高考數(shù)學解答題提高第一輪復習：正態(tài)分布（典型題型歸類訓練）（學生版+解析）

專題03正態(tài)分布(典型題型歸類訓練)

一、必備秘籍

1、正態(tài)分布

1(A"

若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為/(x)=—2b2對任意的尤eH,/(x)>0,它的圖象

在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱/(%)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正

態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線,如上圖所示.

若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為/(X),則稱隨機變量X服從正態(tài)分布(normaldis-tribution),記為

XN(〃,O"2).特別地，當〃=0,。=1時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布，即XN(0,l).

由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線有以下特點:

(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交。

(2)曲線是單峰的，它關于直線％=4對稱.

(3)曲線在％=4處達到峰值一/(最高點)

(7,2萬

(4)當|X|無限增大時，曲線無限接近x軸.

(5)X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1.

2、正態(tài)分布的3o■原則

2b3b

*—,68.27%

…95.45%…

…?…99.73%?…?…

P(N-(y<X<4+CF)Q0.6827

尸(〃-2a<%<//+2a)?0.9545

P(N一3b<X<//+3b)p0.9973

二、典型題型

題型一：正態(tài)密度函數(shù)

1.（2021,陜西寶雞■統(tǒng)考三模）某地處偏遠山區(qū)的古鎮(zhèn)約有人口5000人，為了響應國家號召，鎮(zhèn)政府多項

并舉，鼓勵青壯勞力外出務工的同時發(fā)展以旅游業(yè)為龍頭的鄉(xiāng)村特色經(jīng)濟，到2020年底一舉脫貧.據(jù)不完全

統(tǒng)計該鎮(zhèn)約有20%的人外出務工.下圖是根據(jù)2020年扶貧工作期間隨機調(diào)查本地100名在外務工人員的年

（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)怙計該鎮(zhèn)外出務工人員的創(chuàng)收總額（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表卜

(X-〃)2

（2）假設該鎮(zhèn)外出務工人員年收入服從正態(tài)分布N（〃,〃），其分布密度函數(shù)為〃x）=]h,其中

(Jy[27T

〃為樣本平均值.若/(x)的最大值為叵，求b的值；

10%

(3)完成脫貧任務后，古鎮(zhèn)黨政班子并不懈怠，決心帶領全鎮(zhèn)人民在奔小康道路上再上一個新臺階，出臺

了多項優(yōu)惠政策，鼓勵本地在外人員返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè).調(diào)查顯示務工收入在［〃+。,〃+2可和［〃+25，+3日的人群

愿意返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)的人數(shù)比例分別為15%和20%.從樣本人群收入在［〃+5〃+3日的人中隨機抽取3人進行調(diào)

查，設X為愿意返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

1上

2.(2018?高二課時練習)正態(tài)總體當〃=0。=1時的概率密度函數(shù)是4"(尤)=/=e2,尤eR

⑴證明以b(x)是偶函數(shù)；

(2)求％"(x)的最大值；

⑶利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說明以。(x)的增減性.

3.(2014?高二課時練習)已知某種零件的尺寸&單位：mm)服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線在(0,80)上是增函

數(shù)，在(80,+的上是減函數(shù)，且“80)=卷/

⑴求概率密度函數(shù)；

⑵估計尺寸在72mm?88mm間的零件大約占總數(shù)的百分之幾？

題型二：標準正態(tài)分布的應用

1.（2023?全國?高二課堂例題）某批待出口的水果罐頭，每罐凈重X（單位：g）服從正態(tài)分布N（184,2.5）,

求：（參考數(shù)據(jù)：Z~N（0,l）,P（Z<0.2）?0.5793,P（Z<2）?0.9772）

（1）隨機抽取1罐,其凈重超過184.5g的概率；

（2）隨機抽取1罐，其凈重在179g與189g之間的概率.

2.（2022?河南開封?河南省蘭考縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）《山東省高考改革試點方案》規(guī)定：2022

年高考總成績由語文、數(shù)學、外語三門統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物六門選考科

目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A、3+、B、C+、C、。+、D、E共8個等

級，參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%,

選擇科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內(nèi)的考生原始成績X,依照￥=豈二幺（〃、。分別為正態(tài)

a

分布的均值和標準差）分別轉(zhuǎn)換到［91,100］、［81,90］、［71,80］、［61,70］、［51,60］、［41,50］、［31,40］、［21,30］

八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績.如果山東省2022年某次學業(yè)水平模擬考試物理科目的原始成績

X~N（77.8,256）,Y7V（0,l）.

⑴若規(guī)定等級A、B+、B、C+、C、0+為合格，D、E為不合格，需要補考，估計這次學業(yè)水平模擬

考試物理合格線的最低原始分是多少；

（2）現(xiàn)隨機抽取了該省1000名參加此次物理學科學業(yè)水平測試的原始分，若這些學生的原始分相互獨立，記J

為被抽到的原始分不低于65分的學生人數(shù)，求J的數(shù)學期望和方差.

