhuǎn)角°與弦切角a的關(guān)系：

明直平分線交相="+(R—72求

點(diǎn)法線的交點(diǎn)夕<180°時(shí)，0=2a；

點(diǎn)

得

O>180°時(shí)，夕=360°—2a

2d

1考點(diǎn)精講I

考點(diǎn)一四類常見有界磁場(chǎng)

考向1直線邊界磁場(chǎng)

直線邊界，粒子進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性(如圖所示)

X

乙

Tjrm

圖甲中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=-=—

2Bq

圖乙中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間5—2V=li--1―2加口兀―e口

[71）[TijBqBq

e2am

圖丙中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=-T=—o

TIBq

典例引領(lǐng)

1.如圖，在邊界九W上方足夠大的空間內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。兩粒子;H核與；H核同時(shí)從“N

上尸點(diǎn)以相同的動(dòng)能沿紙面飛入磁場(chǎng)，又同時(shí)從另一位置。（圖中未畫出）飛出磁場(chǎng)。不計(jì)粒子重力及二

者間的相互作用。二者在尸點(diǎn)處速度方向間的夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】B

【詳解】粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示

2yim

兩粒子電荷量相等，質(zhì)量為嗎=2嗎由周期公式T=F可得%=2工兩粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，由

qB

/=可知眠=所以％=若二者飛入磁場(chǎng)的動(dòng)能相等，由r=絲=叵"可得々3rM=/

2萬2qBqB2

冗

時(shí)，三角形尸。02為等腰三角形，可知/尸。。2='兩粒子入射速度方向間的夾角為45。。故選B。

即時(shí)檢測(cè)

2.如圖所示，虛線兩側(cè)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)I和n均垂直于紙面向里，磁場(chǎng)n的磁感應(yīng)強(qiáng)度是磁場(chǎng)I的磁感應(yīng)強(qiáng)度

的2倍。質(zhì)量為“、電荷量為q的帶正電的粒子從虛線上P點(diǎn)沿與虛線成30。角的方向、以速度%垂直磁場(chǎng)

方向射入磁場(chǎng)I,從虛線上的0點(diǎn)第一次進(jìn)入磁場(chǎng)□；一段時(shí)間后粒子再次經(jīng)過0點(diǎn)，P點(diǎn)和Q點(diǎn)的距離

為2,不計(jì)粒子的重力，則磁場(chǎng)I的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和粒子兩次經(jīng)過0點(diǎn)的時(shí)間間隔分別為（）

XXXXX

XX【【XXX

XXXXX

I

XXXXX

qL%qL%

【答案】B

【詳解】粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可得，粒子在磁場(chǎng)I中運(yùn)動(dòng)的半徑為4=/由洛倫茲力提供

2

向心力得。。耳=加以解得4=》磁場(chǎng)口的磁感應(yīng)強(qiáng)度是磁場(chǎng)I的磁感應(yīng)強(qiáng)度的2倍，所以粒子在磁場(chǎng)n

rxqL

中運(yùn)動(dòng)的半徑為々=彳乙粒子在磁場(chǎng)I中運(yùn)動(dòng)的周期為工=一=—粒子在磁場(chǎng)n中運(yùn)動(dòng)的周期為

2%%

2兀尸itL152RL

T2=7=一兩次經(jīng)過Q點(diǎn)的時(shí)間間隔為，=lx/7]+2x/7；=——故B正確。

%%6一%

考向2平行邊界磁場(chǎng)

平行邊界存在臨界條件(如圖所示)

d=27?2d=Rsin0(/=/?(1+cos0)(/=/?(1-cosS')

甲乙丙丁

f)rnTjrn?

