復(fù)數(shù)（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練

第05講復(fù)數(shù)

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)...........................................3

高頻考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的概念..........................................3

高頻考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的幾何意義......................................4

高頻考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)分類............................................5

高頻考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)模..............................................7

高頻考點(diǎn)五：待定系數(shù)求復(fù)數(shù)z=a+bi7

高頻考點(diǎn)六：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算......................................8

高頻考點(diǎn)七：共輾復(fù)數(shù)............................................8

第四部分：新定義題(解答題).......................................9

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

1、復(fù)數(shù)的概念

我們把形如初，。/eR的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中，叫做虛數(shù)單位,滿足i2=-1.全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合

C={a+bi\a,b&R}叫做復(fù)數(shù)集.

復(fù)數(shù)的表示:復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi,a,beR,其中的a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛

部.

2、復(fù)數(shù)相等

在復(fù)數(shù)集C={a+次I。力eR}中任取兩個(gè)數(shù)。+初，c+di,(a,b,c,de7?),我們規(guī)定

\a=c

a+bi=c+dio<.

b=d

3、復(fù)數(shù)的分類

對(duì)于復(fù)數(shù)。+初(a,AeR),當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí),它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=5=0時(shí)，它是

實(shí)數(shù)0；當(dāng)心70時(shí)，它叫做虛數(shù)；當(dāng)。=0且時(shí)，它叫做純虛數(shù).這樣，復(fù)數(shù)

z=a+初(a,beR)可以分類如下:

'實(shí)數(shù)(6=0)

復(fù)數(shù)'純虛數(shù)(a=0)

虛數(shù)(6w0)<

非純虛數(shù)(awO)

4、復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)的幾何意義一一與點(diǎn)對(duì)應(yīng)

復(fù)數(shù)的幾何意義1：復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)<---對(duì)應(yīng).復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,Z?)

(2)復(fù)數(shù)的幾何意義一一與向量對(duì)應(yīng)

復(fù)數(shù)的幾何意義2：復(fù)數(shù)z=a+應(yīng)(a力eR):一一對(duì)應(yīng)，平面向量9=(a,6)

5、復(fù)數(shù)的模

向量無(wú)的模叫做復(fù)數(shù)z=a+〃a/eR)的模，記為|z|或+

公式：|zHa+4l=Ja2+/,其中

復(fù)數(shù)模的幾何意義：復(fù)數(shù)z=a+應(yīng)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,?到原點(diǎn)的距離；

特別的，5=0時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+應(yīng)是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的模就等于IaI(a的絕對(duì)值).

6、共軌復(fù)數(shù)

(1)定義

一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軌復(fù)數(shù)；虛部不等于0的兩

個(gè)共軌復(fù)數(shù)也叫共輾虛數(shù).

(2)表示方法

表示方法：復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)用I表示，即如果z=a+4?，則5=。_切.

7、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法(減法)運(yùn)算

(1)復(fù)數(shù)的加法法則

設(shè)4=。+歷，Z2=c+di,(a,A,c,deR)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的和：

Z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i

顯然：兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)

(2)復(fù)數(shù)的減法法則

類比實(shí)數(shù)集中減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足：

(c+成)+(x+M)=a+4的復(fù)數(shù)％+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi減去復(fù)數(shù)c+成的差，記作(a+bi)-(c+di)

實(shí)部相減為實(shí)部

III

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

IIT

虛部相減為虛部

注意：①兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)；

②兩個(gè)復(fù)數(shù)相加減等于實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減.

第二部分：高考真題回顧

1.(2023?北京?統(tǒng)考高考真題)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(一1,6)，貝心的共軟復(fù)數(shù)2=()

A.1+73;B.