附：當yN（0,l）時，P（y<1.3）?0.9,p（r<0.8）-0.788.

3.（2022?四川成都?石室中學?？既＃?021年某地在全國志愿服務信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人，

2020年7月份以來，共完成1931個志愿服務項目，8900多名志愿者開展志愿服務活動累計超過150萬小

時,為了了解此地志愿者對志愿服務的認知和參與度，隨機調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務時長（單位：

小時），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴估計這500名志愿者每月志愿服務時長的樣本平均數(shù)元和樣本方差52（同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的

中間值代表）；

⑵由直方圖可以認為，目前該地志愿者每月服務時長X服從正態(tài)分布N（〃,a?）,其中〃近似為樣本平均數(shù)元,

人近似為樣本方差52.一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布的概率進行計算：若X

令丫=^￡,則yN（0,1）,且尸=

（i）利用直方圖得到的正態(tài)分布，求P（X410）；

（ii）從該地隨機抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務時長超過10小時的人數(shù)，求尸（Z21）

（結果精確到0.001）,以及Z的數(shù)學期望（結果精確到0.01）.

參考數(shù)據(jù)：A/L64?1.28，y/16A?4.05,O.598720~0.000035.0.729120?0.0018,O.782320-0.0074.^

YN(0,l),則P(y40.25卜0.5987,P(r<0.61)?0.7291,P(K<0.78)?0.7823.

4.（2021?廣東深圳?統(tǒng)考二模）己知某高校共有10000名學生，其圖書館閱覽室共有994個座位，假設學

生是否去自習是相互獨立的，且每個學生在每天的晚自習時間去閱覽室自習的概率均為0.L

（1）將每天的晚自習時間去閱覽室自習的學生人數(shù)記為X,求X的期望和方差；

（2）18世紀30年代，數(shù)學家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，當"比較大時，二項分布可視為正態(tài)分布.此外，如果隨機變

量丫~27（〃口2）,令Z2￡,則Z~N（0,l）.當Z~N（0,l）時，對于任意實數(shù)。，記①（a）=P（Z<a）.已

知下表為標準正態(tài)分布表（節(jié)選），該表用于查詢標準正態(tài)分布N（0,l）對應的概率值.例如當。=0.16時,

由于0.16=0.1+0.06,則先在表的最左列找到數(shù)字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到數(shù)字0.06（位

于第八列），則表中位于第三行第八列的數(shù)字0.5636便是①（0.16）的值.

a0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09

0.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.5359

0.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.5753

0.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.6141

0.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.6517

0.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.6808,0.68440.6879

0.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.7157,0.71900.7224

①求在晚自習時間閱覽室座位不夠用的概率；

②若要使在晚自習時間閱覽室座位夠用的概率高于0.7,則至少需要添加多少個座位?

題型三：正態(tài)分布的實際應用

1.（2024上?湖南衡陽?高三統(tǒng)考期末）已知某超市銷售的袋裝食用鹽的質(zhì)量X（單位：g）服從正態(tài)分布

且P（X<249）=0.15.某次該超市稱量了120袋食用鹽，其總質(zhì)量為30kg，的值恰好等于這120

袋食用鹽每袋的平均質(zhì)量（單位：g）.

⑴若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機選取2袋，設這2袋中質(zhì)量不小于250g的袋數(shù)為Z,求Z的分布列；

（2）若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機選取K（K為正整數(shù)）袋，記質(zhì)量在249g~251g的袋數(shù)為y,求滿

足。"）<42的K的最大值.

2.(2024上?海南省直轄縣級單位?高三校考階段練習)紅松樹分布在我國東北的小興安嶺到長白山一帶，

耐蔭性強.在一森林公園內(nèi)種有一大批紅松樹，為了研究生長了4年的紅松樹的生長狀況，從中隨機選取了

12棵生長了4年的紅松樹，并測量了它們的樹干直徑毛(單位：厘米)，如下表：

i123456789101112

28.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5

1212

計算得：=360,￡x；=10992.

Z=1Z=1

(1)求這12棵紅松樹的樹干直徑的樣本均值，與樣本方差52.

(2)假設生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態(tài)分布.

記事件A：在森林公園內(nèi)再從中隨機選取12棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑都位于區(qū)間[22,38].

①用(1)中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態(tài)分布的均值與方差，求尸(4);

②護林員在做數(shù)據(jù)統(tǒng)計時，得出了如下結論：生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態(tài)分布N(30,8z).

在這個條件下，求P(A),并判斷護林員的結論是否正確，說明理由.

參考公式：若V

貝I]P(|y-^|<cr)~0.6827,P(|y-^|<2CT)-0.9545,P(|y-//|<3cr)?0.9973.

參考數(shù)據(jù).0.682712?Q.01,0.954512?0.57,0.9973“a0.97.