圖甲中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間fi=—,z2=-=—;

Bq2Bq

圖乙中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間?=—;

Bq

圖丙中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間k=G--=2wUjI"^；

[兀/[TiJBqBq

e2am

圖丁中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t*T=竺。

7iBq

典例引領(lǐng)

3.如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為3的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的兩條邊界線平行，邊界線之間的距離為d,磁場(chǎng)方向垂直紙面

向里，一重力忽略不計(jì)的帶電粒子從左側(cè)磁場(chǎng)邊界的C點(diǎn)以速度v垂直邊界線射入磁場(chǎng)，并從右側(cè)邊界的。

點(diǎn)射出磁場(chǎng)，射出磁場(chǎng)的速度方向與右側(cè)邊界線成60。角。下列說法正確的是()

A.粒子帶正電B.粒子軌跡半徑為"

C.粒子的比荷為蘇D.粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為零

【答案】C

【詳解】A.粒子以速度v垂直左側(cè)邊界線射入磁場(chǎng)，從右側(cè)邊界穿出磁場(chǎng)，根據(jù)左手定則，可知粒子帶負(fù)

電，選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

B.粒子軌跡如圖所示，由幾何知識(shí)可知，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角6=30。，為半徑，則

v2mv

c.帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力可得"8=加匕解得r=b其中r=2"可得

rHq

~—選項(xiàng)C正確;

m2dB

A2兀丫271m12TlmTid

D.粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間;菽7其中廠丁=而解得"丘石選項(xiàng)D錯(cuò)誤。故選C。

即時(shí)檢測(cè)

4.長(zhǎng)為L(zhǎng)間距也為乙的兩平行金屬板間有垂直向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為8,今有質(zhì)量

為〃八帶電量為q的正離子（重力不計(jì)）從平行板左端中點(diǎn)以平行于金屬板的方向射入磁場(chǎng)。欲使離子不

打在極板上，入射離子的速度大小應(yīng)滿足的條件是（）

----L----

xxxxT

B

*x?xxxL

Qv

?xxx

①”理②V＞迦③v＞始④幽〈”迦

4m4m4m4m4m

A.①②B.①③C.②③D.②④

【答案】A

【詳解】根據(jù)洛倫茲力提供向心力=可得廠=端若粒子從左側(cè)出磁場(chǎng)而不打在板上，貝什＜:解得

v〈等若粒子從右側(cè)出磁場(chǎng)擦著板邊緣射出磁場(chǎng)，設(shè)半徑為尺，則半徑滿足笈=（尺-4了+萬解得尺=32

4m24

由于粒子不打在極板上，因此有廠＞夫解得V＞咨綜上所述，入射離子的速度大小應(yīng)滿足的條件是V〈吟

4m4m

或v＞包冬。故選A。

帶電粒子在圓形邊界磁場(chǎng)中，等角進(jìn)出，沿徑向射入必沿徑向射出。如圖甲、乙所示。

甲乙

典例引領(lǐng)

5.如圖所示，在虛線所包圍的圓形區(qū)域內(nèi)有方向垂直于圓面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，從磁場(chǎng)邊緣的/點(diǎn)沿半徑方

向射入一束速率不等的質(zhì)子，不計(jì)質(zhì)子重力，這些質(zhì)子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的過程中（）

A.運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相等

B,速率越大的質(zhì)子運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)

C.軌跡半徑越大的質(zhì)子運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短

D.軌跡半徑越大的質(zhì)子向心加速度越小

【答案】C

【詳解】ABC.設(shè)質(zhì)子的軌跡半徑為R,圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為r,如圖所示

O,

v2mv27rR24加

由洛倫茲力提供向心力得4訪=機(jī)器可得尺=不可知v越大，則R越大；質(zhì)子的周期為？=-可

知周期與運(yùn)動(dòng)速度大小無關(guān)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為才==7其中tang==所以v越大，則R越大、6越小、f越小，

2712R

故AB錯(cuò)誤，C正確；

D.向心加速度為a=忙由火=詈得人竺^聯(lián)立可得。=地普則尺越大，向心加速度。越大，故D錯(cuò)誤。

RBqmm-

故選Co

即時(shí)檢測(cè)

6.如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)存在著垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，比荷相同的兩個(gè)粒子沿直徑48方向從/點(diǎn)

射入磁場(chǎng)中，分別從圓弧上的尸、。兩點(diǎn)射出，不計(jì)粒子重力，下列說法正確的是（）

S0￥"'16Q。

A.從P點(diǎn)射出的粒子和從。點(diǎn)射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷時(shí)間之比為3:1

