高考數(shù)學(xué)解答題專項復(fù)習(xí)：圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題（含定值、最值、范圍問題）（典型題型歸類訓(xùn)練）（學(xué)生版+解析）

專題03圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題

（含定值、最值、范圍問題）

（典型題型歸類訓(xùn)練）

一、必備秘籍

1、弦長公式

|=-—々J+（%一%）2

22

\AB|=7（l+k）（xt-%2）

=J（l+k2）［（尤］+/）2—（最常用公式，使用頻率最高）

2,三角形面積問題

直線AB方程：y=kx+m

11ViTF

Z77

網(wǎng)-yo+|'TA|fct0-y0+m|

SMBP=扣加d=JJ1+4夸2^j

3,焦點三角形的面積

直線AB過焦點八,的面積為

=^lF2\-\yl-y2\=c\yl-y2\=^-

，4。%2（/42+尸62-。2）

22|C|

SMOB=^\AB\d=^A+B

a^+b^B27A2+B2

―雙面笛-C）d

a2A2+b2B2

注意：4為聯(lián)立消去x后關(guān)于y的一元二次方程的二次項系數(shù)

4、平行四邊形的面積

直線為丁二丘+m，直線CO為了=自+生

d=\CH\J^^

11

2

\AB\=J1+左]9-%2|=J1+/+9)2-4%無2=Vl+VJ(-^)-4—=J]+/含

\AA|A

q=|AB|,d=

^uABCD可花量—一H

注意：4為直線與橢圓聯(lián)立后消去y后的一元二次方程的系數(shù).

5、范圍問題

首選均值不等式，其實用二次函數(shù)，最后選導(dǎo)數(shù)均值不等式cr+b2>2ab(a,beR)

變式：a+b>2-Jab{a,beR+);ab<(Q+^)2(a,Z>e7?+)

'2

作用：當(dāng)兩個正數(shù)的積為定值時求出這兩個正數(shù)的和的最小值；

當(dāng)兩個正數(shù)的和為定值時求出這兩個正數(shù)的積的最大值

注意：應(yīng)用均值不等式求解最值時，應(yīng)注意“一正二定三相等”

圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：

，S。=--2-t-=--2--

(1)產(chǎn)+64164(注意分t=Oj>Oj<O三種情況討論)

t

網(wǎng)2=3+412■:—=3+------——<3+———

11422

(2)9/+6Jt+l9^+―+62x3+6

當(dāng)且僅當(dāng)9人2='時，等號成立

(3)|PQ「=34+25.生學(xué)+9.2—34+2125.生畢x9=64

1'9片25y；V9片25y；

當(dāng)且僅當(dāng)25?著=9?著時等號成立.

9%o25yo

(4)sC|T=["f2+8)lflxm2—m2+8

2

當(dāng)且僅當(dāng)蘇=-1+8時，等號成立

2k2-+1+tn^

J(2/2—喈+1)喈

=4<472----------J-------=2忘

卷也1+2公l+2k2

當(dāng)且僅當(dāng)2左2+1=24時等號成立.

二、典型題型

題型一：三角形面積（定值問題）

1.（2024上?江西新余?高二統(tǒng)考期末）如圖，橢圓C:三2+左2=1（。＞6＞0）和圓=〃，已知橢圓c

的離心率為述，直線缶-2y-#=0與圓。相切.

⑴求橢圓C的標準方程;

（2）橢圓C的上頂點為8,跖是圓。的一條直徑，EF不與坐標軸重合，直線BE、與橢圓C的另一個交

點分別為P、Q,求ABPQ的面積的最大值.

2.（2024上?浙江寧波?高二統(tǒng)考期末）已知橢圓（？：馬+^=1（。＞萬＞°）離心率等于正，長軸長為4.

a2b12

⑴求橢圓的標準方程C;

⑵若直線'=丘+機與軌跡C交于N兩點，。為坐標原點，直線OM,ON的斜率之積等于-；，試探究

△OVW的面積是否為定值，并說明理由.

