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文檔簡介
重難點(diǎn)06導(dǎo)數(shù)必考壓軸解答題全歸類【十一大題型】
【新高考專用】
?題型梳理
【題型1函數(shù)的切線問題】.....................................................................3
【題型2(含參)函數(shù)的單調(diào)性問題】...........................................................4
【題型3函數(shù)的極值、最值問題】..............................................................5
【題型4函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問題】............................................................6
【題型5不等式的證明】.......................................................................7
【題型6利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題】......................................................8
【題型7利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題】............................................................9
【題型8雙變量問題】........................................................................11
【題型9導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題】...........................................................12
【題型10導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題】..........................................................13
【題型11導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題】.......................................................14
?命題規(guī)律
導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容,是高考必考的熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看,在解答題中試題
的難度較大,主要涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性問題、函數(shù)的極值和最值問題、函數(shù)零點(diǎn)問題、不
等式恒成立與存在性問題以及不等式的證明等內(nèi)容,考查分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等思想,屬綜合性問題,
解題時(shí)要靈活求解.
其中,對于不等式證明中極值點(diǎn)偏移、隱零點(diǎn)問題和不等式的放縮應(yīng)用這三類問題是目前高考導(dǎo)數(shù)壓
軸題的熱點(diǎn)方向.
?知識梳理
【知識點(diǎn)1切線方程的求法】
1.求曲線“在”某點(diǎn)的切線方程的解題策略:
①求出函數(shù)在x=xo處的導(dǎo)數(shù),即曲線y寸龍)在點(diǎn)(無0危0))處切線的斜率;
②在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下,求得切線方程為y=yo+f(xo)(x-xo).
2.求曲線“過”某點(diǎn)的切線方程的解題通法:
①設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)T(xo雙3))(不出現(xiàn)加);
②利用切點(diǎn)坐標(biāo)寫出切線方程:>=⑥0)+八>0)。-尤0);
③將已知條件代入②中的切線方程求解.
【知識點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)中函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略】
1.含參函數(shù)的單調(diào)性的解題策略:
(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性,要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.
(2)若導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)式,首先看能否因式分解,再討論二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)及兩根的大??;若不能因
式分解,則需討論判別式4的正負(fù),二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù),兩根的大小及根是否在定義域內(nèi).
2.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路:
(1)利用集合間的包含關(guān)系處理:y=/(x)在(0力)上單調(diào),則區(qū)間(七。)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.
(2求x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的xGQ6)都有/(x)>0(T(x)<0),且在(a,6)內(nèi)的任一非空子區(qū)間
上,了(無)不恒為零,應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號不能省略,否則會漏解.
(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.
【知識點(diǎn)3函數(shù)的極值與最值問題的解題思路】
1.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)八x)極值的一般步驟:
(1)確定函數(shù)兀0的定義域;
(2)求導(dǎo)數(shù)/(x);
(3)解方程/(x)=0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根;
(4)列表檢驗(yàn)了(無)在/(元)=0的根沏左右兩側(cè)值的符號;
(5)求出極值.
2.根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)的一般思路:
已知函數(shù)極值,確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí),要注意:根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方
程組,利用待定系數(shù)法求解.
3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的解題策略:
(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)/(尤)在[a,句上的最值的一般步驟:
①求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值;
②求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值八a),fib);
③將函數(shù)五幻的各極值與八①,式6)比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值.
(2)求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值的一般步驟:
求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值,不僅要研究其極值情況,還要研究其單調(diào)性,并通過單調(diào)性和
極值情況,畫出函數(shù)的大致圖象,然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.
【知識點(diǎn)4導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用】
1.導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問題
利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)主要有兩種方法:
(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)1X)的最值,轉(zhuǎn)化為/U)圖象與X軸的交點(diǎn)問題,主要是應(yīng)用分類討論思想解決.
(2)分離參變量,即由兀r)=0分離參變量,得。=8(尤),研究y=a與y=g(x)圖象的交點(diǎn)問題.
2.導(dǎo)數(shù)中的不等式證明
(1)一般地,要證Kr)>g(x)在區(qū)間(a,加上成立,需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=/(X)—ga),通過分析網(wǎng)x)在端點(diǎn)
處的函數(shù)值來證明不等式.若F(。)=0,只需證明尸(x)在(a,6)上單調(diào)遞增即可;若F(b)=。,只需證明尸(無)
在(a,b)上單調(diào)遞減即可.
(2)在證明不等式中,若無法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問題,可考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問題.
3.導(dǎo)數(shù)中的恒成立、存在性問題
解決不等式恒(能)成立問題有兩種思路:
(1)分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題,根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來,得到一個(gè)一端是參數(shù),另
一端是變量表達(dá)式的不等式,構(gòu)造函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,即可解決問題.