B.從尸點(diǎn)射出的粒子和從。點(diǎn)射出的粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期之比為2:1

C.從尸點(diǎn)射出的粒子和從。點(diǎn)射出的粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率之比為1:3

D.從P點(diǎn)射出的粒子和從。點(diǎn)射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡半徑之比為3:1

【答案】D

【詳解】AB.作出帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

*

根據(jù)幾何關(guān)系可知，到達(dá)。點(diǎn)的粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的角度為120。，到達(dá)尸點(diǎn)的粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的角度為

60°,洛倫茲力提供粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有＞8=加匕結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)有7=也因此周期

rv

2兀加1TimT27rm

T=F兩粒子比荷相同且在同一磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，可得周期相同，可得，p=z7=丁不，

qB63qB33qB

則?。?1:2故AB錯(cuò)誤；

CD.設(shè)圓形磁場(chǎng)的半徑為五,根據(jù)幾何關(guān)系可得一G=tan30。，9R二tan30。解得不：'=3:1根據(jù)v=可得

。：%=3:1故C錯(cuò)誤，D正確。故選D。

1.三角形邊界磁場(chǎng)：帶電粒子速度的大小不同，運(yùn)動(dòng)半徑不同，出射點(diǎn)的位置也不同。

/儼：xX

1x5x；

XXx；

/小^、、\7^xxi

x/XXxlX；

2.四邊形邊界磁場(chǎng)：帶電粒子射入磁場(chǎng)的初速度方向與邊界垂直,速度不同，對(duì)應(yīng)不同的粒子軌跡；粒子

速度不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度可調(diào)時(shí)，也可對(duì)應(yīng)類似軌跡。

典例引領(lǐng)

7.如圖所示，在直角三角形a6c區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外，Na=30。。一質(zhì)子;H以v（）

的速度沿平行于ab的方向從。點(diǎn)射入三角形區(qū)域，經(jīng)時(shí)間/從ON的中點(diǎn)〃離開磁場(chǎng)，若一e粒子;He以

%的速度從。點(diǎn)沿相同的方向射入，則a粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）

ay1-----二--\b

—??

O\......................................;

、、、s???1

M、、、、、、、.?|

、'、?、！

N、七

A.更B.tC.6tD.2t

2

【答案】D

【詳解】根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得qv0B=加瓦解得r=g設(shè)質(zhì)子出在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為4，則a粒

rqB

子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)半徑為弓=2弓根據(jù)幾何關(guān)系可知。粒子從N點(diǎn)離開磁場(chǎng)，根據(jù)題意作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡

60°12〃■尸nV

質(zhì)子;H在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1===X—^=蕓a粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

3606%3%

_60°丁,_1義_兀丫？_2%。

2t故選Do

360°6%3%3v0

即時(shí)檢測(cè)

8.如圖所示，邊長(zhǎng)為心的正方形仍cd區(qū)域內(nèi)分布磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。

從cd邊的中點(diǎn)P處發(fā)射速率不同、質(zhì)量為機(jī)、電荷量為4的帶正電粒子，粒子沿紙面與Pd成30。的方向射

入該磁場(chǎng)區(qū)域，不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用。已知某一速率的粒子恰好能從船邊離開磁場(chǎng)，則該

a

A.iB,，=幽C.vWD.v工

3m4mmm

【答案】A

【詳解】已知粒子恰好能從從邊離開磁場(chǎng)，可知軌跡與6c邊相切，作出軌跡如圖所示

根據(jù)幾何關(guān)系有R+Rsin30。=4解得尺=與由洛倫茲力提供向心力可得qvB=m±聯(lián)立解得v=翌故選A。

23R3m

考點(diǎn)精講I

考點(diǎn)二四類常見模型

考向1放縮圓模型用

粒子源發(fā)射速度方向一定，速度大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)

速度方向一定，速度

時(shí)，這些帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑隨速度的變

大小不同

化而變化

如圖所示（圖中只畫出粒子帶正電的情景），速度V越大，運(yùn)動(dòng)半徑也

越大?？梢园l(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場(chǎng)后，它們運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在

