導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-函數(shù)的極值問題（5題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題13導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用--函數(shù)的極值問題5題型分類

彩題生江總

題型1:函數(shù)極值、極值點的辨識

題型5：根據(jù)函數(shù)的極值點求參數(shù)

、/

題型2：函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）的圖象與極值（點）關(guān)系

專題13導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一函數(shù)的極值

問題5題型分類

題型4：根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)

/\題型3：求巳知函數(shù)的極值、極值點

彩先酒寶庫

1、函數(shù)的極值

函數(shù)"X）在點X。附近有定義，如果對％附近的所有點都有/'（均＜/（%）,則稱/（X。）是函數(shù)的一個極大值，

記作場大值=/（與）.如果對飛附近的所有點都有了（無）＞/（/），則稱/（%）是函數(shù)的一個極小值，記作

y極小值=/5）.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱％為極值點.

求可導(dǎo)函數(shù)/a）極值的一般步驟

（1）先確定函數(shù)/（X）的定義域；

（2）求導(dǎo)數(shù)/''（X）；

（3）求方程尸（x）=0的根;

（4）檢驗了'（x）在方程（（元）=。的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那

么函數(shù)＞=/（尤）在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)y=/（x）在

這個根處取得極小值.

注：①可導(dǎo)函數(shù)f（x）在點X。處取得極值的充要條件是：％是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，即（（%）=。，且在與左側(cè)

與右側(cè)，/'（X）的符號導(dǎo)號.

②;（%）=0是％為極值點的既不充分也不必要條件，如/（x）=d,/（0）=0,但%=0不是極值點.另外，

極值點也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)/（x）=W，在極小值點毛=0是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：％為可導(dǎo)函

,

數(shù)/⑺的極值點n/（%）=。；但/（x0）=oX-^o為了3的極值點.

彩他題海籍

（一）

函數(shù)極值、極值點的辨識

解答此類問題要先搞清楚所給的圖象是原函數(shù)還是導(dǎo)函數(shù)的，對于導(dǎo)函數(shù)的圖象，重點考查在哪個區(qū)間上

為正，哪個區(qū)間上為負(fù)，在哪個點處與X軸相交，在該點附近的導(dǎo)數(shù)值是如何變化的，若是由正值變?yōu)樨?fù)

值，則在該點處取得極大值；若是由負(fù)值變?yōu)檎?，則在該點處取得極小值.

題型1:函數(shù)極值、極值點的辨識

1-1.（2024?遼寧）設(shè)函數(shù)“X）滿足//a）+2#（x）=C,〃2）=U則x>0時，/⑺

x8

A.有極大值，無極小值B.有極小值，無極大值

C.既有極大值又有極小值D.既無極大值也無極小值

1-2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知e為自然對數(shù)的底數(shù),設(shè)函數(shù)“x）=（e*-小x-1）”（左=1,2）,則.

A.當(dāng)k=l時/（x）在x=l處取到極小值B.當(dāng)k=l時J（x）在x=l處取到極大值

C.當(dāng)k=2時,/（x）在x=l處取到極小值D.當(dāng)k=2時,/（x）在x=l處取到極大值

2

1-3.（2024?陜西）設(shè)函數(shù)f（x）=-+lnx,則（）

x

A.x=T為f（x）的極大值點B.x=g為f（x）的極小值點

C.x=2為f（x）的極大值點D.x=2為f（x）的極小值點

題型2:函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）的圖象與極值（點）關(guān)系

2-1.（2024?重慶）設(shè)函數(shù)Ax）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/'（%）,且函數(shù)>=（1-尤）-⑺的圖像如題（8）圖

所示，則下列結(jié)論中一定成立的是

A.函數(shù)有極大值/⑵和極小值一⑴

B.函數(shù)/⑺有極大值〃-2）和極小值/⑴

C.函數(shù)/⑺有極大值〃2）和極小值/（-2）

D.函數(shù)人幻有極大值/（-2）和極小值/⑵

2-2.（2024高二下?黑龍江鶴崗?期中）函數(shù)〃尤）的定義域為,導(dǎo)函數(shù)/⑺在（凡。）內(nèi)的圖像如圖所示,

則函數(shù)/'（x）在（a,匕）內(nèi)極小值點的個數(shù)是（）

2-3.（2024高二上?陜西漢中?期末）定義在區(qū)間-；,4上的函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)/（X）的圖象如圖所示，則