3.（2024上?四川宜賓?高二統(tǒng)考期末）已知點44,4）在拋物線C:y2=2px（p>0）上,斜率為的直線與C

交于P、。兩點，記直線AP、A。的斜率分別為匕、h

⑴證明：勺+%為定值:

(2)若NPAQ=90°,求△FAQ的面積.

題型二：四邊形面積（定值問題）

1.（2024?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考一模）已知橢圓C：二+衛(wèi)=1（。>匕>0）的離心率為逅，點P（0,2）在橢圓C上,

ab3

過點P的兩條直線B4,P8分別與橢圓C交于另一點A,B,且直線上4,PB,A8的斜率滿足

kpA+kpB=4kAs（%*0）.

⑴求橢圓C的方程；

⑵證明直線A8過定點；

⑶橢圓C的焦點分別為片，F(xiàn)2,求凸四邊形耳AgB面積的取值范圍.

22

2.（2024上?天津河北?高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C:j+==l（a>b>0）的右焦點為尸（L0）,短軸長為2.

ab

過點廠且不平行于坐標軸的直線/與橢圓C交于A8兩點，線段A3的中點為V.

⑴求橢圓C的方程；

⑵證明：直線OM的斜率與直線/的斜率的乘積為定值；

⑶延長線段與橢圓C交于點尸，若四邊形。4PB為平行四邊形，求此時直線，的斜率及四邊形Q4PB的

面積.

22

3.（2023上?四川綿陽?高三綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知橢圓￡:左+}=1（。>6>0）的左、

右焦點為耳，F(xiàn)2,若E上任意一點到兩焦點的距離之和為4,且點L在E上.

⑴求橢圓E的方程；

⑵在（1）的條件下，若點A,8在E上，且%（廣-白。為坐標原點），分別延長A。，BO交E于C,D

兩點，則四邊形ABCD的面積是否為定值？若為定值，求四邊形ABCD的面積，若不為定值，請說明理由.

題型三：三角形面積（最值，范圍問題）

1.（2024上?江西吉安?高二江西省峽江中學(xué)校考期末）已知拋物線C：：/=2px的焦點廠在x軸正半軸上，

過B的直線/交C于A,2兩點，過尸與/垂直的直線交C于。，E兩點，其中B,。在無軸上方，M,N分

別為A3,DE的中點.已知當(dāng)/的斜率為2時，|AB|=5.

（1）求拋物線C的解析式；

（2）試判斷直線是否過定點，若過定點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由；

⑶設(shè)G為直線AE與直線BD的交點，求AGMN面積的最小值.

22

2.(2024上?江西新余?高二統(tǒng)考期末)如圖，橢圓C：A+A=l(a>6>0)和圓。:/+/=凡已知橢圓c

ab

的離心率為述，直線-2k面=0與圓。相切.

3

B

⑴求橢圓C的標準方程；

(2)橢圓C的上頂點為2,E尸是圓。的一條直徑，斯不與坐標軸重合，直線3E、8尸與橢圓C的另一個交

點分別為尸、Q,求ABPQ的面積的最大值.

3.(2024上廣東廣州?高二華南師大附中?？计谀?已知M(-2,0),N(2,0),圓M:0+方+/=48,尸是

圓M上任意一點，線段尸N的垂直平分線/和半徑PM相交于點Q,當(dāng)尸點在圓加上運動時，點Q的軌跡

是曲線E.

(1)求曲線E的方程；

⑵過N作一條不平行于坐標軸的直線交曲線E于兩點，過8點作x軸的垂線交E于點。，求△AOD面

積的最大值.

22

4.(2024?吉林長春?東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知橢圓C:「+M=l(a>6>0)的兩焦點

ab

月(—1,0),乙(1,0),且橢圓C過[-右,]-].