適用條件

垂直初速度方向的直線PP上

軌跡圓圓心共線X爭(zhēng),XXXX

XXXX

/'、、

X/X3--次、、X、X

XX就?、》飛：X

'、、，。人

xXx'vX&x

xx'W咬&一J

以入射點(diǎn)尸為定點(diǎn)，圓心位于PP直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件，

界定方法

這種方法稱為“放縮圓”法

典例引領(lǐng)

9.如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為2的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，圖中虛線為磁場(chǎng)的邊界，其中曲段是半

徑為R的四分之一圓弧，ab、cd的延長(zhǎng)線通過圓弧的圓心，Ob長(zhǎng)為R。一束質(zhì)量為機(jī)、電荷量為q的粒子,

在紙面內(nèi)以不同的速率從。點(diǎn)垂直仍射入磁場(chǎng)，已知所有粒子均從圓弧邊界射出，其中M、N是圓弧邊界

上的兩點(diǎn)，不計(jì)粒子間的相互作用和重力。則下列分析中正確的是（）

d：XXXXXX

B

XXXXXX

XXXXXX

「XXXXX

x乎xx

b~'O一萬

A.粒子帶負(fù)電

B.從M點(diǎn)射出的粒子的速率一定大于從N點(diǎn)射出的粒子的速率

C.從M點(diǎn)射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間一定小于從N點(diǎn)射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

2jim

D.所有粒子所用最短時(shí)間為黃

3qB

【答案】D

【詳解】A.粒子做逆時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)左手定則可知粒子帶正電，A錯(cuò)誤;

B.根據(jù)=機(jī)匕得v=幽從M點(diǎn)射出的粒子的軌跡半徑更小，則速率更小，B錯(cuò)誤;

rm

。9m

CD.根據(jù)/=丁7==粒子運(yùn)動(dòng)的周期不變，圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)，由幾何關(guān)系可知，

2兀qB

弦切角等于圓心角的一半，當(dāng)弦切角越小時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短，如圖所示，當(dāng)弦與歷圓弧邊界相切時(shí)，弦切

角最小，等于R,由幾何關(guān)系可知，此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角為120。，則最短時(shí)間為

120°2Tlm27cm

,min標(biāo)=近〃、N兩點(diǎn)具體位置未知，則無法判斷從〃、N點(diǎn)射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

的大小關(guān)系，C錯(cuò)誤，D正確。故選D。

d\xxxxxx

xxXX"XX

XXXXXX

即時(shí)檢測(cè)

10.一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8,方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，ab=cd=2L,

bc=de=L,一束;He粒子，在紙面內(nèi)從。點(diǎn)垂直于必射入磁場(chǎng)，這些粒子具有各種速率。不計(jì)粒子之間

的相互作用。已知汨e粒子的質(zhì)量為3冽，電荷量為夕。以下正確的為（）

粒子能到達(dá)de中點(diǎn)

從be邊界出的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等

在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其運(yùn)動(dòng)率為丫=浮

171YYI

D.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為7f

【答案】C

【詳解】A.；He粒子在磁場(chǎng)中做勻圓周運(yùn)動(dòng)軌跡圖如圖所示，由圖可知，粒子要在6cde區(qū)域運(yùn)動(dòng)，在經(jīng)e

點(diǎn)時(shí)軌道半徑最大，此時(shí)粒子沒能到達(dá)de中點(diǎn)，因此粒子不能到達(dá)de中點(diǎn)，A錯(cuò)誤；

d

BC.設(shè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡過6cde上的某一點(diǎn)g,。為粒子做圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，當(dāng)/。的最大時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)

軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，由幾何關(guān)系可知，當(dāng)c點(diǎn)與g點(diǎn)重合時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng),

即從北邊界出的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間不相等。如圖所示，設(shè)運(yùn)動(dòng)半徑為R,由幾何關(guān)系則有

,5

（2￡-及）2+不=尺2解得尺=^乙已知汨6粒子的質(zhì)量為3加，電荷量為q,其在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有