(2)分類討論法解決恒(能)成立問題,將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題,此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)進(jìn)行分
類討論,在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值,并判斷是否滿足題意,據(jù)此進(jìn)行求解即可.
4.導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題
破解雙參數(shù)不等式的方法:
一是轉(zhuǎn)化,即由已知條件入手,尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式,并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的
不等式;
二是巧構(gòu)函數(shù),再借用導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求其最值;
三是回歸雙參的不等式的證明,把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式,即可證得結(jié)果.
5.極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念
所謂極值點(diǎn)偏移,是指對于單極值函數(shù),由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同,使得函數(shù)圖像沒有對
稱性.
極值點(diǎn)偏移的定義:對于函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。力)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)與,方程/(幻的解分別為
再、x2,且a</<々<沙.
(1)若%;馬/X。,則稱函數(shù)y=/(X)在區(qū)間(xpx2)上極值點(diǎn)X。偏移;
(2)若%>x°,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(玉,々)上極值點(diǎn)/左偏,簡稱極值點(diǎn)為左偏;
(3)若生產(chǎn)</,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(石,聲)上極值點(diǎn)/右偏,簡稱極值點(diǎn)為右偏.
?舉一反三
【題型1函數(shù)的切線問題】
【例1】(2023?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)=a(e'-1)-In%.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求/O)的圖象在點(diǎn)(14(1))處的切線方程;
(2)當(dāng)a>1時(shí),證明:/(%)>sinx.
【變式1-11(2023?四川雅安?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(%)=aex+bx+c在%=ln2時(shí)有極小值.曲線y=/(%)在
點(diǎn)(0廳(0))處的切線方程為%+y=0.
(1)求a,hc的值;
(2)若對任意實(shí)數(shù)%,/(%)>(e-2)x+TH恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【變式1-2](2023?廣東?東莞市校聯(lián)考一模)函數(shù)f(久)=|+In久在x=4處的切線方程為y=
⑴求九(%);
(2)已知:<a<1,過(a,b)可作f(%)的三條切線,證明:h(a)<b</(a).
【變式1-3](2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=a\nx—Qa—l^x2—2%+|a+1.
(1)當(dāng)a=4時(shí),求f(%)的極值及曲線y=/(%)在點(diǎn)(1)(1))處的切線方程;
(2)若函數(shù)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.
【題型2(含參)函數(shù)的單調(diào)性問題】
[例2](2023?海南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(%)=xlnx-ax2.
(1)當(dāng)a=1時(shí),討論函數(shù)f(%)的單調(diào)性;
(2)若不等式/(%)>aex+(1-a)x2-%恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【變式2-1](2023?黑龍江?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=%e\x6R.
(1)求函數(shù)/(久)=久e*單調(diào)區(qū)間;
(2)若過點(diǎn)P(l,t)(tGR)可以作曲線y=/(乃的3條切線,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
【變式2-2](2023?四川成都?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=2e,—ax,aeR.
(1)討論函數(shù)fCO的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a=e時(shí),求證:/(x)>e(l—cosx).
【變式2-3](2023?河北邢臺?寧晉中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=a(eX+eT)-l(a是非零常數(shù),e
為自然對數(shù)的底數(shù))
⑴討論函數(shù)人久)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a>0時(shí),若f(x)-1N/在R上恒成立,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.
【題型3函數(shù)的極值、最值問題】
【例3】(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=比Inx+(t-1)(%-t)(teR).
⑴當(dāng)t=0時(shí),討論函數(shù)f(x)的極值;
(2)若F(x)=/(久)一捺有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),求f的取值范圍.
【變式3-1](2023?陜西西安?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知奇函數(shù)/(久)=ax3+bx2+ex在x=1處取得極大值2.
(1)求/的解析式;
(2)求/O)在[-4,3]上的最值.
【變式3-2](2023?寧夏固原?寧夏回族自治區(qū)西吉中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知實(shí)數(shù)a>0,函數(shù)/(x)=久Ina-
alnx+(x-e)2,e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)a=e時(shí),求函數(shù)/(£)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:/(x)存在極值點(diǎn)而,并求通的最小值.
【變式3-3](2023?吉林長春?東北師大附中校考二模)已知函數(shù)/'(x)=ni久e-x+x-lnx(meR).
(1)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù);
(2)若m〉0,/(x)的最小值是1+Inzn,求實(shí)數(shù)ni的取值范圍.
【題型4函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問題】
【例4】(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=2x+^+a.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線/(%)在點(diǎn)處的切線方程.
(2)若/Q)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【變式4-1](2023?廣東廣州?廣東廣雅中學(xué)??级?已知函數(shù)/(乃=In久+§-1.