3.(2023?全國?模擬預測)2023年中秋國慶雙節(jié)期間，我國繼續(xù)執(zhí)行高速公路免費政策.交通部門為掌握雙

節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了10月1日上午8:20~9:40這一時間段內(nèi)通過的車

輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有1000輛車通過該收費點，為方便統(tǒng)計，時間段8:20~8:40記作區(qū)間

［20,40),8:40~9:00記作［40,60),9：00~9:20記作［60,80),9:20~9:40記作［80,100］,對通過該收費點

的車輛數(shù)進行初步處理，已知機=2〃，8:20~9:40時間段內(nèi)的車輛數(shù)的頻數(shù)如下表：

時間段[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

頻數(shù)100300mn

(1)現(xiàn)對數(shù)據(jù)進一步分析，采用分層隨機抽樣的方法從這1000輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取

4輛，設抽到的4輛車中在9：00~9：40通過的車輛數(shù)為X,求X的分布列與期望；

(2)由大數(shù)據(jù)分析可知，工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻T~N(",4),其中刈可用(1)中這1000

輛車在8:20~9:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，/可用樣本的方差近似代替(同一組中的

數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)，已知某天共有800輛車通過該收費點，估計在8:28~9:22之間通過的車

輛數(shù)(結果四舍五入保留到整數(shù)).

參考數(shù)據(jù)：若則①尸(〃一b<TV〃+b)=0.6827；②尸(〃一2b<TV〃+2b)=0.9545；③

尸(〃-3cr<T<〃+3b)=0.9973.

4.(2023上?全國?高三專題練習)某鋼管生產(chǎn)車間生產(chǎn)一批鋼管，質(zhì)檢員從中抽出若干根對其直徑(單位:

mm)進行測量，得出這批鋼管的直徑X服從正態(tài)分布N(65,4.84).(參考數(shù)據(jù)：若X，則

P(〃一b<XV〃+b)=0.6826；尸(〃-2cr<XW〃+2cr)=0.9544；尸(〃一3b<XV〃+3cr)=0.9974)

(1)如果鋼管的直徑X滿足60.6mm:69.4mm為合格品，求該批鋼管為合格品的概率(精確到0.01)；

(2)根據(jù)(1)的結論，現(xiàn)要從40根該種鋼管中任意挑選3根，求次品數(shù)Y的分布列和數(shù)學期望.

題型四：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求參數(shù)

1.(2023下?廣西玉林?高二校考期中)已知隨機變量X-Nj。?)，且其正態(tài)曲線在(f,80)上是增函數(shù),

在(80,+s)上是減函數(shù)，且P(724X488卜0.6827.

⑴求參數(shù)〃，的值.

(2)求尸(64VXV72).

附：若X~,貝!］尸(必一crWX4〃+<r)=0.6827,P(/z—2cr<X<//+2<7)?0.9545

2.(2023?江西贛州?統(tǒng)考二模)3D打印即快速成型技術的一種，又稱增材制造，它是一種以數(shù)字模型文件

為基礎，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構造物體的技術.中國的3D打印技

術在飛機上的應用已達到規(guī)?；⒐こ袒?，處于世界領先位置.我國某企業(yè)利用3D打印技術生產(chǎn)飛機的某

種零件，8月1日質(zhì)檢組從當天生產(chǎn)的零件中抽取了部分零件作為樣本，檢測每個零件的某項質(zhì)量指標，得

到下面的檢測結果：

質(zhì)量指標[6,7)億8)[8,9)[9/0)[10,11)[1U2)[12,13]

頻率0.020.090.220.330.240.080.02

(1)根據(jù)頻率分布表，估計8月1日生產(chǎn)的該種零件的質(zhì)量指標的平均值［和方差52(同一組的數(shù)據(jù)用該組

區(qū)間的中點值作代表)；

(2)由頻率分布表可以認為，該種零件的質(zhì)量指標X~N(〃02),其中〃近似為樣本平均數(shù)卜/近似為樣

本方差52.

①若尸(X2“)=0.9772,求〃的值；

②若8月1日該企業(yè)共生產(chǎn)了500件該種零件，問這500件零件中質(zhì)量指標不少于7.06的件數(shù)最有可能是

多少？

附參考數(shù)據(jù)：布它2.45，若X~N(〃,b?),則p(〃-<XW〃+b)=0.6827，尸(〃-2。<XW//+2。)=0.9544,

P(〃一3cr<XV〃+3b)=0.9973.

3.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考三模)為調(diào)查禽類某種病菌感染情況，某養(yǎng)殖場每周都定期抽樣檢測禽類血液中A

指標的值.養(yǎng)殖場將某周的5000只家禽血液樣本中A指標的檢測數(shù)據(jù)進行整理，繪成如下頻率分布直方圖

頻率

0.18--------------------——

0.14....................——

6

OS..05

..03

OS.02

O

.0

3579111315A指標值

⑴根據(jù)頻率分布直方圖，估計這5000只家禽血液樣本中A指標值的中位數(shù)(結果保留兩位小數(shù))；

(2)通過長期調(diào)查分析可知，該養(yǎng)殖場家禽血液中A指標的值X服從正態(tài)分布N(7.4,2.632).