?該=3加上~解得曠=’?入,B錯(cuò)誤，C正確；

R12m

2TIR671m

D.汨e粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T=----=一｝在AObc中，設(shè)/60c為a,NaOc為仇由幾何關(guān)系可得

vqB

L4

tancc----=一

3T3可得a=53。6=180。-53。=12T則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為

-L

4

360°—127°「233；233%加

----------1=----1=------,D錯(cuò)誤。故選C。

360°60qB

考向2旋轉(zhuǎn)圓模型

粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們?cè)诖艌?chǎng)中做

勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若射入初速度為W，則圓周運(yùn)動(dòng)半徑7?=吧，如圖所示

qB

速度大小

適用

一定，方

條件

向不同p

帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以入射點(diǎn)

軌跡圓圓心共圓

尸為圓心、半徑R=處的圓上

qB

將一半徑尺=處的圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子的臨界條件，這種方

界定方法qB

法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法

典例引領(lǐng)

11.如圖所示，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，尸為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)，大量相同

的帶正電的粒子，在紙面內(nèi)沿各個(gè)方向以相同的速率從尸點(diǎn)射入磁場(chǎng)，這些粒子射出磁場(chǎng)時(shí)的位置均位于

PQ圓弧上，且0點(diǎn)為最遠(yuǎn)點(diǎn)。已知尸。圓弧長(zhǎng)等于磁場(chǎng)邊界周長(zhǎng)的四分之一，不計(jì)粒子重力和粒子間的相

互作用，則該圓形磁場(chǎng)中有粒子經(jīng)過的區(qū)域面積為（）

Q

p

n3d2C（3%一2放（3萬+2）及21d2

A.-TTR-B.------C.-------D.-TIR

4442

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓半徑為『，由于。點(diǎn)為最遠(yuǎn)點(diǎn)。且圓弧長(zhǎng)等于磁場(chǎng)邊

界周長(zhǎng)的四分之一，則有.=17e粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示

2

XXX

p

由幾何關(guān)系可得，該圓形磁場(chǎng)中有粒子經(jīng)過的區(qū)域面積，即圖中陰影的面積為

S=*+%(2療目產(chǎn)故選九

即阻拽測(cè)

12.如圖所示，在直角坐標(biāo)系X。第一象限內(nèi)x軸上方存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)

磁場(chǎng)，在y軸上S處有一粒子源，它可向右側(cè)紙面內(nèi)各個(gè)方向射出速率相等的質(zhì)量均為a,電荷量均為q的

同種帶電粒子，所有粒子射出磁場(chǎng)時(shí)離S最遠(yuǎn)的位置是x軸上的尸點(diǎn)。已知粒子帶負(fù)電，OP=^OS=^d,

A.粒子的速度大小為第

2m

7rm

B.從。點(diǎn)射出的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

qB

C.從x軸上射出磁場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間與最短時(shí)間之比為9：2

D.沿平行x軸正方向射入的粒子離開磁場(chǎng)時(shí)的位置到。點(diǎn)的距離為g

2

【答案】C

【詳解】A.由題意可知，帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子射出磁場(chǎng)時(shí)離S最遠(yuǎn)的位置是x軸上的

尸點(diǎn)，可以畫出其軌跡工，如圖所示，可知SP為直徑，由幾何關(guān)系則有

y

v=V得T，A錯(cuò)誤;

B粒子的運(yùn)動(dòng)周期7=T得八箸從。點(diǎn)射出的粒子如軌跡3'由幾何知識(shí)可得軌跡3所對(duì)應(yīng)的圓心

TJIYYI

角為6。。，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間'=石=碰故B錯(cuò)誤;

C.從x軸上射出磁場(chǎng)的粒子中，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子為運(yùn)動(dòng)軌跡與x軸相切的粒子（軌跡2）,對(duì)應(yīng)的圓心

3

角為270。，得4=工7運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短的粒子為從原點(diǎn)飛出的粒子（軌跡3）,此時(shí)對(duì)應(yīng)的圓心角為60。，得到

「卷所以不『9:2故C正確;