C.-1+^3iD.-1—\/3i

2.（2023?全國(guó)?（乙卷文））2+i2+2i3=（）

A.1B.2C.A/5D.5

5（l+i3）

3.（2023?全國(guó)?（甲卷文））.7.=（）

（2+i）（2-i）

A.-1B.1C.1-iD.1+i

4.（2023?全國(guó)?（新高考I卷））已知z=!二9,則z—5=（）

2+2i

A.-iB.iC.0D.1

5.（2023?全國(guó)?（新高考n卷））在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3-i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)

高頻考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的概念

典型例題

例題1.(2024下?上海?高三開學(xué)考試)下列命題不正確的為()

A.若復(fù)數(shù)Z，z2的模相等，則4,Z2是共軌復(fù)數(shù)

B.%，Z2都是復(fù)數(shù)，若馬+馬是虛數(shù)，則均不是z2的共趣復(fù)數(shù)

C.復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是z=5

D.zeC,|z+i|+|z-i|=2,則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡為線段

4-2i

例題2.（多選）（2024上?云南昆明?高二統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)2==一，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.z的虛部為_iB.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

C.z的共輾復(fù)數(shù)三=i+iD.|Z|=A/2

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?廣東深圳?高三統(tǒng)考期末）復(fù)數(shù)（2+談的實(shí)部與虛部之和是（）

A.7B.13C.21D.27

2

2.（2024下.高一單元測(cè)試）已知復(fù)數(shù)2=不一

①在復(fù)平面內(nèi)Z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,-1）;

②復(fù)數(shù)的虛部為-i;

③復(fù)數(shù)的共輾復(fù)數(shù)為i-1;

@|Z|=A/2；

⑤復(fù)數(shù)z是方程_?-2尤+2=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個(gè)根.

以上5個(gè)結(jié)論中正確的命題個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

高頻考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的幾何意義

典型例題

例題1.（2024下?全國(guó)?高一專題練習(xí)）"0＜加＜十’是"復(fù)數(shù)Z=（3w-2）+（m-l）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

第四象限"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例題2.（2024上?四川成都?高三樹德中學(xué)校考期末）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z，%對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是（2,

則三的模是（）

4

A.5B.y/5C.2D.y/2

例題3.（多選）（2024?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)Z，z?在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為

A,B,且。為復(fù)平面原點(diǎn)若.Z1=/+」i（i為虛數(shù)單位），向量函繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，且模伸

122

長(zhǎng)為原來(lái)的2倍后與向量礪重合，則（）

A.Z?的虛部為且B.點(diǎn)B在第二象限

2

C.\ZX+Z2\=42D.—=2

Z]

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?廣東佛山?高三石門中學(xué)?？计谀?fù)數(shù)z=—」在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

l-2i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（多選）（2024下?高一單元測(cè)試）關(guān)于復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若忖=1,貝ljz=±l或土i

B.復(fù)數(shù)6+5i與-3+4i分別對(duì)應(yīng)向量方與麗，則向量而對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為9+，

C.若z是復(fù)數(shù)，則z2+l>0

D.若復(fù)數(shù)z滿足l4|z|<0,則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為兀

3.（2024?全國(guó)?高一假期作業(yè)）復(fù)平面上兩個(gè)點(diǎn)Z“Z2分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)復(fù)數(shù)40,它們滿足下列兩個(gè)條件：

①z?=z「2i；②兩點(diǎn)Z1,Z?連線的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+4i,若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△ZQZ?的面積為

高頻考點(diǎn)三：復(fù)數(shù)分類

典型例題

例題1.（2024上?河北廊坊?高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）若復(fù)數(shù);^（aeR）為純虛數(shù)，貝心=

1—1

（）

A.-1B.0C.1D.2

例題2.（2024下?全國(guó)?高一專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z=（l+i）冽2_（8+i）冽+15-6iOwR）,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍使

得：

（l）z為純虛數(shù);

（2）z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.

例題3.（2023下?河北唐山?高一校聯(lián)考期中）已知人eR,a>0,復(fù)數(shù)z=a+歷，且同=逐，復(fù)數(shù)z（l+i）

在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在函數(shù)>=-3x的圖像上.

⑴求復(fù)數(shù)z；

⑵若z-g（weR）為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024?天津?yàn)I海新?高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校聯(lián)考期末）己知z=（〃?+1）+（2-%）i是純虛數(shù)（其

中meR,i是虛數(shù)單位），則號(hào)心?=;

Z

2.（2024?全國(guó)?高一假期作業(yè)）已知復(fù)數(shù)z滿足目=5.