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為AB,直線/交橢圓C于",N兩點與A,8均不重合)，記直線40的

斜率為尤，直線8N的斜率為右，且4-2&=0,設(shè)AAMN,ABMN的面積分別為工況，求國-$2|的取值

范圍

題型四：四邊形面積(最值，范圍問題)

1.(2024?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考一模)已知橢圓C:±+￡=1(。>6>0)的離心率為逅,點尸(0,2)在橢圓C上,

ab3

過點P的兩條直線R1,，陽分別與橢圓C交于另一點A,B,且直線9，PB,A2的斜率滿足

kpA+卜演=4kAe(如20).

(1)求橢圓C的方程；

(2)證明直線A3過定點；

⑶橢圓C的焦點分別為片，F(xiàn)2,求凸四邊形々A88面積的取值范圍.

2.(2024上?湖南婁底?高三統(tǒng)考期末)已知橢圓C：!+j=l(a>6>0)的右焦點為F，離心率e=g,橢

圓C上一動點D到F的距離的最小值為V6-2.

(1)求橢圓C的標準方程；

⑵設(shè)斜率為左(上片°)的直線/過/點，交橢圓C于A8兩點，記線段4B的中點為N,直線QV交直線x=3于

點、M,直線板交橢圓C于尸，。兩點，求NME4的大小，并求四邊形APBQ面積的最小值.

3.(2024上?山西大同?高二統(tǒng)考期末)已知橢圓E：5+r=l(〃>6>0)經(jīng)過點，等］一個焦點在直線

y=gx-3上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)經(jīng)過原點。的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A,8兩點和C,。兩點.求四邊形AC3Q的

面積的最小值.

4.(2024上?貴州銅仁?高二統(tǒng)考期末)已知橢圓C的焦點坐標(。,士1),且過點

⑴求橢圓C的標準方程；

(2)直線>=析+加與橢圓C交于尸，Q兩點，且P,Q關(guān)于原點的對稱點分別為N,若|PM「+|QN「是

一個與機無關(guān)的常數(shù)，求此時的常數(shù)及四邊形尸QMN面積的最大值.

三、專項訓(xùn)練

22

1.(2024上?天津河北?高二統(tǒng)考期末)已知橢圓C:二+上=1(4>6>0)的右焦點為b(1,0),短軸長為2.

ab

過點/且不平行于坐標軸的直線/與橢圓C交于AB兩點，線段A8的中點為V.

(1)求橢圓C的方程；

(2)證明：直線OM的斜率與直線/的斜率的乘積為定值；

⑶延長線段31與橢圓C交于點P,若四邊形。1P3為平行四邊形，求此時直線/的斜率及四邊形。47叩的

面積.

2.(2024上?遼寧?高三校聯(lián)考期末)已知橢圓4+衛(wèi)=1(a>6>0)的離心率為正，左、右焦點分別

a2b-3

為F、，F(xiàn)°.過F1的直線交橢圓于8,。兩點，過居的直線交橢圓于A,C兩點，且AC13。，垂足為P,\OP\^1.

■>

X

⑴求橢圓的標準方程；

⑵求四邊形A3CD的面積的最小值.

3.(2024上,重慶九龍坡?高二統(tǒng)考期末)已知橢圓C:、+A=l(a>b>0)的離心率為焦距為2.

ab2

(1)求橢圓的標準方程；

⑵若直線/：y=-x+m(meR)與橢圓C相交于AB兩點，且后屋《8=名.求”03的面積.

O

4.(2024上?河北滄州?高二泊頭市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知橢圓C的中心為坐標原點O,焦點在x軸

上，點均在橢圓0上.

⑴求橢圓C的離心率；

(2)過原點且經(jīng)過第一、三象限的直線/與橢圓交于瓦尸兩點，點A為橢圓右頂點，點8為橢圓上頂點，求四

邊形AFBE面積的最大值.

5.(2024上?天津?qū)幒?高二統(tǒng)考期末)已知橢圓5+3=1(。>6>0)的離心率為乎，右焦點為尸。,0).

⑴求橢圓的方程；

⑵設(shè)直線了=彳+；與橢圓交于A,B兩點，求AE鉆的面積.