(i)若其中一個養(yǎng)殖棚有1000只家禽，估計其中血液A指標的值不超過10.03的家禽數(shù)量(結果保留整數(shù))；

(ii)在統(tǒng)計學中，把發(fā)生概率小于1%的事件稱為小概率事件，通常認為小概率事件的發(fā)生是不正常的.該

養(yǎng)殖場除定期抽檢外，每天還會隨機抽檢20只，若某天發(fā)現(xiàn)抽檢的20只家禽中恰有3只血液中A指標的

值大于12.66,判斷這一天該養(yǎng)殖場的家禽健康狀況是否正常，并分析說明理由.

參考數(shù)據(jù)：

①0.022753?0.00001,0.9772517?0.7；

②若X則P(〃—咸N〃+b)yO.6827;P(〃一2成度/z+2cr)~0.9545.

4.（2022下?云南昆明?高二云南師大附中?？计谥校槠占皞魅静》乐沃R，增強市民的疾病防范意識，

提高自身保護能力，某市舉辦傳染病防治知識有獎競賽.現(xiàn)從該市所有參賽者中隨機抽取了100名參賽者

的競賽成績，并以此為樣本繪制了如表所示的頻率分布表.

競賽成績[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人數(shù)610183316116

（1）求這100名參賽者的競賽成績的樣本均值元和樣本方差52（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）;

⑵若該市所有參賽者的成績X近似地服從正態(tài)分布用樣本估計總體，〃近似為樣本均值，4近

似為樣本方差，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：（參考數(shù)據(jù)：15）

①如果按照15.87%,34.13%,34.13%,15.87%的比例將參賽者的競賽成績劃分為參與獎、二等獎、一等獎、特

等獎四個等級，試確定各等級的分數(shù)線（精確到整數(shù)）；

②若該市共有10000名市民參加了競賽，試估計參賽者中獲得特等獎的人數(shù)（結果四舍五入到整數(shù)）.

附：若隨機變量X服從正態(tài)分布則—+20.6827,

P（/z-2CT<X<〃+2b）B0.9545,尸（〃一3cr<X<〃+3cr）比0.9973.

題型五：3b原則

1.（2023上?江西南昌?高二南昌十中校考階段練習）近年來，隨著電腦、智能手機的迅速普及，我國在線

教育行業(yè)出現(xiàn)了較大的發(fā)展.某在線教育平臺為了解利用該平臺學習的高一學生化學學習效果，舉行了一次

化學測試，并從中隨機抽查了200名學生的化學成績（滿分100分），將他們的成績分成以下6組：[40,50）,

[50,60）,[60,70）,[90,100],統(tǒng)計結果如下面的頻數(shù)分布表所示.

組別[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)203040603020

⑴現(xiàn)利用分層抽樣的方法從前3組中抽取9人，再從這9人中隨機抽取4人調(diào)查其成績不理想的原因，試

求這4人中至少有2人來自前2組的概率.

（2）高一學生的這次化學成績Z（單位：分）近似地服從正態(tài)分布N（〃Q2）,其中〃近似為樣本平均數(shù)"b

近似為樣本的標準差s，并已求得s=14.31,且這次測試恰有2萬名學生參加.

(i)試估計這些學生這次化學成績在區(qū)間(56.19,99.12］內(nèi)的概率(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為

代表)；

(ii)為了提升學生的成績，該平臺決定免費贈送給在平臺學習的學生若干學習視頻，具體贈送方案如下：

方案1：每人均贈送25小時學習視頻；

方案2：這次測試中化學成績不高于56.19分的學生贈送40小時的學習視頻，化學成績在(56.19,84.81］內(nèi)的

學生贈送30小時的學習視頻，化學成績高于84.81分的學生贈送10小時的學習視頻.問：哪種方案該平臺

贈送的學習視頻總時長更多?請根據(jù)數(shù)據(jù)計算說明.

參考數(shù)據(jù)：貝U尸(〃—cr<X4〃+cr)y0.6827,P(/z-2cr<X<//+2cr)~0.9545.

2.(2023?陜西咸陽??？寄M預測)2015年5月，國務院印發(fā)《中國制造2025》，是我國由制造業(yè)大國轉(zhuǎn)

向制造業(yè)強國戰(zhàn)略的行動綱領.經(jīng)過多年的發(fā)展，我國制造業(yè)的水平有了很大的提高，出現(xiàn)了一批在國際上

有影響的制造企業(yè).我國的造船業(yè)、光伏產(chǎn)業(yè)、5G等已經(jīng)在國際上處于領先地位，我國的精密制造也有了長足

發(fā)展.已知某精密設備制造企業(yè)生產(chǎn)某種零件，根據(jù)長期檢測結果，得知生產(chǎn)該零件的生產(chǎn)線的產(chǎn)品質(zhì)量指

標值服從正態(tài)分布N(64,100),且質(zhì)量指標值在［54,84］內(nèi)的零件稱為優(yōu)等品.