⑴求函數(shù)/(%)的最小值;
(2)若g(x)=x2[/(x)+1-a]-%+a,求函數(shù)g(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【變式4-2](2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=%+1—aln%.
⑴判斷函數(shù)/(%)的單調(diào)性.
(2)若/(%)=1有兩個(gè)不相等的實(shí)根%L%2,且%1<%2,求證:+%2>
【變式4-3](2023?廣西?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=21n(%+1)+-2%+m有三個(gè)零點(diǎn),mER.
(1)求zn的取值范圍;
(2)記三個(gè)零點(diǎn)為%且%1<x2<x3,證明:x3—<2.
【題型5不等式的證明】
【例5】(2023?四川成都?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(x)=2e%—ex.
⑴求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:/(x)>e(lnx+cosx).
【變式5-1](2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(%)=%-77iln%(znER).
⑴討論/(%)的單調(diào)性;
(2)若存在不相等的實(shí)數(shù)久1,%2,使得f(%1)=/(%2),證明:0Vm<%i+%2?
【變式5-2](2023?四川成都?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(%)=e%—asin%(a>0),曲線y=/(%)在(0,/(0))處的
切線也與曲線y=2x--相切.
⑴求實(shí)數(shù)Q的值;
(2)若均是f(x)的最大的極小值點(diǎn),久2是/0)的最大的極大值點(diǎn),求證:2<f(久1)+f(冷)〈萼.
【變式5-3](2023?河南新鄉(xiāng)?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)fO)=x\nx-mx2-l.
(1)當(dāng)m>凱寸,討論/(x)在(0,+8)上的單調(diào)性;
2
(2)已知%],久2是/'(久)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:%1%2>V6e.
【題型6利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題】
【例6】(2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(x)=|a/一也久.
(1)當(dāng)a=l.時(shí),求/(%)的極值;
(2)若不等式/(x)2x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【變式6-1](2023?全國?模擬預(yù)測)已知/(乂)=ae*+In(久+1),a為任意實(shí)數(shù).
⑴討論函數(shù)/(X)的單調(diào)性;
(2)令a=2,對Vx>0,均有f(x)>kx+2恒成立,求k的取值范圍.
【變式6-2](2023?云南紅河?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(久)=mx—Inx—eR).
⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性;
(2)若關(guān)于x的不等式e工t+alnx一(a+l)x+a>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【變式6-3](2023?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(X)=ae%—e-,(aGR).
(1)若f(x)為偶函數(shù),求此時(shí)f(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程;
(2)設(shè)函數(shù)g(久)=f(x)-(a+l)x,且存在久口上分別為9(久)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).
(i)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(ii)若ae(0,1),且g(Xi)+kg(%2)>0,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【題型7利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題】
【例7】(2023?寧夏銀川???寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=依01n(l+x)(/c>0).
(1)當(dāng)k=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0)(0))處的切線方程;
(2)如果存在X。e(0,+8),使得當(dāng)xe(0,久0)時(shí),恒有/■(>)</成立,求k的取值范圍.
【變式7-1](2023?河北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=(e-a)e*+久(aeR).
⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性;
(2)若存在實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于久的不等式<4a恒成立,求實(shí)數(shù)4的取值范圍.
【變式7-2](2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知/(%)=(%-a-l)e*-+口2%一L(aeR)
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若a=-1,且存在x6(0,+8),使得/(x)WInx+卷/+(b+1)%,求b的取值范圍.
【變式7-3](2023?北京海淀?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(久)=eax-x.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=/(久)在點(diǎn)(0)(0))處的切線方程;
(2)求/(X)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若存在的,久2e[―1,1],使得〃久1)"(乂2)29,求。的取值范圍.
【題型8雙變量問題】
【例8】(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=(%+t)ln(x+t)+(t—l)x(t6R).
⑴當(dāng)t=0時(shí),討論函數(shù)/(%)的極值;
(2)已知F(%)=f(x)-ex,函數(shù)F(%)存在兩個(gè)極值點(diǎn)%i,冷,證明:%1+冷<°?
【變式8-1](2023?四川自貢?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(%)=。眇一%2有兩個(gè)極值點(diǎn)%]、如
(1)求a的取值范圍;
(2)若&>3/時(shí),不等式+入%2N2%I%2恒成立,求4的最小值.
【變式8-2](2023?河南?校聯(lián)考二模)已知函數(shù)f(%)=|mx2+(m—l)x—lnx(meR),g(%)=x2—^+1.
⑴討論/(%)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)?n>0時(shí),若對于任意的%ie(0,+8),總存在%2e[1,+8),使得fO。>g(%2),求m的取值范圍.
【變式8-3](2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=W+ln%-a%,其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)a=l時(shí),求/(%)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)g(x)=/(%)-9有兩個(gè)零點(diǎn)%<%2),證明:?%2>e2.