A.函數(shù)在區(qū)間（1,4）上單調(diào)遞增

B.函數(shù)在區(qū)間（L3）上單調(diào)遞減

C.函數(shù)/（X）在x=l處取得極大值

D.函數(shù)/'（X）在x=0處取得極大值

24（2024高三上?四川自貢?階段練習(xí)）已知函數(shù)y=f（x）的定義域為（。/）,導(dǎo)函數(shù)y=/'（x）在（。力）內(nèi)的

圖像如圖所示，則函數(shù)y=/（x）在（。,6）內(nèi)的極小值有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

彩健題海籍

(二)

求已知函數(shù)的極值、極值點

1、因此，在求函數(shù)極值問題中，一定要檢驗方程((無)=。根左右的符號，更要注意變號后極大值與極小值

是否與己知有矛盾.

2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時，導(dǎo)函數(shù)正處于零點，歸納起來一句話：原極導(dǎo)零.這個零點必須穿越無軸，否則不

是極值點.判斷口訣：從左往右找穿越(導(dǎo)函數(shù)與x軸的交點)；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大.

注：(1)可導(dǎo)函數(shù)y=/(x)在點xo處取得極值的充要條件是廣(初)=0,且在尤o左側(cè)與右側(cè)廣(x)的符號不同；

(2)若/(x)在(a,b)內(nèi)有極值，那么大龍)在(a,6)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有

極值.

題型3:求已知函數(shù)的極值、極值點

13

3-1.(2024?重慶)設(shè)函數(shù)/(x)=alnx+h+=x+l,其中在“eR,曲線V=/(元)在點d"⑴)處的切線垂直

2x2

于y軸

(團)求a的值；

(0)求函數(shù)/(X)極值.

3-2.(2024高二下?重慶巫溪?期中)已知函數(shù)〃乃=或3+巾+1).

(1)若曲線y=/(x)在點(2,/(2))處的切線與x軸平行，求a的值；

(2)求函數(shù)的極值.

3-3.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)=taiir+ln(l-x),xe［求的極值；

3-4.(2024?廣西南寧?一模)設(shè)函數(shù)/(x)=(x—a)(x-b)(x-c),a,b,ccR,/'(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù).

⑴當(dāng)a=/,=c=0時，過點尸(1,0)作曲線y=/(x)的切線，求切點坐標(biāo)；

(2)若出b,b=c,且和尸(x)的零點均在集合，，-2,g1中，求“X)的極小值.

3-5.(2024?河北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(元)=4-〃ln(x+Z?).

(1)證明：當(dāng)。＞。力=0時，/(、)有唯一的極值點為方,并求/(%)取最大值時％的值；

（2）當(dāng)…時，討論極值點的個數(shù).

彩健藕祕籍（二）

根據(jù)函數(shù)的極值、極值點求參數(shù)

根據(jù)函數(shù)的極值（點）求參數(shù)的兩個要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用

待定系數(shù)法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進行驗證.

題型4:根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)

1VTJ1

4-1.（2024高三上?四川綿陽,階段練習(xí)）已知函數(shù)/（尤）=:尤3

326

⑴若『（X）在g,2）上存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)機的取值范圍；

⑵若“X）在區(qū)間（根,內(nèi)）上有極小值，求實數(shù)機的取值范圍.

4-2.（2024?湖南?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃力=加+笈在x=l處取得極大值4,則a-八（）

A.8B.-8C.2D.-2

4-3.（2024高三下?貴州?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=；/一。+。）尤+ahx在x=a處取得極小值，則實數(shù)a的

取值范圍為（）

A.[1,+co）B.（l,+oo）C.（0,1]D.（0,1）

4-4.（2024?陜西商洛?三模）若函數(shù)/。）=彳3+#+g+6）x無極值，則。的取值范圍為（）

A.[-3,6]B.（-3,6）

C.（^50,—3]u[6,+oo）D.（~°°,—3）U（6,+oo）

4-5.（2024高三下?湖南長沙?階段練習(xí)）函數(shù)8（彳）=署在區(qū)間上，口）（feN*）上存在極值，貝心的最大值

為（）

A.2B.3C.4D.5

題型5：根據(jù)函數(shù)的極值點求參數(shù)

5-1.（2024高三上?遼寧鞍山?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=2e=l-2x-加,a為實數(shù).

