復(fù)數(shù)（原卷版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第23講復(fù)數(shù)

（9類核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2024年天津卷，第10題,5分復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算

2023年天津卷，第10題,5分復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算

2022年天津卷，第10題,5分復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算

2021年天津卷，第10題,5分復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算

2020年天津卷，第10題,5分求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握復(fù)數(shù)的概念，能夠理解復(fù)數(shù)的實(shí)部虛部與共軌復(fù)數(shù)的概念

2.能掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助圖形，理解復(fù)數(shù)與向量的關(guān)系

4.會(huì)解復(fù)數(shù)方程問(wèn)題

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出復(fù)數(shù)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，求解實(shí)數(shù)虛數(shù)問(wèn)題。

12?考點(diǎn)梳理一

⑴復(fù)數(shù)的定義

(2)復(fù)數(shù)的分類｛考點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的概念

r知識(shí)點(diǎn)一.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念《(3)復(fù)數(shù)相等

(4)共拆復(fù)數(shù)

(5)復(fù)數(shù)的模

考點(diǎn)五、復(fù)數(shù)的幾何意義

知識(shí)點(diǎn)二.復(fù)數(shù)的幾何意義

考點(diǎn)六、復(fù)數(shù)模長(zhǎng)問(wèn)題

復(fù)數(shù)

考點(diǎn)二、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

⑴復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則

知識(shí)點(diǎn)三.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算考點(diǎn)三、復(fù)數(shù)相等

(2)幾何意義

｛考點(diǎn)四、復(fù)數(shù)類型

考點(diǎn)七、復(fù)數(shù)方程問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)四.復(fù)數(shù)常用結(jié)論考點(diǎn)八、復(fù)數(shù)最值與取值范圍

考點(diǎn)九、復(fù)數(shù)軌跡問(wèn)題

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的定義：形如〃+〃(“，的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中人是復(fù)數(shù)2的實(shí)部，之是復(fù)數(shù)z的虛部，i為虛數(shù)

單位.

(2)復(fù)數(shù)的分類：

復(fù)數(shù)z=a+bi(a,6GR)

(實(shí)數(shù)(b=0>

'虛數(shù)(b*0)(當(dāng)a=0時(shí)為純虛數(shù)、

(3)復(fù)數(shù)相等：

a+bi==c+c且6=d(a，b,c>dGR).

(4)共軌復(fù)數(shù)：

a+bi與c+di互為共軌復(fù)數(shù)Qa=c,b=—d(a,b,c,dGR).

⑸復(fù)數(shù)的模：

向量龍的模叫做復(fù)數(shù)z=a+歷的?；蚪^對(duì)值，記作|a+歷I或|z|,即|z|=|a+歷尸Ua2+爐(。,bGR).

知識(shí)點(diǎn)二.復(fù)數(shù)的幾何意義

⑴復(fù)數(shù)z=a+歷(a,bGR)-----對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b).

(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,Z?￡R)——對(duì)應(yīng)平面向量龍.

知識(shí)點(diǎn)三.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

⑴復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：

設(shè)zi=a+6i,Z2=c+i/i(a,b,c,dGR),貝!]

①力口法：zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+(7)i；

②減法：zi—Z2=(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(b—；

③乘法：z「Z2=(〃+歷),(c+di)=(ac—faZ)+(Qd+Z7c)i；

④除法：豆="竺=(a+h)(c-dD=手等+咚萼j(c+d憂0).

2222

Z2c+di(c+di)(c-di)c+dc+d

(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行.

如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即源葉+土，花=屋

一OZi.

知識(shí)點(diǎn)四.復(fù)數(shù)常用結(jié)論

1.(l±i)2=+2i；\=i；、=一)

l-ll+l

2.—b-\~ai=i(6?+bi)(a,/?￡R).

3.i4"=l,i4,,+1=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i(?eN).

4.i4n+i4n+1+i-+2+i4"+3=0(aGN).

5.復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形

(l)a<\z\<b表示以原點(diǎn)O為圓心，以。和6為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；

(2)|z—(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)為圓心，廠為半徑的圓

考點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的概念

典例引領(lǐng)

1.(24-25高三上?海南?開(kāi)學(xué)考試)復(fù)數(shù)z滿足z(2+i)=|3+4i|,則復(fù)數(shù)z的虛部是()

A.2iB.2C.-iD.-1

3

2.(2024.河南周口.模擬預(yù)測(cè))己知復(fù)數(shù)z=(1+3,i為虛數(shù)單位，貝物的虛部為()

A.2iB.-2iC.2D.-2

即時(shí)檢測(cè)

1.(23-24高三下?廣西?階段練習(xí))設(shè)2=74、，貝1Jz=()

1+1+1

A.-l-3iB.-l+3iC.1-3iD.1+3i

2.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知z=巴，+z34-z5=()

i-i

A.iB.-iC.1+iD.1-i

3.(2025?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z,滿足|z|=5,z在復(fù)平面中的第一象限，且實(shí)部

為3,則彳為

考點(diǎn)二、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

典例引領(lǐng)

1.（2024?天津?高考真題）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（小+i）?（花-2i）=-

2.（2023?天津?高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)篝的結(jié)果為_(kāi)_______.