22

8.(2024上?上海?高二上海市吳淞中學(xué)校考期末)如圖，設(shè)p是橢圓q+A=l的下焦點，直線

y=foc-4(>>0)與橢圓相交于A、2兩點，與V軸交于P點.

⑴求以廠為圓心，短軸長為半徑的圓的標準方程；

⑵判斷直線AF與環(huán)斜率之和是否為常數(shù)，若成立，求出常數(shù)值；否則說明理由;

⑶求△ABb面積的最大值.

45

9.(2024上?甘肅蘭州?高二校考期末)在平面直角坐標系。孫中,圓M與圓Gx~+y~+2y——=0內(nèi)切,

3

且與圓+9-2y+a=0外切，記動圓M的圓心的軌跡記為曲線C.直線/：y=履+〃2(機工0)與曲線C

相交于P,。兩點.

(1)求曲線C的方程；

(2)若+|OQ「是一個與機無關(guān)的定值，求此時左的值及AOP。的面積的最大值.

22

10.(2024上?江蘇無錫?高二無錫市第一中學(xué)?？计谀?已知橢圓C：3+[=l(a>6>0)的左右焦點分別

ab

為居(-2,0),g(2,0),且橢圓過點(2,0),直線/：，=丘+加左片0)與橢圓。相交于人，8兩點.

⑴求橢圓C的方程；

(2)若/不過原點且不平行于坐標軸，記線段A3的中點為V,求證：直線?！钡男甭逝c/的斜率的乘積為定

值；

(3)若。求44OB面積的取值范圍.

專題03圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題

（含定值、最值、范圍問題）

（典型題型歸類訓(xùn)練）

一、必備秘籍

1、弦長公式

|=—％2）2+（%一%）2

22

\AB|=7(l+k)(xt-%2)

=J(l+k))［(尤］+%)2—4%］々］（最常用公式，使用頻率最高）

2,三角形面積問題

直線方程：

ABy=kx+m11VT7F

\kx-+m\'TA|fct-y+m|

SMBP=扣斗d=JJl+4,000

乙乙IAI2^j

3、焦點三角形的面積

直線AB過焦點八,的面積為

s

^BFl=^lF2\-\yl-y2\=c\yl-y2\=^-

，4。%2(/42+尸62-。2)|C|

22

SMOB=^\AB\d=^A+B

a^+b^B27A2+B2

a久/(a2A2+ZAB2—。2解2

a2A2+b2B2

注意：4為聯(lián)立消去左后關(guān)于y的一元二次方程的二次項系數(shù)

4、平行四邊形的面積

直線9為〉=履+附，直線8為〉="+7”2

IAB\=J1+左2上]-%2|=+k2J(+]+入2)2—4%%2-V1+k2j(_~7)2_4.二=A/1+k2VA

YAAW

=1碼八許落客四=咧”

aABCD11HI日方|A,|

注意：A1為直線與橢圓聯(lián)立后消去y后的一元二次方程的系數(shù).

5、范圍問題

首選均值不等式，其實用二次函數(shù)，最后選導(dǎo)數(shù)均值不等式a2+b2>2ab(a,b^R)

變式：a+b>2y/ab(a,beR);ab<(Q+^)2(a,Z>eR+)

'■2

作用：當(dāng)兩個正數(shù)的積為定值時求出這兩個正數(shù)的和的最小值;

當(dāng)兩個正數(shù)的和為定值時求出這兩個正數(shù)的積的最大值

注意：應(yīng)用均值不等式求解最值時，應(yīng)注意“一正二定三相等”

圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：

、a=---2-t-=---2--

(1)r+6464(注意分t=0j>0j<0三種情況討論)

IH-------

1242

⑵網(wǎng)2=3+=3+I：V3+^-

9/4+6?t2+l9嚴+記+62x3+6

當(dāng)且僅當(dāng)9^=親時，等號成立

2

(3)IPQl=34+25-^-+9--^7>34+2j25.^-x9--^7=64

11比25y；V9x：25火

當(dāng)且僅當(dāng)25靠=9短時等號成立.