⑴a=0時,求/（X）的極小值點；

（2）若x=0是/（x）的極小值點，求a的取值范圍.

5-2.（2024高三上?河南洛陽?開學(xué)考試）已知函數(shù)/（x）=cos尤+axsinx

⑴若a=l,求曲線y=在點（無，〃兀））處的切線方程；

（2）若x=0是“X）的極大值點，求。的取值范圍.

5-3.（2024高三上?安徽阜陽?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=/+a.aln尤.

⑴若4=1,求函數(shù)外”的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)/（X）存在唯一的極值點，求實數(shù)a的取值范圍.

5-4.（2024高二下?江蘇南通期末）若x=a是函數(shù)/a）=（x-a）2（x-l）的極大值點，則。的取值范圍是（）

A.av1B.a<lC.a>lD.a>l

5-5.（2024高三下?江蘇南京?開學(xué)考試）己知函數(shù)〃尤）=。'-：尤2-依（aeR）有兩個極值點，則實數(shù)a的取

值范圍（）

A.（-8,1）B.（0,1）

C.[0,1]D.（l,+oo）

媒習(xí)與梭升

一、單選題

1.（2024?全國）若x=-2是函數(shù)/（x）=（y+依-De-的極值點，則/⑺的極小值為.

A.-1B.-2e-3C.5廠D.1

2.（2024高二下?安徽亳州?期末）設(shè)函數(shù)元）的定義域為R/（^^（^是外力的極大值點，以下結(jié)論一定

正確的是（）

-與是/（）的極小值點

A.Vj：e/?,/(x)</(x0)B.'-x

C.f是-〃尤）的極小值點D.-%是-/（-力的極小值點

3.（2024高三上?全國?單元測試）設(shè)awO,若。為函數(shù)〃x）=a（x-a）2（x-6）的極大值點，則（）

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a1

4.（2024高三?全國?課后作業(yè)）已知函數(shù)/（x）=x（lnx—ax）有兩個極值點，則實數(shù)o的取值范圍是（）

A.（-oo,0）B.（（）,-）C.（0,1）D.（0,+oo）

2

5.（2024?吉林通化,模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（力=（人龍戶在區(qū)間［0,1］上的最大值為歷則函數(shù)在（0,+e）

上（）

A.有極大值，無最小值B.無極大值，有最小值

C.有極大值，有最大值D.無極大值，無最大值

6.（2024高二下?河北秦皇島?期末）已知廣（x）是函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)y=#'（x）-l的圖象大致如圖

所示，則尤）極值點的個數(shù)為（）

7.（2024高三上?陜西渭南?階段練習(xí)）已知函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)「（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的

A.-1是函數(shù)“X）的極小值點

B.-3是函數(shù)〃力的極大值點

C.函數(shù)/（尤）在（-3,1）上單調(diào)遞增

D.函數(shù)f（x）在x=0處的切線斜率小于零

8.（2022陜西）對二次函數(shù)/。）=辦2+bx+c（。為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅

有一個結(jié)

論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是

A.-1是/（X）的零點B.1是/（X）的極值點

C.3是Ax）的極值D.點（2,8）在曲線y=/（x）上

9.（2024高三上?陜西漢中?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（司=三+一一4無，則〃尤）的極小值為（）

231

A.e—3B.5—eC.—ei-8D.2jer----

216

10.（2024高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)/（力=/+云2+5+1的大致圖像如圖所示，X],巧是函數(shù)y=

的兩個極值點，則x；+后等于（）

1L（2024高二下?吉林長春,階段練習(xí)）已知實數(shù)a,6,c,d成等比數(shù)列，且曲線y=的極大值點為6,

極大值為c,則ad等于（）

A.2B.-1C.-2D.1

12.（2024高二下?新疆昌吉?期末）如圖是函數(shù)丫=/（尤）的導(dǎo)函數(shù)y=/'（x）的圖象，給出下列命題：

@x=-2是函數(shù)y=/（x）的極值點;

②尤=1是函數(shù)y=/（x）的極值點；

③y=/（x）的圖象在尤=0處切線的斜率小于零;

④函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（-2,2）上單調(diào)遞增.