D.沿平行x軸正方向射入的粒子，圓心在原點(diǎn)處，運(yùn)動(dòng)軌跡為四分之一圓，離開磁場(chǎng)時(shí)的位置到。點(diǎn)的距

離為d,故D錯(cuò)誤。故選C。

考向3平移圓模型

粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點(diǎn)不同但在同一直線的帶電粒子進(jìn)入勻

強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若入射速度大小為Vo，則半徑R=

速度大小一

定，方向一—,如圖所示

適qB

定，但入射

用XXXXXXX

點(diǎn)在同一直

條

線上X

件

軌跡圓圓心帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在同一直線上，該直線與所有入射點(diǎn)的

共線連線平行

界定方法將半徑尺=竺2的圓進(jìn)行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫“平移圓”法

qB

典例引領(lǐng)

13.如圖所示，在xQy平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，CM與x軸的夾角為37。，CM足夠長(zhǎng)，04與x軸之間存在垂直

紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8=篝，在04上分布著足夠多的粒子源，可以向磁場(chǎng)中發(fā)射速

3a

度大小為%,方向垂直于。4的帶電粒子，帶電粒子的質(zhì)量為〃?，電荷量為+4（4>0）,則帶電粒子能打到x

軸距坐標(biāo)原點(diǎn)最遠(yuǎn)位置的橫坐標(biāo)為（）

A.3Z0B.4Z0C.5L0D.6L0

【答案】C

【詳解】帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過程中洛倫茲力提供向心力有qv0B=絲上將磁感應(yīng)強(qiáng)度B二魯代入解得

rsqL。

r=34。/上的粒子源向外發(fā)射的所有帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡為一平移圓，如圖（a）所示

圖（a）

根據(jù)幾何關(guān)系可得當(dāng)粒子半徑與。/垂直時(shí)，打到X軸上的P點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)最遠(yuǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系得

OP==-^―=54另外要注意本題中帶電粒子打的最遠(yuǎn)的距離不是軌跡與x軸相切時(shí)，如果相切時(shí)

sm37sin37

作出軌跡圖如圖（b）所示

0x

圖（b）

根據(jù)幾何關(guān)系有。。=扁^高所以。點(diǎn)不是距離坐標(biāo)原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)。故選c。

14.如圖所示，在直角三角形。歷區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為瓦大量均勻分

布在仍邊的同種帶電粒子（質(zhì)量為相，電荷量為+q）以相同的速度沿紙面垂直于ab邊射入場(chǎng)區(qū)，結(jié)果有

一半的粒子從爐邊射出。已知6c邊長(zhǎng)為6c與ac的夾角為60。，不計(jì)粒子的重力及粒子之間的相互

作用。下列說法正確的是（）

A.粒子的入射速度為警

4m

B.粒子的入射速度為畫也

12m

冗m

C.從be邊射出的粒子在磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為「^

3qB

D.若射入的粒子為負(fù)電荷，要使一半的粒子射出爪，則粒子的入射速度至少為走也

6m

【答案】B

【詳解】AB.如圖所示

設(shè)d為必的中點(diǎn)，滿足條件的臨界情況為，從“射入的粒子軌跡與6c相切，軌道半徑為，/,根據(jù)幾何關(guān)系

得ab=Lcos300=?L,34根據(jù)牛頓第二定律得"出=冽田聯(lián)立得匕=叵處故A錯(cuò)誤，B正確；

1

22rx12m

C.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間為，=三丁=￡*一丁=與已故c錯(cuò)誤；

333qB3qB

D.帶負(fù)電粒子從d點(diǎn)射入磁場(chǎng)臨界情況的軌跡如圖所示

b

由幾何關(guān)系得居=心工根據(jù)牛頓第二定律得。23=加五解得％=無配故D錯(cuò)誤；故選B。

?4r24m

考向4磁聚焦模型

1.磁發(fā)散：如圖1所示，有界圓形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為8,圓心為。，從P點(diǎn)有大量質(zhì)量為〃?、電荷量為4