（1）若（4+3i）-z是實(shí)數(shù)，求復(fù)數(shù)z；

7

（2）求^+2-i的取值范圍.

3.（2024下?全國(guó)■高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=（l+i）/―（5i+3）m-（4+6i）,當(dāng)他為何值時(shí),

（1）z為實(shí)數(shù)？

（2）z為虛數(shù)？

（3）z為純虛數(shù)？

（4）z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限?

高頻考點(diǎn)四：復(fù)數(shù)模

典型例題

例題L（2024?福建漳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)4,z?滿足4+24=-3-i,同-zj=l,則%+2i|的最

大值為.

例題2.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足|z+國(guó)+卜-啊=4,則|z-i|的最大值是.

例題3.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,i為虛數(shù)單位，貝力z-3-4i|的最

大值為.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024?天津?yàn)I海新?高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知z=（/n+l）+（2-m）i是純虛數(shù)（其

中，，zeR,i是虛數(shù)單位），則生g=；

Z

2.（2024?全國(guó)?高一假期作業(yè)）若zeC,且滿足Iz+1-i|=1,則Iz-1-i|的最大值為.

3.（2024?全國(guó)?高一假期作業(yè)）設(shè)復(fù)數(shù)4、z2,滿足㈤=閡=1,4―2=強(qiáng)，則|z+Z2|=.

高頻考點(diǎn)五：待定系數(shù)求復(fù)數(shù)z=a+bi

典型例題

例題L（2024?全國(guó)?高一假期作業(yè)）設(shè)復(fù)數(shù)4、z2,滿足閭=區(qū)|=1,則區(qū)+22卜.

例題2.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）滿足z2eR，|z-i|=l的一個(gè)復(fù)數(shù)z=.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024?全國(guó)?高一假期作業(yè)）若復(fù)數(shù)句和復(fù)數(shù)Z2滿足㈤=1,上11,4+即=1*則一.

Zl-Z2

2.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=l,i為虛數(shù)單位，則|z-3-4i|的最大值

為.

高頻考點(diǎn)六：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

典型例題

例題1.（2024?湖南邵陽(yáng)?統(tǒng)考一模）下列各式的運(yùn)算結(jié)果不是純虛數(shù)的是（）

A.（1+i）2B.（1-i）2

1_i

C.--rD.（1+i）4

l+i

例題2.（2024上?貴州遵義?高二統(tǒng)考期末）若z=l+i,則|z+2-i|=（）

A.2B.1C.y/2D.2近

例題3.（2024?全國(guó)?高一假期作業(yè)）設(shè)復(fù)數(shù)4、z2,滿足聞=閆=1,Z1-z2=V3i,則1Z+z?卜

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?浙江湖州?高三統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)z滿足（z-l）i=4+3i（i為虛數(shù)單位），貝|z+Z=（）

A.8B.6C.-6D.-8

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若2=±^,貝年等于（）

1-1+1

A.4+3iB.4-3iC.-4+3iD.-4-3i

3.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z=l+2i+3i?+…+2022i202i+2023i2022的虛部為.

高頻考點(diǎn)七：共粗復(fù)數(shù)

典型例題

例題1.（2024上?浙江湖州?高三統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)z滿足（z-l）i=4+3i（i為虛數(shù)單位），則z+彳=（）

A.8B.6C.-6D.-8

例題2.（2024上?四川成都?高三樹德中學(xué)?？计谀┰趶?fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4,Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是（2,-1）,（1,-3）,

7

則二的模是（）

Z1

A.5B.75C.2D.V2

2+4i

例題3.（2024上?天津?高三校聯(lián)考期末）設(shè)2=丁一+i,則z的共輾復(fù)數(shù)為_______.

1+1

練透核心考點(diǎn)

1.(2024,陜西寶雞?統(tǒng)考一模)已知復(fù)數(shù)2=三旦，2為z的共輾復(fù)數(shù)，則|z|-彳在復(fù)平面表示的點(diǎn)在()

1+V3i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

1-

2.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知復(fù)數(shù)z=l—i,則——z=()

z

A0R710