(1)求該企業(yè)生產(chǎn)的零件為優(yōu)等品的概率(結果精確到0.01)；

(2)從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機抽取5件，隨機變量X表示抽取的5件中優(yōu)等品的個數(shù)，求X的分布列、

數(shù)學期望和方差.

附：尸(〃一成族〃+(T)Q0.6827,尸(〃一2o^k〃+2<7)仁0.9545,尸(〃一3或度//+3cr)~0.9973.

3.（2023下?江西上饒?高二上饒市第一中學?？茧A段練習）某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該

市中學生進行了一次文化知識有獎競賽，競賽類勵規(guī)則如下：得分在［70,80）內(nèi)的學生獲三等獎，得分在

［80,90）內(nèi)的學生獲二等獎，得分在［90,100）內(nèi)的學生獲得一等獎，其他學生不得獎，為了解學生對相關知識

的掌握情況，隨機抽取100名學生的競賽成績，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.

忸即

0.034卜v?

8:813--I-

°3040$06070NO（M）1（）0或第/分

若該市所有參賽學生的成績X近似服從正態(tài)分布N（",，），其中M為樣本平均數(shù)的估計值，利用所

得正態(tài)分布模型解決以下問題：

⑴若該市共有10000名學生參加了競賽,試估計參賽學生中成績超過79分的學生數(shù)（結果四舍五入到整數(shù)）;

⑵若從所有參賽學生中（參賽學生數(shù)大于10。。。）隨機取3名學生進行訪談，設其中競賽成績在64分以上的

學生數(shù)為乙求隨機變量占的分布列和期望.

附參考數(shù)據(jù)，若隨機變量X服從正態(tài)分布Na。?），則P（〃-bVXV〃+bh0.6827,

尸（〃一2cr4X4〃+2cr）。0.9545,一3b4X4〃+3b）“0.9973.

4.（2023下?福建泉州?高二?？计谥校┠耻囬g生產(chǎn)一批零件，現(xiàn)從中隨機抽取10個零件，測量其內(nèi)徑的數(shù)

據(jù)如下（單位：cm）：

979798102105107108109113114.

設這10個數(shù)據(jù)的平均值為〃，標準差為.

（1）求M與b；

（2）假設這批零件的內(nèi)徑Z（單位：cm）服從正態(tài)分布從這批零件中隨機抽取5個，設這5個零

件中內(nèi)徑小于87cm的個數(shù)為X,求磯4X+3）.

參考數(shù)據(jù)：若X~N（〃,<y2）,貝尸（〃-2b<X<〃+2b）y0.9545,尸（〃一3bWXW〃+3cr）*0.9973,

0.99734?0.99.

三、專項訓練

1.（2024上?江西,高三校聯(lián)考期末）面試是求職者進入職場的一個重要關口，也是機構招聘員工的重要環(huán)

節(jié).某科技企業(yè)招聘員工，首先要進行筆試，筆試達標者進入面試，面試環(huán)節(jié)要求應聘者回答3個問題，第

一題考查對公司的了解，答對得2分，答錯不得分，第二題和第三題均考查專業(yè)知識，每道題答對得4分，

答錯不得分.

⑴若一共有100人應聘，他們的筆試得分X服從正態(tài)分布N（60,144）,規(guī)定X>72為達標，求進入面試環(huán)

節(jié)的人數(shù)大約為多少（結果四舍五入保留整數(shù)）；

⑵某進入面試的應聘者第一題答對的概率為2:，后兩題答對的概率均為三4，每道題是否答對互不影響，求

該應聘者的面試成績y的數(shù)學期望.

附：若X~N（〃,CF2）（>0）,則P（〃-cr<X<〃+CF）Q0.683,P（〃-2b<X<〃+2cr）y0.954,

P（〃一3b<X<〃+3b）a0.997.

2.（2024上?江蘇常州?高三統(tǒng)考期末）某制造商生產(chǎn)的5000根金屬棒的長度近似服從正態(tài)分布N（6,"）,

其中恰有114根金屬棒長度不小于6.04.

⑴求。；

（2）如果允許制造商生產(chǎn)這種金屬棒的長度范圍是（5.95,6.05）,那么這批金屬棒中不合格的金屬棒約有多

少根？

說明：對任何一個正態(tài)分布X-來說，通過Z=3#轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布Z~N（0,D,從而查標

準正態(tài)分布表得到P（X<Xj=①（Z）.

可供查閱的（部分）標準正態(tài)分布表①（Z）

Z1.11.21.31.41.51.61.71.81.9

①（Z）0.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.9713

Z2.02.12.22.32.42.52.62.72.8

①（Z）0.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.9974

3.(2024上?云南昆明?高三昆明一中校考階段練習)某面包店的面包師聲稱自己店里所出售的每個面包的

質(zhì)量均服從期望為1000g,標準差為50g的正態(tài)分布.