2+31

??即時(shí)啊」

1.（2023?全國(guó)?高考真題）設(shè)2=淄%,貝厲=（）

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

2.（2023?全國(guó)?高考真題）已知z=U,貝吻一2=（）

2+21

A.-iB.iC.0D.1

3.（2024.四川.模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足次1一i）=3+5i,則復(fù)數(shù)z=（）

A.4+4iB.4—4i

C.-1+4iD.-1—4i

考點(diǎn)三、復(fù)數(shù)相等

典例引領(lǐng)

1.（2022?全國(guó)?高考真題）已知z=l—2i,且z+a2+b=0,其中a,b為實(shí)數(shù)，則（）

A.a=l,b=-2B.a=-1,b=2C.a=l,b=2D.a=-1,b=-2

2.（2016?天津?高考真題）已知a,6€R,i是虛數(shù)單位，若（1+i）（1-bi）=a,貝盧的值為

b

即B承測(cè)

1.（2024?新疆烏魯木齊?三模）若（l-2i）（2+i）=a+bi（a“€R,i是虛數(shù)單位），貝b,6的值分別等于（）

A.4,-5B.4,-3C.0,-3D.0,-5

2.（24-25高三下?全國(guó)?單元測(cè)試）設(shè)a€R,（a+i）（l-由）=2,則。=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（24-25高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）若集合A={zn2117nl=lfmEC],8={a+歷|ab=0},則4八8的元

素個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

4.(2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知三牛=2—i,eR,則%+y=()

A.2B.3C.4D.5

考點(diǎn)四、復(fù)數(shù)類型

典例引領(lǐng)

1.（2020?浙江?高考真題）已知aGR,若a-l+（a-2）i（i為虛數(shù)單位）是實(shí)數(shù)，則a=（）

A.1B.-1C.2D.-2

2.（2024?江西新余?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足：|z|=1,1+Z+Z2+Z3為純虛數(shù)，則這樣的復(fù)數(shù)z共有（）

個(gè).

A.1B.2C.3D.4

??即時(shí)啊

1.（2024.北京大興.三模）己知（小-丁為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)6=（）

A.0B.1C.-1D.±1

2.（24-25高三上?湖南?開(kāi)學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)zi=2-i,z2=a+i（aeR）,若復(fù)數(shù)與?z2為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的

值為（）

A--1B-1C.-2D.2

?5

3.（2024.北京.三模）若復(fù)數(shù)z=a—l+5（a+l）i為純虛數(shù)，其中aCR,i為虛數(shù)單位，則審=（)

1—ai

A.iB.-iC.1D.-1

4.（23-24高三下.湖南?階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|=|z|,且z—l是純虛數(shù)，則z，=（）

A.1B.2C.3D.4

考點(diǎn)五、復(fù)數(shù)的幾何意義

典例引領(lǐng)

1.（2023?北京?高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1,百），則z的共朝復(fù)數(shù)2=（）

A.1+V3iB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

2.（2023.全國(guó).高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3—i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

即時(shí)

1.（2024.云南?模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，（1—i）（2+i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（23-24高三上?天津?期中）復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（2,-1），則注的共輾復(fù)數(shù)的模為

3.（23-24高三上?天津河北?開(kāi)學(xué)考試）復(fù)數(shù)上在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是_________.

2+1

4.（2024?青海西寧.二模）已知復(fù)數(shù)z=i2°24—i,則2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.（23-24高三上.天津紅橋?階段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，則獸在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

2+1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

考點(diǎn)六、復(fù)數(shù)模長(zhǎng)問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國(guó)?高考真題）|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.V5D.5

2.（2022?北京?高考真題）若復(fù)數(shù)z滿足i-z=3—4i,則|z|=()

A.1B.5C.7D.25

?即時(shí)檢測(cè)

1.(2020?全國(guó)?高考真題)若z=l+i,則|Z2-2Z|=()

A.0B.1C.V2D.2

2.(2020?全國(guó)?高考真題)設(shè)復(fù)數(shù)Z],Z2滿足憶/=%|=2,Zi+z2=V34-i,則|z1-Z2|=___

3.(2024.河南關(guān)B州?模擬預(yù)測(cè))若z=2-i—票(x€R)且|z|=1,則x取值的集合為()

A.{2}B.{3}C.{3,7}D.{1,3}

4.(2024?貴州?模擬預(yù)測(cè))F一1=()