(4)S=-J12--m2排暴病(一病+8)C'+8二行

22

當(dāng)且僅當(dāng)“=-川+8時，等號成立

.________________________2女2—+1+

⑸S=2MF包口0.4里=4夜-喈：1）喈＜4應(yīng)2=2近

1+2左,1+2左1+2%2

當(dāng)且僅當(dāng)2左2+1=2/時等號成立.

二、典型題型

題型一：三角形面積（定值問題）

22

1.（2024上?江西新余?高二統(tǒng)考期末）如圖，橢圓C：?+2=1（。＞6＞0）和圓O:無之+產(chǎn)二兄已知橢圓C

ab

的離心率為處，直線缶-2尸而=0與圓。相切.

3

⑴求橢圓C的標準方程；

（2）橢圓C的上頂點為8,是圓。的一條直徑，E/不與坐標軸重合，直線BE、8尸與橢圓C的另一個交

點分別為P、Q,求ABP。的面積的最大值.

【答案】（1審+丁=1

2

（）（\Bpe）mM=y

,|A/2X0-2X0-A/6|?

【分析】（1）首先根據(jù)題意得到匕=/廠22="再根據(jù)離心率得到4=9,即可得到答案.

V（A/2）2+（-2）2

（2）首先設(shè)直線族:〉=區(qū)+1,與橢圓聯(lián)立得到尸,從而得到。福三，&Y，即可得到

9k+19k+1）k+9k+9）

橢圓的標準方程：y+r=i；

（2）由題意知直線3尸，BQ的斜率存在且不為0,BP1BQ,

不妨設(shè)直線BP的斜率為左伏＞0）,則直線砰:y=辰+1.

-18k

y=kx+l元二

9k2+1x=0

由t+y-,得v或

1-9左2y=i

19'y=

9V+1

-18%1-9左2]

所以尸

邰2+19V+1)

用-;代替火，得。'18%廿_9）

k&+9'/+9）

2

則叫。+爛19k「I

9r+1

2

218

iL9-k-y/l+k2

忸。M。-懸+k2+99+k2

AES島

_162（女+左3）_162，+6

="4+82/+9=以+82+2'

k2

_162〃_162162_27

設(shè)上+：=〃，則一二=82+9（儲—2）=9〃+舛M2f^二..

〃V〃

當(dāng)且僅當(dāng)9〃=里，即％+；=〃"，即左=左近時取等號,

Ak33

77

所以（S"L=T

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為（埠乂）,（%,%）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X（或V）的一元二次方程，注意△的判斷；

（3）列出韋達定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為國+%、占/（或%+%、的形式；

（5）代入韋達定理求解.

2.（2024上?浙江寧波?高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C:￡+^=l（。>6>0）離心率等于占，長軸長為4.

a2b22

（1）求橢圓的標準方程C；

⑵若直線、=%+%與軌跡C交于M,N兩點，O為坐標原點，直線OM,ON的斜率之積等于-；，試探究

△OMN的面積是否為定值，并說明理由.

【答案】⑴三+丁=1

4'

⑵是定值1,理由見解析

【分析】（1）列出關(guān)于a,c,匕的方程組求解后可得標準方程；

（2）設(shè)”（芯,乂），N8,%）,直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達定理得

*+%="筌’代入斜率乘積化簡得出'”的關(guān)系’然后由弦長公式計算弦長|MN|，再

由點到直線距離公式求得三角形的高，從而計算三角形面積可得結(jié)論.

￡=近

a2

【詳解】⑴由題意得2〃=4,解得〃=2,c=0b=l,

a2+b2=c2

2

所以橢圓C的方程為工+y2=l.

4

y=kx+m

（2）設(shè)）國,%）,N（蒼,為），聯(lián)立直線和橢圓方程可得：X2.

匕+y2=r

消去y可得：(1+4左2)/+8初吠+4病一4=0,

所以A=64%2療一4（1+4嚴）（4m2-4）＞0,即必2+1＞療,

-8km4m2-4

貝lj再+%=—,X,.Xy~~

1+4/1-1+4/

?k（）M?k（）N—~~，

,2121=_!n（、+?）.（如+〃z）k1xx+km+x）+m2

ix2。2J.