⑴已知如下結論：若X~N(〃Q2),從X的取值中隨機抽取K(KeN*，K22)個數(shù)據(jù)，記這K個數(shù)據(jù)

的平均值為匕則隨機變量請利用該結論解決問題；假設面包師的說法是真實的，那么從面

包店里隨機購買25個面包，記這25個面包質(zhì)量的平均值為匕求P(Y<980)；

⑵假設有兩箱面包(面包除顏色外，其它都一樣)，已知第一箱中共裝有6個面包，其中黃色面包有2個；

第二箱中共裝有8個面包，其中黃色面包有3個，現(xiàn)隨機挑選一箱，然后從該箱中隨機取出2個面包，求

取出黃色面包個數(shù)的分布列及數(shù)學期望.

附：隨機變量〃月艮從正態(tài)分布雙(〃,<72),貝!|「(〃—(7<〃4〃+<7)=0.6827,P(〃-2crW〃W〃+2b)=0.9545,

P(//-3cr<77<〃+3cr)=0.9973.

4.(2024?全國?模擬預測)某學校為了了解高一學生安全知識水平，對高一學生進行"消防安全知識測試”，

并且規(guī)定測試成績小于60分的為“不合格"，否則為"合格若該年級"不合格"的人數(shù)不超過總人數(shù)的5%,

則該年級知識"達標"；否則該年級知識"不達標"，需要重新對該年級學生進行消防安全培訓.現(xiàn)從全體高一

學生中隨機抽取10名，經(jīng)統(tǒng)計得，10名學生的平均成績?yōu)?4分，標準差為7.

⑴假設高一學生的知識測試成績服從正態(tài)分布將上述10名學生的成績作為樣本，用樣本平均數(shù)

元作為〃的估計值，用樣本標準差$作為。的估計值.利用估計值估計：高一學生知識是否"達標"？

(2)已知知識測試中的多項選擇題中，有4個選項.小明知道每道多項選擇題均有兩個或三個正確選項.但

根據(jù)得分規(guī)則：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.這樣，小明在做多項選擇題時，

可能選擇一個選項，也可能選擇兩個或三個選項，但不會選擇四個選項.假設小明在做某道多項選擇題時，

基于已有的解題經(jīng)驗，他選擇一個選項的概率為;，選擇兩個選項的概率為二，選擇三個選項的概率為」.已

z36

知該道多項選擇題只有兩個正確選項，小明完全不知道四個選項的正誤，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗隨機選擇.記

X表示小明做完該道多項選擇題后所得的分數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.

附:若隨機變量Z服從正態(tài)分布則P(〃一cr<Z<〃+cr)=0.6826,尸(〃-2cr<Z<〃+2cr)=0.9544,

P(N一3b<Z<〃+3b)=0.9974.

5.（2023?全國,模擬預測）某市有20000名學生參加了一項知識競賽活動（知識競賽分為初賽和復賽），

并隨機抽取了100名學生的初賽成績作為樣本，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.

頻率/組距

-------1-----1

—I-

---------L__J_

——J——1————J.

o'5060708090100成績/分

（1）根據(jù)I頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計值和80%分位數(shù).

（2）若所有學生的初賽成績X近似服從正態(tài)分布其中M為樣本平均數(shù)的估計值，初賽成

績不低于89分的學生才能參加復賽，試估計能參加復賽的人數(shù).

⑶復賽設置了三道試題，第一、二題答對得30分，第三題答對得40分，答錯得0分.已知某學生已通過

初賽，他在復賽中第一題答對的概率為5,后兩題答對的概率均為J，且每道題回答正確與否互不影響,

記該考生的復賽成績?yōu)閥,求y的分布列及數(shù)學期望.

附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N（〃Q2）,則P（〃-b<XV〃+。）。0.6827,

P（〃一2b<XW〃+2o■卜0.9545,尸（〃一3b<XW〃+3cr）。0.9973.

6.（2023上?四川攀枝花?高二統(tǒng)考期末）攀枝花屬于亞熱帶季風氣候區(qū)，水果種類豐富.其中，"紅格臍橙"

已經(jīng)“中華人民共和國農(nóng)業(yè)部2010年第1364號公告”予以登記，根據(jù)其種植規(guī)模與以往的種植經(jīng)驗，產(chǎn)自該

果園的單個"紅格臍橙”的果徑（最大橫切面直徑，單位：mm）在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布N（68,36）.

⑴一顧客購買了10個該果園的"紅格臍橙"，求會買到果徑小于56mm的概率；

⑵為了提高利潤，該果園每年投入一定的資金，對種植、采摘、包裝、宣傳等環(huán)節(jié)進行改進.如圖是2013

年至2022年（單位：萬元）與年利潤增量y（單位：萬元）的散點圖：

年利潤增量（萬元）

45

40

35

30

25

20

15

10

5

6123456789161g資金額嵐萬元）

該果園為了預測2023年投資金額為20萬元時的年利潤增量，建立了y關于x的兩個回歸模型；

模型①：由最小二乘公式可求得y與X的線性回歸方程：y=2.50%-2.50；

模型②：由圖中樣本點的分布，可以認為樣本點集中在曲線：1=Rnx+。的附近.對投資金額》做交換,

10101010

令t=lnx,且有￡乙=22.00,￡M=230,=569.00,￡r,2=50.92.