A.V2B.V5C.2D.5

考點(diǎn)七、復(fù)數(shù)方程問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知1+i是實(shí)系數(shù)方程/+ax+6=0的一個(gè)根.則a+6=（）

A.4B.-4C.0D.2

2.（2024?四川宜賓?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z2+z+l=0且2是z的共輾復(fù)數(shù)，則z+2=（）

A.-1B.1C.V3D.-V3

1.（24-25高三上?江蘇?階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z3=l+Wi,貝吻=（）

A.1+V3iB./（cos^1+isinj

C.1+V3iD.V2（cos^+isin^）

2.（2024.山西陽(yáng)泉.三模）已知2+i是實(shí)系數(shù)方程%2+p%-q=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則p+q=（）

A.-9B.-1C.1D.9

3.（2024?重慶九龍坡?三模）設(shè)Zi，Z2是關(guān)于％的方程/+p%+q=0的兩根，其中p,qeR,若Zi=-1+V^i

（i為虛數(shù)單位），則工+工=（）

Z1z2

22

A.--B.-C.-2D.2

33

4.（2024?天津河西?模擬預(yù)測(cè)）已知2i-3是關(guān)于％的方程2/+p%+q=o（p,qeR）的一個(gè)根，則p+

q=?

考點(diǎn)八、復(fù)數(shù)最值與取值范圍

典例引領(lǐng)

1.（2024?黑龍江牡丹江?一模）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=a+bi,a,beR且滿足|z-i|=&,求點(diǎn)Z（a,b）

到直線y=x+3距離的最大值為（）

A.0B.2V2-2C.V2D.2V2

2.（2024?山東煙臺(tái)?三模）若復(fù)數(shù)z滿足|z|=|z-2-2i|,則|z|的最小值為（）

A.1B.V2C.V3D.2

即時(shí)啰

1.（2024.云南.二模）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|z—1|=|z+i|,則|z—i|的最小值為（）

A.—B.-C.-D.0

223

2.（2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)zi，Z2滿足四-3i|=2,心-引=1,則因-z?|的最大值是（）

A.6-V2B.6+V2C.7D.8

3.（24-25高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）設(shè)Z6C,且（z+5）（2+5）=4,則z?的實(shí)部的取值范圍為（）

A.[8,36]B.[9,49]

C.[10,64]D.[11,81]

4.（23-24高三下?江西?開(kāi)學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)z=a+6i（a,beR）.且|2-i一z|=1,則竺巴的取值范圍為（）

考點(diǎn)九、復(fù)數(shù)軌跡問(wèn)題

典例引領(lǐng)

1.（2024?江蘇南京?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2|2=z+2,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

2.（2024?廣東揭陽(yáng)?二模）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（a,b）,且|z+i|=4,貝U（）

A.a2+(/?+l)2=4B.a2+(Z?+I)2=16

C.(a+l)2+爐=4D.(a+l)2+b2=16

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024.云南曲靖.模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z=x+yi（x,yeR）且|z-5+i|=/，則滿足|2x-y-=6萬(wàn)的

復(fù)數(shù)z的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.2C.1D.4

2.（2024?寧夏?二模）已知復(fù)數(shù)z滿足|z-4+5i|=1,貝收在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,則|z—2i|的取值范圍為（）

A.[0,2]B.[1,3]C.[2,4]D.[1,9]

4.（2022?天津?二模）如果復(fù)數(shù)z滿足|z+l—i|=2,那么|z-2+i|的最大值是.

IN.好題沖關(guān)

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.（2024.天津和平二模）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2=三，則z的共輾復(fù)數(shù)2=（）

2+21

A.---iB.-+-iC.-iD.--i

222222

2.（23-24高三上.天津武清.階段練習(xí)）已知魯=i（a/CR）,其中i是虛數(shù)單位，貝必+6=

3.（2024.天津薊州?模擬預(yù)測(cè)）記i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z=彎，則2=

4.（23-24高三上.天津?qū)幒?期末）已知i是虛數(shù)單位，則|塞卜—.

5.（23-24高三下.天津南開(kāi)?階段練習(xí)）若（3-i）z=3i,貝物的共輾復(fù)數(shù)為.

6.（2023?天津河北?一模）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足i（z+l）=2,貝ijz=.

能力提升

1.（2024.天津南開(kāi).一模）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=也到，貝版的虛部為

3+41

2.（2023IWJ二,全國(guó),專題練習(xí)）已知今=（1+i）（1+…（1+崇）（nEN*）,則厲2（）23—Z2024I的值為

3.（2023?天津和平?二模）i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=*（beR）為純虛數(shù)，貝腦=—.

4.（2023?天津和平?二模）復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=|百—i|,貝物=.

5.（22-23高三上?天津河?xùn)|?期中）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)等的虛部是.

6.（22-23高三上?天津?yàn)I海新?階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)