—=＞

x{x24石工24%工2

把韋達定理代入可得：k2+-8//+

4m2-44m2-44

而。點到直線MN的距離d=-jU=

yjl+k2

m2（64%2+16-16m2^

所以S0N=；4加2=；

（1+4左2J

]|（4F+1）（64^2+16-32^2-8）

把(*)代入，則

S-2]）（1+4陰2=1，可得S/^OMN是定值1.

【點睛】方法點睛：本題考查橢圓中三角形面積為定值問題，一般設(shè)出交點坐標，直線方程與橢圓方程聯(lián)

立方程組消元后應(yīng)用韋達定理，并把此結(jié)論代入題設(shè)條件得出參數(shù)關(guān)系，由弦長公式求得弦長，由點到直

線距離公式求高，計算三角形面積，并根據(jù)參數(shù)關(guān)系化簡得結(jié)論.

3.（2024上?四川宜賓?高二統(tǒng)考期末）已知點44,4）在拋物線C:y2=2px（p>0）上,斜率為的直線與C

交于P、。兩點，記直線AP、AQ的斜率分別為尤、h

⑴證明:勺+%為定值：

（2）若NPAQ=90。，求△PA。的面積.

【答案】⑴證明見解析；

⑵48.

【分析】（1）求出拋物線C的方程，設(shè)出直線尸。的方程，與C的方程聯(lián)立，借助韋達定理及斜率坐標公

式計算即得.

（2）由（1）的結(jié)論求出,進而求出直線尸。的方程，利用弦長公式及點到直線的距離公式求解即得.

【詳解】（1）由點A（4,4）在拋物線C:y2=2px（p>0）上,得p=2,拋物線C：V=4x,

設(shè)直線PQ的方程為x=-2y+f,尸（玉,%）,。（尤2，%），顯然辦12,

所以左+七為定值.

(2)由NPAQ=90。，得AP_LAQ,貝由(1)知，yi+y2=-8,yty2=-At,

12%%+4(必+%)+16=_書—16=一'斛侍‘=°’

222

直線PQ的方程為無+2〉=0,\PQ\=Vl+2-A/(y1+y2)-4y1j2=8A/5,

一,|4+2x4|12

而點A（4,4）到直線PQ的距離d=：F+22=忑,

所以的面積巨…白叼仁興后*48.

題型二：四邊形面積（定值問題）

1.（2024?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考一模）已知橢圓C:二+《■=1（。>6>0）的離心率為逅，點P（0,2）在橢圓C上,

ab3

過點P的兩條直線P4,P8分別與橢圓C交于另一點A,B,且直線B4,PB,AB的斜率滿足

kpA+kpB=4*（左.w0）.

⑴求橢圓C的方程；

（2）證明直線AB過定點；

⑶橢圓C的焦點分別為耳，尸2,求凸四邊形耳面積的取值范圍.

22

【答案】⑴土+匕=1

124

⑵證明見解析

⑶］苧8后

【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組，解出即可；

（2）設(shè)直線:>=入+加（加工2）,聯(lián)立直線和橢圓方程，消元后，利用%+曬=4勉（勉力°），建立方

程，解出后驗證即可；

（3）設(shè)直線心：y=息-1,聯(lián)立直線和橢圓方程，消元后，利用韋達定理得到條件，利用

SFIAF2B=:閨工恒-進行計算,換元法求值域即可.

%=2

【詳解】⑴由題設(shè)得￡=坐，解得1=12,

a3

a2=b2+c2

y―2y_2

由瓦也+左PB=4心B得/二+二9^=4z%，

kxy+m-2kXr.+m-2”，

gp-......+--------=4k,

XX2

整理得2mk(m-2)=2(4-機?)左，

因為ZwO,Wm2—m—2=0,解得相=2或%=一1,

加=2時，直線A3過定點PQ2),不合題意，舍去；

加=一1時，滿足A=36(4父+1)＞0,

所以直線A3過定點(0,-1).