Z=1Z=11=1z=l

（i）根據(jù)所給的統(tǒng)計量，求模型②中y關于x的回歸方程；

（ii）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關指數(shù)R2,并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測

投資金額為20萬元時的年利潤增量（結果保留兩位小數(shù)）.

回歸模型模型①模型②

y=b\nx+a

回歸方程9=2.50%-2.50

10。

Z(…)一102.2836.19

i=\

附：若隨機變量X~N(4,cr2),則尸(〃一2bVXV〃+2b)=0.9544,P(〃-3crVXV〃+3b)=0.9974；

樣本（4，y）（?=1,2,的最小二乘估計公式為B=上—；----------=號--------，a=y-bt

1=1Z=1

Z(X—%)2

相關指數(shù)改=「——

E(x-y)2

i=l

8.（2023下?黑龍江大興安嶺地?高二大興安嶺實驗中學?？计谥校┤娼ㄔO社會主義現(xiàn)代化國家，最艱巨

最繁重的任務仍然在農(nóng)村，強國必先強農(nóng)，農(nóng)強方能國強.某市為了解當?shù)剞r(nóng)村經(jīng)濟情況，隨機抽取該地

2000戶農(nóng)戶家庭年收入無（單位：萬元）進行調(diào)查，并繪制得到如下圖所示的頻率分布直方圖.

八頻率/組距

0.3-------------------------

0.2-----------------------------

0.15---------------

o'4：55：56：57：58：59：565"萬元）

⑴求這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù)?。ㄍ唤M的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表）.

⑵由直方圖可認為農(nóng)戶家庭年收入X近似服從正態(tài)分布其中〃近似為樣本平均數(shù)元，b?近似為

樣本方差$2,其中$2=2.3.

①估計這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過9.52萬元（含9.52）的戶數(shù)？（結果保留整數(shù)）

②如果用該地區(qū)農(nóng)戶家庭年收入的情況來估計全市農(nóng)戶家庭年收入的情況，現(xiàn)從全市農(nóng)戶家庭中隨機抽取

4戶，即年收入不超過9.52萬元的農(nóng)戶家庭數(shù)為求P《43）.（結果精確到0.001）

附：①后它1.52；②若XN（〃,〃）2UP（〃—b<X<〃+b）=0.6827，*〃一2b<X<〃+2b）=0.9545；

③0.84135晨0.501.

9.（2023?四川宜賓?四川省宜賓市南溪第一中學校?？寄M預測）為深入學習黨的二十大精神，激勵青年

學生積極奮發(fā)向上.某學校團委組織學生參加了“青春心向黨，奮進新時代”為主題的知識競賽活動，并從中

抽取了200份試卷進行調(diào)查，這200份試卷的成績（卷面共100分）頻率分布直方圖如圖所示.

頻率

（1）將此次競賽成績J近似看作服從正態(tài)分布用樣本平均數(shù)和標準差S分別作為〃，b的近似值）,

己知樣本的標準差SB7.5.現(xiàn)從該校參與知識競賽的所有學生中任取100人，記這100人中知識競賽成績超

過88分的學生人數(shù)為隨機變量X,求X的數(shù)學期望；

⑵從得分區(qū)間［80,90）和［90,100］的試卷中用分層抽樣的方法抽取10份試卷，再從這10份樣本中隨機抽測3

份試卷，若已知抽測的3份試卷來自于不同區(qū)間，求抽測3份試卷有2份來自區(qū)間［90,100］的概率.

參考數(shù)據(jù)：若J則尸（〃一〃+<7）。0.68,P（〃-2b<jV〃+2b）y0.95,

P（//-3cr<^<//+3cr）~0.99.

10.（2023下?重慶江北?高二重慶十八中?？茧A段練習）為落實體育總局和教育部發(fā)布的《關于深化體教融

合，促進青少年健康發(fā)展的意見》，A市共100000名男學生進行100米短跑訓練，在某次短跑測試中，從

中抽取100名男生作為樣本，統(tǒng)計他們的成績（單位：秒），整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)規(guī)

定男生短跑成績不超過13.5秒為優(yōu)秀.

⑴估計樣本中男生短跑成績的平均數(shù).（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）

（2）根據(jù)統(tǒng)計分析，A市男生的短跑成績X服從正態(tài)分布N（〃,L252）,以（1）中所求的樣本平均數(shù)作為〃的

估計值，求下列問題：

①若從A市的男生中隨機抽取10人，記其中短跑成績在［12.5,17.5］以外的人數(shù)為匕求P（V21）；

②在這100名男生中、任意抽取2名成績優(yōu)秀的男生的條件下，將該2人成績納入全市排名（短跑周時越

少、排名越靠前），能進入全市前2275名的人數(shù)為無，求x的期望.