則正確命題的序號是（）

A.①②B.②④C.②③D.①④

13.（2024高二下?全國?期中）已知函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.-3是7?"）的極小值點B.-1是〃尤）的極小值點

C.“X）在區(qū)間（―,3）上單調(diào)遞減D.曲線y=在x=2處的切線斜率小于零

14.（2024高三上?湖北武漢?階段練習(xí)）若函數(shù)/（X）存在一個極大值/'（%）與一個極小值/（N）滿足

〃％）＞/&），則/（x）至少有（）個單調(diào)區(qū)間.

A.3B.4C.5D.6

15.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)/（尤），其導(dǎo)函數(shù)r（x）的大致圖象如圖所示，則下

B.函數(shù)/（x）在尤=c處取得最大值，在x=e處取得最小值

C.函數(shù)/（X）在X=c處取得極大值，在x=e處取得極小值

D.函數(shù)“X）的最小值為f（d）

16.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃尤）的導(dǎo)函數(shù)為廣（x）,貝『金=「（力在（0,2）上有兩個零點"是"〃力在

（0,2）上有兩個極值點”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

17.（2024?全國?模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)Ax）在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為尸⑺，且函數(shù)g（x）=4'（x）的圖像如圖所

示，則下列結(jié)論中一定成立的是（）

A./（X）有兩個極值點B.八。）為函數(shù)的極大值

C./⑺有兩個極小值D.7（-1）為了⑺的極小值

18.（2024?全國）已知函數(shù)“元）的定義域為R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則().

A./(0)=0B."1)=0

C.『（尤）是偶函數(shù)D.》=0為/（力的極小值點

19.(2024?全國)若函數(shù)〃尤)=alnx+，+ggw0)既有極大值也有極小值，則().

A.bc>0B.ab>QC.b1+Sac>0D.ac<0

20.（江西省豐城中學(xué)2024屆高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）如圖所示是y=7（x）的導(dǎo)數(shù)y=/'（x）的圖象,

下列結(jié)論中正確的有（）

A.“X）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1,2）,（4,+4

B.犬=-1是/（幻的極小值點

C.在區(qū)間（2,4）上是減函數(shù)，在區(qū)間（T2）上是增函數(shù)

D.x=2是尤）的極小值點

21.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知函數(shù)y=和y=g（x）的圖像都是R上連續(xù)不斷的曲線，如果

/'（x）Vg（x）,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時/（l）=g（l）=l,那么下列情形可能出現(xiàn)的是（）

A.1是〃尤）的極大值，也是g（無）的極大值B.1是〃尤）的極大值，也是g（x）的極小值

c.1是“X）的極小值，也是g（元）的極小值D.1是“X）的極小值，也是g（x）的極大值

22.（2024高二下?福建廈門?期末）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)/⑺的圖象如圖所示，則（）

B.，（力在苫=%處取得極大值

C.〃尤）在區(qū)間（。,6）上有2個極大值點

D.尤）在x=X1處取得最大值

23.（2024高三上?廣西百色?階段練習(xí)）函數(shù)〃司=；尤2一g+“in元的兩個極值點分別是外,三,則下列結(jié)論

正確的是（）

A.a>4B.兀；+%；<8

D.〃芯）+〃％）＜；（元;+明-6

C.再+%=玉％

24.（2024?全國）已知函數(shù)/（x）=d一x+1,貝I」（）

A./（盼有兩個極值點B./⑺有三個零點

C.點（0,1）是曲線y=/（x）的對稱中心D.直線y=2x是曲線y=/（無）的切線

25.（2024高三上?福建莆田?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃》）=優(yōu)-3%+19，則下列說法中正確的是（）

A.7（元）在R上有兩個極值點B./（尤）在x=-l處取得最小值

C.f（x）在x=2處取得極小值D.函數(shù)/（x）在R上有三個不同的零點

26.（2024高三上?福建福州?階段練習(xí)）函數(shù)/■（*）的導(dǎo)函數(shù)/（無）的圖像如圖所示,則下列結(jié)論正確的是（）

B.x=2為函數(shù)/（x）的極小值點

C.函數(shù)/（X）在2）上單調(diào)遞減

D./（-2）是函數(shù)的最大值

三、填空題

27.（2024高三?全國?專題練習(xí)）函數(shù)〃力=±±的極大值點和極大值分別為

X

28.（2024?全國）已知%=%和％=Z分別是函數(shù)/（%）=2優(yōu)-eV（a>0且awl）的極小值點和極大值點.若

玉<馬，則a的取值范圍是

29.（2。24高三全國?專題練習(xí)）函數(shù)?。?—一2的極大值為---------；極小值為----------

30.（2024高二下?陜西渭南?期末）已知函數(shù)〃x）=x（x+c）2,在x=2時有極大值，則外”的極大值為一

31.（2024高三上?貴州遵義?階段練習(xí)）函數(shù)”到=；尤2+4..二的極值點的個數(shù)為.