(3))由(2)得直線&＜：＞=丘-1，所以x='(y+l),

k

1八

x=-(zy+l)

,k

整理得(1+3卜2+Wy+*—12=0,△=361J+，

由題意得，=；|耳耳||%-%|=2行|必_%|=12血斗----，

21?Q

因為"叫=白所以k2>:

,所以0<<8,

O

令%=小9+4,tG(2,2^3),

所以S*F/=12&一=12^—,在/￡⑵2石)上單調(diào)遞減，

I—

所以與伍B的范圍是(學(xué),8行

\/

22

2.(2024上?天津河北?高二統(tǒng)考期末)已知橢圓C:=+2=l(a>b>0)的右焦點為歹。,0),短軸長為2.

ab~

過點F且不平行于坐標軸的直線/與橢圓C交于A8兩點，線段AB的中點為".

⑴求橢圓C的方程；

⑵證明：直線OM的斜率與直線/的斜率的乘積為定值；

⑶延長線段OM與橢圓C交于點P,若四邊形。4P3為平行四邊形，求此時直線，的斜率及四邊形Q4pB的

面積.

【答案】①、+/=1

(2)證明見解析

⑶斜率為孝與

【分析】(1)根據(jù)橢圓的焦點、短軸長求出G6即可得解；

(2)設(shè)直線/的方程為>=左(％-1)(無片°)，聯(lián)立橢圓方程，求出弦中點，得出加斜率即可得證；

(3)由題意M為線段OP的中點，表示出P點坐標，代入橢圓求解斜率，再由點到直線距離求出高可得三

角形面積，即可得解.

【詳解】（1）由題意知c=l,26=2,

又a2=b2+c2>

解得b=1,a=五.

二橢圓C的方程為一+丁=1.

2

（2）由題意,設(shè)直線/的方程為y=Mx-l）（左NO）,

y=A:(x-l),

由方程組V1肖去y得(2左2+1)尤2—4%2彳+242—2=0.

一+V2=1,

I2'

顯然△=（4左2『_4x（2左2+1）（2左2-2）=8左2+8>0,

故生”?勺=-三義左=-；為定直

如2k2

（3）如圖，

若四邊形。4ra為平行四邊形，則以為線段0P的中點,

4左2—2k

即x=X左2+]，yp

p2M=2=2yM=2左2+1'

??,點P在橢圓上,

圭力+2x[E[=2,解得左即左=±#;

結(jié)合⑵可得占+?丁4“2丁"=D樂k?—2

2

XJ一%2|=,1+左2X]+_-4二%2二-，

.-.|AB|=VI+^2|

設(shè)點。到直線A3的距離為d,則d=坐,

收+13

即S口OAPB=2sAOAB=|AB|d-

22

3.（2023上?四川綿陽?高三綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知橢圓E：=+；=l（a>6>0）的左、

ab

右焦點為月，F(xiàn)2,若E上任意一點到兩焦點的距離之和為4,且點在E上.

（1）求橢圓￡的方程；

（2）在（1）的條件下，若點A,B在E上,且右為坐標原點），分別延長40，B0交E于C,D

兩點，則四邊形A3co的面積是否為定值？若為定值，求四邊形A3CD的面積，若不為定值，請說明理由.

丫2

【答案】⑴二+心=1

4'

⑵四邊形ABCD的面積為定值，理由見解析.

【分析】（1）根據(jù)定義可求出。，利用點在橢圓上列方程即可求出b,進而得到橢圓方程；

（2）設(shè)直線的方程，4（巧，”）,B（X2,y2）,聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理結(jié)合%=-；，

得到小與"的關(guān)系，由弦長公式和點到直線距離公式即可得到1.AB，根據(jù)圖象對稱性即可計算四邊形A8CD

的面積.

【詳解】（1）因為E上任意一點到兩焦點的距離之和為4,

所以2a=4,即a=2.