【題型9導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題】
[例9](2023?貴州畢節(jié)???寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=(2%+a)\nx-3(%-a),a>0.
(1)當(dāng)久>1時(shí),/(x)>0,求a的取值范圍.
1
(2)若函數(shù)/(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)久1,久2,證明:%1+%2>2e~.
【變式9-1](2023?四川綿陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)=xlnx-^x2-x+a(aeR)在其定義域內(nèi)有兩
個(gè)不同的極值點(diǎn).
(1)求a的取值范圍;
1+A
(2)記兩個(gè)極值點(diǎn)為與,久2,且與<刀2—若%21>證明:e<x1■x^.
【變式9-2](2023?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(£)="竽也
(1)若函數(shù)/(x)在定義域上單調(diào)遞增,求a的最大值;
(2)若函數(shù)/(%)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)%1和%2,若%2>%i,A=e(e-2),求尢r1+外的最小值?
【變式9-3](2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/O)=x2(lnx-|a),。為實(shí)數(shù).
(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)/(%)在%=e處取得極值,/'(%)是函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù),且尸(%1)=/'(第2),xi<12,證明:2<%1+
%2<e
【題型10導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合問題】
【例10](2023?四川雅安?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(%)=ax3+2sinx—xcosx.
(1)若a=0,判斷f(x)在上的單調(diào)性,并說明理由;
(2)當(dāng)a>0,探究f(x)在(0,兀)上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).
【變式10-1】(2023?四川成都?成都七中校考一模)設(shè)函數(shù)F(x)=(1-4)cosx+4cosa一處土陋其中aG
X-CL
蛇)
(1)若4=1,討論F(%)在(aj)上的單調(diào)性;
(2)當(dāng)xe(aj)時(shí),不等式F(x)<0恒成立,求實(shí)數(shù)4的取值范圍.
【變式10-2】(2023?四川雅安?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(%)=a/+2sin%—%cos%(其中a為實(shí)數(shù))
(1)若a=—|,XG(0,2),證明:/(%)>0;
(2)探究/(%)在(-m用)上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).
【變式10-3】(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=e/cosx+/)一(x+l)sinx,其中e是自然對數(shù)的底
數(shù).
(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)(04(0))處的切線方程;
(2)若x>-1,求證:/(x)>0.
【題型11導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題】
IHA,
【例11】(2023?山東濟(jì)南???寄M預(yù)測)設(shè)函數(shù)/(x)=o=Q>-1),已知/(%)21恒成立.
(1)求實(shí)數(shù)爪的值;
⑵若數(shù)列{廝}滿足即+1=111/(廝),且的=1—ln2,證明:|ea?-1|<(1)n.
【變式11-1】(2023?海南???谛B?lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)與=lnx-也?.
x+lX+1
⑴若函數(shù)/(%)在[1,+8)上只有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍;
f^=l2
(2)若a九=\In,記數(shù)列{a九}的前幾項(xiàng)和為立,證明:2Sn<ln(n+3n+2).
【變式11-21(2023?重慶沙坪壩?重慶八中校考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)=
(1)證明:當(dāng)x<0時(shí),/(%)<1;當(dāng)x〉0時(shí),/(x)>1.
Xn+1
(2)正項(xiàng)數(shù)列{xn}滿足:e==1,證明:
(i)數(shù)列{0}遞減;
(ii)N2一左.
【變式11-3】(2023.上海浦東新?華師大二附中??寄M預(yù)測)設(shè)函數(shù)加(x)=-l+x+捺+?+???+'.
(1)求函數(shù)/3(久)在點(diǎn)(1房(1))處的切線方程;
(2)證明:對每個(gè)幾6N*,存在唯一的為G[|,1],滿足加(xn)=0;
(3)證明:對于任意PeN*,由(2)中X"構(gòu)成的數(shù)列{%n}滿足0<當(dāng)一%n+p<:?
1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)“X)=G+a)ln(l+x).
(1)當(dāng)a=-1時(shí),求曲線y=/(%)在點(diǎn)(1)(%))處的切線方程.
(2)若函數(shù)/(%)在(0,+8)單調(diào)遞增,求a的取值范圍.
2.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/Q)=a久-翳,xe(0,f.
⑴當(dāng)a=1時(shí),討論/(x)的單調(diào)性;
(2)若f(%)+sinx<0,求a的取值范圍.
3.(2023?北京?統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)f(%)=%-x3eax+z?,曲線y=/(%)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為y=
—x+1.
⑴求a,b的值;
(2)設(shè)函數(shù)g(%)=尸(%),求g(%)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求/(%)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).
4.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(久)=G+a)ln(l+x).
(1)當(dāng)a=
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