32.（安徽省池州市貴池區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)/（x）=x3+3mx2+nx+m2

在x=-l時有極值為0,則加+〃=.

33.（2024高三上?新疆伊犁?階段練習(xí)）已知函數(shù)”x）=21nx+x2-辦-1有兩個極值點，貝!的取值范圍

為.

四、解答題

34.(2024?北京)設(shè)函數(shù)/(x)=x-x3e"+〃，曲線y=/(x)在點(1"⑴)處的切線方程為y=-x+1.

⑴求。,6的值;

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/'(x),求g(無)的單調(diào)區(qū)間；

⑶求“X)的極值點個數(shù).

35.(2024高二下?福建龍巖,期中)設(shè)函數(shù)/(x)=x3+bx2+cx(x￡R),已知g(x)=f(x)-fz(x)是奇函數(shù)

(1)求b、c的值.

(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

36.(2007?安徽)設(shè)函數(shù)/(尤)=-30-431110$5+4-+/-3/+4,無€11,其中|7區(qū)1.將/O)的最小值

記為g?).

⑴求g?)的表達式；

(2)討論g(r)在區(qū)間(-L1)內(nèi)的單調(diào)性并求極值.

37.(2024?山東)設(shè)函數(shù)〃司=加+6111天，其中訪中0.證明：當(dāng)仍>0時，函數(shù)“元)沒有極值點；當(dāng)成<0

時，函數(shù)/(X)有且只有一個極值點，并求出極值.

38.(2024?福建)已知函數(shù)/(尤)=丁+如2+依-2的圖象過點(一1,-6),且函數(shù)g(x)=/'(x)+6x的圖象關(guān)于y

軸對稱.

⑴求7"、”的值及函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若”>0,求函數(shù)y=在區(qū)間。+1)內(nèi)的極值.

39.(2024高三上?遼寧大連?階段練習(xí))已知函數(shù)〃元)=：x2-ox+(a-l)lnx,a>l.

⑴當(dāng)a=2時，求函數(shù)/(x)的圖象在點(2,/(2))處的切線方程;

⑵求函數(shù)“X）的極值.

40.（2024高二下■湖南長沙?期中）設(shè)函數(shù)力力=2——3（“一1）尤2+1,其中位1,

（1）求人”的單調(diào)區(qū)間；（2）求於）的極值.

41.（2024?全國）已知函數(shù)/（x）=（g+ajln（l+x）.

⑴當(dāng)a=-l時，求曲線y=〃x）在點（1,/。））處的切線方程；

（2）是否存在a,b,使得曲線y=/（￡|關(guān)于直線X=b對稱，若存在，求0,6的值，若不存在，說明理由.

⑶若在（。，+e）存在極值，求。的取值范圍.

42.（2024?北京）設(shè)函數(shù)/（無）=［辦2-（3〃+1）*+3〃+2］靖.

5）若曲線y=/（x）在點（2"（2））處的切線斜率為0,求a；

（回）若Ax）在x=l處取得極小值，求a的取值范圍.

43.(2024高三上?重慶沙坪壩?階段練習(xí))己知函數(shù)/(*)=尤(》-m)2,meR.

(1)當(dāng)m=2時，求“X)在上的值域；

(2)若〃x)的極大值為4,求實數(shù)機的值.

44.(2024?北京)設(shè)函數(shù)-(4a+l)x+4a+3]".

(1)若曲線y=在點(1,/(1))處的切線與X軸平行，求。；

(2)若〃x)在x=2處取得極小值，求。的取值范圍.

45.(2024高三上?湖南?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃力=優(yōu)-加，a>l.

⑴當(dāng)a=e時，求曲線y=/(x)在％=1處的切線方程；

(2)若f(x)存在極值點%,且/(1)=0,求。的值，并分析與是極大值點還是極小值點.

46.(2024?廣東)設(shè)0<“<1,集合A=