又因為點1,更在E上,

13

所以/赤=1'則〃"

故橢圓E的方程為二+9=1.

4-

（2）四邊形ABCD的面積為定值，理由如下:

當(dāng)直線A3斜率為0時，因為%?%=-；,

不妨設(shè)后人=；，則%=-；，

貝IJA叵￥［，B一①日

貝I七%2=(緲1+n)(^2+〃)=m2yly2+rrm{y\+%)+"2

222

2n-4(2mn\24n-4m

=mx------Fmnx\+n=----

m+4m+4Jm+4

因為初.koB=_：，

必必二1p1/—4根？+41

所以即n---------------=——即＞

222=2/_4,

xxx24m+44n-4m4

則即4?啟=45?紇鏟

\n\

又原點。到幾的距離d=~^=

A/1+m

所以四邊形至。的面積S3…心卷-4后?”手

yjln2-4-M2+4

=4,

-21-4+4

綜上，所以四邊形A3CD的面積為定值4.

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為（菁,乂）,（程為）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或V）的一元二次方程，必要時計算A；

（3）列出韋達定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為國+%、為%（或M+%、的形式；

（5）代入韋達定理求解.

題型三：三角形面積（最值，范圍問題）

1.（2024上?江西吉安?高二江西省峽江中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€C：y2=2px的焦點/在％軸正半軸上，

過P的直線/交C于A,B兩點，過尸與/垂直的直線交C于。，E兩點，其中8,。在無軸上方，M,N分

別為A8,DE的中點.已知當(dāng)/的斜率為2時，|AB|=5.

（1）求拋物線C的解析式；

（2）試判斷直線MN是否過定點，若過定點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由；

⑶設(shè)G為直線4E與直線BD的交點，求AGMN面積的最小值.

【答案】（1）/=4%

（2）過定點，定點為（3,0）

（3）8

【分析】（1）根據(jù)直線/的斜率為2時|筋|=5列方程，得到。即可得到拋物線方程；

（2）分別聯(lián)立直線/與拋物線、直線OE與拋物線方程得到點叔，N的坐標，從而得到直線的方程，

即可得到直線過定點；

（3）聯(lián)立直線AE與3。的方程得到％=T，根據(jù)點M，N的坐標和不等式得到|加-明|24,通過分析

3S

|4用=52+°=萬0=5,貝1］『=2，

所以拋物線C的解析式為y2=4x.

（2）由（1）得R（1,0）,

設(shè)直線/的方程為x=?V+l,CD的方程為無=供＞+1,設(shè)￡）（%,%），￡（%乂），

因為直線/與直線CD垂直，所以叫〃％=T，

當(dāng)2喈+豚2好+1時，U：尸配曹建可（尤一2喈一1）+2町，

即（x_2若—1）+2ml

2m2—2ml'/

12行+12ml（g+嗎）

-XI

利+網(wǎng)網(wǎng)+町秋+叫

x+2m2ml+2若-2m^—1

利+叫m2+n\

x2m2ml—1

m2+m1m2+m1

x-5

因為叫牲=-1,所以直線MN的方程為“碎,

故當(dāng)x=3時，尸呈肛止匕時MN過定點（3,。）,

當(dāng)2喈+1=2欣+1時，由四%=-1得叫=±1,此時直線肱V的方程為x=3,同樣經(jīng)過點（3,0）,

所以直線MV過定點，該定點為（3,0）.

2

/21（

（3）由拋物線方程得A，召；疊v,為

4x4x

一Jy>,v_,%以

則：y—rlx一下+%--------------+7i---------+---------

1-AE2L_A<4)%+%%+%%+%M+

44

、一?

同理可得0。：y—1

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%+%%+%/4x,%%4x?

聯(lián)立.得:一十:一

_4x%%%+%%+%%+%%+y

y—14

%+乂％+”

即4x(%+%)+%%(X+%)=4x(%+%)+XM(%+%)，

由%%=-4，同理為%=-4,

故尤=(%+%)-%%(%+%