的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力，如果正粒子軌跡圓半徑與有

界圓形磁場(chǎng)半徑相等，則所有粒子射出磁場(chǎng)的方向平行。

2.磁匯聚：如圖2所示，大量的同種帶正電的粒子，速度大小相同，平行入射到圓形磁場(chǎng)區(qū)域，如果軌跡

圓半徑與磁場(chǎng)圓半徑相等(R=r),則所有的帶電粒子將從磁場(chǎng)圓的最低點(diǎn)B點(diǎn)射出。

P

圖1圖2

典例引領(lǐng)

■-—_______

15.帶電粒子流的磁聚焦是薄膜材料制備的關(guān)鍵技術(shù)之一。磁聚焦原理如圖，真空中半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)

存在垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一束寬度為2八沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)的電子流射入該磁場(chǎng)后聚焦于坐標(biāo)原點(diǎn)。。

已知電子的質(zhì)量為加、電荷量為e、進(jìn)入磁場(chǎng)的速度為v,不計(jì)電子重力及電子間的相互作用，則磁感應(yīng)強(qiáng)

度的大小為()

mv

D.--------------

er

【答案】C

【詳解】由題可知，從左側(cè)任選一束電子流/經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，通過坐標(biāo)原點(diǎn)。，如圖所示

由于電子沿水平方向射入磁場(chǎng)，半徑與速度方向垂直，可知/Q〃O0,由幾何關(guān)系可知，平行四邊形

為菱形，因此電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑火=/，又由于ev2=對(duì)可得磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為

R

B=—故選Co

er

即阻拽測(cè)

16.如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，是一豎直放置的感光板。從

圓形磁場(chǎng)最高點(diǎn)P以速度V垂直磁場(chǎng)射入大量的帶正電的粒子，且粒子所帶電荷量為4、質(zhì)量為〃2。不考慮

粒子間的相互作用力，關(guān)于這些粒子的運(yùn)動(dòng)，下列說法中正確的是（）

P|

Z-x'Tx'X|

/垢\§

2x.xx\I

\xxOxx/1

\\

XX/I

"-------------1

A.只要對(duì)著圓心入射，出射后均可垂直打在"N上

B.對(duì)著圓心入射的粒子，其出射方向的反向延長(zhǎng)線不一定過圓心

C.對(duì)著圓心入射的粒子，速度越大在磁場(chǎng)中通過的弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，時(shí)間也越長(zhǎng)

D.只要速度滿足v=剪，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在上

m

【答案】D

【詳解】AB.帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，根據(jù)幾何知識(shí)可知，對(duì)著圓心入射的粒子，其出射方向的反向

延長(zhǎng)線也一定過圓心，只有軌道半徑為7?的粒子出射后可垂直打在上,，故AB錯(cuò)誤；

v2mv

C.由洛倫茲力作為向心力可得08=加匕可知r=:對(duì)著圓心入射的粒子，速度越大，在磁場(chǎng)中軌跡半徑

rqb

越大，弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角越小，由才=「7可知，運(yùn)動(dòng)時(shí)間f越短，，故C錯(cuò)誤；

2%

D.當(dāng)速度滿足v=避，粒子的軌跡半徑為片R入射點(diǎn)、出射點(diǎn)、。點(diǎn)與軌跡的圓心構(gòu)成菱形，射出磁場(chǎng)

m

時(shí)的軌跡半徑與最高點(diǎn)的磁場(chǎng)半徑平行，如圖所示

粒子的速度一定垂直打在板上，故D正確。故選D。

考點(diǎn)精講|

考點(diǎn)三帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)多解問題

類型分析圖例

受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電荷，也可能帶負(fù)

電荷，在相同的初速度下，正、負(fù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡Xx?x\

帶電粒子

不同，形成多解X片金H/'xJ

電性不確定

如圖，帶電粒子以速度垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如帶正電，

V、、/

其軌跡為。；如帶負(fù)電，其軌跡為6

在只知道磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度方向，

一

磁場(chǎng)方向此時(shí)必須要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定而形成多解

不確定如圖，帶正電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若2垂直

紙面向里，其軌跡為。，若3