附：若2~隊〃,6,貝!|：p（〃一bVZV〃+b）=0.6827,P（〃一2crVZV〃+2cr）=0.9545,

尸（〃一3crWZW〃+3（T）=0.9973,O.954510?0.6277

專題03正態(tài)分布(典型題型歸類訓練)

一、必備秘籍

1、正態(tài)分布

1(>"

若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為/(x)=--j=e2b2對任意的尤eH,/(x)>0,它的圖象

c/2萬

在x軸的上方.可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱/(%)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正

態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線,如上圖所示.

若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機變量X服從正態(tài)分布(normaldis-tribution),記為

XN(〃,cy2).特別地，當〃=0,。=1時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布，即XN(0,l).

由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線有以下特點:

(2)曲線在x軸的上方，與x軸不相交。

(2)曲線是單峰的，它關于直線％=4對稱.

1_

(3)曲線在％=4處達到峰值—7=(最IWJ點)

(7?2萬

(4)當|X|無限增大時，曲線無限接近x軸.

(5)X軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于1.

2、正態(tài)分布的3o■原則

2b3b

*—,68.27%

…95.45%…

…?…99.73%?…?…

P(N-(y<X<4+CF)Q0.6827

尸(〃-2a<%<//+2a)?0.9545

P(N一3b<X<//+3b)p0.9973

二、典型題型

題型一：正態(tài)密度函數(shù)

1.（2021,陜西寶雞■統(tǒng)考三模）某地處偏遠山區(qū)的古鎮(zhèn)約有人口5000人，為了響應國家號召，鎮(zhèn)政府多項

并舉，鼓勵青壯勞力外出務工的同時發(fā)展以旅游業(yè)為龍頭的鄉(xiāng)村特色經(jīng)濟，到2020年底一舉脫貧.據(jù)不完全

統(tǒng)計該鎮(zhèn)約有20%的人外出務工.下圖是根據(jù)2020年扶貧工作期間隨機調(diào)查本地100名在外務工人員的年

（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)怙計該鎮(zhèn)外出務工人員的創(chuàng)收總額（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表卜

(X-〃)2

（2）假設該鎮(zhèn)外出務工人員年收入服從正態(tài)分布N（〃,〃），其分布密度函數(shù)為〃x）=]h,其中

(Jy[27T

M為樣本平均值.若/（x）的最大值為叵，求b的值；

10%

（3）完成脫貧任務后，古鎮(zhèn)黨政班子并不懈怠，決心帶領全鎮(zhèn)人民在奔小康道路上再上一個新臺階，出臺

了多項優(yōu)惠政策，鼓勵本地在外人員返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè).調(diào)查顯示務工收入在［〃+。,〃+2可和［〃+25，+3日的人群

愿意返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)的人數(shù)比例分別為15%和20%.從樣本人群收入在［〃+5〃+3日的人中隨機抽取3人進行調(diào)

查，設X為愿意返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

【答案】（1）30000（千元）；（2）（7=5；（3）分布列答案見解析，數(shù)學期望：—.

【分析】（1）利用頻率分布直方圖求出100名在外務工人員的年平均收入，再乘以5000x20%可得結果;

（2）根據(jù)概率密度函數(shù)的單調(diào)性求出最大值，結合已知最大值可得結果；

（3）求出隨機變量X的可能取值及其概率可得分布列，根據(jù)期望公式求出數(shù)學期望.

【詳解】（1）由頻率分布直可知100名在外務工人員的平均年收入為

0.02x5x17.5+0.03x5x22.5+0.04x5x27.5+0.06x5x32.5+0.04x5x37.5

位01x5x42.5=30(千元)

???該鎮(zhèn)外出務工人員的創(chuàng)收總額為5000x20%x30=30000(千元).

（X-4）2

(2)概率密度函數(shù)為/（尤）=寸，在（—,〃）上單調(diào)遞增，在（〃,內(nèi)）上單調(diào)遞減

1

.?.當X=〃時，函數(shù)“X）取得最大值為

,1_后

解得CF=5.

CTA/ZT?10%

(3)/z=30,a-5,

???樣本中年收入在［〃+5〃+2可(即［35,40］)和［〃+25〃+3可(即［40,45］)內(nèi)愿意返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)的人數(shù)分別為

100x0.04x5xl5%=3AW100x0.01x5x20%=1A.

...樣本人群收入在［〃+5〃+3可=［35,45］內(nèi)共100x（0.04+0.01）x5=25人，其中愿意返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)的共4人,

,隨機變量X的可能取值分別為0,1,2,3,

l2

c￡_665CC420C2cl63

尸(X=0)=P(X=I)=^V^=-^-P(X=2)=*=

可一1150

Cf51150。251150

2

P(X=3)=

41150

「?隨機變量X的分布列為

X0123

665420632

P

1150115011501150

八6651420c63。212

/.E（X）=0x----+lx----+2x-----i-3x----=——

v7115011501150115025

【點睛】關鍵點點睛：掌握利用頻率分布直方圖求平均數(shù)、正確求出離散型隨機變量的分布列是解題關鍵.

1上

2.(2018?高二課時練習)正態(tài)總體當〃=0。=1時的概率密度函數(shù)是%